新人教版数学八年级上册第十三章轴对称13.3.2《等边三角形》课时练习.docx
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| 名称 | 新人教版数学八年级上册第十三章轴对称13.3.2《等边三角形》课时练习.docx |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 114.4KB | ||
| 资源类型 | 素材 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-08-19 14:31:46 | ||
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文档简介
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新人教版数学八年级上册第十三章
轴对称13.3.2等边三角形课时练习
一.选择题
1.下列四个说法中，不正确的有（ ）
(1)三条边都相等的三角形是等边三角形.
(2)有两个角等于60°的三角形是等边三角形.
(3)有一个是60°的等腰三角形是等边三角形.
(4)等腰三角形是等边三角形.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
答案：B
知识点：等边三角形的性质；等边三角形的判定
解析：
解答：(1)，(2)，(3)，正确；(4)等腰三角形是等边三角形不正确，故B项正确.
分析：结合根据等边三角形的定义和判定来完成此题.
2.等边三角形的周长等于15，则边长是（ ）.
A. 4 B.5 C.6 D.3
答案：B
知识点：等边三角形的性质
解析：
解答：已知等边三角形的周长是15，根据等边三角形三边相等可得出边长是5，故B项正确.
分析：结合根据等边三角形的定义来完成此题.
3.等边三角形的对称轴有（）条.
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：C
知识点：等边三角形的性质
解析：
解答：等边三角形对称轴为三条高（中线，角平分线）线所在的直线，故C项正确.
分析：结合根据等边三角形的性质三线合一.可作三条对称轴.
4．如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD是（）
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：C
知识点：含30°角的直角三角形;等腰三角形的判定；角平分线的定义
解析：
解答：因为△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，所以∠BAC=30°;因为BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC=30°，所以AD=BD,因为AD=6,所以CD=3,故C项正确.
分析：结合根据角平分线的定义得∠ABD=∠DBC=30°,由含30°角的直角三角形可得CD是BD的一半即可得CD的长度，
正三角形的边长为4，AD是BC边上的高，则BD是( )．
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：B
知识点：含30°角的直角三角形；等边三角形的性质
解析：
解答：因为△ABC中，∠CDA=90°，∠ABC=60°，所以∠BAD=30°;因为AB=4，所以BD=2，,故B项正确.
分析：由含30°角的直角三角形的性质可得BD是CD的一半即可得BD的长度，
6.三角形的三个角的度数之比为1:2:3，它的最大边长等于16，则最小边为（）.
A.1 B.2 C.8 D.4
答案：C
知识点：三角形的内角和定理；含30°角的直角三角形
解析：
解答：因为三角形中，三个角的度数之比为1:2:3，则可得：三角的度数为：30°,60°,90°;因为最大边长等于16，所以最小边的长8 .故 C项正确.
分析：根据三个角的度数之比为1:2:3，利用三角形的内角和定理得三个角得：30°，60°，90，由含30°角的直角三角形的性质可得最短边是最长边的一半即可得，
7.如图∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，若PC=10，则CO等于 .
A.10 B.8 C.9 D.7
答案：A
知识点：平行线的性质；等腰三角形的判定
解析：
解答：因为PC∥OA，所以∠POD=∠CPO,因为∠AOP=∠BOP=15°，所以∠CPO=∠BOP，因为PC=10，所以CO=10.故A项正确.
分析：根据平行线的性质由PC∥OA，得∠POD=∠CPO,再由等腰三角形的判定得PC=CO=10
8.等腰三角形的顶角为120°，腰长为6，则它底边上的高等于（）
A. 3 B .8 C.9 D.7
答案：A
知识点：含30°角的直角三角形；等腰三角形的性质；三角形内角和的定理
解析：
解答：因为等腰三角形的顶角为120°，所以等腰三角形的底角为30°，腰长为6，则它底边上的高等于腰长的一半为3，故A项正确.
分析：根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质；结合已知等腰三角形的顶角为120°，得等腰三角形的底角为30°；再由含30°角的直角三角形的性质及腰长可得它底边上的高等于3
9.在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB于D,则∠BCD=（）
A. 30° B. 40° C.60° D. 70°
答案：A
知识点：含30°角的直角三角形；三角形内角和的定理
解析：
解答：因为∠ACB=90°,∠A=30°，所以∠ABC=60°，因为CD⊥AB，所以DBC是直角三角形，则∠BCD=30°，故A项正确.
分析：根据三角形的内角和定理，结合已知∠ACB=90°,∠A=30°，得∠ABC=60°；由CD⊥AB，可得∠BCD=30°，
10.在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=12,则BC的长为（）.
A. 3 B. 4 C.6 D. 7
答案：C
知识点：含30°角的直角三角形
解析：
解答：因为∠ACB=90°,∠A=30,AB=12，所以BC的长为6,，故C项正确.
分析：根据含30°角的直角三角形的性质,结合已知∠ACB=90°,∠A=30°，AB=12，可得BC的长是AB的一半为6.
11.在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB于D,AB=4cm,则BD的长为（）.
A. 3 B. 4 C.1 D. 7
答案：C
知识点：含30°角的直角三角形
解析：
解答：因为∠ACB=90°,∠A=30°，,AB=4，所以BC的长为2,，∠ABC=60°；因为CD⊥AB，所以∠BCD=30，°则BD的长为1.
分析：根据含30°角的直角三角形的性质,结合已知∠ACB=90°,∠A=30°，得∠ABC=60°,BC=2,；再由含30°角的直角三角形可得BD是BC的一半为1.
12.在△DBC中,∠DCB=30°,CD⊥AB于D,AB=9,BC=4,则AD的长为（）.
A. 3 B. 4 C.5 D. 7
答案：D
知识点：含30°角的直角三角形
解析：
解答：因为∠DCB=30°,CD⊥AB，BC=4,所以BD=2,因为AB=9,所以AD=AB-BD=7，故C项正确.
分析：根据含30°角的直角三角形的性质,结合已知BC=4,得BD=2,由AB=9,得AD为7.
13.如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D．若AC=6cm，则AD=( )cm．
A. 3 B. 4 C.5 D. 2
答案：D
知识点：线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形
解析：
解答：连接BD，∵AB=BC，∠ABC=120°，∴∠A=∠C=（180°-∠ABC）=30°,∴DC=2BD，∵AB的垂直平分线交AC于点D,∴AD=BD,∴DC=2AD，∵AC=6，∴AD等于AC的三分之一为2.故选择D项．
分析：连接BD，根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质求出DC=2BD，根据线段垂直平分线的性质求出AD=BD，即可求出答案
14.等边三角形的周长等于24，则边长是 .
A. 4 B.8 C.6 D.3
答案：B
知识点：等边三角形的性质
解析：
解答：已知等边三角形的周长是24，根据等边三角形三边相等可得出边长是8，故B项正确.
分析：结合根据等边三角形三边相等可完成此题.
15.已知：如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，，并且PB＝PQ＝QC＝AP＝AQ.则∠BAQ=（ ）
A. 90° B. 40° C.60° D. 70°
答案：A
知识点：等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
解析：
解答：因为PQ=AP=AQ.所以∠AQB=∠APQ=∠PAQ=60°，因为BP=AP所以∠BAP=∠ABC=30°，则∠BAQ=∠BAP+∠PAQ==90°，故A项正确.
分析：根据等边三角形的性质可得∠APQ=60°，三角形外角的性质和等腰三角形的性质，可得∠BAP=30°,则∠BAQ=∠BAP+∠PAQ=90°，
二..填空题.
1.如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=8，则CD= ．
答案：4
知识点：含30°角的直角三角形；等腰三角形的判定；角平分线的定义
解析：
解答：因为△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，所以∠BAC=30°;因为BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC=30°，所以AD=BD,因为AD=8,所以CD=4.
分析：根据角平分线的定义得∠ABD=∠DBC=30°,由含30°角的直角三角形可得CD是BD的一半即可得CD的长度，
2、如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D．若AC=15cm，则AD= cm．
答案：5
知识点：线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形
解析：
解答：连接BD，∵AB=BC，∠ABC=120°，∴∠A=∠C=（180°-∠ABC）=30°,∴DC=2BD,∵AB的垂直平分线交AC于点D,∴AD=BD,∴DC=2AD，∵AC=15，∴AD等于AC的三分之一为5.
分析：连接BD，根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质求出DC=2BD，根据线段垂直平分线的性质求出AD=BD，即可求出答案
3、如图∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=6，则PD等于 .
答案：3
知识点：含30度角的直角三角形；等腰三角形的判定与性质
解析：
解答：解：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP=∠CPO，∴∠PCE=∠BOP+∠CPO=∠BOP+∠AOP=∠AOB=30°,
又∵PC=6，∴PE等于PC的一半为3，∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，∴PD=PE=3．
分析：过点P作PE⊥OB于E，根据两直线平行，内错角相等可得∠AOP=∠CPO，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得∠PCE=∠AOB=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半.
△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，AB＝10，则BC＝_______.
答案：5
知识点：含30°角的直角三角形；三角形内角和的定理
解析：
解答：因为△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，所以∠A=30°,∠B=60°，∠C=90°;因为AB＝10，则BC是AB的一半为5..
分析：根据三角形内角和的定理得∠A，∠B，∠C的度数；由含30°角的直角三角形的性质可得BC是AB的一半即可得BC的长度，
5.点D为等边△ABC的边BC的中点，则AB：BD＝_______.
答案：2:1
知识点：含30°角的直角三角形；等边三角形的性质
解析：
解答：因为点D为等边△ABC的边BC的中点，所以∠BAD=30°，则AB：BD＝2:1
分析：根据等边三角形的性质得∠BAD=30°；由含30°角的直角三角形的性质可得BD是AB的一半即AB：BD＝2:1.
三.解答题.
1.如图，△ABC中AB＝AC，∠C＝30°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N，试探究BM与CM之间的数量关系.
三
答案：解：连接AM，∵AB=BC，∠C=30°, ∴∠B=30°,∵AB的垂直平分线是MN,∴∠MAC＝90°,CM=2AM，∴AB=2BM,∴CM=2BM，
知识点：线段垂直平分线的性质；三角形外角的性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形
解析：
解答：解：连接AM，∵AB=BC，∠C=30°, ∴∠B=30°,∵AB的垂直平分线是MN,∴∠MAC＝90°,CM=2AM，∴AB=2BM,∴CM=2BM.
分析：连接AM，∵AB=BC，∠C=30°∴∠B=30°, ∵AB的垂直平分线是MN,,∴∠MAC＝90°,CM=2AM, ∴AB=2BM,,∴CM=2BM.
2.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的
高．求CD的长.
答案：解：∵∠ABC=∠ACB=15°,∴∠DAC=30°∵CD是腰AB上的高,AB=AC=2a,
∴AC=2CD∴DC=a，
知识点：三角形的外角的性质；含30度角的直角三角形
解析：
解答：解：∵∠ABC=∠ACB=15°,∴∠DAC=30°∵CD是腰AB上的高,AB=AC=2a,
∴AC=2CD∴DC=a，
分析：根据三角形的外角的性质得∠DAC=30°，根据等腰三角形的性质∴∠DAC=30°再根据含30度角的直角三角形的性质可得DC=a，
3.如图∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=8，则PD为多少？
答案：解：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP=∠CPO，∴∠PCE=∠BOP+∠CPO=∠BOP+∠AOP=∠AOB=30°,
又∵PC=8，∴PE等于PC的一半为4，∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，∴PD=PE=4
知识点：含30度角的直角三角形；等腰三角形的判定与性质
解析：
解答：解：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP=∠CPO，∴∠PCE=∠BOP+∠CPO=∠BOP+∠AOP=∠AOB=30°,
又∵PC=8，∴PE等于PC的一半为4，∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，∴PD=PE=4．
分析：过点P作PE⊥OB于E，根据两直线平行，内错角相等可得∠AOP=∠CPO，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得∠PCE=∠AOB=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半.
4.正三角形的边长为20，AD是BC边上的高，则BD是多少？
答案：解∵△ABC中，∠CDA=90°，∠ABC=60°，∴∠BAD=30°∵AB=20，∴BD=10.
知识点：含30°角的直角三角形；等边三角形的性质
解析：
解答：解：∵△ABC中，∠CDA=90°，∠ABC=60°，∴∠BAD=30°∵AB=20，∴BD=10.
分析：由含30°角的直角三角形的性质可得BD是CD的一半即可得BD的长度，
四．证明题
1.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD=CD．求证：CD=2AD．
答案：证明：∵∠A=90°，∠ABC=2∠C，，∴∠ABC=60°，∠C=30°，∴BD=2AD，∵BD=CD,∴CD=2AD
知识点：三角形的内角和的定理；含30度角的直角三角形
解析：
解答：证明：∵∠A=90°，∠ABC=2∠C，，∴∠ABC=60°，∠C=30°，∴BD=2AD，∵BD=CD,∴CD=2AD
分析：根据三角形的内角和的定理得∠ABC==60°，∠C==30°.再根据含30度角的直角三角形的性质得CD=2AD
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新人教版数学八年级上册第十三章
轴对称13.3.2等边三角形课时练习
一.选择题
1.下列四个说法中，不正确的有（ ）
(1)三条边都相等的三角形是等边三角形.
(2)有两个角等于60°的三角形是等边三角形.
(3)有一个是60°的等腰三角形是等边三角形.
(4)等腰三角形是等边三角形.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
答案：B
知识点：等边三角形的性质；等边三角形的判定
解析：
解答：(1)，(2)，(3)，正确；(4)等腰三角形是等边三角形不正确，故B项正确.
分析：结合根据等边三角形的定义和判定来完成此题.
2.等边三角形的周长等于15，则边长是（ ）.
A. 4 B.5 C.6 D.3
答案：B
知识点：等边三角形的性质
解析：
解答：已知等边三角形的周长是15，根据等边三角形三边相等可得出边长是5，故B项正确.
分析：结合根据等边三角形的定义来完成此题.
3.等边三角形的对称轴有（）条.
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：C
知识点：等边三角形的性质
解析：
解答：等边三角形对称轴为三条高（中线，角平分线）线所在的直线，故C项正确.
分析：结合根据等边三角形的性质三线合一.可作三条对称轴.
4．如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD是（）
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：C
知识点：含30°角的直角三角形;等腰三角形的判定；角平分线的定义
解析：
解答：因为△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，所以∠BAC=30°;因为BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC=30°，所以AD=BD,因为AD=6,所以CD=3,故C项正确.
分析：结合根据角平分线的定义得∠ABD=∠DBC=30°,由含30°角的直角三角形可得CD是BD的一半即可得CD的长度，
正三角形的边长为4，AD是BC边上的高，则BD是( )．
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：B
知识点：含30°角的直角三角形；等边三角形的性质
解析：
解答：因为△ABC中，∠CDA=90°，∠ABC=60°，所以∠BAD=30°;因为AB=4，所以BD=2，,故B项正确.
分析：由含30°角的直角三角形的性质可得BD是CD的一半即可得BD的长度，
6.三角形的三个角的度数之比为1:2:3，它的最大边长等于16，则最小边为（）.
A.1 B.2 C.8 D.4
答案：C
知识点：三角形的内角和定理；含30°角的直角三角形
解析：
解答：因为三角形中，三个角的度数之比为1:2:3，则可得：三角的度数为：30°,60°,90°;因为最大边长等于16，所以最小边的长8 .故 C项正确.
分析：根据三个角的度数之比为1:2:3，利用三角形的内角和定理得三个角得：30°，60°，90，由含30°角的直角三角形的性质可得最短边是最长边的一半即可得，
7.如图∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，若PC=10，则CO等于 .
A.10 B.8 C.9 D.7
答案：A
知识点：平行线的性质；等腰三角形的判定
解析：
解答：因为PC∥OA，所以∠POD=∠CPO,因为∠AOP=∠BOP=15°，所以∠CPO=∠BOP，因为PC=10，所以CO=10.故A项正确.
分析：根据平行线的性质由PC∥OA，得∠POD=∠CPO,再由等腰三角形的判定得PC=CO=10
8.等腰三角形的顶角为120°，腰长为6，则它底边上的高等于（）
A. 3 B .8 C.9 D.7
答案：A
知识点：含30°角的直角三角形；等腰三角形的性质；三角形内角和的定理
解析：
解答：因为等腰三角形的顶角为120°，所以等腰三角形的底角为30°，腰长为6，则它底边上的高等于腰长的一半为3，故A项正确.
分析：根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质；结合已知等腰三角形的顶角为120°，得等腰三角形的底角为30°；再由含30°角的直角三角形的性质及腰长可得它底边上的高等于3
9.在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB于D,则∠BCD=（）
A. 30° B. 40° C.60° D. 70°
答案：A
知识点：含30°角的直角三角形；三角形内角和的定理
解析：
解答：因为∠ACB=90°,∠A=30°，所以∠ABC=60°，因为CD⊥AB，所以DBC是直角三角形，则∠BCD=30°，故A项正确.
分析：根据三角形的内角和定理，结合已知∠ACB=90°,∠A=30°，得∠ABC=60°；由CD⊥AB，可得∠BCD=30°，
10.在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=12,则BC的长为（）.
A. 3 B. 4 C.6 D. 7
答案：C
知识点：含30°角的直角三角形
解析：
解答：因为∠ACB=90°,∠A=30,AB=12，所以BC的长为6,，故C项正确.
分析：根据含30°角的直角三角形的性质,结合已知∠ACB=90°,∠A=30°，AB=12，可得BC的长是AB的一半为6.
11.在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB于D,AB=4cm,则BD的长为（）.
A. 3 B. 4 C.1 D. 7
答案：C
知识点：含30°角的直角三角形
解析：
解答：因为∠ACB=90°,∠A=30°，,AB=4，所以BC的长为2,，∠ABC=60°；因为CD⊥AB，所以∠BCD=30，°则BD的长为1.
分析：根据含30°角的直角三角形的性质,结合已知∠ACB=90°,∠A=30°，得∠ABC=60°,BC=2,；再由含30°角的直角三角形可得BD是BC的一半为1.
12.在△DBC中,∠DCB=30°,CD⊥AB于D,AB=9,BC=4,则AD的长为（）.
A. 3 B. 4 C.5 D. 7
答案：D
知识点：含30°角的直角三角形
解析：
解答：因为∠DCB=30°,CD⊥AB，BC=4,所以BD=2,因为AB=9,所以AD=AB-BD=7，故C项正确.
分析：根据含30°角的直角三角形的性质,结合已知BC=4,得BD=2,由AB=9,得AD为7.
13.如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D．若AC=6cm，则AD=( )cm．
A. 3 B. 4 C.5 D. 2
答案：D
知识点：线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形
解析：
解答：连接BD，∵AB=BC，∠ABC=120°，∴∠A=∠C=（180°-∠ABC）=30°,∴DC=2BD，∵AB的垂直平分线交AC于点D,∴AD=BD,∴DC=2AD，∵AC=6，∴AD等于AC的三分之一为2.故选择D项．
分析：连接BD，根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质求出DC=2BD，根据线段垂直平分线的性质求出AD=BD，即可求出答案
14.等边三角形的周长等于24，则边长是 .
A. 4 B.8 C.6 D.3
答案：B
知识点：等边三角形的性质
解析：
解答：已知等边三角形的周长是24，根据等边三角形三边相等可得出边长是8，故B项正确.
分析：结合根据等边三角形三边相等可完成此题.
15.已知：如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，，并且PB＝PQ＝QC＝AP＝AQ.则∠BAQ=（ ）
A. 90° B. 40° C.60° D. 70°
答案：A
知识点：等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
解析：
解答：因为PQ=AP=AQ.所以∠AQB=∠APQ=∠PAQ=60°，因为BP=AP所以∠BAP=∠ABC=30°，则∠BAQ=∠BAP+∠PAQ==90°，故A项正确.
分析：根据等边三角形的性质可得∠APQ=60°，三角形外角的性质和等腰三角形的性质，可得∠BAP=30°,则∠BAQ=∠BAP+∠PAQ=90°，
二..填空题.
1.如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=8，则CD= ．
答案：4
知识点：含30°角的直角三角形；等腰三角形的判定；角平分线的定义
解析：
解答：因为△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，所以∠BAC=30°;因为BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC=30°，所以AD=BD,因为AD=8,所以CD=4.
分析：根据角平分线的定义得∠ABD=∠DBC=30°,由含30°角的直角三角形可得CD是BD的一半即可得CD的长度，
2、如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D．若AC=15cm，则AD= cm．
答案：5
知识点：线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形
解析：
解答：连接BD，∵AB=BC，∠ABC=120°，∴∠A=∠C=（180°-∠ABC）=30°,∴DC=2BD,∵AB的垂直平分线交AC于点D,∴AD=BD,∴DC=2AD，∵AC=15，∴AD等于AC的三分之一为5.
分析：连接BD，根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质求出DC=2BD，根据线段垂直平分线的性质求出AD=BD，即可求出答案
3、如图∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=6，则PD等于 .
答案：3
知识点：含30度角的直角三角形；等腰三角形的判定与性质
解析：
解答：解：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP=∠CPO，∴∠PCE=∠BOP+∠CPO=∠BOP+∠AOP=∠AOB=30°,
又∵PC=6，∴PE等于PC的一半为3，∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，∴PD=PE=3．
分析：过点P作PE⊥OB于E，根据两直线平行，内错角相等可得∠AOP=∠CPO，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得∠PCE=∠AOB=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半.
△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，AB＝10，则BC＝_______.
答案：5
知识点：含30°角的直角三角形；三角形内角和的定理
解析：
解答：因为△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，所以∠A=30°,∠B=60°，∠C=90°;因为AB＝10，则BC是AB的一半为5..
分析：根据三角形内角和的定理得∠A，∠B，∠C的度数；由含30°角的直角三角形的性质可得BC是AB的一半即可得BC的长度，
5.点D为等边△ABC的边BC的中点，则AB：BD＝_______.
答案：2:1
知识点：含30°角的直角三角形；等边三角形的性质
解析：
解答：因为点D为等边△ABC的边BC的中点，所以∠BAD=30°，则AB：BD＝2:1
分析：根据等边三角形的性质得∠BAD=30°；由含30°角的直角三角形的性质可得BD是AB的一半即AB：BD＝2:1.
三.解答题.
1.如图，△ABC中AB＝AC，∠C＝30°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N，试探究BM与CM之间的数量关系.
三
答案：解：连接AM，∵AB=BC，∠C=30°, ∴∠B=30°,∵AB的垂直平分线是MN,∴∠MAC＝90°,CM=2AM，∴AB=2BM,∴CM=2BM，
知识点：线段垂直平分线的性质；三角形外角的性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形
解析：
解答：解：连接AM，∵AB=BC，∠C=30°, ∴∠B=30°,∵AB的垂直平分线是MN,∴∠MAC＝90°,CM=2AM，∴AB=2BM,∴CM=2BM.
分析：连接AM，∵AB=BC，∠C=30°∴∠B=30°, ∵AB的垂直平分线是MN,,∴∠MAC＝90°,CM=2AM, ∴AB=2BM,,∴CM=2BM.
2.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的
高．求CD的长.
答案：解：∵∠ABC=∠ACB=15°,∴∠DAC=30°∵CD是腰AB上的高,AB=AC=2a,
∴AC=2CD∴DC=a，
知识点：三角形的外角的性质；含30度角的直角三角形
解析：
解答：解：∵∠ABC=∠ACB=15°,∴∠DAC=30°∵CD是腰AB上的高,AB=AC=2a,
∴AC=2CD∴DC=a，
分析：根据三角形的外角的性质得∠DAC=30°，根据等腰三角形的性质∴∠DAC=30°再根据含30度角的直角三角形的性质可得DC=a，
3.如图∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=8，则PD为多少？
答案：解：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP=∠CPO，∴∠PCE=∠BOP+∠CPO=∠BOP+∠AOP=∠AOB=30°,
又∵PC=8，∴PE等于PC的一半为4，∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，∴PD=PE=4
知识点：含30度角的直角三角形；等腰三角形的判定与性质
解析：
解答：解：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP=∠CPO，∴∠PCE=∠BOP+∠CPO=∠BOP+∠AOP=∠AOB=30°,
又∵PC=8，∴PE等于PC的一半为4，∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，∴PD=PE=4．
分析：过点P作PE⊥OB于E，根据两直线平行，内错角相等可得∠AOP=∠CPO，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得∠PCE=∠AOB=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半.
4.正三角形的边长为20，AD是BC边上的高，则BD是多少？
答案：解∵△ABC中，∠CDA=90°，∠ABC=60°，∴∠BAD=30°∵AB=20，∴BD=10.
知识点：含30°角的直角三角形；等边三角形的性质
解析：
解答：解：∵△ABC中，∠CDA=90°，∠ABC=60°，∴∠BAD=30°∵AB=20，∴BD=10.
分析：由含30°角的直角三角形的性质可得BD是CD的一半即可得BD的长度，
四．证明题
1.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD=CD．求证：CD=2AD．
答案：证明：∵∠A=90°，∠ABC=2∠C，，∴∠ABC=60°，∠C=30°，∴BD=2AD，∵BD=CD,∴CD=2AD
知识点：三角形的内角和的定理；含30度角的直角三角形
解析：
解答：证明：∵∠A=90°，∠ABC=2∠C，，∴∠ABC=60°，∠C=30°，∴BD=2AD，∵BD=CD,∴CD=2AD
分析：根据三角形的内角和的定理得∠ABC==60°，∠C==30°.再根据含30度角的直角三角形的性质得CD=2AD
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