新人教版数学八年级上册第十二章全等三角形12.3《角的平分线的性质》课时练习.doc

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新人教版数学八年级上册
第十二章全等三角形 12.3角的平分线的性质 课时练习
一、选择题
1. 如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（　　）
A、PD＝PE　 　B、OD＝OE　 　C、∠DPO＝∠EPO　 　D、PD＝OD
答案：D
知识点：角平分线性质;全等三角形的判定（AAS）
解析：
解答：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PEO=∠PDO∵∠1＝∠2，OP=OP(公共边),∴△PEO≌△∠PDO（AAS）故D项不成立.
分析：根据角平分线性质和全等三角形的判定（AAS)可完成此题.
2. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°， ( http: / / www.21cnjy.com )∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=6cm，则点D到AB的距离DE是（　　）
A．5cm B．4cm C．6cm D．2cm
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答案：C
知识点：角平分线性质
解析：
解答：∵∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD=6cm，∴则点D到AB的距离等于DC是6cm．故此题选择C项．
分析：由所给条件根据角平分线上的点到角两边的距离相等可完成此题.
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，CD=2，则点D到AB的距离是 （ ）2A．1 B．2 C．3 D．4
答案：B
知识点：角平分线性质
解析：
解答：∵∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，CD=2，∴则点D到AB的距离等于DC是2．
分析：结合图形和所给条件根据角平分线性质根据角平分线上的点到角两边的距离相等可完成此题.
4．如图，已知AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠BAC，下面结论错误的是（ ）
A．BD+ED=BC B．DE平分∠ADB
C．AD平分∠EDC D．ED+AC＞AD
答案：B
知识点：角平分线性质；三角形三边关系
解析：
解答：∵AC⊥BC，DE⊥AB，CD=2，AD平分∠BAC∴DE=DC，故A、C、D项正确，不能根据根据角平分线上的得出AD平分∠EDC，故B项错误.
分析：结合图形和所给条件根据角平分线性质及三角形的三边关系可完成此题.
5. 用尺规作已知角的平分线的理论依据是 ( http: / / www.21cnjy.com )（ ）
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA21
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答案：C
知识点：全等三角形的判定和性质
解析：
解答：∵是SSS,边相等都是用圆规作出来的,连接CN、CM，CN=CM.OC=OC，图中两个三角形全等，可得OC平分∠AOB.
分析：作图结合三角形全等方法完成选择.
6. 如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6㎝，
△DEB的周长为（　）21com
A. 4㎝　 　B. 6㎝　 　C. 10㎝　 　D. 不能确定
答案：B
知识点：角平分线的性质；全等三角形的判定和性质
解析：
解答：∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴∠CAD=∠BAD，∠C=∠AED．∵AD=AD，
∴△CAD≌△EAD，∴AC=AE，CD=DE．∵AC=BC，∴BC=AE．∴△DEB的周长为DB+DE+EB=DB+CD+EB=CB+BE=AE+BE=6cm，故选B.
分析：先根据角平分线的性质，结合∠C=90°，DE⊥AB，公共边AD证得△CAD≌△EAD，得到AC=AE，DE=CD，于是BD+DE=BC=AC=AE，即可得到结果．
7.已知如图△ABC中，AD是角平分线，AB=5，AC=3，且S△ADC=6，则S△ABD=　 　
A. 4　 　B.10 　C. 8 　D. 不能确定
答案：B
知识点：角平分线的性质；全等三角形判定（AAS）
解析：
解答：∵AD是角平分线，∠C=90°，AC=3，∴△CAD≌△EAD（AAS），DC=CE，且S△ADC=6，AC=3，
则DC=4，则S△ABD=DE AB/2=10故选B项.--y
分析：由所给条件根据角平分线性质求得△BDC中BA边上的高，再根据三角形面积公式计算.
8．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（　）
A. 三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三条边的垂直平分线的交点 D.三条高的交点
答案：B
知识点：角平分线的判定
解析：
解答：到角两边的距离相等的点在角平分线上,因此到三角形三条边的距离都相等的点
是这个三角形的三条角平分线的交点其故选B项.--y
分析：根据角平分线的判定可选择.
9．如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，若PA=PB，则∠1与∠2的大小是（　　）
A.∠1=∠2 B.∠1＞∠2 C.∠1＜∠2 D.无法确定A
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答案：A
知识点：角平分线的判定；全等三角形的判定（AAS）
解析：
解答：∵AD⊥OB，BC⊥OA，∴∠ACP=∠BDP,∵PA=PB,∠APC=∠BPD,∴△ACP≌△BDP
（AAS）,CP=DP∴∠1=∠2,故选A项.--y
分析：根据角平分线的判定可选择.
10.如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA，过点D作DE⊥BC，交AB于E，则下列结论一定正确的是（　　）21cnjy.com
　 A． AE=BE B． DB=DE C． AE=BD D． .∠BCE=∠ACE
答案：D
知识点：角平分线的判定；直角三角形全等的判定（HL）
解析：
解答：∵DE⊥BC，AB⊥AC，∴∠EAC=∠EDC,∵CD=CA,EC=EC,∴Rt△EAC≌Rt△EDC(HL),∠BCE=∠ACE,故选D项.--y
分析：根据直角三角形全等的判定Rt△EAC≌Rt△EDC再根据角平分线的判定可选择.
11. 如图，△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A=40°，则∠BOC=（　　）
　 A． 110° B． 120° C． 130° D． 140°
答案：A
知识点：角平分线的判定；角平分线定义；三角形内角和
解析：
解答：∵点O到△ABC三边的距离相等∴OB和OC是∠ABC和∠ACB的角平分线,∵
∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=140°，则∠BOC=180°-（∠ABC+∠ACB）/2=110°,
故选A项.--y
分析：根据角平分线的判定OB和OC是∠ABC和∠ACB的角平分线，由角平分线定义和三角形内角和计算∠BOC的度数.
12．如图，,△ABC的两个外角平分线交于点P，则下列结论正确的是（　　）①PA=PC ②BP平分∠ABC ③P到AB，BC的距离相等 ④BP平分∠APC．
A． ①② B． ①④ C． ②③ D． ③④
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答案：C
知识点：角平分线的判定
解析：
解答：过点P作PD⊥BA与点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F．
∵AP平分∠DAE，CP平分∠ACF，
∴PD=PE=PF．
∴点P在∠ABC的平分线上，P到AB，BC的距离相等．
故②③正确．
故选C．
分析：做垂线根据角平分线的判定完成此题.
13．如图，DB⊥AB，DC⊥AC，BD=DC，∠BAC=80°，则∠BAD=（ ）．
A． 10° B． 40° C． 30° D． 20°
答案：B
知识点：角平分线的判定
解析：
解答：因为DB⊥AB，DC⊥AC，BD=DC，所以AD是∠BAC的角平分线，
因为∠BAC=80°，所以∠BAD=40°．
分析：根据已知条件可以判定AD是角平分线，可以完成此题.
14．如图,已知AB∥CD， ( http: / / www.21cnjy.com )PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别E、F、G，且PF=PG=PE，则∠BPD=________．
A.60° B.70° C.80° D.90°
答案：D
知识点：角平分线的判定
解析：
解答：由PE⊥AB，PF⊥BD ,PE=PF,得∠PBD=∠ABD，
由PF⊥BD，PG⊥CD，PF=PG,得∠PDB=∠BDC.由AB//CD，得∠ABD+∠BDC=180°，∴∠PBD+∠PDB=×180°=90°，∠BPD=90°
分析：根据已知条件可以判定PB、PD是角平分线，可以完成此题.
15.如图11.3-11，已知DB⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF=________．
A.130° B.150° C.100° D.140°
E
答案：B
知识点：角平分线的判定;三角形的外角性质
解析：
解答：由DB⊥AE于B，DC⊥AF，DB=DC，得∠GAD=∠BAD=∠BAC=20°，∠DGF=∠GAD+∠ADG=130+20°=150°
分析：根据已知条件可以判定AD是角平分线，再根据三角形的外角性质可以完成此题.
二．填空题.
1．如图所示,在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=20cm，DB=17cm，则D点到AB的距离是_________．21·
答案：3cm
知识点：角平分线的性质
解析：
解答：∵BC=20cm，DB=17cm,∴DC=BC-DB=20-17=3（cm）∵AD平分∠BAC，,DE⊥AB，∠C=90°，,∴DE=DC=BC-DB=20-17=3（cm）.
分析：结合图形和所给条件可得DC=3cm，再根据角平分线性质得DE的长度.
2．如图所示，点D在AC上，∠BAD=∠DBC，△BDC的内部到∠BAD两边距离相等的点有_______个，△BDC内部到∠BAD的两边、∠DBC两边等距离的点有_____个．W
答案：无数；1
知识点：角平分线的性质；角平分线的判定
解析：
解答：∵∠BAD=∠DBC，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，∴△BDC的内部到∠BAD两边距离相等的点有（无数）个；△BDC内部到∠BAD的两边、∠DBC两边等距离的点在角平分线上，两条平分线有一个交点．
分析：结合图形和所给条件根据角平分线性质和判定可完成此填空.
3.如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝2 cm，则点D到BC的距离为___cm． 21cnjy.c
答案：2
知识点：角平分线性质
解析：
解答：∵∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝2 cm，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，∴则点D到BC的距离为2cm.
分析：结合图形和所给条件根据角平分线性质点D在角平分线上，所以点D到BC的距离为AD的长度.
4 .如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为　　．【来
答案：3
知识点：角平分线性质；垂线段性质
解析：
解答：OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，PA=3（垂线段最短），则PQ的最小值为3．【来源：21·世纪·教
分析：由所给条件根据角平分线性质点P在角平分线上，所以点D到OM的距离为PQ的最小值.
5.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是　 　．2-1-c-n-j-y
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答案：15
知识点：角平分线性质 ；垂线段性质
解析：
解答：过D作DE⊥BC,∵∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，∴DE=3，△BDC的面积为BC 2DE/2=15.-1-c-n-j-y
分析：由所给条件根据角平分线性质求得△BDC中BC边上的高，在根据三角形面积公式计算.
三. 证明题
1.如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF．求证：PE=PF；
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答案：证明：如图，连接AP并延长， ( http: / / www.21cnjy.com )
∵PE⊥AB，PF⊥AC∴∠AEP=∠AFP=90°又AE=AF，AP=AP，∵在Rt△AFP和Rt△AEP中，AP=AP,AE=AF
∴Rt△AEP≌Rt△AFP（HL），∴PE=PF．
知识点：直角三角形的判定
解析：
解答：证明：连接AP并延长，∵PE⊥AB，PF⊥AC∴∠AEP=∠AFP=90°又AE=AF，AP=AP，∵在Rt△AFP和Rt△AEP中, AP=AP,AE=AF∴Rt△AEP≌Rt△AFP（HL），∴PE=PF．
分析：根据直角三角形判定可以完成此题.
2．如图，已知BD平分∠ABC，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M、N为垂足．求证：PM=PN．21世纪教育网版权所有
答案：证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵在△ABD和△CBD中 ,AB=CB,∠ABD=∠CBD ,BD=BD,∴△ABD≌△CBD（SAS）,∵PM⊥AD，PN⊥CD∴PE=PF．
知识点：三角形的判定; 角平分线的性质
解析：
解答：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵在△ABD和△CBD中 ,AB=CB,∠ABD=∠CBD ,BD=BD,
∴△ABD≌△CBD（SAS）,∵PM⊥AD，PN⊥CD∴PE=PF．
分析：先证△ABD≌△CBD，得∠ADB=∠CDB，由PM⊥AD，PN⊥CD，得PM=PN．
3.如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．【若∠ACD=114°，求∠MAB的度数；
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答案：解：∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB=180°，又∵∠ACD=114°，∴∠CAB=66°，由作法知，AM是∠CAB的平分线，∴∠MAB=∠CAB=33°
知识点：平行线性质；角平分线性质
解析：
解答：解：∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB=180°，又∵∠ACD=114°，∴∠CAB=66°，由作法知，AM是∠CAB的平分线，∴∠MAB=∠CAB=33°
分析：先根据平行线性质可得∠ACD+∠CAB=180°，由作法得M是∠CAB的平分线可求得∠MAB的度数．
4.如图，已知△ABC中，AB=AC，BE平分∠ABC交AC于E，若∠A=90°，那么BC、BA、AE三者之间有何关系？并加以证明．21世纪教育网版权所有
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答案：解：BC、BA、AE三者之间的关系：BC=BA+AE，理由如下：
过E作ED⊥BC交BC于点D，∵BE平分∠ABC，BA⊥CA，∴AE=DE，∠EDC=∠A=∠BDE=90°，∵在Rt△BAE和Rt△BDE中，∴Rt△BAE≌Rt△BDE（HL），
∴BA=BD，∵AB=AC，∠A=90°∴∠C=45°，∴∠CED=45°=∠C，∴DE=CD，∵AE=DE，
∴AE=CD=DE，∴BC=BD+DC=BA+AE．
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知识点：直角三角形的判定；角平分线性质
解析：
解答：解：BC、BA、AE三者之间的关系：BC=BA+AE，理由如下：
过E作ED⊥BC交BC于点D，∵BE平分∠ABC，BA⊥CA，∴AE=DE，∠EDC=∠A=∠BDE=90°，∵在Rt△BAE和Rt△BDE中，∴Rt△BAE≌Rt△BDE（HL），
∴BA=BD，∵AB=AC，∠A=90°∴∠C=45°，∴∠CED=45°=∠C，∴DE=CD，∵AE=DE，
∴AE=CD=DE，∴BC=BD+DC=BA+AE．
分析：先根据直角三角形的判定Rt△BAE≌Rt△BDE，再根据角平分线性质进行等量代换．
5.如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于点E，
EF⊥AB于F，EG⊥AG交AC的延长线于G．求证：BF=CG．
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答案：解：证明：连接BE、EC，
∵ED⊥BC，
D为BC中点，
∴BE=EC，
∵EF⊥AB EG⊥AG，
且AE平分∠FAG，
∴FE=EG，
在Rt△BFE和Rt△CGE中 ，
∴Rt△BFE≌Rt△CGE （HL），
∴BF=CG
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知识点：直角三角形的判定；角平分线性质
解析：
解答：证明：连接BE、EC，
∵ED⊥BC，
D为BC中点，
∴BE=EC，
∵EF⊥AB EG⊥AG，
且AE平分∠FAG，
∴FE=EG，
在Rt△BFE和Rt△CGE中 ，
∴Rt△BFE≌Rt△CGE （HL），
∴BF=CG
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分析：先根据角平分线性质得FE=EG，．再根据直角三角形的判定Rt△BAE≌Rt△BDE，对应边相等.
A
C
B
D
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
A
B
C
D
P
F
E
G
F
B
D
A
C
G
B
C
D
A
E
A
D
C
B
A
B
D
P
M
N
C
1