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七年级数学下册 预习篇
6.1 平方根
一、平方根
1.平方根的概念：如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫作的平方根（或二次方根）。
2.平方根的表示方法：正数的平方根可记作，读作：正负根号，读作根号，是被开方数。
3.平方根的性质：若，那么，则也是的平方根，所以正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0；因为相同的两个数的乘积为正，所以任何数的平方都不是负数，所以负数没有平方根（即）。
二、算数平方根
1.算术平方根的概念：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就叫作的算术平方根。
2.算术平方根的表示方法：正数的算术平方根可记作，读作：根号。
3.算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。一个正数的正的平方根就是它的算术平方根。
三、开平方
1.求一个数（）的平方根的运算叫作开平方，其中叫作被开方数。开平方运算是已知指数和幂求底数。
2.因为平方与开平方互为逆运算，所以可以通过平方来寻找一个数的平方根。
3.正数、负数、0都可以进行平方运算，且平方的结果只有一个；但开平方只有正数和0可以，负数不能开平方。
选择题
1.的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了算术平方根的概念，一般地，如果一个正数的平方等于，那么这个正数叫做的算术平方根，根据算术平方根的定义即可解决问题．
【详解】解：，
的算术平方根是．
故选：A．
2.下列各等式中，正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和平方根，根据算术平方根和平方根的定义进行逐一判断即可．
【详解】解；A、，原式计算正确，符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选A．
3.一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是（ ）
A．1 B．2 C．9 D．4
【答案】C
【分析】此题主要考查了平方根的定义， 直接利用平方根的定义得出a的值，进而得出答案．
【详解】∵一个正数的两个平方根分别是与，
∴，
解得：，
故，
则这个正数是：．
故选：C．
4.已知，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【分析】本题考查非负性．根据绝对值和算术平方根的非负性，得到，求出的值，即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故选D．
5.下列说法正确的是（ ）
A．若，则a是负数
B．若一个数小于它的绝对值，则这个数是负数
C．某数的绝对值、算术平方根都是他本身，则这个数是0
D．绝对值是同一个数的数有两个，他们互为相反数
【答案】B
【分析】根据绝对值的意义，算术平方根的定义，逐一进行判断即可，掌握相关知识点，是解题的关键．
【详解】A、若，则a是负数或0，故A项错误；
B、 若一个数小于它的绝对值，则这个数是负数，故B项正确；
C、某数的绝对值、算术平方根都是他本身，则这个数是0或1，故C项错误；
D、绝对值是0的数只有一个，故D项错误．
故选：B．
6.下列各组数中，相等的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】B
【分析】本题主要考查了有理数的乘方，算术平方根，绝对值．根据有理数的乘方，算术平方根，绝对值的性质求解，逐项判断即可．
【详解】解：A、与，不相等，故本选项不符合题意；
B、，相等，故本选项符合题意；
C、，，不相等，故本选项不符合题意；
D、与，不相等，故本选项不符合题意；
故选：B．
7.已知：，，则（ ）
A．0.1536 B．15.36 C．0.04858 D．48.58
【答案】C
【分析】本题考查积的算术平方根的性质，理解“被开方数向一个方向移动位，对应的算术平方根的小数点向相同的方向移动位”是解题的关键．
【详解】解：，
故选C．
8.如图、每个小正方形的边长为1，可以得到每个小正方形的面积为1．若阴影部分是正方形、则它的边长是（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查算术平方根的定义，准确求出阴影部分的面积是解题的关键．根据割补法求出阴影部分的面积即可得到答案．
【详解】解：阴影部分，
它的边长是．
故选C．
填空题
1.如图，一块形如Z字形纸片，，，，现将纸片裁剪并拼成一个和它等面积的正方形，则正方形的边长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根得应用．解决本题的关键是利用割补的办法计算出不规则铁皮的面积．如图所示，延长交于点M，延长交于点N，先计算出不规则铁皮的面积，再计算面积相等的正方形的面积．
【详解】解：如图所示，延长交于点M，延长交于点N，
∵，
，，
∴“Z”字形的铁皮的面积
．
∴正方形的边长．
故答案为：．
2.一个正数的平方根是与，则m的值是 ，这个正数是 ．
【答案】
【分析】本题考查平方根的性质，根据一个正数的平方根有两个，互为相反数，得到，求出的值，进而求出这个数即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：，
∴；
故答案为：，．
3.若为实数，且满足，则的值是 ；
【答案】1
【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，据此求出，再代值计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
4.现有几种说法：
①倒数等于本身的数是0，1，
②的平方根是
③近似数1.80所表示的准确数a的范围是
④算术平方根是他本身的数是0，1
⑤
其中正确的说法有 ．（请填写序号）
【答案】③④/④③
【分析】本题考查的是倒数的定义、求一个数的算术平方根、平方根和根据近似数求准确数的取值范围，掌握倒数的定义、算术平方根的定义、平方根的定义和四舍五入法是解决此题的关键．根据倒数的定义、算术平方根的定义、平方根的定义和四舍五入法逐一判断即可．
【详解】解：①倒数等于本身的数是1，，故错误；
②的平方根是，故错误；
③近似数1.80所表示的准确数a的范围是，故正确；
④算术平方根是它本身的数是0，1，故正确；
⑤，故错误，
综上：正确的说法有：③④．
故答案为：③④．
5.已知与的和是单项式，则的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平方根的意义，同类项以及单项式的定义，根据单项式的定义求出m，n值，然后代入即可求出答案．
【详解】解：已知与的和是单项式，则它们是同类项，
∴，，
∴,
故的平方根为．
故答案为：.
解答题
1.一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若，则或．
(1)根据上述平方根的意义，试求方程的解．
(2)自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系是，若有一个物体从离地米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间．
【答案】(1)或
(2)秒
【分析】本题考查平方根及应用，
（1）由平方根的知识可得，从而求出方程的解；
（2）将代入，得到，再根据平方根的定义求出t的值即可；
熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：，
，
∴或；
（2）根据题意，得：，
∴，
∴或（负值不符合题意，舍去），
答：这个物体到达地面所需的时间为秒．
2.（1）已知正数x的两个平方根分别是和，求和x的值；
（2）若，求的平方根．
【答案】（1）， （2）
【分析】本题考查了平方根的应用：
（1）根据平方根的定义可得，求得的值，进而求得和x；
（2）根据被开方数为非负数，可得，求得的值，代入求得的平方根即可．
【详解】解：（1），
解得，
则，
；
（2），
，
，
则的平方根是．
3.常见的非负数有、、等，非负数的重要性质有：①非负数的最小值是0，②几个非负数的和是0，则每一个非负数必为0．如果实数a b c满足：，请你求出的算术平方根．
【答案】2
【分析】本题主要考查了非负数的性质，求一个数的算术平方根，根据非负数的性质可得，据此得到，则，再根据算术平方根的定义可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵4的算术平方根是2，
∴的算术平方根是2．
4.先填写表，通过观察后再回答问题：
a … 1 100 10000 …
… x 1 y 100 …
(1)表格中_______，________；
(2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面问题：已知，则________；
(3)试比较与a的大小．（提示：在的前提下分三种况讨论）
【答案】(1)，10
(2)
(3)当时，；当时，；当时，
【分析】本题主要考查了算术平方根，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
（1）根据算术平方根的性质，即可求解；
（2）根据题意可得当扩大100倍时，扩大10倍，由，即可求解；
（3）分三种情况：当时，当时，当时，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：，，
故答案为：，10；
（2）根据题意得：当扩大100倍时，扩大10倍，
∵，
∴，
故答案为：；
（3）当时，，此时；
当时，根据与数位规律得：；
当时，根据与数位规律得：；
综上所述，当时，；当时，；当时，．
5.已知，求的值．
【答案】
【详解】原式整理，得，
根据非负数的性质，得，
．
．
．
，．
，．
．
6.如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片.沿着大正方形纸片边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长、宽之比为，且面积为？请说明理由.
【答案】不能，理由见解析
【详解】不能.理由如下：
因为大正方形纸片的面积为，
所以大正方形的边长为6cm.
设截出的长方形的长为，宽为，
则.所以（取正值）.
因为，所以.
由上可知.
所以不能截得长、宽之比为，且面积为的长方形纸片.
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七年级数学下册 预习篇
6.1 平方根
一、平方根
1.平方根的概念：如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫作的平方根（或二次方根）。
2.平方根的表示方法：正数的平方根可记作，读作：正负根号，读作根号，是被开方数。
3.平方根的性质：若，那么，则也是的平方根，所以正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0；因为相同的两个数的乘积为正，所以任何数的平方都不是负数，所以负数没有平方根（即）。
二、算数平方根
1.算术平方根的概念：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就叫作的算术平方根。
2.算术平方根的表示方法：正数的算术平方根可记作，读作：根号。
3.算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。一个正数的正的平方根就是它的算术平方根。
三、开平方
1.求一个数（）的平方根的运算叫作开平方，其中叫作被开方数。开平方运算是已知指数和幂求底数。
2.因为平方与开平方互为逆运算，所以可以通过平方来寻找一个数的平方根。
3.正数、负数、0都可以进行平方运算，且平方的结果只有一个；但开平方只有正数和0可以，负数不能开平方。
选择题
1.的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
2.下列各等式中，正确的是( )
A． B． C． D．
3.一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是（ ）
A．1 B．2 C．9 D．4
4.已知，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
5.下列说法正确的是（ ）
A．若，则a是负数
B．若一个数小于它的绝对值，则这个数是负数
C．某数的绝对值、算术平方根都是他本身，则这个数是0
D．绝对值是同一个数的数有两个，他们互为相反数
6.下列各组数中，相等的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
7.已知：，，则（ ）
A．0.1536 B．15.36 C．0.04858 D．48.58
8.如图、每个小正方形的边长为1，可以得到每个小正方形的面积为1．若阴影部分是正方形、则它的边长是（ ）
A．2 B．3 C． D．4
填空题
1.如图，一块形如Z字形纸片，，，，现将纸片裁剪并拼成一个和它等面积的正方形，则正方形的边长为 ．
2.一个正数的平方根是与，则m的值是 ，这个正数是 ．
3.若为实数，且满足，则的值是 ；
4.现有几种说法：
①倒数等于本身的数是0，1，
②的平方根是
③近似数1.80所表示的准确数a的范围是
④算术平方根是他本身的数是0，1
⑤
其中正确的说法有 ．（请填写序号）
5.已知与的和是单项式，则的平方根是 ．
解答题
1.一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若，则或．
(1)根据上述平方根的意义，试求方程的解．
(2)自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系是，若有一个物体从离地米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间．
2.（1）已知正数x的两个平方根分别是和，求和x的值；
（2）若，求的平方根．
3.常见的非负数有、、等，非负数的重要性质有：①非负数的最小值是0，②几个非负数的和是0，则每一个非负数必为0．如果实数a b c满足：，请你求出的算术平方根．
4.先填写表，通过观察后再回答问题：
a … 1 100 10000 …
… x 1 y 100 …
(1)表格中_______，________；
(2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面问题：已知，则________；
(3)试比较与a的大小．（提示：在的前提下分三种况讨论）
5.已知，求的值．
6.如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片.沿着大正方形纸片边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长、宽之比为，且面积为？请说明理由.
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