新人教版数学八年级上册第十一章三角形11.2.2《三角形的外角》课时练习.doc
文档属性
| 名称 | 新人教版数学八年级上册第十一章三角形11.2.2《三角形的外角》课时练习.doc |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 276.5KB | ||
| 资源类型 | 素材 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-08-19 14:27:02 | ||
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文档简介
新人教版数学八年级上册
第十一章三角形11.2.2三角形的外角课时练习
一、选择题（共15题）
1．若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
答案：C
知识点：三角形的外角性质
解析：
解答：根据三角形的外角的定义，可知三角形的一个外角与它相邻的内角互补，因为这个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个外角是锐角，与它相邻的内角是钝角，所以这个三角形是钝角三角形.
分析：此题考查三角形的外角及平角的性质.
2．如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°，那么与这个外角相邻的内角的度数为（ ）
A.30° B.60° C.90° D.120°
答案：C
知识点：三角形的外角性质
解析：
解答：设在△ABC中，∠1是∠ACB的外角，且∠1+∠B+∠A=180°.
∵∠1是∠ACB的外角，
∴∠1=∠B+∠A.
又∵∠1+∠B+∠A=180°，
∴2∠1 =180°，∠1 =90°.
则∠ACB==180°-∠1 =180°-90°=90°.
分析：此题考查三角形的外角定义；由题意解出这个外角的度数或两个内角的和是关键.
3．已知三角形的三个外角的度数比为2:3:4,则它的最大内角的度数为（ ）
A.90° B.110° C.100° D.120°
答案：C
知识点：三角形的外角性质
解析：
解答：因为三角形的外角和为360°，且由三个外角的度数比2：3：4，可解得三个外角分别是80°，120°，160°，所以这个三角形最大的内角为180°-80°=100°.
分析：此题考查三角形的外角及三角形的外角和.
4．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如图，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．10°
答案：A
知识点：三角形的外角性质
解析：
解答：∵∠C=90°，∠E=30°，
∴∠CDE=90°-30°=60°，
由三角形的外角性质得，∠CDE=∠B+∠BFD，
∴60°=45°+∠BFD，
解得∠BFD=15°．
分析：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键.
5．如图所示，若∠A=32°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE等于（ ）
A.120° B.115° C.110° D.105°
答案：B
知识点：三角形的外角性质；三角形内角和定理
解析：
解答：在△ACE中，∠AEC=180°-∠C-∠A=180°-38°-32°=110°.
∵∠AEC是△BEF的外角，则∠BFE=∠AEC-∠B=110°-45°=65 .
∴∠DEF=180-∠BFE=180 -65 =115 .
分析：此题有两种方法去解，一是求出∠BFE，或者求出∠BEF．
6．如图所示，在△ABC中，E，F分别在AB，AC上，则下列各式不能成立的是（ ）
A.∠BOC=∠2+∠6+∠A B.∠2=∠5-∠A C.∠5=∠1+∠4 D.∠1=∠ABC+∠4
答案：B
知识点：三角形的外角性质
解析：
解答：A项，∵∠BOC是△BEO的外角，∴∠BOC=∠2+∠BEO；∵∠BEO是△AEC的外角，∴∠BEO=∠A+∠C，∴∠BOC=∠2+∠6+∠A.
B项，∵∠5是△ABF的外角，∴∠5=∠2+∠A，∠2=∠5-∠A.
C项错误.
D项，∵∠1是△BCE的外角，∴∠1=∠ABC+∠4.
分析：此题考查三角形的外角；要注意观察三角形的外角.
7．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A．∠A=∠1-∠2 B．2∠A=∠1-∠2
C．3∠A=2∠1-∠2 D．3∠A=2（∠1-∠2）
答案：B
知识点：三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）；三角形内角和定理
解析：
解答：如下图，设翻折前A点的对应点为F；
根据折叠的性质知：∠3=∠4，∠F=∠A；
由三角形的外角性质知：∠DEF=∠5+∠3=∠A+∠2+∠3；
△DEF中，∠DEF=180°-∠4-∠F；
故180°-∠4-∠F=∠A+∠2+∠3，即：
180°-∠4-∠A=∠A+∠2+∠3，
180°-∠4-∠3=2∠A+∠2，即∠1=2∠A+∠2，2∠A=∠1-∠2.
分析：此题主要考查了图形的翻折变换、三角形内角和定理以及三角形的外角性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．
8．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=（ ）度
A．90 B．180 C．200 D．360
答案：B
知识点：三角形的外角性质；三角形内角和定理
解析：
解答：如图所示：
∵∠AGF是△BGD的外角，∴∠AGF=∠B+∠D，
∵∠AFG是△FEG的外角，∴∠AFG=∠C+∠E，
∵∠AGF+∠AFG+∠A=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
分析：本题考查的是三角形内角和定理及外角的性质，解答此题的关键是把所求的角归结到同一个三角形中解答．
9．如图，在△ABC中，D是BC上延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于（ ）
A．20° B．30° C．70° D．80°
答案：D
知识点：三角形的外角性质
解析：
解答：由三角形的外角性质得，∠A=120°-40°=80°．
分析：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键.
10．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P=（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
答案：C
知识点：三角形的外角性质；三角形的角平分线、中线和高
解析：
解答：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∵∠ABP=20°，∠ACP=50°，
∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM=2∠ACP=100°，
∴∠A=∠ACM-∠ABC=60°，
∠ACB=180°-∠ACM=80°，
∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=130°，
∴∠P=180°-∠PBC-∠BCP=30°，
∴∠A+∠P=90°.
分析：本题考查了角平分线的定义，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为180°，难度适中．
11．如图，平面上直线a，b分别过线段OK两端点（数据如图），则a，b相交所成的锐角是（ ）
A．20° B．30° C．70° D．80°
答案：B
知识点：三角形的外角性质
解析：
解答：a，b相交所成的锐角=100°-70°=30°.
分析：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
12.如图，∠B=∠C，则（ ）
A．∠1=∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．不确定
答案：A
知识点：三角形的外角性质
解析：
解答：∵∠B=∠C，
∴∠B+∠A=∠C+∠A，
即∠CDB=∠CEB，
∴∠1=∠2.
分析：此题主要考查了三角形的内角与外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；还有另外一种说明的方法，设BD与CE的交点为O，则∠1=∠B+∠BOE，∠2=∠C+∠COD，由∠B=∠C，∠BOE=∠COD，可得∠1=∠2.
13.如果一个三角形的两个外角的和是270°，那么这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形
答案：B
知识点：三角形的外角性质
解析：
解答：由外角与相邻的内角和为180 ，可得两个内角的和为：360 -270 =90 ，则三角形的第三个内角为90 ，则这个三角形一定是直角三角形．
分析：考查三角形的外角性质；由两个外角的和可得与这两个外角相邻的内角的和，则可知第三个内角的度数．
14.如图，点D、B、C在同一条直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°．则∠1=（ ）
A．60° B．50° C．45° D．25°
答案：C
知识点：三角形的外角性质；三角形内角和定理
解析：
解答：∵∠ABD是△ABC的外角，∠A=60°，∠C=50°，
∴∠ABD=∠A+∠C=60°+50°=110°，
在△BDE中，∵∠D=25°，∠ABD=110°，∴∠1=180°-25°-110°=45°.
分析：此题考查的是三角形外角的性质及三角形内角和定理，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
15.如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：
①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°-∠ABD；④BD平分∠ADC；
⑤∠BDC=∠BAC．
其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
答案：B
知识点：三角形的外角性质；平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高
解析：
解答：由三角形的外角性质得，∠EAC=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，∵AD是∠EAC的平分线，∴∠EAC=2∠EAD，∴∠EAD=∠ABC，∴AD∥BC，故①正确；
∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠CBD，∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=2∠ADB，故②正确；
∵AD∥BC，∴∠ADC=∠DCF，∵CD是∠ACF的平分线，∴∠ADC=∠ACF=（180°-∠ACB）=（180°-∠ABC）=90°-∠ABD，故③正确；
由三角形的外角性质得，∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠DCF=∠BDC+∠DBC，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF，
∴∠DBC=∠ABC，∠DCF=∠ACF，
∴∠DBC +∠BDC =∠ACF=（∠ABC+∠BAC）=∠ABC+∠BAC=∠DBC+∠BAC，
∴∠BDC=∠BAC，故⑤正确；
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠ADB，
∵∠ABC与∠BAC不一定相等，
∴∠ADB与∠BDC不一定相等，
∴BD平分∠ADC不一定成立，故④错误；
综上所述，结论正确的是①②③⑤共4个.
分析：此本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，熟记各性质并综合分析，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
二、填空题（共5题）
16．三角形的三个外角中，最多有_______个锐角.
答案：1
知识点：三角形的外角性质
解析：
解答：三角形的内角中至少有两个锐角，所以三角形的外角至少有两个钝角，则三角形的外角中最多有1个锐角.
分析：此题考查三角形的外角与相邻的内角互补；根据三角形中的锐角的个数，可判断三角形的外角的锐角个数．
17．如图所示，∠1=_______．
答案：120
知识点：三角形的外角性质
解析：
解答：方法一：∠1=80 +（180 -140 ）=120 ；方法二：∠1=180 -（140 -80 ）=120 .
分析：此题考查三角形的外角性质．
18．如果一个三角形的各内角与一个外角的和是225°，则与这个外角相邻的内角是____度.
答案：30.04 29.97
知识点：三角形的外角性质；三角形内角和定理
解析：
解答：这个外角是225°-180°=45°，与这个外角相邻的内角为180°-45°=135°.
分析：解此题的关键是知道三角形内角和为180°，从而解得这个外角的度数；三角形的一个外角与它相邻的内角互补．
19．如图所示，∠ABC，∠ACB的内角平分线交于点O，∠ABC的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，∠ABC与∠ACB的相邻外角平分线交于点E，且∠A=60°， 则∠BOC=_______，∠D=_____，∠E=________.
答案：120 30 60
知识点：三角形的外角性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
解析：
解答：∵△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×120°=60°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-60°=120°．
∵∠ACF是△ABC的外角，∠ABC的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，
∴∠DCF=∠ACF =（∠ABC+∠A）=∠CBD+∠A，
∴∠D=∠DCF-∠CBD=∠A=30 ；
∵∠CBM，∠BCN是△ABC的外角，
∴∠CBM+∠BCN=（∠A+∠ACB）+（∠A+∠ABC）=180°+∠A.
∵∠ABC与∠ACB的相邻外角平分线交于点E，
∴∠CBE+∠BCE=（∠CBM +∠BCN）=90°+∠A，
∴∠E=180 -（∠CBE+∠BCE）=90°-∠A=60°.
分析：此类三角形两个内角（∠ABC+∠ACB）的角平分线所成的角（∠O），相邻两个外角（∠CBM+∠BCN）的角平分线所成的角（∠E），一个外角（∠ACF）和与它不相邻的内角（∠ABC）的角平分线所成的角（∠D），与第三个角（∠A）有如下规律：∠O=90°+∠A，∠E=90°-∠A，∠O+∠E=180°，∠D=∠A．
20．如图所示，∠A=50°，∠B=40°，∠C=30°，则∠BDC=________．
答案：120°
知识点：三角形的外角性质
解析：
解答：如图，连接AD，并延长，则∠BDC=∠BDF+∠CDF=（∠B+∠BAD）+（∠C+∠CAD）=∠B+∠C+（∠BAD+∠CAD）=40°+30°+50°=120°.
分析：利用三角形的外角的性质解题，连接AD是解题的关键，．
三、解答题（共5题）
21．如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°,求∠DAC的度数.
答案：24
知识点：三角形的外角性质；三角形内角和定理
解析：
解答：∵∠3是△ABD的外角，∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠4=∠3=∠1+∠2=2∠2.
由三角形的内角和定理，得∠2+∠4+∠BAC=180 ，解得∠4=78 ，
则∠DAC=180 -2∠4=24 .
分析：此题得出∠2与∠4的数量关系是解题的关键，从而根据三角形内角和，解得∠4.
22．在△ABC中，∠ADB=100°，∠C=80°，∠BAD=∠DAC，BE平分∠ABC，求∠BED的度数
答案：45
知识点：三角形的外角性质；三角形内角和定理
解析：
解答：∵∠ADB=100°，∠C=80°，
∴∠DAC=∠ADB-∠C=100°-80°=20°，
∵∠BAD=∠DAC，
∴∠BAD=×20°=10°，
在△ABD中，∠ABC=180°-∠ADB-∠BAD=180°-100°-10°=70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠ABC=×70°=35°，
∴∠BED=∠ABE+∠BAD=35°+10°=45°.
分析：在考查三角形的外角性质时，一般都会运用到三角形内角和定理；此题解出∠BAD的度数是解题的关键.
23.如图，在△ABC中，∠B=∠C，E在CA的延长线上，∠AEF=∠AFE，求证：EF⊥BC．
答案：证明见解析.
知识点：三角形的外角性质；三角形内角和定理
解析：
解答：证明：延长EF交BC于点D．
∵∠E=∠AFE，
又∵∠BAC=∠E+∠AFE，
∴∠BAC=2∠AFE．
又∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠B=∠C，
∴2∠B+2∠AFE=180°．
又∵∠AFE=∠BFD，
∴2∠B+2∠BFD=180°，
∴∠B+∠BFD=90°，
∴∠BDF=90°，
∴EF⊥BC.
分析：考查了三角形的内角和定理及其推论；证明垂直，可以构造三角形，证明相应角为直角或三角形中两个内角和为90 .
24.已知：三角形的两个外角分别是α°，β°，且满足（α-50）2=-|α+β-200|．求此三角形各角的度数．
答案：130°，30°，20°
知识点：三角形的外角性质
解析：
解答：∵（α-50）2=-|α+β-200|，
∴α-50=0，α+β-200=0，
∴α=50，β=150，
∴与∠α，∠β相邻的三角形的内角分别是130°，30°，
∴三角形另一内角的度数=180°-130°-30°=20°．
分析：本题考查的是三角形外角的性质及非负数的性质，先根据题意得出∠α，∠β的度数是解答此题的关键.
25.（1）如图1，∠ABD，∠BAC的角平分线交于点E，∠C=40°，∠BDC=150°，求∠AEB的度数．
（2）如图2，∠BAC，∠BDC的角平分线交于点E，猜想∠B，∠C与∠E之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想.
答案：（1）125 （2）∠B-∠C=2∠E．
知识点：三角形的外角性质；三角形内角和定理；三角形的角平分线、中线和高
解析：
解答：（1）延长BD交AC于点F，
∵∠BDC是△CDF的外角，∠C=40°，∠BDC=150°，
∴∠CFD=∠BDC-∠C=150°-40°=110°，
∵∠CFD是△ABF的外角，
∴∠BAC+∠ABD=∠CFD=110°，
∵∠ABD，∠BAC的角平分线交于点E，
∴∠BAE+∠ABE=（∠BAC+∠ABD）=×110°=55°，
∴∠AEB=180°-（∠BAE+∠ABE）=180°-55°=125°；
（2）∠B-∠C=2∠E.理由如下：由题易得∠BAC+∠B+∠C=∠BDC（可连接AD交延长，则∠BDC=∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=∠B+∠BAC+∠C），
∵∠BAC，∠BDC的角平分线交于点E，
∴∠BAE=∠CAE=∠BAC，∠BDE=∠CDE=∠BDC，
∵∠1=∠B+∠BAE=∠B+∠BAC=∠E+∠BDE，
∴∠B+∠BAC=∠E+（∠BAC+∠B+∠C），即∠B-∠C=2∠E.
分析：运用三角形的外角性质和三角形内角和定理，并结合角平分线的性质解题；作辅助线也是解此题的关键之一.
O
M
N
F
第十一章三角形11.2.2三角形的外角课时练习
一、选择题（共15题）
1．若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
答案：C
知识点：三角形的外角性质
解析：
解答：根据三角形的外角的定义，可知三角形的一个外角与它相邻的内角互补，因为这个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个外角是锐角，与它相邻的内角是钝角，所以这个三角形是钝角三角形.
分析：此题考查三角形的外角及平角的性质.
2．如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°，那么与这个外角相邻的内角的度数为（ ）
A.30° B.60° C.90° D.120°
答案：C
知识点：三角形的外角性质
解析：
解答：设在△ABC中，∠1是∠ACB的外角，且∠1+∠B+∠A=180°.
∵∠1是∠ACB的外角，
∴∠1=∠B+∠A.
又∵∠1+∠B+∠A=180°，
∴2∠1 =180°，∠1 =90°.
则∠ACB==180°-∠1 =180°-90°=90°.
分析：此题考查三角形的外角定义；由题意解出这个外角的度数或两个内角的和是关键.
3．已知三角形的三个外角的度数比为2:3:4,则它的最大内角的度数为（ ）
A.90° B.110° C.100° D.120°
答案：C
知识点：三角形的外角性质
解析：
解答：因为三角形的外角和为360°，且由三个外角的度数比2：3：4，可解得三个外角分别是80°，120°，160°，所以这个三角形最大的内角为180°-80°=100°.
分析：此题考查三角形的外角及三角形的外角和.
4．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如图，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．10°
答案：A
知识点：三角形的外角性质
解析：
解答：∵∠C=90°，∠E=30°，
∴∠CDE=90°-30°=60°，
由三角形的外角性质得，∠CDE=∠B+∠BFD，
∴60°=45°+∠BFD，
解得∠BFD=15°．
分析：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键.
5．如图所示，若∠A=32°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE等于（ ）
A.120° B.115° C.110° D.105°
答案：B
知识点：三角形的外角性质；三角形内角和定理
解析：
解答：在△ACE中，∠AEC=180°-∠C-∠A=180°-38°-32°=110°.
∵∠AEC是△BEF的外角，则∠BFE=∠AEC-∠B=110°-45°=65 .
∴∠DEF=180-∠BFE=180 -65 =115 .
分析：此题有两种方法去解，一是求出∠BFE，或者求出∠BEF．
6．如图所示，在△ABC中，E，F分别在AB，AC上，则下列各式不能成立的是（ ）
A.∠BOC=∠2+∠6+∠A B.∠2=∠5-∠A C.∠5=∠1+∠4 D.∠1=∠ABC+∠4
答案：B
知识点：三角形的外角性质
解析：
解答：A项，∵∠BOC是△BEO的外角，∴∠BOC=∠2+∠BEO；∵∠BEO是△AEC的外角，∴∠BEO=∠A+∠C，∴∠BOC=∠2+∠6+∠A.
B项，∵∠5是△ABF的外角，∴∠5=∠2+∠A，∠2=∠5-∠A.
C项错误.
D项，∵∠1是△BCE的外角，∴∠1=∠ABC+∠4.
分析：此题考查三角形的外角；要注意观察三角形的外角.
7．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A．∠A=∠1-∠2 B．2∠A=∠1-∠2
C．3∠A=2∠1-∠2 D．3∠A=2（∠1-∠2）
答案：B
知识点：三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）；三角形内角和定理
解析：
解答：如下图，设翻折前A点的对应点为F；
根据折叠的性质知：∠3=∠4，∠F=∠A；
由三角形的外角性质知：∠DEF=∠5+∠3=∠A+∠2+∠3；
△DEF中，∠DEF=180°-∠4-∠F；
故180°-∠4-∠F=∠A+∠2+∠3，即：
180°-∠4-∠A=∠A+∠2+∠3，
180°-∠4-∠3=2∠A+∠2，即∠1=2∠A+∠2，2∠A=∠1-∠2.
分析：此题主要考查了图形的翻折变换、三角形内角和定理以及三角形的外角性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．
8．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=（ ）度
A．90 B．180 C．200 D．360
答案：B
知识点：三角形的外角性质；三角形内角和定理
解析：
解答：如图所示：
∵∠AGF是△BGD的外角，∴∠AGF=∠B+∠D，
∵∠AFG是△FEG的外角，∴∠AFG=∠C+∠E，
∵∠AGF+∠AFG+∠A=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
分析：本题考查的是三角形内角和定理及外角的性质，解答此题的关键是把所求的角归结到同一个三角形中解答．
9．如图，在△ABC中，D是BC上延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于（ ）
A．20° B．30° C．70° D．80°
答案：D
知识点：三角形的外角性质
解析：
解答：由三角形的外角性质得，∠A=120°-40°=80°．
分析：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键.
10．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P=（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
答案：C
知识点：三角形的外角性质；三角形的角平分线、中线和高
解析：
解答：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∵∠ABP=20°，∠ACP=50°，
∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM=2∠ACP=100°，
∴∠A=∠ACM-∠ABC=60°，
∠ACB=180°-∠ACM=80°，
∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=130°，
∴∠P=180°-∠PBC-∠BCP=30°，
∴∠A+∠P=90°.
分析：本题考查了角平分线的定义，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为180°，难度适中．
11．如图，平面上直线a，b分别过线段OK两端点（数据如图），则a，b相交所成的锐角是（ ）
A．20° B．30° C．70° D．80°
答案：B
知识点：三角形的外角性质
解析：
解答：a，b相交所成的锐角=100°-70°=30°.
分析：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
12.如图，∠B=∠C，则（ ）
A．∠1=∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．不确定
答案：A
知识点：三角形的外角性质
解析：
解答：∵∠B=∠C，
∴∠B+∠A=∠C+∠A，
即∠CDB=∠CEB，
∴∠1=∠2.
分析：此题主要考查了三角形的内角与外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；还有另外一种说明的方法，设BD与CE的交点为O，则∠1=∠B+∠BOE，∠2=∠C+∠COD，由∠B=∠C，∠BOE=∠COD，可得∠1=∠2.
13.如果一个三角形的两个外角的和是270°，那么这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形
答案：B
知识点：三角形的外角性质
解析：
解答：由外角与相邻的内角和为180 ，可得两个内角的和为：360 -270 =90 ，则三角形的第三个内角为90 ，则这个三角形一定是直角三角形．
分析：考查三角形的外角性质；由两个外角的和可得与这两个外角相邻的内角的和，则可知第三个内角的度数．
14.如图，点D、B、C在同一条直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°．则∠1=（ ）
A．60° B．50° C．45° D．25°
答案：C
知识点：三角形的外角性质；三角形内角和定理
解析：
解答：∵∠ABD是△ABC的外角，∠A=60°，∠C=50°，
∴∠ABD=∠A+∠C=60°+50°=110°，
在△BDE中，∵∠D=25°，∠ABD=110°，∴∠1=180°-25°-110°=45°.
分析：此题考查的是三角形外角的性质及三角形内角和定理，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
15.如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：
①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°-∠ABD；④BD平分∠ADC；
⑤∠BDC=∠BAC．
其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
答案：B
知识点：三角形的外角性质；平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高
解析：
解答：由三角形的外角性质得，∠EAC=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，∵AD是∠EAC的平分线，∴∠EAC=2∠EAD，∴∠EAD=∠ABC，∴AD∥BC，故①正确；
∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠CBD，∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=2∠ADB，故②正确；
∵AD∥BC，∴∠ADC=∠DCF，∵CD是∠ACF的平分线，∴∠ADC=∠ACF=（180°-∠ACB）=（180°-∠ABC）=90°-∠ABD，故③正确；
由三角形的外角性质得，∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠DCF=∠BDC+∠DBC，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF，
∴∠DBC=∠ABC，∠DCF=∠ACF，
∴∠DBC +∠BDC =∠ACF=（∠ABC+∠BAC）=∠ABC+∠BAC=∠DBC+∠BAC，
∴∠BDC=∠BAC，故⑤正确；
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠ADB，
∵∠ABC与∠BAC不一定相等，
∴∠ADB与∠BDC不一定相等，
∴BD平分∠ADC不一定成立，故④错误；
综上所述，结论正确的是①②③⑤共4个.
分析：此本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，熟记各性质并综合分析，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
二、填空题（共5题）
16．三角形的三个外角中，最多有_______个锐角.
答案：1
知识点：三角形的外角性质
解析：
解答：三角形的内角中至少有两个锐角，所以三角形的外角至少有两个钝角，则三角形的外角中最多有1个锐角.
分析：此题考查三角形的外角与相邻的内角互补；根据三角形中的锐角的个数，可判断三角形的外角的锐角个数．
17．如图所示，∠1=_______．
答案：120
知识点：三角形的外角性质
解析：
解答：方法一：∠1=80 +（180 -140 ）=120 ；方法二：∠1=180 -（140 -80 ）=120 .
分析：此题考查三角形的外角性质．
18．如果一个三角形的各内角与一个外角的和是225°，则与这个外角相邻的内角是____度.
答案：30.04 29.97
知识点：三角形的外角性质；三角形内角和定理
解析：
解答：这个外角是225°-180°=45°，与这个外角相邻的内角为180°-45°=135°.
分析：解此题的关键是知道三角形内角和为180°，从而解得这个外角的度数；三角形的一个外角与它相邻的内角互补．
19．如图所示，∠ABC，∠ACB的内角平分线交于点O，∠ABC的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，∠ABC与∠ACB的相邻外角平分线交于点E，且∠A=60°， 则∠BOC=_______，∠D=_____，∠E=________.
答案：120 30 60
知识点：三角形的外角性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
解析：
解答：∵△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×120°=60°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-60°=120°．
∵∠ACF是△ABC的外角，∠ABC的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，
∴∠DCF=∠ACF =（∠ABC+∠A）=∠CBD+∠A，
∴∠D=∠DCF-∠CBD=∠A=30 ；
∵∠CBM，∠BCN是△ABC的外角，
∴∠CBM+∠BCN=（∠A+∠ACB）+（∠A+∠ABC）=180°+∠A.
∵∠ABC与∠ACB的相邻外角平分线交于点E，
∴∠CBE+∠BCE=（∠CBM +∠BCN）=90°+∠A，
∴∠E=180 -（∠CBE+∠BCE）=90°-∠A=60°.
分析：此类三角形两个内角（∠ABC+∠ACB）的角平分线所成的角（∠O），相邻两个外角（∠CBM+∠BCN）的角平分线所成的角（∠E），一个外角（∠ACF）和与它不相邻的内角（∠ABC）的角平分线所成的角（∠D），与第三个角（∠A）有如下规律：∠O=90°+∠A，∠E=90°-∠A，∠O+∠E=180°，∠D=∠A．
20．如图所示，∠A=50°，∠B=40°，∠C=30°，则∠BDC=________．
答案：120°
知识点：三角形的外角性质
解析：
解答：如图，连接AD，并延长，则∠BDC=∠BDF+∠CDF=（∠B+∠BAD）+（∠C+∠CAD）=∠B+∠C+（∠BAD+∠CAD）=40°+30°+50°=120°.
分析：利用三角形的外角的性质解题，连接AD是解题的关键，．
三、解答题（共5题）
21．如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°,求∠DAC的度数.
答案：24
知识点：三角形的外角性质；三角形内角和定理
解析：
解答：∵∠3是△ABD的外角，∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠4=∠3=∠1+∠2=2∠2.
由三角形的内角和定理，得∠2+∠4+∠BAC=180 ，解得∠4=78 ，
则∠DAC=180 -2∠4=24 .
分析：此题得出∠2与∠4的数量关系是解题的关键，从而根据三角形内角和，解得∠4.
22．在△ABC中，∠ADB=100°，∠C=80°，∠BAD=∠DAC，BE平分∠ABC，求∠BED的度数
答案：45
知识点：三角形的外角性质；三角形内角和定理
解析：
解答：∵∠ADB=100°，∠C=80°，
∴∠DAC=∠ADB-∠C=100°-80°=20°，
∵∠BAD=∠DAC，
∴∠BAD=×20°=10°，
在△ABD中，∠ABC=180°-∠ADB-∠BAD=180°-100°-10°=70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠ABC=×70°=35°，
∴∠BED=∠ABE+∠BAD=35°+10°=45°.
分析：在考查三角形的外角性质时，一般都会运用到三角形内角和定理；此题解出∠BAD的度数是解题的关键.
23.如图，在△ABC中，∠B=∠C，E在CA的延长线上，∠AEF=∠AFE，求证：EF⊥BC．
答案：证明见解析.
知识点：三角形的外角性质；三角形内角和定理
解析：
解答：证明：延长EF交BC于点D．
∵∠E=∠AFE，
又∵∠BAC=∠E+∠AFE，
∴∠BAC=2∠AFE．
又∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠B=∠C，
∴2∠B+2∠AFE=180°．
又∵∠AFE=∠BFD，
∴2∠B+2∠BFD=180°，
∴∠B+∠BFD=90°，
∴∠BDF=90°，
∴EF⊥BC.
分析：考查了三角形的内角和定理及其推论；证明垂直，可以构造三角形，证明相应角为直角或三角形中两个内角和为90 .
24.已知：三角形的两个外角分别是α°，β°，且满足（α-50）2=-|α+β-200|．求此三角形各角的度数．
答案：130°，30°，20°
知识点：三角形的外角性质
解析：
解答：∵（α-50）2=-|α+β-200|，
∴α-50=0，α+β-200=0，
∴α=50，β=150，
∴与∠α，∠β相邻的三角形的内角分别是130°，30°，
∴三角形另一内角的度数=180°-130°-30°=20°．
分析：本题考查的是三角形外角的性质及非负数的性质，先根据题意得出∠α，∠β的度数是解答此题的关键.
25.（1）如图1，∠ABD，∠BAC的角平分线交于点E，∠C=40°，∠BDC=150°，求∠AEB的度数．
（2）如图2，∠BAC，∠BDC的角平分线交于点E，猜想∠B，∠C与∠E之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想.
答案：（1）125 （2）∠B-∠C=2∠E．
知识点：三角形的外角性质；三角形内角和定理；三角形的角平分线、中线和高
解析：
解答：（1）延长BD交AC于点F，
∵∠BDC是△CDF的外角，∠C=40°，∠BDC=150°，
∴∠CFD=∠BDC-∠C=150°-40°=110°，
∵∠CFD是△ABF的外角，
∴∠BAC+∠ABD=∠CFD=110°，
∵∠ABD，∠BAC的角平分线交于点E，
∴∠BAE+∠ABE=（∠BAC+∠ABD）=×110°=55°，
∴∠AEB=180°-（∠BAE+∠ABE）=180°-55°=125°；
（2）∠B-∠C=2∠E.理由如下：由题易得∠BAC+∠B+∠C=∠BDC（可连接AD交延长，则∠BDC=∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=∠B+∠BAC+∠C），
∵∠BAC，∠BDC的角平分线交于点E，
∴∠BAE=∠CAE=∠BAC，∠BDE=∠CDE=∠BDC，
∵∠1=∠B+∠BAE=∠B+∠BAC=∠E+∠BDE，
∴∠B+∠BAC=∠E+（∠BAC+∠B+∠C），即∠B-∠C=2∠E.
分析：运用三角形的外角性质和三角形内角和定理，并结合角平分线的性质解题；作辅助线也是解此题的关键之一.
O
M
N
F