新人教版数学八年级上册第十三章轴对称13.4《课题学习 最短路径问题》课时练习.doc

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新人教版数学八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课时练习
一、选择题（共15小题）
1．如图，在直角坐标系中有线段AB，AB＝50cm，A、B到x轴的距离分别为10cm和40cm，B点到y轴的距离为30cm，现在在x轴、y轴上分别有动点P、Q，当四边形PABQ的周长最短时，则这个值为（　　）
A．50 B．50 C．50－50 D．50＋50
答案：D
知识点：坐标与图形性质；勾股定理；轴对称-最短路线问题
解析：
解答：过B点作BM⊥y轴交y轴于E点，截取EM＝BE，过A点作AN⊥x轴交x轴于F点，截取NF＝AF，连接MN交x，y轴分别为P，Q点，
过M点作MK⊥x轴，过N点作NK⊥y轴，两线交于K点．
MK＝40＋10＝50，
作BL⊥x轴交KN于L点，过A点作AS⊥BP交BP于S点．
∵LN＝AS＝＝40．
∴KN＝60＋40＝100．
∴MN＝＝50．
∵MN＝MQ＋QP＋PN＝BQ＋QP＋AP＝50．
∴四边形PABQ的周长＝50＋50．
故选D．
分析：过B点作BM⊥y轴交y轴于E点，截取EM＝BE，过A点作AN⊥x轴交x轴于F点，截取NF＝AF，连接MN交X，Y轴分别为P，Q点，此时四边形PABQ的周长最短，根据题目所给的条件可求出周长．
2．如图，在平面直角坐标系中，点A（－2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（　　）
A．（－2，0） B．（4，0） C．（2，0） D．（0，0）
答案： C
知识点：点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；轴对称-最短路线问题
解析：
解答：作A关于x轴的对称点C，连接AC交x轴于D，连接BC交交x轴于P，连接AP，
则此时AP＋PB最小，
即此时点P到点A和点B的距离之和最小，
∵A（－2，4），
∴C（－2，－4），
设直线CB的解析式是y＝kx＋b，
把C、B的坐标代入得：，
解得：k＝1，b＝－2，
∴y＝x－2，
把y＝0代入得：0＝x－2，
x＝2，
即P的坐标是（2，0），
故选C．
分析：作A关于x轴的对称点C，连接AC交x轴于D，连接BC交交x轴于P，连接AP，此时点P到点A和点B的距离之和最小，求出C（的坐标，设直线CB的解析式是y＝kx＋b，把C、B的坐标代入求出解析式是y＝x－2，把y＝0代入求出x即可．
3．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（　　）．
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
答案：C
知识点：等边三角形的性质； 轴对称-最短路线问题
解析：
解答：
过E作EM∥BC，交AD于N，
∵AC＝4，AE＝2，
∴EC＝2＝AE，
∴AM＝BM＝2，
∴AM＝AE，
∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∵EM∥BC，
∴AD⊥EM，
∵AM＝AE，
∴E和M关于AD对称，
连接CM交AD于F，连接EF，
则此时EF＋CF的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC，
∵AM＝BM，
∴∠ECF＝∠ACB＝30°，
故选C．
分析：过E作EM∥BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD对称，根据等边三角形性质求出∠ACM，即可求出答案．
4．如图，∠AOB＝30°，内有一点P且OP＝，若M、N为边OA、OB上两动点，那么△PMN的周长最小为（　　）．
A． B． 6 C． D．
答案：D
知识点：等边三角形的判定与性质；轴对称-最短路线问题
解析：
解答：作P关于OA的对称点D，作P关于OB的对称点E，连接DE交OA于M，交OB于N，连接PM，PN，则此时△PMN的周长最小，
连接OD，OE，
∵P、D关于OA对称，
∴OD＝OP，PM＝DM，
同理OE＝OP，PN＝EN，
∴OD＝OE＝OP＝
∵P、D关于OA对称，
∴OA⊥PD，
∵OD＝OP，
∴∠DOA＝∠POA，
同理∠POB＝∠EOB，
∴∠DOE＝2∠AOB2×30°═60°，
∵OD＝OE＝，
∴△DOE是等边三角形，
∴DE＝，
即△PMN的周长是PM＋MN＋PN＝DM＋MN＋EN＝DE＝，
故选D．
分析：根据题意画出符合条件的图形，求出OD＝OE＝OP，∠DOE＝60°，得出等边三角形DOE，求出DE＝，求出△PMN的周长＝DE，即可求出答案．
5．已知两点M（3，5），N（1，－1），点P是x轴上一动点，若使PM＋PN最短，则点P的坐标应为（　　）．
A． （，－4） B． （，0） C． （，0） D． （，0）
答案：C
知识点：坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题；待定系数法求一次函数解析式
解析：
解答：∵PM＋PN最短，
∴M、P、N三点共线，
∵M（3，5），N（1，－1），
∴设解析式为y＝kx＋b，
把M（3，5），N（1，－1）分别代入解析式得，
，
解得，
其解析式为y＝3x－4．
当y＝0时，x＝．
故P点坐标为（，0）．
故选C．
分析：若PM＋PN最短，则M、P、N三点共线，根据M、N的坐标，求出MN的解析式，再求出与x轴的交点即可．
6．已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝2，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于2，则α＝（　　）．
A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°
答案：A
知识点：等边三角形的判定与性质； 轴对称-最短路线问题
解析：
解答：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小．
连接OC，OD，PE，PF．
∵点P与点C关于OA对称，
∴OA垂直平分PC，
∴∠COA＝∠AOP，PE＝CE，OC＝OP，
同理，可得∠DOB＝∠BOP，PF＝DF，OD＝OP．
∴∠COA＋∠DOB＝∠AOP＋∠BOP＝∠AOB＝α，OC＝OD＝OP＝2，
∴∠COD＝2α．
又∵△PEF的周长＝PE＋EF＋FP＝CE＋EF＋FD＝CD＝2，
∴OC＝OD＝CD＝2，
∴△COD是等边三角形，
∴2α＝60°，
∴α＝30°．
故选A．
分析：设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长为PE＋EF＋FP＝CD，此时周长最小，根据CD＝2可求出α的度数．
7．直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　　）．
A． B．
C． D．
答案：D
知识点：轴对称-最短路线问题
解析：
解答：作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．
故选D．
分析： 利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
8．已知两点A（3，2）和B（1，－2），点P在y轴上且使AP＋BP最短，则点P的坐标是（　　）．
A． （0，） B． （0，） C． （0，－1） D． （0，）
答案：C
知识点：点的坐标； 轴对称-最短路线问题；待定系数法求一次函数解析式
解析：
解答：根据已知条件，点A关于y轴的对称点A′为（－3，2）．
设过A′B的解析式为y＝kx＋b，则－3k＋b＝2；k＋b＝－2．
解得k＝－1，b＝－1
那么此函数解析式为y＝－x－1．与y轴的交点是（0，－1），此点就是所求的点P．
故选C．
分析：根据已知条件和两点间线段最短，可知P点是“其中一点关于y轴的对称点与另一点的连线和y轴的交点．
9．在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（ 2，0 ），（4，0），点C的坐标为（m， m）（m为非负数），则CA＋CB的最小值是（ ）．
A． 6 B． C． D． 5
答案：C
知识点： 轴对称-最短路线问题；待定系数法求一次函数解析式；两条直线相交或平行问题
解析：
解答：如图所示：
∵点C的坐标为（m， m）（m为非负数），
∴点C的坐标所在直线为y＝x，
点A关于直线y＝x的对称点的坐标为A′，则AA′所在直线为y＝x＋b，
把点A的坐标（ 2，0 ）代入得×2＋b＝0，
解得b＝．
故AA′所在直线为y＝x＋．
联立C的坐标所在直线和AA′所在直线可得，
解得，
∴C的坐标所在直线和AA′所在直线的交点M的坐标为（，），
∴点A关于直线y＝x的对称点的坐标为（－1，），
∴A′B＝＝＝2，即CA＋CB的最小值．
故选C．
分析：分别得到点C的坐标所在直线，点A关于点C的坐标所在直线的对称点的坐标A′所在直线AA′的解析式，求得两条直线的交点，进一步得到A′点的坐标，再根据两点间的距离公式即可求解．
10．如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（ ）．
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
答案：B
知识点：三角形的角平分线、中线和高； 轴对称-最短路线问题；全等三角形的判定与性质
解析：
解答：如图，在AC上截取AE＝AN，连接BE．
∵∠BAC的平分线交BC于点D，
∴∠EAM＝∠NAM，
在△AME与△AMN中，，
∴△AME≌△AMN（SAS），
∴ME＝MN．
∴BM＋MN＝BM＋ME≥BE．
∵BM＋MN有最小值．
当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，
又AB＝4，∠BAC＝45°，此时，△ABE为等腰直角三角形，
∴BE＝4，
即BE取最小值为4，
∴BM＋MN的最小值是4．
故答案为：B．
分析：从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值．
11．如图，锐角三角形ABC中，∠C＝45°，N为BC上一点，NC＝5，BN＝2，M为边AC上的一个动点，则BM＋MN的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
答案：C
知识点：三角形相关概念；勾股定理； 轴对称-最短路线问题
解析：
解答：如图所示，
先作点N关于AC的对称点N′，由两点之间线段最短可知BN′即为BM＋MN的最小值，
根据对称的性质可知N′C＝NC＝5，∠ACB＝∠ACN′＝45°，即∠BCN′＝90°，
在Rt△BCN′中，BN′＝＝＝．
故答案为：C．
分析：先作点N关于AC的对称点N′，由两点之间线段最短可知BN′即为BM＋MN的最小值，根据对称的性质可知N′C＝NC＝5，∠BCN′＝90°，再利用勾股定理即可求出BN′的长．
12．加油站A和商店B在马路MN的同一侧（如图），A到MN的距离大于B到MN的距离，AB＝7米，一个行人P在马路MN上行走，问：当P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于（ ）米．
A． 8 B． 9 C． 6 D． 7
答案：D
知识点：轴对称-最短路线问题；三角形的三边关系
解析：
解答：当A、B、P三点不在同一直线上时，
此时三点构成三角形．
∵两边AP与BP的差小于第三边AB．
∴A、B、P在同一直线上，
∴P到A的距离与P到B的距离之差最大，
∴这个差就是AB的长，
故答案为：D．
分析：当ABP构成三角形时，AP与BP的差小于第三边AB，所以当ABP在同一直线上时，PA与PB之差最大＝AB＝7．
13．如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD是BC边上的中线，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF＋EF的最小值为（ ）．
A． B． 10 C． 12 D． 13
答案：A
知识点：轴对称-最短路线问题；等腰三角形的性质；勾股定理
解析：
解答：
作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N，
∵AB＝AC＝13，BC＝10，AD是BC边上的中线，
∴BD＝DC＝5，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴M在AB上，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD＝＝12，
∴S△ABC＝×BC×AD＝×AB×CN，
∴CN＝＝＝，
∵E关于AD的对称点M，
∴EF＝FM，
∴CF＋EF＝CF＋FM＝CM，
根据垂线段最短得出：CM≥CN，
即CF＋EF≥，
即CF＋EF的最小值是，
故答案为：A．
分析：作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N，根据三线合一定理求出BD的长和AD⊥BC，根据勾股定理求出AD，根据三角形面积公式求出CN，根据对称性质求出CF＋EF＝CM，根据垂线段最短得出CF＋EF≥，即可得出答案．
14．如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点D，E分别是AB，AC的中点，在CD上找一点P，使PA＋PE最小，则这个最小值是（ ）．
A． B． 4 C． D． 5
答案：C
知识点：轴对称-最短路线问题；等腰三角形的性质
解析：
解答：如图，连接BE，
则BE就是PA＋PE的最小值，
∵Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点D，E分别是AB，AC的中点，
∴CE＝2cm，
∴BE＝＝，
∴PA＋PE的最小值是．
故答案为：C．
分析：要求PA＋PE的最小值，PA，PE不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PA，PE的值，从而找出其最小值求解．
15．已知，如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A，B两处距河岸的距离AC，BD的长分别为700米，500米，且CD的距离为500米，天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童最少要走（ ）米．
A． 1100 B． 1200 C． 1300 D． 1400
答案：C
知识点：轴对称-最短路线问题；勾股定理
解析：
解答：点B关于CD的对称点E，
由对称的性质可知，BD＝ED，∠EDM＝∠MDB，DM＝DM，
∴△MDE≌△MDB，
∴BM＝ME，BM＋AM＝ME＋AM＝AE，
即AE为牧童要走的最短路程．
∵EN＝CD＝500米，AN＝NC＋AC＝700＋500＝1200米，
∴在Rt△ANE中，AE＝＝＝1300米．
故牧童至少要走1300米．
分析：在CD边上找一点M，使AM和BM的和最小，延长BD到E点，使BD＝DE，连接AE交CD边于点M，过点E作EN⊥AC于点N，则AE为所求的长即牧童最少要走的距离．
二、填空题（共5小题）
1．如图，已知AB⊥AD，CD⊥AD，垂足分别为A、D，AD＝6，AB＝5，CD＝3，P是线段AD上的一个动点，设AP＝x，DP＝y，，则a的最小值是______．
答案：10
知识点：相似三角形的判定与性质；轴对称-最短路线问题
解析：
解答：由题意可得，当BPC三点在同一直线时，a的值最小．
则△ABP∽△DCP，
x＝，y＝，
则a的最小值是10．
分析：首先确定当BPC三点在同一直线时，a的值最小．然后根据相似三角形的性质计算．
2．已知如图所示，∠MON＝40°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，则当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为_____．
答案：100°
知识点：多边形内角与外角；三角形相关概念；轴对称-最短路线问题
解析：
解答：如图，作出P点关于OM、ON的对称点P1，P2连接P1，P2交OM，ON于A、B两点，此时△PAB的周长最小，由题意可知∠P1PP2＝180°－∠MON＝180°－40°＝140°，
∴∠P1PA＋∠P2PB＝∠P1＋∠P2＝180°－∠P1PP2＝40°，
∴∠APB＝140°－40°＝100°．
故答案为：100°．
分析：作出P点关于OM、ON的对称点P1，P2连接P1，P2交OM，ON于A、B两点，此时△PAB的周长最小，再由四边形内和定理即可求出答案．
3．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值是_____．
答案：
知识点：等边三角形的性质；勾股定理；轴对称-最短路线问题
解析：
解答：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于E，连接CE，
此时DE＋CE＝DE＋EC′＝DC′的值最小．
连接BC′，由对称性可知∠C′BE＝∠CBE＝45°，
∴∠CBC′＝90°，
∴BC′⊥BC，∠BCC′＝∠BC′C＝45°，
∴BC＝BC′＝2，
∵D是BC边的中点，
∴BD＝1，
根据勾股定理可得DC′＝＝．
故答案为：．
分析：首先确定DC′＝DE＋EC′＝DE＋CE的值最小．然后根据勾股定理计算．
4．已知：如图所示，M（3，2），N（1，－1）．点P在y轴上使PM＋PN最短，则P点坐标为_________．

答案：（0，－）
知识点：点的坐标；一次函数的应用；轴对称-最短路线问题
解析：
解答：根据题意画出图形，找出点N关于y轴的对称点N′，连接MN′，与y轴交点为所求的点P，
∵N（1，－1），
∴N′（－1，－1），
设直线MN′的解析式为y＝kx＋b，把M（3，2），N′（－1，－1）代入得：
，
解得，
所以y＝x－，
令x＝0，求得y＝－，
则点P坐标为（0，－）．
分析：找出点N关于y轴的对称点，连接M与对称点，与y轴的交点为P点，根据两点之间，线段最短得到此时点P在y轴上，且能使PM＋PN最短．根据关于y轴对称点的特点，找出N对称点的坐标，设出直线MP的方程，把N的对称点的坐标和M的坐标代入即可确定出直线MP的方程，然后令x＝0求出直线与y轴的交点，写出交点坐标即为点P的坐标．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4，E是AB边的中点，F是AC边的中点，则（1）EF＝____；（2）若D是BC边上一动点，则△EFD的周长最小值是____．
答案：2；2＋2
知识点：勾股定理；轴对称-最短路线问题；三角形中位线定理
解析：
解答：（1）∵E是AB边的中点，F是AC边的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∵BC＝4，
∴EF＝BC＝×4＝2；
（2）延长FC到P，使FC＝PC，连接EP交BC于D，连接ED、FD，此时ED＋FD最小，即△EDF的周长最小，
∵EF为△ABC的中位线，
∴EF∥BC，
∵∠C＝90°，
∴∠EFC＝90°，FC＝PC＝AC＝2，
∵在Rt△EFP中，EP＝＝＝2，
∴△EDF的周长为：EF＋FD＋ED＝2＋ED＋PD＝2＋EP＝2＋2，
故答案为：2；2＋2．
分析：（1）根据E是AB边的中点，F是AC边的中点可以得到EF为三角形的中位线，根据中位线定理求得EF的长即可；
（2）根据对称点的性质，延长FC到P，使FC＝PC，连接EP交BC于D，连接ED、FD，此时ED＋FD最小，即△EDF的周长最小，求出EP长，即可求出答案．
三、解答题（共6小题）
1．已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，∠MOP＝∠NOQ．
（1）画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；
（2）直接写出AM＋AN与BM＋BN的大小关系．
答案：（1）见解析；（2）AM＋AN＝BM＋BN
知识点：轴对称-最短路线问题；作图-轴对称变换
解析：
解答：（1）如图所示．
画法：
①作点M关于射线OP的对称点M'，
②连接M'N交OP于点A．
③作点N关于射线OQ的对称点N'，
④连接N'M交OQ于点B．
（2）答：AM＋AN与BM＋BN的大小关系是：AM＋AN＝BM＋BN．
分析：（1）分别作出点M关于射线OP的对称点M'，点N关于射线OQ的对称点N'，连接M'N、N'M即可求出答案；
（2）根据轴对称性质求出即可．
2．某大型农场拟在公路L旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地A、B的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置C，使A、B两地到加工厂C的运输路程之和最短．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
答案：见解析
知识点：轴对称-最短路线问题；作图-轴对称变换
解析：
解答：如图
分析：作A关于直线L的对称点E，连接BE交直线L于C，则C为所求．
3．如图，△ABC的边AB、AC上分别有定点M、N，请在BC边上找一点P，使得△PMN的周长最短． （写出作法，保留作图痕迹）
答案：见解析
知识点：轴对称-最短路线问题；作图-轴对称变换
解析：
解答：①作点N关于BC的对称点N′，连接MN′交BC于点P，
②由对称的性质可知PN＝PN′，故PN＋PM＝MN′，
③由两点之间线段最短可知，△PMN的最短周长即为MN′＋MN．
分析：作点N关于BC的对称点N′，连接MN′交BC于点P，由两点之间线段最短可知P点即为所求点．
4．在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明）
答案：见解析
知识点：轴对称-最短路线问题；作图-轴对称变换
解析：
解答：沿AC－CD－DB路线走是最短的路线如图（1）所示：
证明：在ON上任意取一点T，在OM上任意取一点R，连接FR、BR、RT、ET、AT，
∵A、E关于ON对称，
∴AC＝EC，
同理BD＝FD，FR＝BR，AT＝ET，
∴AC＋CD＋DB＝EC＋CD＋FD＝EF，
AT＋TR＋BR＝ET＋TR＋FR，
∵ET＋TR＋FR＞EF，
∴AC＋CD＋DB＜AT＋TR＋BR，
即沿AC－CD－DB路线走是最短的路线．
分析：作A关于ON的对称点E，B关于OM的对称点F，连接EF交ON于C，交OM于D，连接AC、BD，即可得出答案；
根据对称点推出AC＝EC，BD＝FD，FR＝BR，AT＝ET，根据两点之间线段最短即可求出答案．
5．已知：如图所示，
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标．
（2）在x轴上画出点P，使PA＋PC最小．
答案：见解析
知识点：轴对称-最短路线问题；关于x轴、y轴对称的点的坐标；作图-轴对称变换
解析：
解答：（1）
分别作A、B、C的对称点，A′、B′、C′，由三点的位置可知：
A′（－1，2），B′（－3，1），C′（－4，3）
（2）先找出C点关于x轴对称的点C″（4，－3），连接C″A交x轴于点P，
（或找出A点关于x轴对称的点A″（1，－2），连接A″C交x轴于点P）则P点即为所求点．
分析：（1）根据轴对称的性质分别作出A、B、C三点关于y轴的对称点A′、B′、C′，分别连接各点即可；
（2）先找出C先找出C点关于x轴对称的点C″（4，－3），连接C″A交x轴于点P，则点p即为所求点．
6．作图题：（写出作法，保留作图痕迹）
M、N为△ABC为AB、AC上的两个定点，请你在BC边上找一点P，使PMN周长最小？
答案：见解析
知识点：轴对称-最短路线问题；作图-轴对称变换
解析：
解答：作法：（1）作M关于BC的对称点M’
（2）连接M’N交BC于P点
（3）连线MP，则△PMN周长最小 P为所求作的点．
分析：由于△PMN的周长＝PM＋PN＋MN，而MN是定值，故只需在BC上找一点P，使PM＋PN最小．如果设M关于BC的对称点为M，使PM，＋PN最小．
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