2023-2024学年吉林省长春外国语学校九年级（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年吉林省长春外国语学校九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下面的式子是分式的是( )
A. B. C. D.
2.今年哈尔滨旅游火出圈了，截止元旦假日第天，哈尔滨市累计接待游客人次，其中这个数字用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
4.如图是由五个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，游乐场有一个长的跷跷板，的支撑柱垂直地面于点，为的中点，当一端着地时，，则支撑柱的长可表示为( )
A. B. C. D.
6.如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、，如果：：，，那么等于( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连结若，，则的周长为( )
A. B. C. D.
8.双曲线和如图所示，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.分解因式： ．
10.关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是______．
11.一桶方便面为元，一瓶矿泉水比一桶方便面便宜元，小明准备买桶方便面和瓶矿泉水，小明一共花的钱数为______元
12.如图，与正六边形的边、分别交于点、，则所对的圆周角的大小为 度．
13.如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡比是，堤坝高米，则迎水坡面的长度为______米
14.如图，一个横截面为抛物线形的隧道部宽米、高米．车辆双向通行，若规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘米的范围内行使，并保持车辆顶部与隧道有不少于米的空隙，则通过隧道车辆的高度限制应为______米．
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
先化简，再求值：，其中．
16.本小题分
从一副扑克牌中选取红桃、方块、梅花三张扑克牌，正面朝下洗均后放在桌面上，小红先从中随机抽取一张，放回洗匀；小明再从中随机抽取一张，用画树状图或列表的方法，求小红和小明抽取的扑克牌的牌面都是的概率．
17.本小题分
年春节联欢晚会的吉祥物“龙辰辰”具有龙年吉祥，幸福安康的寓意，深受大家喜欢某商场第一次用元购进一批“龙辰辰”玩具，很快售完；该商场第二次购进该“龙辰辰”玩具时，进价提高了，同样用元购进的数量比第一次少件，求第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是多少钱？
18.本小题分
将两个完全相同的含有的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放，点、、、依次在同一条直线上，连接、．
判断四边形的形状，并给出证明．
已知，当四边形是菱形时，的长为______．
19.本小题分
某校举办了“弘扬中华传统文化，做新时代的中学生”的知识竞赛以下是从七年、八年两个年级随机抽取名同学的测试成绩进行调查分析，成绩如下：
七年级：
八年级：
根据上面的数据，进行理、分析，给出以下信息：
成绩
人数
年级
七年
八年
说明：成绩分及以上为优秀，分以下为不合格分析数据：
年级 平均数 中位数 众数
七年
八年
求 ______， ______， ______， ______；
七年级按照竞赛规则凡达到或超过这个标准的学生将获得奖励如果想让一半左右的学生能获奖，应根据______来确定奖励标准比较合适填“平均数”、“众数”或“中位数”；
若八年级有名学生，试估计八年级学生成绩优秀的人数．
20.本小题分
如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为，、、均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺画图，按要求保留作图痕迹．
在图中作出边上的高；
在图中作出边上的点，使得：：；
在图中作出边上的点，使得．
21.本小题分
甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度与挖掘时间之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息解答下列问题：
甲队在开挖后小时内，每小时挖______
当时，求与的之间的函数关系式．
直接写出开挖后几小时，甲、乙两队挖的河渠的长度相差．
22.本小题分
教材呈现：如图是华师大版数学九年级上册教材第页的部分内容，猜想：如图在中，点、分别是与的中点根据画出的图形，可以猜想：，且对此，我们可以用演绎推理给出证明定理证明：请根据教材内容，结合图，写出证明过程．
定理应用：如图，已知矩形中，，，点在上从向移动，
G、、分别是、、的中点，则 ______．
拓展提升：在平行四边形中，，点是的中点，过点作平分线的垂线，垂足为点，连结，若，则 ______．
23.本小题分
如图，在矩形中，，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，连接，当点与点重合时，点停止运动设点的运动时间为秒
当点和点重合时，线段的长为______；
当点和点重合时，求的比值是多少？
当点在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形，如图，请说明理由；
作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和矩形重叠部分图形为轴对称四边形时，请直接写出的取值范围．
24.本小题分
如图，一次函数与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、，并与轴交于另一点．
点的坐标是______，点的坐标是______；
求抛物线的解析式；
在直线下方的抛物线上有一个点，求这个四边形面积的最大值，并写出点坐标；
在轴上有一个动点，当线段绕点逆时针旋转后得到线段当线段与抛物线只有一个公共点时，请直接写出的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：上面的式子是分式的是，
故选：．
一般地，如果、表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，由此判断即可．
本题考查了分式的定义，熟知分式的定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，无法合并，故此选项不合题意；
B.，故此选项符合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别判断得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：从正面看易得底层有个正方形，上层中间有一个正方形．
故选：．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
5.【答案】
【解析】解：为的中点，，
，
在中，，
，
故选：．
根据线段中点的定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
．
故选：．
根据平行线分线段成比例定理得到，则，然后利用可计算出的长．
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
7.【答案】
【解析】解：根据作图过程可知：
是线段的垂直平分线，
，
的周长为：．
故选：．
根据作图过程可得是线段的垂直平分线，得，进而可得的周长．
本题考查了作图基本作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
8.【答案】
【解析】解：轴，轴，
，，
四边形的面积．
故选：．
根据反比函数比例系数的几何意义得到，，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形的面积．
本题考查了反比函数比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
9.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键，属于基础题．
首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】
解：
．
故答案为：．
10.【答案】且
【解析】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
且，
解得：且．
故答案为：且．
根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为．
此题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．以及方程的意义．
11.【答案】
【解析】解：
，
故答案为：．
根据单价乘数量等于总价，用含有的代数式表示即可．
本题考查了列代数式，解题的关键是利用合并同类项的方法来化简代数式．
12.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了圆周角定理与正六边形的性质．此题比较简单，注意掌握正六边形内角的求法与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用，注意数形结合思想的应用．
首先求得正六边形的内角的度数，然后由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案．
【解答】
解：六边形是正六边形，
，
即，
．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：堤坝横断面迎水坡的坡比是：，
，
，
，
，
故答案为：．
根据题意可得，把，代入即可算出的长，再利用勾股定理算出的长即可
此题主要考查了解直角三角形的应用坡度问题，关键是掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比．
14.【答案】
【解析】解：
建立如图所示的平面直角坐标系，根据题意得：
，，
设抛物线解析式为，把代入，得
，
所以抛物线的解析式为，
当时，，
．
所以通过隧道车辆的高度限制应为米．
故答案为．
首先建立适当的平面直角坐标系，根据图中数据求抛物线解析式再进行求解即可．
本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是建立适当的平面直角坐标系．
15.【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】先将分式的分子和分母分解因式，然后约分，再计算减法，然后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
16.【答案】解：树状图如图所示：
一共有种情形，有种情形
牌面都是．
【解析】画出树状图，利用概率公式计算即可．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】解：设第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是元钱，则第二次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是元钱，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是元钱．
【解析】设第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是元钱，则第二次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是元钱，根据该商场第二次同样用元购进的数量比第一次少件，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：四边形平行四边形，
理由：由题意得：≌，
，，
，
四边形平行四边形；
四边形是菱形，
，
，
，
，，
是的一个外角，
，
，
，
，
故答案为：．
利用全等三角形的性质可得，，从而可得，然后根据平行四边形的判定即可解答；
利用菱形的性质可得，从而可得，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质可得，，最后利用三角形的外角性质可得，从而可得，再利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了平行四边形的判定，含度角的直角三角形，菱形的性质，熟练掌握平行四边形的判定，以及菱形的性质是解题的关键．
19.【答案】 中位数
【解析】解：根据题意，得：七年级人数：的有人，即；的有人，即；
七年级知识竞赛的成绩的众数为，即，
八年级知识竞赛的成绩的中位数为：，即．
故答案为：，，，；
七年级按照竞赛规则凡达到或超过这个标准的学生将获得奖励．如果想让一半左右的学生能获奖，应根据中位数来确定奖励标准比较合适；
故答案为：中位数；
人，
答：估计八年级学生成绩优秀的人数大于为人．
根据题意中给出的数据，直接找出答案即可；
根据中位数的定义即可得到结论；
用总人数乘成绩优秀的人数所占的百分比即可得到结论．
本题主要考查中位数、众数、算术平均数用样本估计总体等，解决此类问题的关键是要细心处理相关数据．
20.【答案】解：如图，高即为所求．
如图，点即为所求．
如图，点即为所求．

【解析】取格点，连接，与交于点，则即为所求；
取格点，，连接，交于点，则∽，可得，即．
取格点，连接，此时，，借助格点与格点，在上找到点，使得：，即，再连接，交于点，可得．
本题考查作图应用与设计作图、三角形的高、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
21.【答案】
【解析】解：根据图象可知，甲队在开挖后小时内，每小时挖米，
故答案为：；
设乙队在的时段内与之间的函数关系式为，
由图可知，函数图象过点、，
，
解得，
当时，与的之间的函数关系式为；
当时，设与的函数解析式为，
可得，
解得，
即；
设甲队在的时段内与之间的函数关系式，
由图可知，函数图象过点，
，
解得，
；
当时，，
解得；
当时，，
解得或．
答：当两队所挖的河渠长度之差为时，的值为或或．
结合图象，用甲小时挖的长度时间，即可得出结论；
根据图中的信息利用待定系数法即可确定函数关系式；
先用待定系数法求出与的之间的函数关系式以及当时与的函数解析式，然后根据他们所挖河渠长度差为米，列出方程，解方程即可．
此题主要考查学生对函数图象掌握情况及利用待定系数法求一次函数关系式，理解题意是解题的关键．
22.【答案】 或
【解析】解：如图中，延长到，使，连接，
在和中，
，
≌，
，，
，
又，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，；
如图，连接，
点是的中点，
，
，
、分别是、的中点，
；
解：延长交平分线于点，延长交于点，如图，
平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
；
如图，
同理可得：，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
；
综上所述，或，
故答案为：或．
如图中，延长到，使，连接，利用全等三角形的性质证明四边形是平行四边形即可解决问题；
由三角形中位线定理可得；
分点在平行四边形内部和外部两种情况，延长交平分线于点，延长交于点，由平行四边形的性质和角平分线的性质易得，于是，根据等腰三角形三线合一可知，，于是由三角形中位线定理，进而求出，即可得到的值．
本题是四边形综合题，考查平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、等腰三角形的性质、勾股定理，灵活运用所学知识解决问题是解题关键．
23.【答案】
【解析】解：如图所示，连接，
四边形是矩形，
，
，
四边形是矩形，
当点和点重合时，
，，
在中，，
故答案为：；
解：如图所示，
，，
，，
，
∽，
，
，，
；
证明：如图所示，过点作于点，
，，
，，
，
四边形是矩形，
四边形是矩形，
，
又，
，
≌，
，
是等腰直角三角形；
解：如图所示，当点在上时，
，，
在中，，
则，
，
，，
在中，，
，
解得：，
当时，点在矩形内部，
时符合题意；
当点在上时，当，重合时符合题意，此时如图，
则，，
在中，，
，
解得；
当点在上，当，重合时，此时点与点重合，如图，
则是正方形，此时．
综上所述，或或．
证明四边形是矩形，进而在中，勾股定理即可求解；
证明∽，得出；
过点作于点，证明≌得出，即可得出结论；
分三种情况讨论，如图所示，当点在上时，当点在上时，当，重合时符合题意，此时如图，当点在上，当，重合时，此时与点重合，则是正方形，即可求解．
本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，勾股定理，求正切，轴对称的性质，分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键．
24.【答案】
【解析】解：直线与轴交于点，与轴交于点，
当时，．
当时，，，
点的坐标是，点的坐标是．
故答案为：，；
抛物线经过点，点，
，解得．
抛物线的解析式为；
作轴于点，交直线于点，
设点横坐标为，
，，
，
则，
抛物线上，时，．
解得，，
，
，
，．
．
．
当时，四边形面积最大值为．
四边形面积最大值为，点坐标为；
如图：
，
点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
当点在抛物线上时，，
解得．
当点在抛物线上时，，
解得或．
当或时，线段与抛物线只有一个公共点．
根据坐标轴上的点的坐标特点，即可求得点的坐标．
用待定系数法，列方程组，求抛物线的解析式．
把不规则四边形切割成几个三角形，利用三角形面积之和，求四边形面积．
根据旋转的特点，找出旋转前后点的坐标，得到点，恰好在抛物线上时的值，从而得到的取值范围．
本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值，旋转的性质，综合性较强，先求出抛物线的解析式，利用数形结合思想解题是关键．
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