安徽省A10联盟2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷（含解析）

1号卷·A10联盟2023级高一下学期2月开年考
数学（人教A版）
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
第I卷 选择题（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2.若，则（ ）
A. B.2 C. D.5
3.已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A. B.4 C. D.8
4.点P从出发，沿着单位圆顺时针运动到达点Q，则点Q的坐标为（ ）
A. B. C. D.
5.若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
6.已知角α，β满足，，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在扇形中，，，点P在弧上（点P与点A，B不重合），分别在点P，B作扇形所在圆的切线，，且，交于点C，与的延长线交于点D，则的最小值为（ ）
A.2 B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列计算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B.的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数
C.的图象关于点对称
D.若方程在上有且只有6个根，则
11.已知是定义在R上的偶函数，若，，且，恒成立，且，则满足的实数m的值可能为（ ）
A. B. C.1 D.3
第Ⅱ卷 非选择题（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数过点，则____________.
13.函数的值域是____________.
14.中国茶文化源远流长，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是，经过后的温度是T，则，其中表示环境温度，h为常数.该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是，放在的室温中，以后茶水的温度是，在上述条件下，大约需要再放置__________能达到最佳饮用口感.（结果精确到0.1，参考数据：，）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
已知集合，命题“，”是真命题.
（1）求实数a的取值集合B；
（2）在（1）的条件下，若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
16.（15分）
近年来，我国逐渐用风能等清洁能源替代传统能源，目前利用风能发电的主要手段是风车发电.如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高100米，叶片长40米.叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面60米）.设点P转动t（秒）后离地面的距离为S（米），则S关于t的函数关系式为.
（1）求的解析式；
（2）求叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长.
17.（15分）
已知函数.
（1）若，且，求函数的零点；
（2）若，函数的定义域为I，存在，使得在上的值域为，求实数t的取值范围.
18.（17分）
已知函数.
（1）若，求的值；
（2）设，若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围.
19.（17分）
已知函数的定义域为，，且当时，.
（1）判断的奇偶性，并说明理由；
（2）解不等式：；
（3）已知，，若对，，使得成立，求实数b的取值范围.
1号卷·A10联盟2023级高一下学期2月开年考
数学（人教A版）参考答案
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D C D A C B
1.B 由题意得，，，，，故选B.
2.C 由，得，，，.故选C.
3.D ，，，，即，，即的最小值为8.故选D.
4.C 由题意得，，则点Q的坐标为，故选C.
5.D 由题意得，，，，，，.故选D.
6.A ，，
，，
，故选A.
7.C 由题意得，，解得.故选C.
8.B 连接，.设，，在中，，由得，.在中，，，.令，则，且，则，当且仅当，即时取等号.故选B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
注：双选答对1个给3分，三选答对1个给2分，对2个给4分.
题号 9 10 11
答案 BC AD ABD
9.BC ，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误.故选BC.
10.AD 由图象得，，，因为，所以，则.
因为的图象过点，所以，
解得，易得，即，解得，
所以，则，故A正确；
的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是，非奇非偶函数，故B错误；
，故C错误；
，
若方程在上有且只有6个根，则，故D正确.故选AD.
11.ABD 设，则等价于，
令，则，所以函数在上单调递减.
因为是偶函数，所以是偶函数，且.
因为，即，即，
所以或，解得或.故选ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.
设，则，解得，所以，则.
13.
，因为，所以，所以，所以，即函数的值域是.
14.13.3
由题意得，，即，则.
设大约需要再放置能达到最佳饮用口感，则，即，
则，所以，
解得.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
（1）由题意得，，解得或，即.
（2）易得，因为“”是“”的充分不必要条件，所以.
则或，
解得或，即实数m的取值范围是.
16.（15分）
（1）如图，建立平面直角坐标系，
当时，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点，设为，则，
由题意得，，，解得，
所以.
注：写成也给分.
（2）令，则，即，
所以，解得.
当时，，，
所以叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长为秒.
17.（15分）
（1）若，且，则，
令，则，解得，
即函数的零点为0.
（2）因为，所以函数在定义域内单调递增，
函数在定义域内单调递增，
所以函数在定义域内单调递增.
因为函数的定义域为I，存在，使得在上的值域为，
故，
所以关于x的方程有两个不同的根，
所以，即有两个不同的根.
令，则，关于λ的方程有两个不同的正实数根，，
所以，
解得，故实数t的取值范围为.
18.（17分）
（1），
若，则，解得，
所以.
（2）由题意得，，
所以
，
因为，所以，所以.
由题意可知不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
所以，
解得，即实数m的取值范围为.
19.（17分）
（1）为奇函数.
令，则，解得.
令，则，即，
又的定义域关于原点对称，所以为奇函数.
（2）令，则，
因为，所以，，则，
因为，所以.
因为当时，，为奇函数，
所以当时，，所以，即，
因为，所以在为减函数.
因为，所以，
解得，即不等式的解集为.
（3）因为，，使得成立，
所以，即.
因为的对称轴为，.
①当，即时，在上单调递增，
则，所以，解得，所以；
②当，即时，在上单调递减，
则，所以，解得，所以；
③当时，在上先减再增，
则，所以，
解得或，所以；
综上所述，实数b的取值范围是.
以上各解答题如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分。