2023-2024学年四川省绵阳市高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年四川省绵阳市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的一个方向向量是( )
A. B. C. D.
2.抛物线的准线方程为
( )
A. B. C. D.
3.已知点是点在坐标平面内的射影，则( )
A. B. C. D.
4.已知，两点到直线：的距离相等，则( )
A. B. C. D. 或
5.科技博览会需从个女生分别记为，，，，中选人参加志愿者服务，已知这个人被选中的机会相等，则被选中的概率为( )
A. B. C. D.
6.在平行六面体中，，若，，，则( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，圆的半径为定长，是圆外一定点，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是( )
A. 椭圆
B. 圆
C. 双曲线
D. 直线
8.如图，已知菱形所在平面与矩形所在平面相互垂直，且，为线段的中点则直线与的所成的角为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于空间向量的命题中，正确的有( )
A. 将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面
B. 若非零向量，，满足，，则有
C. 与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量
D. 若，，为空间的一组基底，且，则，，，四点共面
10.如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下面叙述正确的是( )
A. 这组数据是近似对称的 B. 数据中可能有极端大的值
C. 数据中可能有异常值 D. 数据中众数可能和中位数相同
11.某电商平台对去年春节期间消费的前名网购者，按性别等比例分层抽样名，并对其性别男、女及消费金额消费金额，消费金额，消费金额进行调查分析，得到如人数统计表，则下列选项正确的是( )
A. 这名网购者中女性有人 B.
C. D.
12.设椭圆：与双曲线：有相同的左右焦点且分别为，，离心率分别为，设与在第一象限内的交点为，且满足，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知直线：与直线：若，则 ______．
14.利用简单随机抽样的方法，从个个体中抽取个个体，若第二次抽取时，每个个体被抽到的概率为则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为______．
15.已知，是双曲线：的左右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的面积为，则的渐近线方程为______．
16.如图是直角梯形，，，是边长为的菱形，且，以为折痕将折起，当点到达的位置时，四棱锥的体积最大，是线段上的动点，则面积的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
从出游方式看，春节期间是家庭旅游好机某地区消费者协会调查了部分年春节以家庭为单位出游支出情况，统计得到家庭旅游总支出单位：百元频率分布直方图如图所示同一组中的数据用该组区间的中点值为代表
求的值；
估计家庭消费总支出的平均值及第百分位数结果保留一位小数
18.本小题分
已知直线：，圆：．
试判断直线与圆的位置关系，并加以证明；
若直线与圆相交于，两点，求的最小值及此时直线的方程．
19.本小题分
已知空间四点，，，，满足．
求实数的值；
求以，为邻边的平行四边形的面积．
20.本小题分
多项选择题是标准化考试中常见题型，从，，，四个选项中选出所有正确的答案四个选项中至少有两个选项是正确的，其评分标准为全部选对的得分，部分选对的得分，有选错的得分．
甲同学有一道多项选择题不会做，他随机选择至少两个选项，求他猜对本题得分的概率；
现有道多项选择题，根据训练经验，每道题乙同学得分的概率为，得分的概率为；丙同学得分的概率为，得分的概率为乙、丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这道多项选择题乙比丙总分刚好多得分的概率．
21.本小题分
在三棱台中，平面，，且，，为的中点，是上一点，且．
求证：平面；
已知，且直线与平面的所成角的正弦值为时，求平面与平面所成夹角的余弦值．
22.本小题分
在直角坐标系中，已知，，，以为直径的圆经过点，记点．
求点的轨迹方程；
给出如下定理：在一般情况下，若二次曲线的方程为：不全为，则经过该曲线上一点的切线方程为：若过作问曲线的两条切线，切点分别为，，切线，分别交轴于，两点，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查直线的方向向量，以及平面向量共线平行的坐标表示，是基础题．
首先求出直线的斜率为：，再利用平面向量共线平行的坐标表示即可得出答案．
【解答】
解：由题意可得：直线的斜率为，
所以直线的一个方向向量，或，
故选D．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查抛物线的标准方程，属于基础题．
先根据抛物线的标准方程得到焦点在轴正半轴上以及，即可求出其准线方程．
【解答】
解：因为抛物线的标准方程为：，
所以焦点在轴正半轴上；
且，即，
所以：，
准线方程，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：点是点在坐标平面内的射影，
，
则．
故选：．
利用射影定义、两点间距离公式能求出结果．
本题考查射影定义、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：已知点，，直线：，
由于点与点到直线的距离相等，
则有，解得：或．
故选：．
直接根据点到直线距离公式进行求解即可．
本题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：科技博览会需从个女生分别记为，，，，中选人参加志愿者服务，
这个人被选中的机会相等，基本事件总数，
被选中包含的基本事件个数，
则被选中的概率为．
故选：．
这个人被选中的机会相等，基本事件总数，被选中包含的基本事件个数，由此能求出被选中的概率．
本题考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据向量的线性运算，，
故，
所以．
故选：．
直接利用向量的线性运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：为外一定点，为上一动点，
线段的垂直平分线交直线于点，
则，则，
即动点到两定点、的距离差为定值，
根据双曲线的定义，可知点的轨迹是：以，为焦点，为实轴长的双曲线．
故选：．
结合双曲线的定义及圆与直线的相关性质，熟练掌握双曲线的定义及圆与直线的性质是解决问题的关键．
双曲线是指与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于的常数的点之轨迹．
8.【答案】
【解析】解：因为平面平面，，
所以平面，
平面，所以，同理可证．
又为菱形，，，
所以≌，．
又为的中点，所以．
设，连接，，所以．
又，所以平面．
又平面，所以，
故D与所成角为定值．
故选：．
推导出平面，从而，同理可证推导出≌，从而设，连接，，则从而平面进而，由此推导出与所成角为定值．
本题考查异面直线所成角，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，故A正确；
对于，若非零向量，，满足，，则有与平行或垂直，故B错误；
对于，由法向量的定义得：
与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量，故C正确；
对于，若，，为空间的一组基底，且，，
则，，，四点不共面，故D错误．
故选：．
利用单位向量的定义判断；利用向量垂直的定义判断；利用法向量的定义判断；利用空间向量基本定理判断．
本题考查单位向量、向量垂直、法向量、空间向量基本定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一组数据的众数、中位数和平均数的定义与应用问题，是基础题．
根据众数、中位数和平均数的定义，判断即可．
【解答】
解：因为中位数表示一组数据的一般水平，平均数表示一组数据的平均水平，
中位数比平均数小很多，所以数据不是近似对称的，选项A错误．
一组数据的中位数比平均数小很多，可能是数据中有异常值，即数据中可能有极端大的值，所以、C正确；
众数不止一个，中位数和众数是否相同，和平均数无关，所以D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，由表格可知：抽取的人中，男性购物者有人，女性购物者有人，
则名网购者中，有女性有人，A错误；
对于，抽取的人中，类有人，则，B正确；
对于，由表格可知：，C正确；
对于，，D错误．
故选：．
根据题意，由分层抽样的特点分析，结合表格，由古典概型公式分析、、，综合可得答案．
本题考查分层抽样的性质，涉及概率的计算，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：设椭圆与双曲线的焦距为，
由题意得，，
由椭圆的定义得：，
由双曲线的定义得：，
所以，，即，故选项A错误，选项B正确；
在中，，
所以，
在中，由余弦定理得，，，可得，
，所以不成立，所以C错误．
，所以D正确．
故选：．
设椭圆与双曲线的焦距为，结合圆锥曲线定义可得：，，根据题意逐项分析即可．
本题考查了双曲线和椭圆的简单性质以及离心率的问题，考查圆锥曲线定义的应用，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，可得直线的斜率，
当时，直线：与不垂直；
当时，直线的斜率，若，则，解得．
故答案为：．
根据题意利用两条直线垂直与方程的关系，建立关于的等式，解之即可得到本题的答案．
本题主要考查直线的方程及其应用、两条直线垂直与方程的关系等知识，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：第二次抽取时，每个个体被抽到的概率为，
则，解得，
在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为：．
故答案为：．
根据已知条件，先求出，再结合古典概型的概率公式，即可求解．
本题主要考查简单随机抽样的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，根据对称性不妨设一条渐近线为，
过且垂直该渐近线的垂线为，
联立，解得，
的面积为，
，
，
双曲线的渐近线方程为．
故答案为：．
根据题意先求出点坐标，再计算的面积，从而建立方程，即可求解．
本题考查双曲线的几何性质，方程思想，属中档题．
16.【答案】
【解析】解：如图，折起前，连接菱形的对角线，交于点，
所以，所以折起后有，，
因为菱形的边长为，
所以，
又因为，且，
所以在中，有，
所以，
所以折起前后四边形的面积固定，
则此时点到平面的距离最大，
则此时有面面，
又面面，，面，
所以面，又面，
所以，又，，
所以，，两两互相垂直，
所以以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
若要面积最小，则只需点到直线的距离最小即可，
由题意，
过点作于点，则，又因为，
所以，即，
所以，
因为，，三点共线，
所以不妨设
，
所以点到直线的距离为
，
所以当时，，又，
所以面积的最小值为．
故答案为：．
由题意得面面，结合菱形性质，得，，两两互相垂直，建立适当的空间直角坐标系，只需点到直线的距离最小即可，由空间向量法求点到直线的距离即可得解，
本题考查了线面垂直证明线线垂直，面面垂直证线面垂直，点到平面距离的向量求法，属于难题．
17.【答案】解：由频率分布直方图，得，
．
估计家庭消费总支出的平均值为：
．
设第百分位数为，内的频率为，
内的频率为，
则，
解得．
【解析】利用频率分布直方图的性质求解；
利用频率分布直方图能估计家庭消费总支出的平均值及第百分位数．
本题考查频率分布直方图、平均值、百分位数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：直线：，整理得，
所以直线经过与的交点，由解得，可得直线恒过定点．
因为，
所以点在圆内部，可知直线与圆相交；
圆：，圆心为，半径，
由圆的性质，可知当与直线垂直时，弦长最小，此时，
所以当取最小值时，直线的斜率，可得直线的方程为，即．
由圆心到直线的距离为，可知，
所以弦长的最小值为，相应直线的方程为．
【解析】先判断出直线恒过定点，然后根据点在圆内部，判断出直线与圆的位置关系；
由圆的性质，可知当与直线垂直时，弦长最小，由此求出直线的斜率，进而得到的最小值及此时直线的方程．
本题主要考查圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
19.【答案】解：由题意得，，
，
，则，
，解得，
即实数；
由知，，
，，，
，
则，
，
以，为邻边的平行四边形的面积为．
【解析】由，结合向量坐标运算即可求得；
先求得三角形的面积，再求得平行四边形的面积即可．
本题考查空间向量的坐标运算，考查利用向量求解距离、夹角问题，属中档题．
20.【答案】解：甲同学所有可能的选择答案有种：
，，，，，，，，，，，其中正确的选项只有一个．
样本空间，共个基本事件．
猜对本题得分的概率为．
这道多项选择题乙比丙总分刚好多得分的情况有种：
乙两道题都得分，丙两道题分别得分和分，概率为：，
乙两道题分别得分和分，丙两道题分别得分和分，概率为：，
乙两道题分别得分和分，丙两道题都得分，概率为：，
这道多项选择题乙比丙总分刚好多得分的概率为．
【解析】利用古典概型、列举法能求出结果；
利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出结果．
本题考查古典概型、列举法、相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
21.【答案】解：证明：，且是的中点，则．
平面，．
又，平面，
，∽，则．
，，
在平面中
，由知平面．
由题意得，平面，
平面．
由可知，故为坐标原点．
如图，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系．
，
，．
，，，
，
由棱台的性质得，
．
由可知平面的一个法向量为，且．
直线与平面的所成角的正弦值为，
，
即，解得．
平面的一个法向量为，且．
平面的法向量为．
，，，
令，则可得，．
平面的一个法向量为，
．
平面与平面所成夹角的余弦值．
【解析】证明平面，可得，进而证明，可证结论成立；
建立空间直角坐标系，利用向量法求得，进而求得平面的一个法向，平面的一个法向量，可求平面与平面所成夹角的余弦值．
本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查运算求解能力，属中档题．
22.【答案】解：因为，，，为直径的圆经过点，
可得，即，
整理可得，
点的轨迹方程为；
由得曲线的方程为，设，，
切线方程为，
当时，，，
将点代入，得，
同理可得切线方程为，
同理可得，，
由可知，点坐标均满足方程，
直线方程为，即，
由，整理得，
，
，，
，
点到直线的距离为，
，
，，
，
，
，当且仅当时等号成立，
当时，的最大值为．
【解析】由题意可得，即，整理可得点的轨迹方程；
设点的坐标，由题意可得直线，的方程，由题意可得，的坐标，整理可得直线的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和及两根之积，求出弦长及点到直线的距离，代入三角形的面积公式，可得的面积的表达式，求出的表达式，进而求出求的表达式，由基本不等式的可得求的最大值．
本题考查点的轨迹方程的求法及过曲线上的点的切线方程的求法，基本不等式的性质的应用，属于中档题．
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