2023-2024学年河北省唐山市路南区八年级（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年河北省唐山市路南区八年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共14小题，每小题2分，共28分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的三角之比是，则是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定
2.若是分式，则可能是( )
A. B. C. D.
3.如果分式有意义则的值为( )
A. B. C. D.
4.如图，张老师用长方形木板遮住了的一部分，其中，则另两边的长不可能的是( )
A. ，．
B. ，
C. ，
D. ，
5.下列图形中不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
6.下列从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
7.如果点和点关于轴对称，则的值是( )
A. B. C. D.
8.如图，已知线段，以点，为圆心，为半径作弧相交于点，连结，点在上，连结，，，若与的周长之差为，则的长为( )
A. B. C. D.
9.若代数式是完全平方式，那么的值为( )
A. B. C. D.
10.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
11.如图，在中，，平分，且，，点是上一动点，则，之间的最小距离为( )
A. B. C. D.
12.某班学生去距学校的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的倍，设骑车学生的速度为，下列方程正确的是( )
A. B. C. D.
13.如图，在中，，是边上的一个动点不与顶点重合，则的度数可能是( )
A.
B.
C.
D.
14.如图，点是平分线上的一点，，，，则的长不可能是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
15.______．
16.将一副直角三角尺如图放置，则的大小为______度．
17.用科学记数法表示为______．
18.如图，已知在四边形内，，，，，则______．
三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
；
．
20.本小题分
解方程：．
21.本小题分
如图，正方形和正方形的边长分别为、．
请用含有、的代数式表示阴影部分的面积．
如果，，求阴影部分的面积．
22.本小题分
如果一个多边形的各边都相等且各角也都相等，那么这样的多边形叫做正多边形，如图所示就是一组正多边形．
观察每个正多边形中的，填写下表：
正多边形边数
的度数
______
______
______
______
是否存在正边形使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
23.本小题分
如图，点为的外角平分线上的一点，．
求证：是等腰三角形；
若点在线段上，满足，连接，，补全图形，求证：．
24.本小题分
为让学生们近距离接触大自然，积累写作素材，提高写作能力，某校策划了以“拥抱自然”为主题的作文大赛，某班开展了此项活动，生活委员为班级购买奖品后与学习委员对话如下所示．
生活委员说：我买相同数量的软面笔记本和硬面笔记本分别花去了元和元，而每本硬面笔记本比软面笔记本的价格多元．
学习委员说：你肯定搞错了．
试用所学的知识帮助生活委员计算一下，为什么说生活委员搞错了？
25.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点与点关于轴对称，点为轴的正半轴上一动点．以为边作等腰直角三角形，，点在第一象限内．连接，交轴于点．
如果，求的度数；
用含的式子表示点的坐标；
在点运动的过程中，判断的长是否发生变化？若不变求出其值，若变化请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：在中，若，
设，则，，
，
解得，
，
此三角形是直角三角形．
故选：．
设，则，，再根据三角形内角和定理求出的值，进而可得出结论．
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．
2.【答案】
【解析】解：若是分式，则可能是．
故选：．
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有字母的式子即为分式．
3.【答案】
【解析】解：如果分式有意义，则．
．
故选：．
根据分式有意义的条件是解决本题的关键．
本题主要考查分式有意义条件，熟练掌握分式有意义的条件是解决本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：此三角形的，
另外两边长的和大于，
另外两边的长不可能是，，
故选：．
根据三角形三边关系得出，任意两边之和大于第三边以及任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围．
题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的取值范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，、选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
6.【答案】
【解析】解：，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B.，等式的左边不是多项式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C.，从左到右的变形是整式乘法运算，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D.，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：．
根据分解因式的定义逐个判断即可．
本题考查了分解因式的定义，能熟记分解因式的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式．
7.【答案】
【解析】解：和点关于轴对称，
，，
则．
故选：．
直接利用关于轴对称点的性质横坐标不变，纵坐标互为相反数得出，的值，进而得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：由作图可知，是线段的垂直平分线，
，，
与的周长之差为，
，
，
，
，
，
故选：．
根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是线段垂直平分线的判定和性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：代数式是完全平方式，
，
，
故选：．
根据完全平方式得出，再求出即可．
本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，注意：完全平方式有和两个．
10.【答案】
【解析】解：，原计算正确，故本选项符合题意；
B.，原计算错误，故本选项不符合题意；
C.与不是同类项，不能合并，原计算错误，故本选项不符合题意；
D.，原计算错误，故本选项不符合题意；
故选：．
直接利用积的乘方的运算法则、同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式分别化简得出答案．
此题主要考查了积的乘方的运算法则、同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式，正确掌握相关运算法则和公式是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：在中，，，
，
平分，
，
，
，
过点作于，则为，之间的最小距离，
平分，，
，
故选：．
由直角三角形的性质求出，过点作于，则为，之间的最小距离，由角平分线的性质得出答案．
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的性质，含度角的直角三角形的性质，求出的长是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：骑车学生的速度为，且汽车的速度是骑车学生速度的倍，
汽车的速度为．
依题意得：，
即．
故选：．
根据汽车的速度和骑车学生速度之间的关系，可得出汽车的速度为，利用时间路程速度，结合汽车比骑车学生少用，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
故选：．
只要证明即可解决问题．
本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14.【答案】
【解析】解：在上截取，连接，
，
，
点是平分线上的一点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
解得，
不可能为，
故选：．
在上取，然后证明≌，根据全等三角形对应边相等得到，再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系；通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键
15.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
利用幂的乘方的法则进行求解即可．
本题主要考查幂的乘方，解答的关键熟记幂的乘方的法则：底数不变指数相乘．
16.【答案】
【解析】解：如图，
由题意得：，，
是的外角，
，
．
故答案为：．
由题意可得，，由三角形的外角性质可求得，再由平角的定义即可求的度数．
本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．
17.【答案】
【解析】解：将用科学记数法表示为，
故答案是：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
18.【答案】
【解析】解：延长到使，连接，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
．
延长到连从而可证是等边三角形，就可解决问题．
此题较难，考查了全等三角形，等边三角形的知识，要构造全等三角形，得到等边三角形．
19.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】先根据多项式乘以多项式的法则展开，然后合并同类项即可；
先把除法运算化为乘法运算，再约分得到原式，然后通分后进行同分母的减法运算．
本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．也考查了整式的运算．
20.【答案】解：两边都乘以，去分母，得
，
解得，
检验：当时，，
是原方程的解．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
21.【答案】解：根据题意得，
；
，，
．
【解析】根据阴影部分的面积等于直角梯形面积加直角三角形面积即可；
将，变形为，再代入计算即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
22.【答案】
【解析】解：观察上面每个正多边形中的，填写下表：
正多边形边数
的度数
故答案为：，，，；
存在，理由如下：
设存在正边形使得，
根据题意得：．
解得：，是正整数，
所以存在正边形使得．
根据计算、观察，可发现规律：正边形中的，从而得出的度数；
根据正边形中的，列出算式，再进行计算即可得出答案．
本题考查了多边形内角与外角，每题都利用了正多边形平均一个内角的度数：，三角形的内角和定理，等腰三角形的两底角相等．
23.【答案】证明：，
，，
为的外角平分线上的一点，
，
，
，
是等腰三角形；
证明：补全图形如图所示，
在和中，
，
≌，
．
【解析】根据平行线的性质可得，，再根据等角对等边可得结论；
利用“”证明≌，根据全等三角形的性质可得结论．
本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
24.【答案】解：设软面笔记本的单价为元，则硬面笔记本的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
则，
笔记本的数量为整数，
不合题意，
说生活委员搞错了．
【解析】设软面笔记本的单价为元，则硬面笔记本的单价为元，由题意：买相同数量的软面笔记本和硬面笔记本分别花去了元和元，而每本硬面笔记本比软面笔记本的价格多元．列出分式方程，解方程，即可解决问题．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
25.【答案】解：，
，
，
，
，
，
；
如图，过点作轴于，
，
等腰直角三角形，
，
由知，，
≌，
，，
点的坐标；
不会变化，理由：
点与点关于轴对称，
，
又，
轴是垂直平分线，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长不会变化．
【解析】利用同角的余角得出，即可得出结论；
判断出≌，得出，，即可得出结论；
先判断出，再判断出，进而求出，即可得出结论．
此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，等腰三角形的性质和判定，求出是解本题的关键．
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