2009年中考数学知识讲座之3(江西省南昌市)
文档属性
| 名称 | 2009年中考数学知识讲座之3(江西省南昌市) |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2009-04-13 18:39:00 | ||
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文档简介
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2009年中考数学知识讲座之3
（ 2000年安徽省）均值不等式
26．比较下面两列算式结果的大小：（在横线上选填“＞”、“＜”、“=”）
42+32____2×4×3；
（－2）2+12____2×（－2）×1；
22+22____2×2×2；
……
通过观察归纳，写出能反映这种规律的一般结论，并加以证明．
03烟台（奇函数、偶函数的概念）
28．阅读下面材料，再回答问题：
一般地，如果函数y＝f（x）对于自变量取值范围内的任意x，都有f（－x）＝－f（x），那么y＝f（x）就叫做奇函数；如果函数y＝f（x）对于自变量取值范围内的任意x，都有f（－x）＝f（x），那么y＝f（x）就叫做偶函数．
例如：
当x取任意实数时，
即f（－x）＝－f（x）
所以为奇函数
又如f（x）＝
当x取任意实数时，
即f（－x）＝f（x）
所以f（x）＝是偶函数
问题（1）：下列函数中
① ② ③ ④ ⑤
所有奇函数是 ，所有偶函数是 （只填序号）．
问题（2）：请你再分别写出一个奇函数、一个偶函数．
（2002年湖北省鄂州中考题）
例5.从A、B、C三人中选取2人当代表，有A和B，A和C，B和C三种不同的选法，抽象
成数学模型是：从3个元素中选取2个元素的组合，记作=3.一般地，从m个元素中选取n个元素的组合，记作.
根据以上分析，从6人中选取4人当代表的不同选法有 种.
4.小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学.一天，他在解方程时，突然发生了这样的想法：这个方程在实数范围内无解，如果存在一个数,那么方程可以变为,则,从而是方程的两个根.小明还发现具有如下性质：
,,,,,
,,,……
请你观察上述等式，根据发现的规律填空：
,,.（n为自然数）
（2001年湖北省十堰市中考试题）
徐州市2000年的一道中考数学试题，即27题(10分题)也具有类似的功能。现摘录于下，供读者研究。
先阅读短文，再解答短文后面的问题。
在几何学中，通常用点表示位置，用线段的长度表示两点间的距离，用一条射线表示一个方向。在平面内，从一点出发的所有射线，可以用来表示平面内的多个不同的方向(图1)。
在线段的两个端点中(图2)，我们规定一个顺序：A为始点B为终点，我们就说线段AB具有射线AB的方向。具有方向的线段，叫做有向线段。通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向。以A为始点，以B为终点的有向线段记作。应注意，始点一定要写在终点的前面。
已知，线段AB的长度叫做有向线段的长度(或模)，的长度记作||。
有向线段包含三个要素：始点、方向和长度。知道了有向线段的始点，它的终点就被方向和长度所唯一确定。
解答下列问题：
(1)如果两条有向线段的长度相同，始点的位置相同，那么它们的终点位置是否相同？为什么？
(2)如果两条有向线段的方向相同，始点的位置相同，那么它们的终点位置是否相同？为什么？
(3)在平面直角坐标系中画出下列有向线段(有向线段与x轴的长度单位相同)：
①||=2，与x轴的负半轴的夹角是45°，且与y轴的正半轴的夹角是45°；
②的终点B的坐标为(3，)，求它的模及它与x轴的正半轴的夹角。
(4)已知点M，A，P在同一直线上，那么||+||=||一定成立吗？画出图形并加以说明。
为便于阅读，提供参考答案供读者对照：
(1)不一定，因为两条有向线段的方向可能不同；(2)不一定，因为两条有向线段的长度可能不相等；(3)①图略，终点应在点(-2，2)。②模为2，夹角为30°；(4)配合所画图形说明：不一定。举反例，如图，则||-||=||；或者||-||=||。
割与补
（四）、合角与分角
例、如图，⊿ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，D、E是BC上两点，且∠DAE=45°，求证：BD2+CE2=DE2。
证法一：（合角：旋转解题）
把⊿ABD绕A逆时针旋转90°到⊿ACF，连结EF，
证法二：（分角：翻折解题）
以AD为对称轴把⊿ABD翻折为⊿AFD，连结EF，
12、如图，△ABC中，D是BC的中点，∠EDF＝90°，求证：BE+CF＞EF。
证法1：（旋转变换---中心对称变换）
证法2：翻折----轴对称变换
证法3：
证法4：
（1）如图，△ABC中，∠A=90°，D是BC的中点，∠EDF＝90°，求证：EF2 =BE2+CF2
BE∥CF，D是BC的中点，∠EDF＝90°，求证： EF =BE+CF。
基本量思想编题
判定一个四边形为平行四边形需两个条件，可以编出很多题
已知AB∥CD，AB+BC=CD+DA，求证：ABCD为平行四边形。
徐州巿2008年
26.已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O,给出下列四个论断
① OA＝OC ② AB＝CD ③ ∠BAD＝∠DCB ④ AD∥BC
请你从中选择两个论断作为条件,以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论,完成下列各题：
①构造一个真命题，画图并给出证明；
②构造一个假命题，举反例加以说明.
判定两个三角形全等需要三个条件，可以编出很多题
(1)若两个三角形的三条高对应相等,则这两个三角形全等; (2)若两个三角形的三条中线对应相等,则这两个三角形全等; 等等! 请问:有谁会证明我的上述俩命题 尤其是第(1)题!
第（1）个用三角形的面积和相似三角形证；
第（2）个用重心定理证。
其它相关结论（我没有看见前面的相关贴子）：
S——三角形的边；A——三角形的角；M——三角形的中线；H——三角形的高；T——三角形的角平分线。
一、中线与边构成的命题
1、SMS、2、SSM、3、MSM、4、MMS、5、MMM；
二、中线与角构成的命题
6、AMA、7、AAM、8、MAM、9、MMA。
以上9个命题可能都是真命题。
三、如果把以上9个命题中的M分别换成H、T，则又可得18个命题。我只能判断其中的部分命题的真假。
四、如果分别把M、H、T、S、A结合，则又可得许多难度更大的命题：
如：MHM、MMH、HMH、HHM；SMA、SAM、MAS；等等。
面积、周长再加一个条件判定全等
加倍与折半
如图，⊿ABC中，AD⊥BC于D，E为BC中点，AB=2DE，求证：∠B=2∠C。
从条件AB=2DE出发：
方法一：（利用中位线构造AB的一半）
方法二：（利用直角三角形斜边上的中线构造AB的一半）
方法三：（构造2DE的线段）
从结论∠B=2∠C出发：
方法四：（构造2∠C或∠B的 角）
方法五：（构造∠C或1/2∠B的 角）
例1、直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半。
书本上使用的是延长的方法：
实际上，我们完全可以使用截取的方法。
例2、正方形ABCD中，AE⊥EF，CF为∠DCB外角平分线。求证：AE=EF。
截取略，下面给出延长的证法：
过F作FG⊥BC于G，
则⊿ABE∽⊿EGF，
所以BE：AB=FG：EG，
设AB=BC=a ，BE=x，CG=FG=y，则EG=a-x+y。
所以x：a =y：(a-x+y)
x (a-x+y)= a y
x (a-x)+xy- a y=0
x (a-x)+ y(x- a )=0
(a-x)(x- y)=0
∵a≠x
∴x=y
BE=FG
∴⊿ABE≌⊿EGF
∴AE=EF
例3、如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C。
(1)当AB＝4，DC＝1，BC＝4时，在线段BC上是否存在点P，使AP⊥PD？如果存在求线段BP的长；如果不存在，请说明理由。
(2)设AB＝a，DC＝b，AD＝c，那么当a、b、c之间满足什么关系时，在直线BC上存在点P，使AP⊥PD？
代数方法：
设BP=x，运用勾股定理及其逆定理构造方程，易解。
几何方法：
以AD为直径作圆，判断这个圆与BC有无交点。
例1、正方形ABCD中， EF=BE+DF 。求证： ∠EAF=45° 。
延长略，下面给出截取的证法：
过A作AG⊥EF于G，
则AB2+BE2=AE2=AG2+EG2 (1)
AD2+DF2 =AF2=AG2+FG2 (2)
(1)-(2)，得
BE2-DF2 = EG2-FG2
(BE+DF)(BE-DF) = (EG+FG)(EG-FG)
而BE+DF =EF= EG+FG (3)
∴BE-DF= EG-FG (4)
由(3)、(4) 易得
BE= EG ，DF= FG
从而可以证明⊿ABE≌⊿AGE，⊿ADF≌⊿AGF
∴∠BAE=∠GAE，∠DAF=∠GAF
∴∠EAF=45°
连续变化的观点
04河北
26. （本小题满分12分）
我们知道：由于圆是中心对称图形，所以过圆心的任何一条直线都可以将圆分割成面积相等的两部分（如图11—1）.
探索下列问题：
（1）在图11—2给出的四个正方形中，各画出一
条直线（依次是：水平方向的直线、竖直方
向的直线、与水平方向成45°角的直线和
任意的直线），将每个正方形都分割成面积
相等的两部分；
（2）一条竖直方向的直线m以及任意的直线n，
在由左向右平移的过程中，将正六边形分成
左右两部分，其面积分别记为S1和S2.
①请你在图11—3中相应图形下方的横线上
分别填写S1与S2的数量关系式（用“<”，
“=”，“>”连接）；
②请你在图11—4中分别画出反映S1与S2
三种大小关系的直线n，并在相应图形下
方的横线上分别填写S1与S2的数量关系
式（用“<”，“=”，“>”连接）.
（3）是否存在一条直线，将一个任意的平面图形（如图11—5）分割成面积相等的两部分 请简略说出理由.
连续变化观点帮助解题
1、如图，锐角三角形ABC，D为线段AB上一动点，DE∥BC，DF∥AC，问是否存在这样的点D，使得平行四边形DECF为菱形。
连续变化观点帮助解题1.gsp ( 连续变化观点帮助解题1.gsp )
2、如图，四边形ABCD中，∠ADC为锐角，∠ABC为钝角，E为线段BD上一动点，是否存在这样的点E，使得∠AEC=90°？若有，有几个这样的点？
连续变化观点帮助解题2.gsp ( 连续变化观点帮助解题2.gsp )
3、有多少条直线可以把五边形面积平分？
未命名.gsp运动思想3.gsp ( 未命名.gsp运动思想3.gsp )
利用连续变化思想编题
如图，⊿ABC中，AB=AC，D为AB 上一点，E为AC 延长线上一点，满足BD=CE，求证：DE>BC。
代数方法
几何方法
编题：
BC可以看成DE的极端情况，即BD=CE=0的情况，由连续变化思想我们可以猜想随着BD的增大，DE也增大。于是得到下面这道题：
代数方法
几何方法
三明治问题
内角平分线与外角平分线
1、（1）
AB：AC=BD：CD
AD2=AB·AC-BD·CD
（2）
AB：AC=BD：CD
AD2= BD·CD- AB·AC
2、（1）
AB·AC=AD·AE
（2）
AB·AC=AD·AE
3、（1）如图，⊿ABC中，AC＞AB ，AD平分∠BAC，P为AD上任意一点。求证：AC-AB＞ PC-PB。
（2）如图，⊿ABC中，AD平分∠BAC的外角，P为AD上任意一点。求证：AC-AB＞ PC-PB。
。求证：AC+AB＜ PC+PB。
内角与外角
1、一个多边形的各内角都等于120°，它是几边形。（新人教版第84页一道练习题）
解法1：设多边形的边数为n，依题意，得
（n-2）·180=n·120
解得n=6，即这个多边形的边数为6。
解法2：依题意知，这个多边形的每个外角是180°－120°=60°。
所以，多边形的边数n=360°÷60°=6，即这个多边形的边数为6。
2、凸2009边形内角中最多有多少个锐角？
解法1：从外角和考虑很方便
因为外角和为360°，外角中最多有三个钝角，对应的，内角中最多有3个锐角。
有些书本称无法用内角和公式解答。
事实上，完全可以内角和公式解答，只不过比较复杂而已。
解法2：设内角中有x个锐角，则有（2009- x）个非锐角。
x个锐角度数和 + （2009- x）个非锐角度数和=（2009-2）·180°
进行放缩
x·90+（2009- x）·180>（2009-2）·180
- x·90>-2·180
x<4
x最大值为3。
即内角中最多有3多少个锐角。
内与外
05长沙
24(本题满分8分)
己知点E、F在⊿ABC的边 AB 所在的直线上，且AE=BF，FH∥EG∥AC，FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G．
⑴如图l，如果点E、F在边AB上，那么EG+FH=AC；
⑵如图2，如果点E在边AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是_______________ ；
⑶如图3，如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是_________ ；
对⑴⑵⑶三种情况的结论，请任选一个给予证明。
1、如图，⊿ABC是等腰三角形，AB=AC=4，D是线段BC上任意一点，求AD2+BD·CD的值。
2、如图，⊿ABC是等腰三角形，AB=AC=4，D是BC延长线上任意一点，求AD2-BD·CD的值。
AB·AC=AD·AE
平移变式
九、（本题满分12分）
29．如图1，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CD切⊙O于点C．AD⊥CD，垂足为D．
（1）求证：＝AB·AD
（2）若将直线CD向上平移，交⊙O于、两点，其它条件不变，可得到图2所示的图形，试探索A、A、AB、AD之间的关系，并说明理由．
（3）把直线D继续向上平移，使弦与直径AB相交（交点不与A、B重合），其它条件不变．请你在图3中画出变化后的图形，标好相应字母，并试着写出与（2）相应的结论，判断你的结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请给出证明．
2008年河北省
24．（本小题满分10分）
如图14-1，的边在直线上，，且；的边也在直线上，边与边重合，且．
（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系；
（2）将沿直线向左平移到图14-2的位置时，交于点，连结，．猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；
（3）将沿直线向左平移到图14-3的位置时，的延长线交的延长线于点，连结，．你认为（2）中所猜想的与的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
1999年四川省成都市初中毕业、高中招生考试数学试题
五、(共8分)
已知：如图,MN为⊙O的直径,l⊥MN于H,割线MCA及弦MBD分别交⊙O于C、D．
求证：MA·MC=MB·MD．
07天津
25. （本小题10分）
如图①，AD是圆O的直径，BC切圆O于点D，AB、AC与圆O相交于点E、F。
（1）求证：；
（2）如果将图①中的直线BC向上平移与圆O相交得图②，或向下平移得图③，此时，是否仍成立？若成立，请证明，若不成立，说明理由。
42．已知：AB是⊙O的直径，AP、AQ是⊙O的两条弦，如图9（a），过点B做⊙O的切线l，分别交直线AP、AQ于点M、N．可以得出结论AP·AM=AQ·AN成立．
（1）若将直线l向上平行移动，使直线l与⊙O相交，如图9（b）所示，其它条件不变，上述结论是否成立？若成立，写出证明；若不成立，说明理由；
（2）若将直线l继续向上平行移动，使直线l与⊙O相离，其它条件不变，请在图9（c）上画出符合条件的图形，上述结论成立吗？若成立，写出证明；若不成立，说明理由．
42．（1）连结PQ、BQ．1分
∵AB是直径，∴∠AQB=90°．∴∠B+∠BAN=90°．
由图（1），知l⊥AB，∴∠BAN+∠ANM=90°．∴∠B=∠ANM．
∵∠B=∠APQ，∴∠ANM=∠APQ．3分
∵∠MAN是公共角，∴△ANM∽△APQ．4分
∴AN∶AP=AM∶AQ．∴AP·AM=AQ·AN．6分
（2）如图（3），（画图正确）7分
连结PQ、BQ，延长BA交l于点C．8分
∵AB是直径，∴∠AQB=90°．∴∠B+∠BAQ=90°．
由图（1），知AB⊥l，∴∠MNA+∠NAC=90°．
∵∠NAC=∠BAQ，∠B=∠P，∴∠MNA=∠P．10分
∵∠PAQ=∠MAN，∴△PAQ∽△NAM．11分
∴AP∶AN=AQ∶AM．∴AP·AM=AQ·AN．13分
正三角形向正多边形推广
正三角形向正多边形推广
06江西
25．问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：
①如图1，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=60°，则BM=CN；
②如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=90°，则BM=CN。
③如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O。若∠BON=108°，则BM=CN。
任务要求：
（1）请你从①，②，③三个命题中选择一个进行证明；
（说明：选①做对的得4分，选②做对的得3分，选③做对的得5分）
（2）请你继续完成下面的探索：
①请在图3中画出一条与CN相等的线段DH，使点H在正五边形的边上，且与CN相交所成的一个角是108°，这样的线段有几条？（不必写出画法，不要求证明）
②如图4，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、EA上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，请问结论BM=CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。
（I）我选
证明
2005年大连市
20、如图，8－1、8－2、8－3、…、8－n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动。
（1） 求图8－1中∠APN的度数；
（2） 图8－2中，∠APN的度数是_______，图8－3中∠APN的度数是________。
（3） 试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）
2006年大连西岗区初中毕业升学统一考试模拟
21.如图①、②、③中，点E、D分别是正△ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE = CD，DB交AE于P点．
⑴求图①中，∠APD的度数；
⑵图②中，∠APD的度数为___________，图③中，∠APD的度数为___________；
⑶根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n 边形情况．若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．
2008年福建省南平市
26．（14分）
（1）如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点．
①如图1，求证：；
②探究：如图1， ；
如图2， ；
如图3， ．
（2）如图4，已知：是以为边向外所作正边形的一组邻边；是以为边向外所作正边形的一组邻边．的延长相交于点．
①猜想：如图4， （用含的式子表示）；
②根据图4证明你的猜想．
三角形向梯形推广
2008年陕西省中考
16、如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC＋∠BCD＝90°
且DC＝2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作
正方形，其面积分别为、、，则、、之间
的关系是 。
成都市二00八年
20. 已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC，E、F分别是AB和BC边上的点.
（1）如图①，以EF为对称轴翻折梯形ABCD，使点B与点D重合，且DF⊥BC.若AD =4，BC=8，求梯形ABCD的面积的值；
（2）如图②，连接EF并延长与DC的延长线交于点G，如果FG=k·EF（k为正数），试猜想BE与CG有何数量关系？写出你的结论并证明之.
《数学小丛书》
这是由北京市数学会组织国内一批著名数学家为青少年编写的一套初等数学丛书，由人民教育出版社出版。1964年初版时全套共14本，其中前8本与中国青年出版社出版的《青年数学小丛书》(1962-1963)完全相同。1979年，《数学小丛书》由人民教育出版社再版。再版时又增加2本，成为16本。这套丛书的发行量很大，对丰富中学生数学知识，启发他们的思维，开扩他们的视野大有益处，是那个时代中学生的不可多得的数学课外读物。其书名和作者如下表所示。
《数学小丛书》
通法与巧法
1、如图，求证：∠1>∠5。
通法：∵∠1>∠3，∠3>∠5。
∴∠1>∠5。
巧法：延长AB交CD于G，则直接有∠1>∠5。
2、已知：⊿ABC中， BD、CE为高，BD=CE，求证：AB=AC
通法：用全等
巧法：用面积
3、求证关于X的方程（m2＋1）x 2－2mx＋（m2＋4）＝0没有实数根。（原课本习题）
通法：这是一元二次方程根的判别问题，故可用判别式着手：
△x＝4m2－4（m2＋1）（m2＋4）
＝－4（m2＋2）2
极易肯定其值互为负值，结论便可得。
巧法：原方程中出现x 2，m2等诸多平方，故可用完全平方考虑，原方程即
m2x2－2mx＋x2＋m2＋4＝0 便得（mx－1）2＋x2＋m2＋3＝0
∵（mx－1）2，x2，m2，3均为非负数，其和必是正数，不可能为零，故原方程没有实数根。
4、的小数部分为a，的小数部分为b，求a+b的值。
通法:∵
∴
∵
∴
∴
巧法:（一个学生的解答）
∵
∴
（当然不严谨，需稍稍修正）
∵0<的小数部分<10∴0∵
∴
通法与巧法
5、5x2-2 x +9> 0
通法：5x2-2 x +9=5(x2- x) +9=……>0
巧法：（拆项）5x2-2 x +9=(x2-2 x +1)+(4 x2+8) >0
6、m为何值时，关于x的方程(x-3)2=1+m有实数解？
通法：去括号后用判别式
巧法：直接得到 1+m≥0
7、计算9992
通法：9992=(1000-1)2=10002-2000+1=……=998001
巧法：9992=9992-1+1=(999+1) (999-1)+1=1000·998+1=998001
8、甲乙两人进行100米赛跑，当甲跑到终点时，乙还差5米到达终点。若再次进行比赛，甲退后5米，问谁先到达终点？
通法：一般都是计算速度。
巧法：
有个别同学这样说理：当乙跑到95米的地方，甲追上了乙。最后5米由于甲快，所以甲先到。
9、三角形的外角和是360°.
通法：如下图，因为∠1和∠BAC是邻补角，所以∠1＋∠BAC＝180°.同理∠2＋∠ABC＝180°，∠3＋∠ACB＝180°.所以∠1＋∠BAC＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠ACB＝540°.
又因为∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，所以∠1＋∠2＋∠3＝360°.即三角形ABC的外角和是360°.
或用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
巧法：作BD∥AC
10、直线m切⊙O于A，直线n切⊙O于B，m∥n，求证：AB是⊙O的直径。
通法：连AO，则AO⊥m。因为m∥n，所以AO⊥n。连BO，则BO⊥n，所以A、O、B在一条直线上，故AB是⊙O的直径。
巧法：在⊙O上任取一点C，连AC、BC，则∠1=∠3，∠2=∠4。因为m∥n，所以∠1+∠2+∠3+∠4=180°。所以∠3+∠4=90°，故AB是⊙O的直径。
11、 30支足球队进行淘汰赛，决出一个冠军，问需要安排多少场比赛？
解 因为每场要淘汰1个队，30个队要淘汰29个队才能决出一个冠军。因此应安排29场比赛。
思 路 分 析 传统的思维方法是：30支队比赛，每次出两支队，应有15＋7＋4＋2＋1＝29场比赛。而上面这个解法没有盲目附和，考虑到每场比赛淘汰1个队，要淘汰29支队，那么必有29场比赛。
12、
例如：解方程(1997－x)2＋（x－1996）2=1如果按常规解法去括号、化简整理，难以奏效，但仔细观察、分析不难发现1997与1996的差恰好为1，把方程右边的1化成1997－1996并配以－x＋x则可迎刃而解。原方程可化为（1997－X）2＋（X－1996）2=[（1997?－X）＋（X－1996）]2化简整理得：2（1997－X）（X－1996）=0解得X1=1997，X2=1996。
已知：如图1，在△ABC中，AB=AC，D为BC上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB。
图1
求证：CG=DE+DF。
分析：本题要求证的是一条线段等于另外两条线段的和，直接证明有一定的难度，常用的方法是截长补短，因此要考虑添加辅助线，转化为证明两条线段相等。
法一：如图1，过点D作DH⊥CG。则四边形DEGH为矩形。
∴DE=GH
又在△CDF和△DCH中，∠CFD=∠DHC=90°，∠FCD=∠B=∠HDC，CD=CD
∴CH=DF
∴CG=CH+GH=DE+DF
法三：如图3，过点C作CH⊥ED，交ED的延长线于点H。则四边形CGEH是矩形。
∴CG=EH
图3
又在△DHC和△DFC中，∠CHD=∠CFD=90°，∠FCD=∠B=∠DCH，CD=CD
∴CG=EH=DE+DH=DE+DF
1．在一段双轨铁道上，两列火车迎头驶过，A列车车速为20m/s，B列车车速为24m/s，若A列车全长180m，B列车全长160m，两列车错车的时间为多少秒？
例2：试问方程：x1+x2+x3+…+x1001=2002
有多少组不同的正整数解？
分析：可以构造这样的一个对应关系：将2002个
相同的球排成一行，则它们之间有2001个间隔，
现将1000块板插入这2001个间隔中，（每个间隔
只能插入一块板）则显然每一组插法与原方程的每一组解产生了一一对应关系，而此时板的插法比较容易求，即2001个间隔中任选1000个间隔分别插入一块板，显然共有种不同的插法，所以原方程共有组不同的正整数解。
1、如果一元二次方程a x2+b x +c=0的两根之比 为2：3，求证：6b2=25ac
通法：设方程两根为2m、3m。则
巧法：设方程两根为、 。则
5x2-2 x +9> 0
通法：5x2-2 x +9=5(x2- x) +9=……>0
巧法：（拆项）5x2-2 x +9=(x2-2 x +1)+(4 x2+8) >0
巧法：（数形结合）令y=5x2-2 x +9
⊿=4-4·5·9<0，于是其图象与轴无交点。因为其图象开口向上，所以y>0，即5x2-2 x +9
>0。
配方法解方程
3x2-6x+1=0
通法：
3 (x2-2x)+1=0
3 (x2-2x+1)+1-3=0
巧法：
3·3x2-3·6x+3·1=0
9x2-18x+3=0
9x2-18x+9+3-9=0
(3x-3)2-6=0
将面积为a2的小正方形与面积为b2的大正方形放在一起(b>a>0)，用a、b表示⊿ABC的面积。
8、甲、乙二人分别后，沿着铁轨反向而行，此时，一列火车匀速地向甲迎面驶来，列车在甲身旁开过，用了15秒，然后在乙身旁开过，用了17秒，已知两人的步行速度都是3.6千米/时，这列火车有多长？
在一段双轨铁道上，两列火车迎头驶来，A列车车速为20m/s,B列车车速为14m/s,若A列车全长180m,B列车全长160m,求两车错车时间
1、如图，⊿ABC为等边三角形， D为⊿ABC内一点，DE⊥BC于E，DF⊥AB于F，DG⊥AC于G，求证：DE+DF+DG为定值。
证明：两条边上的高相等的三角形是等腰三角形。
法八：（等面积法）如图8，连接AD。由题意可知
。。
图8
而，即。
而AB=AC，故CG=DE+DF。
例2 30支足球队进行淘汰赛，决出一个冠军，问需要安排多少场比赛？
解 因为每场要淘汰1个队，30个队要淘汰29个队才能决出一个冠军。因此应安排29场比赛。
思 路 分 析 传统的思维方法是：30支队比赛，每次出两支队，应有15＋7＋4＋2＋1＝29场比赛。而上面这个解法没有盲目附和，考虑到每场比赛淘汰1个队，要淘汰29支队，那么必有29场比赛。
4.三角形的外角和是360°.
如下图，因为∠1和∠BAC是邻补角，所以∠1＋∠BAC＝180°.同理∠2＋∠ABC＝180°，∠3＋∠ACB＝180°.所以∠1＋∠BAC＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠ACB＝540°.
又因为∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，所以∠1＋∠2＋∠3＝360°.即三角形ABC的外角和是360°.
通法与技巧
如图所示，在△ABC中，AF⊥BC于F，BF=CF，DF=EF，GF=HF，则图中全等三角形有_________对。
分类一个一个数（注意不重不漏），共9对全等三角形。
图中共有21个三角形，在这21个三角形中，除△ABC、△ADE、△AGH无三角形与其全等外，其他18个三角形可以两两配对，共有9对全等三角形。
凸四边形与凹四边形
凸四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠B=90°，CD=12，AD=13，求凸四边形ABCD的面积。
凹四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠B=90°，CD=12，AD=13，求凹四边形ABCD的面积。
四边形的变式
凸四边形------凹四边形、折四边形
凸四边形：中点四边形的面积是原四边形的一半。
凹四边形：中点四边形的面积是原四边形的一半。
折四边形：复杂些，凸四边形用加法时，折四边形往往对应的是减法。
比如：梯形中位线等于上下底之和的一半。
折梯形（姑且这么叫）中位线等于上下底之差的一半。
凸四边形可以理解为：
折四边形：猜想有结论----
或（其中O为AB、CD的交点）这个结论对于凸四边形也成立。
对中点四边形的研究
只需要对角线垂直即可
只需要对角线相等即可
正方形的中点四边形是正方形。
对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形。
完全不同方向的多种思路
1、着眼点不同，解法就不同
1、如图，⊿ABC中，AD为BC边上的中线，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC。求证：BE+CF＞EF。
着眼于角平分线，可以进行翻折：
着眼于中线，可以把线段DE或着眼于角平分线，可以DF延长一倍：
2、如图，∠DAB=∠DAC，BD=CD，求证：AB=AC。
着眼于角平分线，可以过D点作着眼于角平分线，
可以着眼于角平分线，可以AB、AC垂线。
3、如图，∠B=∠C=90°，M为ＢＣ的中点，ＤＭ平分∠ＡＤＣ。求证：（１）ＡＭ平分∠ＢＡＤ。（２）ＤＭ⊥ＡＭ。
如图，已知AD⊥AC，BD⊥BC，AC=BD，求证：AD=BC。
一题多解
证法1：
证法2：
证法3：
证法4：
证法5：
证法6：不作辅助线
证法7：作∠BAC的平分线
求证：五角星五角之和为180°。
两个性质：
对顶三角形除对顶角之外的两个角之和相等。
凹四边形的一个凹角等于与它不相邻的三个内角的和。
证法1：对顶三角形除对顶角之外的两个角之和相等。
证法2：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
证法3：看成五个三角形内角和减去两个五边形的外角和。
⊿AFJ、⊿BFG、⊿CGH、⊿DHI、⊿EIJ五个三角形内角和减去两个五边形FGHIJ的外角和。
证法4：看成三个三角形内角和减去两个平角。
⊿AGD、⊿BEH、⊿CGH三个三角形内角和减去两个平角∠CGA、∠CHE。
利用对顶三角形，转化为一个四边形的内角和。
利用对顶三角形，转化为两个三角形的内角和。
转化为三角形的 外角和。
三个三角形内角和减去一个三角形内角和。
BD平分∠ABC，BC⊥CD，CD切⊙O于D，AB=4，BC=3求∠ABD。
08山东
中考题的一题多解
20．（08山东）(本题满分10分)
在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°， AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点．
求证：CE⊥BE．
2、跨分支解法
比如，解答一道几何题，可以使用纯几何方法，也可以动用代数法、三角法、复数法、向量法、解析法、面积法等非纯几何方法。例题略。
完全四边形
对角线与边同等看待
一、四边形的勾股定理
1、 如图，⊿ABC中，AD⊥BC于D，求证：AB2-AC2=BD2-CD2。
2、如图，⊿ABC中，AD⊥BC于D，求证：AB2-AC2=BD2-CD2。
3、如图，AD⊥BC于E，求证：AB2-AC2=BD2-CD2。
4、如图，AD⊥BC于E，求证：AB2-AC2=BD2-CD2。
5、如图，BD⊥CE于A，求证：DE2+BC2=BE2+CD2。
6、如图，ABCD是长方形，E是其内一点。AE=24，BE=20，CE=7，求DE的长。
7、类比6，若E在长方形外，请你编拟一道题，并解答。
一句话概括：
四边形的勾股定理
四点六线形，一组对边垂直，另两组对边的平方和相等。
如图，AB=CD，E、F分别为AD、BC中点，求证：∠BGF=∠CHF。
可以变式
如图，AB=CD，G、H分别为BD、AC中点，求证：∠AEF=∠DFE。
如图，AC=BD，E、F分别为AB、CD中点，求证：∠DGH=∠AHG。
一句话概括：
四点六线形，一组对边相等，其他对边的中点连线与它们构成的角相等。
平方和与平方差呢
1、在数轴上画出根号20。（书本上一道习题）
一般都会用平方和。
22+42=20
为什么不用平方差呢？
62-42=20
当然这道题的确用平方和比用平方差简单。
2、以15、112、113为边长的三角形是否为直角三角形？
用平方和就要使用计算器
验证：152+1122=1132
用平方差，则简单得多
1132-1122=（113+112）（113-112）=225·1=225=152
3、以2n+1、2n2+2n、2n2+2n +1（n为正整数）为边长的三角形是否为直角三角形？
有了上面一道题的解答学生可以想到平方差更简单，的确用平方差更简单。
（2n2+2n +1）2-（2n2+2n ）2
=(2n2+2n +1+2n2+2n )( 2n2+2n +1-2n2-2n )
= 4n2+4n +1
=(2n+1)2
作为学生思考到此可以为止，作为老师还要思考如果硬要使用平方和会怎么样？其实只要我们注意到三者的关系，也可以得到一个不错的解答：
（2n+1）2+（2n2+2n）2
=4n2+4n +1+（2n2+2n）2
=2（2n2+2n）+1+（2n2+2n）2
=（2n2+2n +1）2
倍长线段与巧取中点
1、如图，⊿ABC中，AD是中线，AB=6，AC=4。求AD的取值范围。
取AC中点E，连结DE。
延长AD到E，使得DE=AD，连结CE。
2、如图，四边形ABCD中，E为AD中点，F为BC中点，求证：EF≤1/2(AB+CD)。
连结AC，并取中点G，连结EG、FG。
连结AF，并延长一倍到G，连DG、CG。
例1、 比较与1.5的大小。
（这是08年南昌六套试卷中的一道题，原题为填空题）
难以放缩
从第二项开始放缩
失败
从第三项开始放缩
从第四项开始放缩
从第五项开始放缩
改：
比较与2的大小。（1）
容易放缩
（2）
（3）
（4）
我们知道这个结果则可以对（1）进行加强：
比较与1.7的大小。
当然这道题的放缩有一定的难度，但由（2）可得小，1.7大。
由（3）、（4）我们也可以编拟一些类似习题，但难度会相当大，只能供高中数学竞赛用。
初中老课本中有，现删掉的内容
老教材中删掉的内容
角平分线定理、韦达定理、正弦定理、余弦定理
2007年甘肃省白银等7市新课程数学试题
21．（8分）探究下表中的奥秘，并完成填空：
一元二次方程 两个根 二次三项式因式分解
x2-2x+1=0 x1=1 ， x2=1 x2-2x+1=（x-1）（x-1）
x2-3x+2=0 x1=1 ， x2=2 x2-3x+2=（x-1）（x-2）
3x2+x-2=0 x1=， x2=-1 3x2+x-2=2（x-）（x+1）
2x2+5x+2=0 x1=-， x2=-2 2x2+5x+2=2（x+）（x+2）
4x2+13x+3=0 x1= ， x2= 4x2+13x+3=4（x+ ）（x+ ）
将你发现的结论一般化，并写出来．
（2000年山西省）三角形内角平分线性质定理
请阅读下面材料，并回答所提出的问题．
三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．
已知：如图10，△ABC中，AD是角平分线．
与DC、AC所在三角形相似．现在B、D、C在一直线上，△ABD与△ADC不相似，需要考虑用别的方法换比．
考虑过C作CE∥AD，交BA的延长线于E，从而得到BD、DC、A
证明：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．
1．上述证明过程中，用到了哪些定理？（写对两个定理即可）
2．在上述分析、证明过程中，主要用到了下列三种数学思想的哪一种？选出一个填在后面的括号内．[ ]
（1）数形结合思想；
（2）转化思想；
（3）分类讨论思想．
3．用三角形内角平分线性质定理解答问题：
已知：如图11，△ABC中，AD是角平分线， AB=5cm，AC=4cm，BC=7cm．求BD的长．
2.观察下列分母有理化的计算：
， ，，…从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：
（2002年山西省中考题）
3.通过阅读所得的启示来证明问题（阅读题中的结论可以直接应用）
阅读：如图，△ABC内接于⊙O，∠CAE=∠B，求证：AE与⊙O相切于点A.
证明:作直径AF，连结FC，则∠ACF=90°，即∠AFC+∠CAF=90°
∵∠B=∠AFC
∴∠B+∠CAF=90°
又∵∠CAE=∠B
∴AE与⊙O相切于点A.
问题：如图，已知△ABC内接于⊙O，P是CB延长线上一点，连结AP，且,
求证：PA是⊙O的切线. （1999年安徽省中考题）
例4.先阅读理解下列例题，再接要求完成作业.
例题：解一元二次不等式
解：把分解因式得：
又，所以,由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有（1）或（2）
解不等式组（1）得,解不等式组得.
所以的解集为或.
因此一元二次不等式的解集为或.
作业题：1.求分式不等式的解集
2.通过阅读例题和做作业题1，你学会了什么知识和方法？
（2002年湖北省十堰市中考题）
代数变式
推广：
元数增多
三元
四元
依此类推
可以推广到任意元
次数增大
依此类推
可以推广到任意次数
等边三角形向等腰三角形推广
2005年苏州市
26．（本题6分）
（1）如图一，等边△ABC中，D是AB上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连结AE。求证：AE//BC；
（2）如图二，将(1)中等边△ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形。所作△EDC改成相似于△ABC。请问：是否仍有AE//BC？证明你的结论。
等与不等
1、如图，⊿ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CA=CB，AD平分∠CAB。求证：AB=CD+AC。
（1） （2） （3）
2、如图，⊿ABC为等腰三角形，∠ACB=108°，CA=CB，AD平分∠CAB。求证：AB=BD+AC。
3、如图，⊿ABC为等腰三角形，∠ACB=100°，CA=CB，AD平分∠CAB。求证：AB=AD+CD。
4、若∠A+∠B=∠C，则⊿ABC是_________三角形。
若∠A+∠B<∠C，则⊿ABC是_________三角形。
若∠A+∠B>∠C，则⊿ABC是_________三角形。
5、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
钝角三角形
锐角三角形
6、直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。
钝角三角形
锐角三角形
（山东临沂市2005）中，，若∠C=90°，如图4，根据勾股定理，则。若不是直角三角形，如图5和图6，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论。
解：若是锐角三角形，则有。
若是钝角三角形，∠C为钝角，则有。
证明：①当是锐角三角形时，如图5，过点A作，垂足为D，设CD为x，则有。
根据勾股定理，得，即。
。
。
②当是钝角三角形时，如图6，过点B作，交AC的延长线于点D，设CD为x，则。
根据勾股定理，得。即
点动
点动
2、求证（1）等腰三角形底边上任一点与两腰的距离的和等于腰上的高。
（2）等腰三角形底边延长线上任一点与两腰距离的差等于腰上的高。
9、等边三角形内一点到三边的距离之和为定值。
2007年甘肃省白银等7市新课程数学试题
27． [（1）—（3），10分] 如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．
在图（1）中， 点P是边BC的中点，此时h3=0，可得结论：．
在图（2）--（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．
（1）请探究：图（2）--（5）中， h1、h2、h3、h之间的关系；（直接写出结论）
（2）证明图（2）所得结论；
（3）证明图（4）所得结论．
（4） （附加题2分）在图（6）中，若四边形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60o， RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h1、h2、h3、h4，桥形的高为h，则h1、h2、h3、h4、h之间的关系为： ；图（4）与图（6）中的等式有何关系？
武汉市2006年
22．（本题8分）如图，已知：OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是射线OA上一点（点A除外），直线BP交⊙O于点Q，过Q作⊙O的切线交直线OA于点E.
(1)如图1，若点P在线段OA上，求证：∠OBP+∠AQE=45°；
(2)若点P在线段OA的延长线上，其它条件不变，∠OBP、∠AQE之间是否存在某种确定的等量关系？请你完成图2，并写出你的结论（不需证明）．
2008年莆田市
25．（12分）已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：，请你探究：当点P分别在图（2）、图（3）中的位置时，又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论。
答：对图（2）的探究结论为____________________________________.
对图（3）的探究结论为_____________________________________.
证明：如图（2）
2008年武汉市
24．（本题10分）正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F。如图1，当点P与点O重合时，显然有DF＝CF．
⑴如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E。
①求证：DF＝EF；
②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；
⑵若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E。请完成图3并判断⑴中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）
盐城二○○八年高中阶段教育招生统一考试
28 ( http: / / www. )．（本题满分12分）
如图甲，在中，为锐角，点为射线上一点，连接，以为一边且在的右侧作正方形．
解答下列问题：
（1）如果，，
①当点在线段上时（与点不重合），如图乙，线段之间的位置关系为 ，数量关系为 ．
②当点在线段的延长线时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果，，点在线段上运动．
试探究：当满足一个什么条件时，（点重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）
（3）若，，在（2）的条件下，设正方形的边与线段相交于点，求线段长的最大值．
04河南
24、如图12，∠BAC=90，直线与以AB为直径的圆相切于点B，点E是圆上异于A、B的任意一点。直线AE与相交于点D。
⑴如果AD=10，BD=6，求DE的长；
⑵连结CE，过E作CE的垂线交直线AB于F。当点E在什么位置时，相应的F位于线段AB上、位于BA的延长线上、位于AB的延长线上（写出结果，不要求证明）？无论点E如何变化，总有BD=BF。请你就上述三种情况任选一种说明理由。
05福州
20、已知：如图8，AB是⊙O的直径，P是AB上的一点（与A、B不重合），QP⊥AB，垂足为P，直线QA交⊙O于C点，过C点作⊙O的切线交直线QP于点D。则△CDQ是等腰三角形。
对上述命题证明如下：
证明：连结OC
∵OA＝OC
∴∠A＝∠1
∵CD切O于C点
∴∠OCD＝90°
∴∠1＋∠2＝90°
∴∠A＋∠2＝90°
在RtQPA中，QPA＝90°
∴∠A＋∠Q＝90°
∴∠2＝∠Q
∴DQ＝DC
即CDQ是等腰三角形。
问题：对上述命题，当点P在BA的延长线上时，其他条件不变，如图9所示，结论“△CDQ是等腰三角形”还成立吗？若成立，误给予证明；若不成立，请说明理由。
06黑龙江
26．(本题8分)
已知矩形ABCD和点P，当点P在图1中的位置时，则有结论：S△PBC=S△PAC+S△PCD理由：过点P作EF垂直BC，分别交AD、BC于E、F两点．
图l
∵ S△PBC+S△PAD=BC·PF+AD·PE=BC（PF+PE）=BC·EF=S矩形ABCD
又∵ S△PAC+S△PCD+S△PAD=S矩形ABCD
∴ S△PBC+S△PAD= S△PAC+S△PCD+S△PAD．
∴ S△PBC=S△PAC+S△PCD．
请你参考上述信息，当点P分别在图2、图3中的位置时，S△PBC、S△PAC、SPCD又有怎样的数量关系 请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明．
图2 图3
24.（本题满分10分）
半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P,已知BC:CA=4:3，点P在AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q.
（1）当点P运动与点C关于AB对称时，求CQ的长；
（2）当点P运动到AB的中点时, 求CQ的长；
（3）当点P运动到什么位置时，CQ取得最大值，并求出此时CQ的长.
点与线的对偶
两点确定一条直线
两条直线确定一个点
改大为小与改小为大
1、如图，已知E是正方形ABCD的边CD的中点，∠C的外角∠BCG的平分线CF交AE的垂线EF于F。AE与EF是什么关系？
2、如图，⊿ABC中，AB=AC，BD=CE，求证：DF=EF。
3、如图，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，求证：BD=CD。
［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC的延长线上，且BE=CF，EF与BC交于D，求证：ED=DF。
证明：过点E作EG//AF交BC于点G
∴∠EGB=∠ACB，∠EGD=∠FCD
∵AB=AC
∴∠B=∠ACB，∠B=∠FGB，BE=GE
∵BE=CF，∴GE=CF
在△EGD和△FCD中，
∠EGD=∠FCD，∠EDG=∠FDC，GE=CF
∴△EGD≌△FCD（AAS） ∴ED=FD
如图(8)，已知△ABC中，AB=AC，F在AB上，O在AC的延长线上，且BF=CD，求证：EF=ED。
本题是一个几何直线型问题的证明题 ，而该题型的证明方法丰富多彩，如果通过不同的出发点下手，那么同样可以达到解题的目的。不妨对本例的多种证明方法，作以下分析：
分析1：如图(8)，作FG∥AD，交BC于G，利用△FGE≌△DEC，求证FE=ED。
分析2：如图(9),作DH∥AB与BC延长线相交于H，利用△BEF≌△HED来证。
分析3：如图(10)，作DK∥BC与AB延长线相交于K，用FB=BK，证FE=ED。
分析4：如图(11)，作FL∥BC与AC相交于L，用DC=CL证DE=EF
图(8) 图 (9) 图(10) 图(11)
由于数学问题具有综合性与多样性，理应启发学生从多角度、多方位进行探索，得到不同的解法. 这有利于引导学生多向联想和发散思维，加强新旧知识的联系，培养学生分析问题和解决问题的能力.
高观点解题（你能一眼看穿它吗？）
求证：AC∥BD, AC:BD=r:R。
证明两三角形相似。
如果我们用位似变换的观点思考它，则结论是显而易见的。两位似图形对应线段平行，且对应线段之比等于位似比。
你能一眼看出AC⊥BC吗？
你能一眼看出AD⊥BE吗？
两圆可以相交，可以外离，
思考：内切、内含
两圆外位似改为两圆内位似
ABCD为等腰梯形，求证：AC2=AD2+AB·CD。
线段与角的对偶
课件
ABCD为梯形，E、F分别为AD、BC中点，则EF=1/2(AB+CD)。
ABCD为凹四边形，BD、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分线，则∠D =1/2(∠A+∠E)。
ABCD为梯形，AE：ED=BF：FC=m：n，则EF= (nAB+mCD)/(m+n)。
ABCD为凹四边形，∠ABD：∠DBE=∠ACD：∠DCE=m：n，则∠D = (n∠A+m∠E) /(m+n)。
旋转变式
【5】.已知:如图在等边▲ABC和▲ECD中,连接AD和BE相交于H点;它们与AC,EC相交于F,G两点 ① 试求证:CF=CG ②若等边▲ECD绕C点旋转一定和角度以后,CF与CG的大小关系又什么.
二．26．（2004年黑龙江中考试题26题）在⊿ABC中，AD是中线，O为AD的中点，直线l过O点，过A、B、C三点分别作直线l的垂线，垂足分别为G、E、F。当直线绕O点旋转到与AD垂直时（如图7-1），易证：BE+CF=2AG
当直线l绕O点旋转到与AD不垂直时，在图7-2，图7-3两种情况下，线段BE、CF、AG又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对图7-3的猜想给予证明。
HYPERLINK "http://www./upfile/20050617163506.jpg" \o "点击图片看全图" \t "_blank"
图7-1 图7-2 图7-3
07武汉
24．(本题10分)填空或解答：点B、C、E在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，直线AE、BD交于点F。
(1)如图①，若∠BAC＝60°，则∠AFB＝_________；如图②，若∠BAC＝90°，则∠AFB＝_________；
(2)如图③，若∠BAC＝α，则∠AFB＝_________(用含α的式子表示)；
(3)将图③中的△ABC绕点C旋转(点F不与点A、B重合)，得图④或图⑤。在图④中，∠AFB与∠α的数量关系是________________；在图⑤中，∠AFB与∠α的数量关系是________________。请你任选其中一个结论证明。
08中山
21.（本题满分9分）（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．
求∠AEB的大小；
（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小.
08天津
25．（本小题10分）
已知Rt△ABC中，，，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线交于点M，N．
（Ⅰ）当扇形绕点C在的内部旋转时，如图①，求证：；
思路点拨：考虑符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△沿直线对折，得△，连，只需证，就可以了．
请你完成证明过程：
（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
2008年北京市 ( http: / / www. )高级中等学校招生考试
25．请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结．若，探究与的位置关系及的值．
小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；
（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）．
解：（1）线段与的位置关系是 ； ．
（2）
2008年天津市 ( http: / / www. )初中毕业生学业考试试卷
25．（本小题10分）
已知Rt△ABC中，，，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线交于点M，N．
（Ⅰ）当扇形绕点C在的内部旋转时，如图①，求证：；
思路点拨：考虑符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△沿直线对折，得△，连，只需证，就可以了．
请你完成证明过程：
（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
二○○八年牡丹江市 ( http: / / www. )初中毕业学业考试
已知：正方形中， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．
当绕点旋转到时（如图1），易证．
（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
二○○八年黑河市 ( http: / / www. )初中毕业学业考试
26．（本小题满分8分）
已知：正方形中， HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.DSMT4 ，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．
当绕点旋转到时（如图1），易证．
（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
马尾区2005年
23．（12分）用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.
（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图13—1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；
（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图13—2），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.
徐州巿2008年
28.如图1，一副直角三角板满足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30°
【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q
【探究一】在旋转过程中，
（1） 如图2，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明.
（2） 如图3，当时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由.
（3） 根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，EP与EQ满足的数量关系式
为_________,其中的取值范围是_______(直接写出结论，不必证明)
【探究二】若，AC＝30cm，连续PQ，设△EPQ的面积为S(cm2)，在旋转过程中：
（1） S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由.
（2） 随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化？不出相应S值的取值范围.
2006年大连西岗区初中毕业升学统一考试模拟
26.如图16，以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中点，请你探究线段DE与AM之间的关系。
说明：⑴如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写
3步)；⑵在你经历说明⑴的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。
注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得5分。
①画出将△ACM绕某一点顺时针旋转180°后的图形；
②∠BAC = 90°(如图17)
附加题：如图18，若以△ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角△ABE和△ACD，其它条件不变，试探究线段DE与AM之间的关系。
武汉市2006年课改实验区初中毕业生学业考试
24．（本题10分）已知：将一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如图①摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点。将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H。
（1）当α＝30°时(如图②)，求证：AG=DH；
（2）当α＝60°时(如图③)，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；
（3）当0°＜α＜90°时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图④说明理由。
2006年伊春市
26．(本题8分)
已知∠AOB=900，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E．
当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)，易证：OD+OE=OC．
当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立 若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系 请写出你的猜想，不需证明．
图1 图2 图3
二00八年黑龙江
26.(本小题满分8分)
已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N.
当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1)，易证BM十DN=MN.
(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2)，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系 写出猜想．并加以证明.
(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系 请直接写出你的猜想.
湖北省二○○八年
23．（本小题满分8分）
得分 评卷人
将两块全等的含30°角的三角尺如图(1)摆放在一起，它们的较短直角边长为3．
(1) 将△ECD沿直线l向左平移到图(2)的位置，使E点落在AB上，则CC′=______；
(2) 将△ECD绕点C逆时针旋转到图(3)的位置，使点E落在AB上，则△ECD绕点
C旋转的度数=______；
(3) 将△ECD沿直线AC翻折到图(4)的位置，ED′与AB相交于点F，求证AF=FD′．
2008年沈阳市
25．已知：如图①所示，在和中，，，，且点在一条直线上，连接分别为的中点．
（1）求证：①；②是等腰三角形．
（2）在图①的基础上，将绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；
（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长交线段于点．求证：．
2008年天津市
25．（本小题10分）
已知Rt△ABC中，，，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线交于点M，N．
（Ⅰ）当扇形绕点C在的内部旋转时，如图①，求证：；
思路点拨：考虑符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△沿直线对折，得△，连，只需证，就可以了．
请你完成证明过程：
（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
仙桃市 潜江市
江 汉 油 田2008年
23. （本题满分10分）
小华将一张矩形纸片（如图1）沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），其中，然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放，纸片的直角顶点落在纸片的斜边上，直角边落在所在的直线上.
（1） 若与相交于点，取的中点，连接、，当纸片沿方向平移时（如图3），请你观察、测量、的长度，猜想并写出与的数量关系，然后证明你的猜想；
（2） 在（1）的条件下，求出的大小（用含的式子表示），并说明当°时， 是什么三角形？
（3） 在图3的基础上，将纸片绕点逆时针旋转一定的角度（旋转角度小于90°），此时变成，同样取的中点，连接、（如图4），请继续探究与的数量关系和的大小，直接写出你的猜想，不需要证明，并说明为何值时，为等边三角形.
得 分 评 卷 人
山西省太原市2008年初中毕业生学业考试
28．（本小题满分10分）
将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片和．将这两张三角形胶片的顶点与顶点重合，把绕点顺时针方向旋转，这时与相交于点．
（1）当旋转至如图②位置，点，在同一直线上时，与的数量关系是 ． 2分
（2）当继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）在图③中，连接，探索与之间有怎样的位置关系，并证明．
原命题与逆命题
变逆
1、（1）如图，⊿ABC中，AB=AC，BD=CE，求证：DF=EF。
（2）如图，⊿ABC中，AB=AC，DF=EF，求证：BD=CE。
（3）如图，⊿ABC中，BD=CE，DF=EF，求证：AB=AC。
2、如图，⊿ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CA=CB，AD平分∠CAB。求证：AB=CD+AC。
3、如图，⊿ABC为等腰三角形，∠ACB=108°，CA=CB，AD平分∠CAB。求证：AB=BD+AC。
4、如图，⊿ABC为等腰三角形，∠ACB=100°，CA=CB，AD平分∠CAB。求证：AB=AD+CD。
正方形向矩形推广
浙江省2008年初中毕业生学业考试（义乌市卷）
23．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．
（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (ab，k0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．
（3）在第(2)题图5中，连结、，且a=3，b=2，k=，求的值．
2008年浙江省嘉兴市 ( http: / / www. )中考试题
23．小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面3个有联系的问题，请你帮助解决：
（1）如图1，正方形中，作交于，交于，求证：；
（2）如图2，正方形中，点分别在上，点分别在上，且，求的值；
（3）如图3，矩形中，，，点分别在上，且，求的值．
2008年辽宁省大连市
25．如图25－1，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M =∠B，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E．
⑴求证：ME = MF．
⑵如图25－2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并加以证明．
⑶如图25－3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB = mBC，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并说明理由．
⑷根据前面的探索和图25－4，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广命题；若不能，请说明理由．
直接证法与间接证法
2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．
求证：△PBC是正三角形．（初二）
图11—1
图11—2
m
m
m
m
图11—3
n
图11—4
图11—5
图1
H
G
A
B
C
E
F
B
G
C
H
A
F
E
图2
图3
B
C
G
H
E
F
A
A
（E）
B
C
（F）
P
l
l
l
A
A
B
B
Q
P
E
F
F
C
Q
图14-1
图14-2
图14-3
E
P
C
E
A
B
C
D
M
N
P
.
O
图8－3
A
B
M
C
P
N
O
.
图8－1
.
M
N
P
O
图8－4
A
B
C
.
O
A
B
C
D
M
N
P
图8－2
（第16题图）
A
B
D
C
A
C
B
D
E
图4—4
图4—5
F
A
B
C
D
E
P
M
(4)
A
B
C
D
E
P
M
(3)
A
B
C
D
E
P
M
(2)
A
B
C
D
E
M(P)
(1)
A
B
C
D
E
P
M
(5)
F
A
B
C
D
E
P
M
(6)
R
S
O
D
C
B
A
图3
P
图2
O
D
C
B
A
E
F
P
F
P(O)
D
C
B
A
图1
图甲
A
B
D
F
E
C
图乙
A
B
D
E
C
F
第28题图
图丙
A
B
D
C
E
A
B
P
C
Q
O
A
B
C
备用图
O
A
A
A
A
F
L
F
F
F
B
C
H
C
B
B
C
C
E
B
E
E
E
G
D
K
D
D
D
A
A
A
B
B
B
C
C
C
D
D
D
E
E
E
F
F
F
图①
图②
图③
(第24题图)
A
A
B
B
C
C
D
D
E
E
F
F
图④
(第24题图)
图⑤
B
A
O
D
C
E
图8
C
B
O
D
图7
A
C
A
B
E
F
M
N
图①
C
A
B
E
F
M
N
图②
D
C
G
P
A
B
E
F
图2
D
A
B
E
F
C
P
G
图1
C
A
B
E
F
M
N
图①
C
A
B
E
F
M
N
图②
B
B
M
B
C
N
C
N
M
C
N
M
图1
图2
图3
A
A
A
D
D
D
B
B
M
B
C
N
C
N
M
C
N
M
图1
图2
图3
A
A
A
D
D
D
（图3）
（图3）
（图2）
（图1）
45°
60°
A
E
D
B
C
F
A
G
D
H
M
E
F
C
B
(N)
第24题图
图①
图②
(2)
第23题图
A
C
B
E
D’
E’′′′′′′′′′′′
A
C
B
E
D
l
(3)
l
D’
F’
A
C
B
E
D
(4)
A
C
B
E
D
l
E’
C’
(1)
D
C
E
N
D
A
B
M
图①
C
A
E
M
B
D
N
图②
第25题图
C
A
B
E
F
M
N
图①
C
A
B
E
F
M
N
图②
图1
图2
图4
图3
C
A
E
F
D
B
C
D
O
A
F
B(E)
A
D
O
F
C
B(E)
图①
图②
图③
（第23题图1）
（第23题图2）
（第23题图3）
A
P
C
D
B
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2009年中考数学知识讲座之3
（ 2000年安徽省）均值不等式
26．比较下面两列算式结果的大小：（在横线上选填“＞”、“＜”、“=”）
42+32____2×4×3；
（－2）2+12____2×（－2）×1；
22+22____2×2×2；
……
通过观察归纳，写出能反映这种规律的一般结论，并加以证明．
03烟台（奇函数、偶函数的概念）
28．阅读下面材料，再回答问题：
一般地，如果函数y＝f（x）对于自变量取值范围内的任意x，都有f（－x）＝－f（x），那么y＝f（x）就叫做奇函数；如果函数y＝f（x）对于自变量取值范围内的任意x，都有f（－x）＝f（x），那么y＝f（x）就叫做偶函数．
例如：
当x取任意实数时，
即f（－x）＝－f（x）
所以为奇函数
又如f（x）＝
当x取任意实数时，
即f（－x）＝f（x）
所以f（x）＝是偶函数
问题（1）：下列函数中
① ② ③ ④ ⑤
所有奇函数是 ，所有偶函数是 （只填序号）．
问题（2）：请你再分别写出一个奇函数、一个偶函数．
（2002年湖北省鄂州中考题）
例5.从A、B、C三人中选取2人当代表，有A和B，A和C，B和C三种不同的选法，抽象
成数学模型是：从3个元素中选取2个元素的组合，记作=3.一般地，从m个元素中选取n个元素的组合，记作.
根据以上分析，从6人中选取4人当代表的不同选法有 种.
4.小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学.一天，他在解方程时，突然发生了这样的想法：这个方程在实数范围内无解，如果存在一个数,那么方程可以变为,则,从而是方程的两个根.小明还发现具有如下性质：
,,,,,
,,,……
请你观察上述等式，根据发现的规律填空：
,,.（n为自然数）
（2001年湖北省十堰市中考试题）
徐州市2000年的一道中考数学试题，即27题(10分题)也具有类似的功能。现摘录于下，供读者研究。
先阅读短文，再解答短文后面的问题。
在几何学中，通常用点表示位置，用线段的长度表示两点间的距离，用一条射线表示一个方向。在平面内，从一点出发的所有射线，可以用来表示平面内的多个不同的方向(图1)。
在线段的两个端点中(图2)，我们规定一个顺序：A为始点B为终点，我们就说线段AB具有射线AB的方向。具有方向的线段，叫做有向线段。通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向。以A为始点，以B为终点的有向线段记作。应注意，始点一定要写在终点的前面。
已知，线段AB的长度叫做有向线段的长度(或模)，的长度记作||。
有向线段包含三个要素：始点、方向和长度。知道了有向线段的始点，它的终点就被方向和长度所唯一确定。
解答下列问题：
(1)如果两条有向线段的长度相同，始点的位置相同，那么它们的终点位置是否相同？为什么？
(2)如果两条有向线段的方向相同，始点的位置相同，那么它们的终点位置是否相同？为什么？
(3)在平面直角坐标系中画出下列有向线段(有向线段与x轴的长度单位相同)：
①||=2，与x轴的负半轴的夹角是45°，且与y轴的正半轴的夹角是45°；
②的终点B的坐标为(3，)，求它的模及它与x轴的正半轴的夹角。
(4)已知点M，A，P在同一直线上，那么||+||=||一定成立吗？画出图形并加以说明。
为便于阅读，提供参考答案供读者对照：
(1)不一定，因为两条有向线段的方向可能不同；(2)不一定，因为两条有向线段的长度可能不相等；(3)①图略，终点应在点(-2，2)。②模为2，夹角为30°；(4)配合所画图形说明：不一定。举反例，如图，则||-||=||；或者||-||=||。
割与补
（四）、合角与分角
例、如图，⊿ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，D、E是BC上两点，且∠DAE=45°，求证：BD2+CE2=DE2。
证法一：（合角：旋转解题）
把⊿ABD绕A逆时针旋转90°到⊿ACF，连结EF，
证法二：（分角：翻折解题）
以AD为对称轴把⊿ABD翻折为⊿AFD，连结EF，
12、如图，△ABC中，D是BC的中点，∠EDF＝90°，求证：BE+CF＞EF。
证法1：（旋转变换---中心对称变换）
证法2：翻折----轴对称变换
证法3：
证法4：
（1）如图，△ABC中，∠A=90°，D是BC的中点，∠EDF＝90°，求证：EF2 =BE2+CF2
BE∥CF，D是BC的中点，∠EDF＝90°，求证： EF =BE+CF。
基本量思想编题
判定一个四边形为平行四边形需两个条件，可以编出很多题
已知AB∥CD，AB+BC=CD+DA，求证：ABCD为平行四边形。
徐州巿2008年
26.已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O,给出下列四个论断
① OA＝OC ② AB＝CD ③ ∠BAD＝∠DCB ④ AD∥BC
请你从中选择两个论断作为条件,以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论,完成下列各题：
①构造一个真命题，画图并给出证明；
②构造一个假命题，举反例加以说明.
判定两个三角形全等需要三个条件，可以编出很多题
(1)若两个三角形的三条高对应相等,则这两个三角形全等; (2)若两个三角形的三条中线对应相等,则这两个三角形全等; 等等! 请问:有谁会证明我的上述俩命题 尤其是第(1)题!
第（1）个用三角形的面积和相似三角形证；
第（2）个用重心定理证。
其它相关结论（我没有看见前面的相关贴子）：
S——三角形的边；A——三角形的角；M——三角形的中线；H——三角形的高；T——三角形的角平分线。
一、中线与边构成的命题
1、SMS、2、SSM、3、MSM、4、MMS、5、MMM；
二、中线与角构成的命题
6、AMA、7、AAM、8、MAM、9、MMA。
以上9个命题可能都是真命题。
三、如果把以上9个命题中的M分别换成H、T，则又可得18个命题。我只能判断其中的部分命题的真假。
四、如果分别把M、H、T、S、A结合，则又可得许多难度更大的命题：
如：MHM、MMH、HMH、HHM；SMA、SAM、MAS；等等。
面积、周长再加一个条件判定全等
加倍与折半
如图，⊿ABC中，AD⊥BC于D，E为BC中点，AB=2DE，求证：∠B=2∠C。
从条件AB=2DE出发：
方法一：（利用中位线构造AB的一半）
方法二：（利用直角三角形斜边上的中线构造AB的一半）
方法三：（构造2DE的线段）
从结论∠B=2∠C出发：
方法四：（构造2∠C或∠B的 角）
方法五：（构造∠C或1/2∠B的 角）
例1、直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半。
书本上使用的是延长的方法：
实际上，我们完全可以使用截取的方法。
例2、正方形ABCD中，AE⊥EF，CF为∠DCB外角平分线。求证：AE=EF。
截取略，下面给出延长的证法：
过F作FG⊥BC于G，
则⊿ABE∽⊿EGF，
所以BE：AB=FG：EG，
设AB=BC=a ，BE=x，CG=FG=y，则EG=a-x+y。
所以x：a =y：(a-x+y)
x (a-x+y)= a y
x (a-x)+xy- a y=0
x (a-x)+ y(x- a )=0
(a-x)(x- y)=0
∵a≠x
∴x=y
BE=FG
∴⊿ABE≌⊿EGF
∴AE=EF
例3、如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C。
(1)当AB＝4，DC＝1，BC＝4时，在线段BC上是否存在点P，使AP⊥PD？如果存在求线段BP的长；如果不存在，请说明理由。
(2)设AB＝a，DC＝b，AD＝c，那么当a、b、c之间满足什么关系时，在直线BC上存在点P，使AP⊥PD？
代数方法：
设BP=x，运用勾股定理及其逆定理构造方程，易解。
几何方法：
以AD为直径作圆，判断这个圆与BC有无交点。
例1、正方形ABCD中， EF=BE+DF 。求证： ∠EAF=45° 。
延长略，下面给出截取的证法：
过A作AG⊥EF于G，
则AB2+BE2=AE2=AG2+EG2 (1)
AD2+DF2 =AF2=AG2+FG2 (2)
(1)-(2)，得
BE2-DF2 = EG2-FG2
(BE+DF)(BE-DF) = (EG+FG)(EG-FG)
而BE+DF =EF= EG+FG (3)
∴BE-DF= EG-FG (4)
由(3)、(4) 易得
BE= EG ，DF= FG
从而可以证明⊿ABE≌⊿AGE，⊿ADF≌⊿AGF
∴∠BAE=∠GAE，∠DAF=∠GAF
∴∠EAF=45°
连续变化的观点
04河北
26. （本小题满分12分）
我们知道：由于圆是中心对称图形，所以过圆心的任何一条直线都可以将圆分割成面积相等的两部分（如图11—1）.
探索下列问题：
（1）在图11—2给出的四个正方形中，各画出一
条直线（依次是：水平方向的直线、竖直方
向的直线、与水平方向成45°角的直线和
任意的直线），将每个正方形都分割成面积
相等的两部分；
（2）一条竖直方向的直线m以及任意的直线n，
在由左向右平移的过程中，将正六边形分成
左右两部分，其面积分别记为S1和S2.
①请你在图11—3中相应图形下方的横线上
分别填写S1与S2的数量关系式（用“<”，
“=”，“>”连接）；
②请你在图11—4中分别画出反映S1与S2
三种大小关系的直线n，并在相应图形下
方的横线上分别填写S1与S2的数量关系
式（用“<”，“=”，“>”连接）.
（3）是否存在一条直线，将一个任意的平面图形（如图11—5）分割成面积相等的两部分 请简略说出理由.
连续变化观点帮助解题
1、如图，锐角三角形ABC，D为线段AB上一动点，DE∥BC，DF∥AC，问是否存在这样的点D，使得平行四边形DECF为菱形。
连续变化观点帮助解题1.gsp ( 连续变化观点帮助解题1.gsp )
2、如图，四边形ABCD中，∠ADC为锐角，∠ABC为钝角，E为线段BD上一动点，是否存在这样的点E，使得∠AEC=90°？若有，有几个这样的点？
连续变化观点帮助解题2.gsp ( 连续变化观点帮助解题2.gsp )
3、有多少条直线可以把五边形面积平分？
未命名.gsp运动思想3.gsp ( 未命名.gsp运动思想3.gsp )
利用连续变化思想编题
如图，⊿ABC中，AB=AC，D为AB 上一点，E为AC 延长线上一点，满足BD=CE，求证：DE>BC。
代数方法
几何方法
编题：
BC可以看成DE的极端情况，即BD=CE=0的情况，由连续变化思想我们可以猜想随着BD的增大，DE也增大。于是得到下面这道题：
代数方法
几何方法
三明治问题
内角平分线与外角平分线
1、（1）
AB：AC=BD：CD
AD2=AB·AC-BD·CD
（2）
AB：AC=BD：CD
AD2= BD·CD- AB·AC
2、（1）
AB·AC=AD·AE
（2）
AB·AC=AD·AE
3、（1）如图，⊿ABC中，AC＞AB ，AD平分∠BAC，P为AD上任意一点。求证：AC-AB＞ PC-PB。
（2）如图，⊿ABC中，AD平分∠BAC的外角，P为AD上任意一点。求证：AC-AB＞ PC-PB。
。求证：AC+AB＜ PC+PB。
内角与外角
1、一个多边形的各内角都等于120°，它是几边形。（新人教版第84页一道练习题）
解法1：设多边形的边数为n，依题意，得
（n-2）·180=n·120
解得n=6，即这个多边形的边数为6。
解法2：依题意知，这个多边形的每个外角是180°－120°=60°。
所以，多边形的边数n=360°÷60°=6，即这个多边形的边数为6。
2、凸2009边形内角中最多有多少个锐角？
解法1：从外角和考虑很方便
因为外角和为360°，外角中最多有三个钝角，对应的，内角中最多有3个锐角。
有些书本称无法用内角和公式解答。
事实上，完全可以内角和公式解答，只不过比较复杂而已。
解法2：设内角中有x个锐角，则有（2009- x）个非锐角。
x个锐角度数和 + （2009- x）个非锐角度数和=（2009-2）·180°
进行放缩
x·90+（2009- x）·180>（2009-2）·180
- x·90>-2·180
x<4
x最大值为3。
即内角中最多有3多少个锐角。
内与外
05长沙
24(本题满分8分)
己知点E、F在⊿ABC的边 AB 所在的直线上，且AE=BF，FH∥EG∥AC，FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G．
⑴如图l，如果点E、F在边AB上，那么EG+FH=AC；
⑵如图2，如果点E在边AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是_______________ ；
⑶如图3，如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是_________ ；
对⑴⑵⑶三种情况的结论，请任选一个给予证明。
1、如图，⊿ABC是等腰三角形，AB=AC=4，D是线段BC上任意一点，求AD2+BD·CD的值。
2、如图，⊿ABC是等腰三角形，AB=AC=4，D是BC延长线上任意一点，求AD2-BD·CD的值。
AB·AC=AD·AE
平移变式
九、（本题满分12分）
29．如图1，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CD切⊙O于点C．AD⊥CD，垂足为D．
（1）求证：＝AB·AD
（2）若将直线CD向上平移，交⊙O于、两点，其它条件不变，可得到图2所示的图形，试探索A、A、AB、AD之间的关系，并说明理由．
（3）把直线D继续向上平移，使弦与直径AB相交（交点不与A、B重合），其它条件不变．请你在图3中画出变化后的图形，标好相应字母，并试着写出与（2）相应的结论，判断你的结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请给出证明．
2008年河北省
24．（本小题满分10分）
如图14-1，的边在直线上，，且；的边也在直线上，边与边重合，且．
（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系；
（2）将沿直线向左平移到图14-2的位置时，交于点，连结，．猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；
（3）将沿直线向左平移到图14-3的位置时，的延长线交的延长线于点，连结，．你认为（2）中所猜想的与的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
1999年四川省成都市初中毕业、高中招生考试数学试题
五、(共8分)
已知：如图,MN为⊙O的直径,l⊥MN于H,割线MCA及弦MBD分别交⊙O于C、D．
求证：MA·MC=MB·MD．
07天津
25. （本小题10分）
如图①，AD是圆O的直径，BC切圆O于点D，AB、AC与圆O相交于点E、F。
（1）求证：；
（2）如果将图①中的直线BC向上平移与圆O相交得图②，或向下平移得图③，此时，是否仍成立？若成立，请证明，若不成立，说明理由。
42．已知：AB是⊙O的直径，AP、AQ是⊙O的两条弦，如图9（a），过点B做⊙O的切线l，分别交直线AP、AQ于点M、N．可以得出结论AP·AM=AQ·AN成立．
（1）若将直线l向上平行移动，使直线l与⊙O相交，如图9（b）所示，其它条件不变，上述结论是否成立？若成立，写出证明；若不成立，说明理由；
（2）若将直线l继续向上平行移动，使直线l与⊙O相离，其它条件不变，请在图9（c）上画出符合条件的图形，上述结论成立吗？若成立，写出证明；若不成立，说明理由．
42．（1）连结PQ、BQ．1分
∵AB是直径，∴∠AQB=90°．∴∠B+∠BAN=90°．
由图（1），知l⊥AB，∴∠BAN+∠ANM=90°．∴∠B=∠ANM．
∵∠B=∠APQ，∴∠ANM=∠APQ．3分
∵∠MAN是公共角，∴△ANM∽△APQ．4分
∴AN∶AP=AM∶AQ．∴AP·AM=AQ·AN．6分
（2）如图（3），（画图正确）7分
连结PQ、BQ，延长BA交l于点C．8分
∵AB是直径，∴∠AQB=90°．∴∠B+∠BAQ=90°．
由图（1），知AB⊥l，∴∠MNA+∠NAC=90°．
∵∠NAC=∠BAQ，∠B=∠P，∴∠MNA=∠P．10分
∵∠PAQ=∠MAN，∴△PAQ∽△NAM．11分
∴AP∶AN=AQ∶AM．∴AP·AM=AQ·AN．13分
正三角形向正多边形推广
正三角形向正多边形推广
06江西
25．问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：
①如图1，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=60°，则BM=CN；
②如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=90°，则BM=CN。
③如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O。若∠BON=108°，则BM=CN。
任务要求：
（1）请你从①，②，③三个命题中选择一个进行证明；
（说明：选①做对的得4分，选②做对的得3分，选③做对的得5分）
（2）请你继续完成下面的探索：
①请在图3中画出一条与CN相等的线段DH，使点H在正五边形的边上，且与CN相交所成的一个角是108°，这样的线段有几条？（不必写出画法，不要求证明）
②如图4，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、EA上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，请问结论BM=CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。
（I）我选
证明
2005年大连市
20、如图，8－1、8－2、8－3、…、8－n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动。
（1） 求图8－1中∠APN的度数；
（2） 图8－2中，∠APN的度数是_______，图8－3中∠APN的度数是________。
（3） 试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）
2006年大连西岗区初中毕业升学统一考试模拟
21.如图①、②、③中，点E、D分别是正△ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE = CD，DB交AE于P点．
⑴求图①中，∠APD的度数；
⑵图②中，∠APD的度数为___________，图③中，∠APD的度数为___________；
⑶根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n 边形情况．若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．
2008年福建省南平市
26．（14分）
（1）如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点．
①如图1，求证：；
②探究：如图1， ；
如图2， ；
如图3， ．
（2）如图4，已知：是以为边向外所作正边形的一组邻边；是以为边向外所作正边形的一组邻边．的延长相交于点．
①猜想：如图4， （用含的式子表示）；
②根据图4证明你的猜想．
三角形向梯形推广
2008年陕西省中考
16、如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC＋∠BCD＝90°
且DC＝2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作
正方形，其面积分别为、、，则、、之间
的关系是 。
成都市二00八年
20. 已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC，E、F分别是AB和BC边上的点.
（1）如图①，以EF为对称轴翻折梯形ABCD，使点B与点D重合，且DF⊥BC.若AD =4，BC=8，求梯形ABCD的面积的值；
（2）如图②，连接EF并延长与DC的延长线交于点G，如果FG=k·EF（k为正数），试猜想BE与CG有何数量关系？写出你的结论并证明之.
《数学小丛书》
这是由北京市数学会组织国内一批著名数学家为青少年编写的一套初等数学丛书，由人民教育出版社出版。1964年初版时全套共14本，其中前8本与中国青年出版社出版的《青年数学小丛书》(1962-1963)完全相同。1979年，《数学小丛书》由人民教育出版社再版。再版时又增加2本，成为16本。这套丛书的发行量很大，对丰富中学生数学知识，启发他们的思维，开扩他们的视野大有益处，是那个时代中学生的不可多得的数学课外读物。其书名和作者如下表所示。
《数学小丛书》
通法与巧法
1、如图，求证：∠1>∠5。
通法：∵∠1>∠3，∠3>∠5。
∴∠1>∠5。
巧法：延长AB交CD于G，则直接有∠1>∠5。
2、已知：⊿ABC中， BD、CE为高，BD=CE，求证：AB=AC
通法：用全等
巧法：用面积
3、求证关于X的方程（m2＋1）x 2－2mx＋（m2＋4）＝0没有实数根。（原课本习题）
通法：这是一元二次方程根的判别问题，故可用判别式着手：
△x＝4m2－4（m2＋1）（m2＋4）
＝－4（m2＋2）2
极易肯定其值互为负值，结论便可得。
巧法：原方程中出现x 2，m2等诸多平方，故可用完全平方考虑，原方程即
m2x2－2mx＋x2＋m2＋4＝0 便得（mx－1）2＋x2＋m2＋3＝0
∵（mx－1）2，x2，m2，3均为非负数，其和必是正数，不可能为零，故原方程没有实数根。
4、的小数部分为a，的小数部分为b，求a+b的值。
通法:∵
∴
∵
∴
∴
巧法:（一个学生的解答）
∵
∴
（当然不严谨，需稍稍修正）
∵0<的小数部分<10
∴
通法与巧法
5、5x2-2 x +9> 0
通法：5x2-2 x +9=5(x2- x) +9=……>0
巧法：（拆项）5x2-2 x +9=(x2-2 x +1)+(4 x2+8) >0
6、m为何值时，关于x的方程(x-3)2=1+m有实数解？
通法：去括号后用判别式
巧法：直接得到 1+m≥0
7、计算9992
通法：9992=(1000-1)2=10002-2000+1=……=998001
巧法：9992=9992-1+1=(999+1) (999-1)+1=1000·998+1=998001
8、甲乙两人进行100米赛跑，当甲跑到终点时，乙还差5米到达终点。若再次进行比赛，甲退后5米，问谁先到达终点？
通法：一般都是计算速度。
巧法：
有个别同学这样说理：当乙跑到95米的地方，甲追上了乙。最后5米由于甲快，所以甲先到。
9、三角形的外角和是360°.
通法：如下图，因为∠1和∠BAC是邻补角，所以∠1＋∠BAC＝180°.同理∠2＋∠ABC＝180°，∠3＋∠ACB＝180°.所以∠1＋∠BAC＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠ACB＝540°.
又因为∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，所以∠1＋∠2＋∠3＝360°.即三角形ABC的外角和是360°.
或用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
巧法：作BD∥AC
10、直线m切⊙O于A，直线n切⊙O于B，m∥n，求证：AB是⊙O的直径。
通法：连AO，则AO⊥m。因为m∥n，所以AO⊥n。连BO，则BO⊥n，所以A、O、B在一条直线上，故AB是⊙O的直径。
巧法：在⊙O上任取一点C，连AC、BC，则∠1=∠3，∠2=∠4。因为m∥n，所以∠1+∠2+∠3+∠4=180°。所以∠3+∠4=90°，故AB是⊙O的直径。
11、 30支足球队进行淘汰赛，决出一个冠军，问需要安排多少场比赛？
解 因为每场要淘汰1个队，30个队要淘汰29个队才能决出一个冠军。因此应安排29场比赛。
思 路 分 析 传统的思维方法是：30支队比赛，每次出两支队，应有15＋7＋4＋2＋1＝29场比赛。而上面这个解法没有盲目附和，考虑到每场比赛淘汰1个队，要淘汰29支队，那么必有29场比赛。
12、
例如：解方程(1997－x)2＋（x－1996）2=1如果按常规解法去括号、化简整理，难以奏效，但仔细观察、分析不难发现1997与1996的差恰好为1，把方程右边的1化成1997－1996并配以－x＋x则可迎刃而解。原方程可化为（1997－X）2＋（X－1996）2=[（1997?－X）＋（X－1996）]2化简整理得：2（1997－X）（X－1996）=0解得X1=1997，X2=1996。
已知：如图1，在△ABC中，AB=AC，D为BC上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB。
图1
求证：CG=DE+DF。
分析：本题要求证的是一条线段等于另外两条线段的和，直接证明有一定的难度，常用的方法是截长补短，因此要考虑添加辅助线，转化为证明两条线段相等。
法一：如图1，过点D作DH⊥CG。则四边形DEGH为矩形。
∴DE=GH
又在△CDF和△DCH中，∠CFD=∠DHC=90°，∠FCD=∠B=∠HDC，CD=CD
∴CH=DF
∴CG=CH+GH=DE+DF
法三：如图3，过点C作CH⊥ED，交ED的延长线于点H。则四边形CGEH是矩形。
∴CG=EH
图3
又在△DHC和△DFC中，∠CHD=∠CFD=90°，∠FCD=∠B=∠DCH，CD=CD
∴CG=EH=DE+DH=DE+DF
1．在一段双轨铁道上，两列火车迎头驶过，A列车车速为20m/s，B列车车速为24m/s，若A列车全长180m，B列车全长160m，两列车错车的时间为多少秒？
例2：试问方程：x1+x2+x3+…+x1001=2002
有多少组不同的正整数解？
分析：可以构造这样的一个对应关系：将2002个
相同的球排成一行，则它们之间有2001个间隔，
现将1000块板插入这2001个间隔中，（每个间隔
只能插入一块板）则显然每一组插法与原方程的每一组解产生了一一对应关系，而此时板的插法比较容易求，即2001个间隔中任选1000个间隔分别插入一块板，显然共有种不同的插法，所以原方程共有组不同的正整数解。
1、如果一元二次方程a x2+b x +c=0的两根之比 为2：3，求证：6b2=25ac
通法：设方程两根为2m、3m。则
巧法：设方程两根为、 。则
5x2-2 x +9> 0
通法：5x2-2 x +9=5(x2- x) +9=……>0
巧法：（拆项）5x2-2 x +9=(x2-2 x +1)+(4 x2+8) >0
巧法：（数形结合）令y=5x2-2 x +9
⊿=4-4·5·9<0，于是其图象与轴无交点。因为其图象开口向上，所以y>0，即5x2-2 x +9
>0。
配方法解方程
3x2-6x+1=0
通法：
3 (x2-2x)+1=0
3 (x2-2x+1)+1-3=0
巧法：
3·3x2-3·6x+3·1=0
9x2-18x+3=0
9x2-18x+9+3-9=0
(3x-3)2-6=0
将面积为a2的小正方形与面积为b2的大正方形放在一起(b>a>0)，用a、b表示⊿ABC的面积。
8、甲、乙二人分别后，沿着铁轨反向而行，此时，一列火车匀速地向甲迎面驶来，列车在甲身旁开过，用了15秒，然后在乙身旁开过，用了17秒，已知两人的步行速度都是3.6千米/时，这列火车有多长？
在一段双轨铁道上，两列火车迎头驶来，A列车车速为20m/s,B列车车速为14m/s,若A列车全长180m,B列车全长160m,求两车错车时间
1、如图，⊿ABC为等边三角形， D为⊿ABC内一点，DE⊥BC于E，DF⊥AB于F，DG⊥AC于G，求证：DE+DF+DG为定值。
证明：两条边上的高相等的三角形是等腰三角形。
法八：（等面积法）如图8，连接AD。由题意可知
。。
图8
而，即。
而AB=AC，故CG=DE+DF。
例2 30支足球队进行淘汰赛，决出一个冠军，问需要安排多少场比赛？
解 因为每场要淘汰1个队，30个队要淘汰29个队才能决出一个冠军。因此应安排29场比赛。
思 路 分 析 传统的思维方法是：30支队比赛，每次出两支队，应有15＋7＋4＋2＋1＝29场比赛。而上面这个解法没有盲目附和，考虑到每场比赛淘汰1个队，要淘汰29支队，那么必有29场比赛。
4.三角形的外角和是360°.
如下图，因为∠1和∠BAC是邻补角，所以∠1＋∠BAC＝180°.同理∠2＋∠ABC＝180°，∠3＋∠ACB＝180°.所以∠1＋∠BAC＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠ACB＝540°.
又因为∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，所以∠1＋∠2＋∠3＝360°.即三角形ABC的外角和是360°.
通法与技巧
如图所示，在△ABC中，AF⊥BC于F，BF=CF，DF=EF，GF=HF，则图中全等三角形有_________对。
分类一个一个数（注意不重不漏），共9对全等三角形。
图中共有21个三角形，在这21个三角形中，除△ABC、△ADE、△AGH无三角形与其全等外，其他18个三角形可以两两配对，共有9对全等三角形。
凸四边形与凹四边形
凸四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠B=90°，CD=12，AD=13，求凸四边形ABCD的面积。
凹四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠B=90°，CD=12，AD=13，求凹四边形ABCD的面积。
四边形的变式
凸四边形------凹四边形、折四边形
凸四边形：中点四边形的面积是原四边形的一半。
凹四边形：中点四边形的面积是原四边形的一半。
折四边形：复杂些，凸四边形用加法时，折四边形往往对应的是减法。
比如：梯形中位线等于上下底之和的一半。
折梯形（姑且这么叫）中位线等于上下底之差的一半。
凸四边形可以理解为：
折四边形：猜想有结论----
或（其中O为AB、CD的交点）这个结论对于凸四边形也成立。
对中点四边形的研究
只需要对角线垂直即可
只需要对角线相等即可
正方形的中点四边形是正方形。
对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形。
完全不同方向的多种思路
1、着眼点不同，解法就不同
1、如图，⊿ABC中，AD为BC边上的中线，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC。求证：BE+CF＞EF。
着眼于角平分线，可以进行翻折：
着眼于中线，可以把线段DE或着眼于角平分线，可以DF延长一倍：
2、如图，∠DAB=∠DAC，BD=CD，求证：AB=AC。
着眼于角平分线，可以过D点作着眼于角平分线，
可以着眼于角平分线，可以AB、AC垂线。
3、如图，∠B=∠C=90°，M为ＢＣ的中点，ＤＭ平分∠ＡＤＣ。求证：（１）ＡＭ平分∠ＢＡＤ。（２）ＤＭ⊥ＡＭ。
如图，已知AD⊥AC，BD⊥BC，AC=BD，求证：AD=BC。
一题多解
证法1：
证法2：
证法3：
证法4：
证法5：
证法6：不作辅助线
证法7：作∠BAC的平分线
求证：五角星五角之和为180°。
两个性质：
对顶三角形除对顶角之外的两个角之和相等。
凹四边形的一个凹角等于与它不相邻的三个内角的和。
证法1：对顶三角形除对顶角之外的两个角之和相等。
证法2：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
证法3：看成五个三角形内角和减去两个五边形的外角和。
⊿AFJ、⊿BFG、⊿CGH、⊿DHI、⊿EIJ五个三角形内角和减去两个五边形FGHIJ的外角和。
证法4：看成三个三角形内角和减去两个平角。
⊿AGD、⊿BEH、⊿CGH三个三角形内角和减去两个平角∠CGA、∠CHE。
利用对顶三角形，转化为一个四边形的内角和。
利用对顶三角形，转化为两个三角形的内角和。
转化为三角形的 外角和。
三个三角形内角和减去一个三角形内角和。
BD平分∠ABC，BC⊥CD，CD切⊙O于D，AB=4，BC=3求∠ABD。
08山东
中考题的一题多解
20．（08山东）(本题满分10分)
在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°， AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点．
求证：CE⊥BE．
2、跨分支解法
比如，解答一道几何题，可以使用纯几何方法，也可以动用代数法、三角法、复数法、向量法、解析法、面积法等非纯几何方法。例题略。
完全四边形
对角线与边同等看待
一、四边形的勾股定理
1、 如图，⊿ABC中，AD⊥BC于D，求证：AB2-AC2=BD2-CD2。
2、如图，⊿ABC中，AD⊥BC于D，求证：AB2-AC2=BD2-CD2。
3、如图，AD⊥BC于E，求证：AB2-AC2=BD2-CD2。
4、如图，AD⊥BC于E，求证：AB2-AC2=BD2-CD2。
5、如图，BD⊥CE于A，求证：DE2+BC2=BE2+CD2。
6、如图，ABCD是长方形，E是其内一点。AE=24，BE=20，CE=7，求DE的长。
7、类比6，若E在长方形外，请你编拟一道题，并解答。
一句话概括：
四边形的勾股定理
四点六线形，一组对边垂直，另两组对边的平方和相等。
如图，AB=CD，E、F分别为AD、BC中点，求证：∠BGF=∠CHF。
可以变式
如图，AB=CD，G、H分别为BD、AC中点，求证：∠AEF=∠DFE。
如图，AC=BD，E、F分别为AB、CD中点，求证：∠DGH=∠AHG。
一句话概括：
四点六线形，一组对边相等，其他对边的中点连线与它们构成的角相等。
平方和与平方差呢
1、在数轴上画出根号20。（书本上一道习题）
一般都会用平方和。
22+42=20
为什么不用平方差呢？
62-42=20
当然这道题的确用平方和比用平方差简单。
2、以15、112、113为边长的三角形是否为直角三角形？
用平方和就要使用计算器
验证：152+1122=1132
用平方差，则简单得多
1132-1122=（113+112）（113-112）=225·1=225=152
3、以2n+1、2n2+2n、2n2+2n +1（n为正整数）为边长的三角形是否为直角三角形？
有了上面一道题的解答学生可以想到平方差更简单，的确用平方差更简单。
（2n2+2n +1）2-（2n2+2n ）2
=(2n2+2n +1+2n2+2n )( 2n2+2n +1-2n2-2n )
= 4n2+4n +1
=(2n+1)2
作为学生思考到此可以为止，作为老师还要思考如果硬要使用平方和会怎么样？其实只要我们注意到三者的关系，也可以得到一个不错的解答：
（2n+1）2+（2n2+2n）2
=4n2+4n +1+（2n2+2n）2
=2（2n2+2n）+1+（2n2+2n）2
=（2n2+2n +1）2
倍长线段与巧取中点
1、如图，⊿ABC中，AD是中线，AB=6，AC=4。求AD的取值范围。
取AC中点E，连结DE。
延长AD到E，使得DE=AD，连结CE。
2、如图，四边形ABCD中，E为AD中点，F为BC中点，求证：EF≤1/2(AB+CD)。
连结AC，并取中点G，连结EG、FG。
连结AF，并延长一倍到G，连DG、CG。
例1、 比较与1.5的大小。
（这是08年南昌六套试卷中的一道题，原题为填空题）
难以放缩
从第二项开始放缩
失败
从第三项开始放缩
从第四项开始放缩
从第五项开始放缩
改：
比较与2的大小。（1）
容易放缩
（2）
（3）
（4）
我们知道这个结果则可以对（1）进行加强：
比较与1.7的大小。
当然这道题的放缩有一定的难度，但由（2）可得小，1.7大。
由（3）、（4）我们也可以编拟一些类似习题，但难度会相当大，只能供高中数学竞赛用。
初中老课本中有，现删掉的内容
老教材中删掉的内容
角平分线定理、韦达定理、正弦定理、余弦定理
2007年甘肃省白银等7市新课程数学试题
21．（8分）探究下表中的奥秘，并完成填空：
一元二次方程 两个根 二次三项式因式分解
x2-2x+1=0 x1=1 ， x2=1 x2-2x+1=（x-1）（x-1）
x2-3x+2=0 x1=1 ， x2=2 x2-3x+2=（x-1）（x-2）
3x2+x-2=0 x1=， x2=-1 3x2+x-2=2（x-）（x+1）
2x2+5x+2=0 x1=-， x2=-2 2x2+5x+2=2（x+）（x+2）
4x2+13x+3=0 x1= ， x2= 4x2+13x+3=4（x+ ）（x+ ）
将你发现的结论一般化，并写出来．
（2000年山西省）三角形内角平分线性质定理
请阅读下面材料，并回答所提出的问题．
三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．
已知：如图10，△ABC中，AD是角平分线．
与DC、AC所在三角形相似．现在B、D、C在一直线上，△ABD与△ADC不相似，需要考虑用别的方法换比．
考虑过C作CE∥AD，交BA的延长线于E，从而得到BD、DC、A
证明：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．
1．上述证明过程中，用到了哪些定理？（写对两个定理即可）
2．在上述分析、证明过程中，主要用到了下列三种数学思想的哪一种？选出一个填在后面的括号内．[ ]
（1）数形结合思想；
（2）转化思想；
（3）分类讨论思想．
3．用三角形内角平分线性质定理解答问题：
已知：如图11，△ABC中，AD是角平分线， AB=5cm，AC=4cm，BC=7cm．求BD的长．
2.观察下列分母有理化的计算：
， ，，…从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：
（2002年山西省中考题）
3.通过阅读所得的启示来证明问题（阅读题中的结论可以直接应用）
阅读：如图，△ABC内接于⊙O，∠CAE=∠B，求证：AE与⊙O相切于点A.
证明:作直径AF，连结FC，则∠ACF=90°，即∠AFC+∠CAF=90°
∵∠B=∠AFC
∴∠B+∠CAF=90°
又∵∠CAE=∠B
∴AE与⊙O相切于点A.
问题：如图，已知△ABC内接于⊙O，P是CB延长线上一点，连结AP，且,
求证：PA是⊙O的切线. （1999年安徽省中考题）
例4.先阅读理解下列例题，再接要求完成作业.
例题：解一元二次不等式
解：把分解因式得：
又，所以,由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有（1）或（2）
解不等式组（1）得,解不等式组得.
所以的解集为或.
因此一元二次不等式的解集为或.
作业题：1.求分式不等式的解集
2.通过阅读例题和做作业题1，你学会了什么知识和方法？
（2002年湖北省十堰市中考题）
代数变式
推广：
元数增多
三元
四元
依此类推
可以推广到任意元
次数增大
依此类推
可以推广到任意次数
等边三角形向等腰三角形推广
2005年苏州市
26．（本题6分）
（1）如图一，等边△ABC中，D是AB上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连结AE。求证：AE//BC；
（2）如图二，将(1)中等边△ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形。所作△EDC改成相似于△ABC。请问：是否仍有AE//BC？证明你的结论。
等与不等
1、如图，⊿ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CA=CB，AD平分∠CAB。求证：AB=CD+AC。
（1） （2） （3）
2、如图，⊿ABC为等腰三角形，∠ACB=108°，CA=CB，AD平分∠CAB。求证：AB=BD+AC。
3、如图，⊿ABC为等腰三角形，∠ACB=100°，CA=CB，AD平分∠CAB。求证：AB=AD+CD。
4、若∠A+∠B=∠C，则⊿ABC是_________三角形。
若∠A+∠B<∠C，则⊿ABC是_________三角形。
若∠A+∠B>∠C，则⊿ABC是_________三角形。
5、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
钝角三角形
锐角三角形
6、直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。
钝角三角形
锐角三角形
（山东临沂市2005）中，，若∠C=90°，如图4，根据勾股定理，则。若不是直角三角形，如图5和图6，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论。
解：若是锐角三角形，则有。
若是钝角三角形，∠C为钝角，则有。
证明：①当是锐角三角形时，如图5，过点A作，垂足为D，设CD为x，则有。
根据勾股定理，得，即。
。
。
②当是钝角三角形时，如图6，过点B作，交AC的延长线于点D，设CD为x，则。
根据勾股定理，得。即
点动
点动
2、求证（1）等腰三角形底边上任一点与两腰的距离的和等于腰上的高。
（2）等腰三角形底边延长线上任一点与两腰距离的差等于腰上的高。
9、等边三角形内一点到三边的距离之和为定值。
2007年甘肃省白银等7市新课程数学试题
27． [（1）—（3），10分] 如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．
在图（1）中， 点P是边BC的中点，此时h3=0，可得结论：．
在图（2）--（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．
（1）请探究：图（2）--（5）中， h1、h2、h3、h之间的关系；（直接写出结论）
（2）证明图（2）所得结论；
（3）证明图（4）所得结论．
（4） （附加题2分）在图（6）中，若四边形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60o， RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h1、h2、h3、h4，桥形的高为h，则h1、h2、h3、h4、h之间的关系为： ；图（4）与图（6）中的等式有何关系？
武汉市2006年
22．（本题8分）如图，已知：OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是射线OA上一点（点A除外），直线BP交⊙O于点Q，过Q作⊙O的切线交直线OA于点E.
(1)如图1，若点P在线段OA上，求证：∠OBP+∠AQE=45°；
(2)若点P在线段OA的延长线上，其它条件不变，∠OBP、∠AQE之间是否存在某种确定的等量关系？请你完成图2，并写出你的结论（不需证明）．
2008年莆田市
25．（12分）已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：，请你探究：当点P分别在图（2）、图（3）中的位置时，又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论。
答：对图（2）的探究结论为____________________________________.
对图（3）的探究结论为_____________________________________.
证明：如图（2）
2008年武汉市
24．（本题10分）正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F。如图1，当点P与点O重合时，显然有DF＝CF．
⑴如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E。
①求证：DF＝EF；
②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；
⑵若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E。请完成图3并判断⑴中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）
盐城二○○八年高中阶段教育招生统一考试
28 ( http: / / www. )．（本题满分12分）
如图甲，在中，为锐角，点为射线上一点，连接，以为一边且在的右侧作正方形．
解答下列问题：
（1）如果，，
①当点在线段上时（与点不重合），如图乙，线段之间的位置关系为 ，数量关系为 ．
②当点在线段的延长线时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果，，点在线段上运动．
试探究：当满足一个什么条件时，（点重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）
（3）若，，在（2）的条件下，设正方形的边与线段相交于点，求线段长的最大值．
04河南
24、如图12，∠BAC=90，直线与以AB为直径的圆相切于点B，点E是圆上异于A、B的任意一点。直线AE与相交于点D。
⑴如果AD=10，BD=6，求DE的长；
⑵连结CE，过E作CE的垂线交直线AB于F。当点E在什么位置时，相应的F位于线段AB上、位于BA的延长线上、位于AB的延长线上（写出结果，不要求证明）？无论点E如何变化，总有BD=BF。请你就上述三种情况任选一种说明理由。
05福州
20、已知：如图8，AB是⊙O的直径，P是AB上的一点（与A、B不重合），QP⊥AB，垂足为P，直线QA交⊙O于C点，过C点作⊙O的切线交直线QP于点D。则△CDQ是等腰三角形。
对上述命题证明如下：
证明：连结OC
∵OA＝OC
∴∠A＝∠1
∵CD切O于C点
∴∠OCD＝90°
∴∠1＋∠2＝90°
∴∠A＋∠2＝90°
在RtQPA中，QPA＝90°
∴∠A＋∠Q＝90°
∴∠2＝∠Q
∴DQ＝DC
即CDQ是等腰三角形。
问题：对上述命题，当点P在BA的延长线上时，其他条件不变，如图9所示，结论“△CDQ是等腰三角形”还成立吗？若成立，误给予证明；若不成立，请说明理由。
06黑龙江
26．(本题8分)
已知矩形ABCD和点P，当点P在图1中的位置时，则有结论：S△PBC=S△PAC+S△PCD理由：过点P作EF垂直BC，分别交AD、BC于E、F两点．
图l
∵ S△PBC+S△PAD=BC·PF+AD·PE=BC（PF+PE）=BC·EF=S矩形ABCD
又∵ S△PAC+S△PCD+S△PAD=S矩形ABCD
∴ S△PBC+S△PAD= S△PAC+S△PCD+S△PAD．
∴ S△PBC=S△PAC+S△PCD．
请你参考上述信息，当点P分别在图2、图3中的位置时，S△PBC、S△PAC、SPCD又有怎样的数量关系 请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明．
图2 图3
24.（本题满分10分）
半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P,已知BC:CA=4:3，点P在AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q.
（1）当点P运动与点C关于AB对称时，求CQ的长；
（2）当点P运动到AB的中点时, 求CQ的长；
（3）当点P运动到什么位置时，CQ取得最大值，并求出此时CQ的长.
点与线的对偶
两点确定一条直线
两条直线确定一个点
改大为小与改小为大
1、如图，已知E是正方形ABCD的边CD的中点，∠C的外角∠BCG的平分线CF交AE的垂线EF于F。AE与EF是什么关系？
2、如图，⊿ABC中，AB=AC，BD=CE，求证：DF=EF。
3、如图，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，求证：BD=CD。
［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC的延长线上，且BE=CF，EF与BC交于D，求证：ED=DF。
证明：过点E作EG//AF交BC于点G
∴∠EGB=∠ACB，∠EGD=∠FCD
∵AB=AC
∴∠B=∠ACB，∠B=∠FGB，BE=GE
∵BE=CF，∴GE=CF
在△EGD和△FCD中，
∠EGD=∠FCD，∠EDG=∠FDC，GE=CF
∴△EGD≌△FCD（AAS） ∴ED=FD
如图(8)，已知△ABC中，AB=AC，F在AB上，O在AC的延长线上，且BF=CD，求证：EF=ED。
本题是一个几何直线型问题的证明题 ，而该题型的证明方法丰富多彩，如果通过不同的出发点下手，那么同样可以达到解题的目的。不妨对本例的多种证明方法，作以下分析：
分析1：如图(8)，作FG∥AD，交BC于G，利用△FGE≌△DEC，求证FE=ED。
分析2：如图(9),作DH∥AB与BC延长线相交于H，利用△BEF≌△HED来证。
分析3：如图(10)，作DK∥BC与AB延长线相交于K，用FB=BK，证FE=ED。
分析4：如图(11)，作FL∥BC与AC相交于L，用DC=CL证DE=EF
图(8) 图 (9) 图(10) 图(11)
由于数学问题具有综合性与多样性，理应启发学生从多角度、多方位进行探索，得到不同的解法. 这有利于引导学生多向联想和发散思维，加强新旧知识的联系，培养学生分析问题和解决问题的能力.
高观点解题（你能一眼看穿它吗？）
求证：AC∥BD, AC:BD=r:R。
证明两三角形相似。
如果我们用位似变换的观点思考它，则结论是显而易见的。两位似图形对应线段平行，且对应线段之比等于位似比。
你能一眼看出AC⊥BC吗？
你能一眼看出AD⊥BE吗？
两圆可以相交，可以外离，
思考：内切、内含
两圆外位似改为两圆内位似
ABCD为等腰梯形，求证：AC2=AD2+AB·CD。
线段与角的对偶
课件
ABCD为梯形，E、F分别为AD、BC中点，则EF=1/2(AB+CD)。
ABCD为凹四边形，BD、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分线，则∠D =1/2(∠A+∠E)。
ABCD为梯形，AE：ED=BF：FC=m：n，则EF= (nAB+mCD)/(m+n)。
ABCD为凹四边形，∠ABD：∠DBE=∠ACD：∠DCE=m：n，则∠D = (n∠A+m∠E) /(m+n)。
旋转变式
【5】.已知:如图在等边▲ABC和▲ECD中,连接AD和BE相交于H点;它们与AC,EC相交于F,G两点 ① 试求证:CF=CG ②若等边▲ECD绕C点旋转一定和角度以后,CF与CG的大小关系又什么.
二．26．（2004年黑龙江中考试题26题）在⊿ABC中，AD是中线，O为AD的中点，直线l过O点，过A、B、C三点分别作直线l的垂线，垂足分别为G、E、F。当直线绕O点旋转到与AD垂直时（如图7-1），易证：BE+CF=2AG
当直线l绕O点旋转到与AD不垂直时，在图7-2，图7-3两种情况下，线段BE、CF、AG又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对图7-3的猜想给予证明。
HYPERLINK "http://www./upfile/20050617163506.jpg" \o "点击图片看全图" \t "_blank"
图7-1 图7-2 图7-3
07武汉
24．(本题10分)填空或解答：点B、C、E在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，直线AE、BD交于点F。
(1)如图①，若∠BAC＝60°，则∠AFB＝_________；如图②，若∠BAC＝90°，则∠AFB＝_________；
(2)如图③，若∠BAC＝α，则∠AFB＝_________(用含α的式子表示)；
(3)将图③中的△ABC绕点C旋转(点F不与点A、B重合)，得图④或图⑤。在图④中，∠AFB与∠α的数量关系是________________；在图⑤中，∠AFB与∠α的数量关系是________________。请你任选其中一个结论证明。
08中山
21.（本题满分9分）（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．
求∠AEB的大小；
（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小.
08天津
25．（本小题10分）
已知Rt△ABC中，，，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线交于点M，N．
（Ⅰ）当扇形绕点C在的内部旋转时，如图①，求证：；
思路点拨：考虑符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△沿直线对折，得△，连，只需证，就可以了．
请你完成证明过程：
（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
2008年北京市 ( http: / / www. )高级中等学校招生考试
25．请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结．若，探究与的位置关系及的值．
小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；
（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）．
解：（1）线段与的位置关系是 ； ．
（2）
2008年天津市 ( http: / / www. )初中毕业生学业考试试卷
25．（本小题10分）
已知Rt△ABC中，，，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线交于点M，N．
（Ⅰ）当扇形绕点C在的内部旋转时，如图①，求证：；
思路点拨：考虑符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△沿直线对折，得△，连，只需证，就可以了．
请你完成证明过程：
（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
二○○八年牡丹江市 ( http: / / www. )初中毕业学业考试
已知：正方形中， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．
当绕点旋转到时（如图1），易证．
（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
二○○八年黑河市 ( http: / / www. )初中毕业学业考试
26．（本小题满分8分）
已知：正方形中， HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.DSMT4 ，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．
当绕点旋转到时（如图1），易证．
（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
马尾区2005年
23．（12分）用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.
（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图13—1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；
（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图13—2），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.
徐州巿2008年
28.如图1，一副直角三角板满足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30°
【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q
【探究一】在旋转过程中，
（1） 如图2，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明.
（2） 如图3，当时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由.
（3） 根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，EP与EQ满足的数量关系式
为_________,其中的取值范围是_______(直接写出结论，不必证明)
【探究二】若，AC＝30cm，连续PQ，设△EPQ的面积为S(cm2)，在旋转过程中：
（1） S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由.
（2） 随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化？不出相应S值的取值范围.
2006年大连西岗区初中毕业升学统一考试模拟
26.如图16，以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中点，请你探究线段DE与AM之间的关系。
说明：⑴如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写
3步)；⑵在你经历说明⑴的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。
注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得5分。
①画出将△ACM绕某一点顺时针旋转180°后的图形；
②∠BAC = 90°(如图17)
附加题：如图18，若以△ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角△ABE和△ACD，其它条件不变，试探究线段DE与AM之间的关系。
武汉市2006年课改实验区初中毕业生学业考试
24．（本题10分）已知：将一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如图①摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点。将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H。
（1）当α＝30°时(如图②)，求证：AG=DH；
（2）当α＝60°时(如图③)，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；
（3）当0°＜α＜90°时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图④说明理由。
2006年伊春市
26．(本题8分)
已知∠AOB=900，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E．
当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)，易证：OD+OE=OC．
当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立 若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系 请写出你的猜想，不需证明．
图1 图2 图3
二00八年黑龙江
26.(本小题满分8分)
已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N.
当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1)，易证BM十DN=MN.
(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2)，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系 写出猜想．并加以证明.
(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系 请直接写出你的猜想.
湖北省二○○八年
23．（本小题满分8分）
得分 评卷人
将两块全等的含30°角的三角尺如图(1)摆放在一起，它们的较短直角边长为3．
(1) 将△ECD沿直线l向左平移到图(2)的位置，使E点落在AB上，则CC′=______；
(2) 将△ECD绕点C逆时针旋转到图(3)的位置，使点E落在AB上，则△ECD绕点
C旋转的度数=______；
(3) 将△ECD沿直线AC翻折到图(4)的位置，ED′与AB相交于点F，求证AF=FD′．
2008年沈阳市
25．已知：如图①所示，在和中，，，，且点在一条直线上，连接分别为的中点．
（1）求证：①；②是等腰三角形．
（2）在图①的基础上，将绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；
（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长交线段于点．求证：．
2008年天津市
25．（本小题10分）
已知Rt△ABC中，，，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线交于点M，N．
（Ⅰ）当扇形绕点C在的内部旋转时，如图①，求证：；
思路点拨：考虑符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△沿直线对折，得△，连，只需证，就可以了．
请你完成证明过程：
（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
仙桃市 潜江市
江 汉 油 田2008年
23. （本题满分10分）
小华将一张矩形纸片（如图1）沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），其中，然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放，纸片的直角顶点落在纸片的斜边上，直角边落在所在的直线上.
（1） 若与相交于点，取的中点，连接、，当纸片沿方向平移时（如图3），请你观察、测量、的长度，猜想并写出与的数量关系，然后证明你的猜想；
（2） 在（1）的条件下，求出的大小（用含的式子表示），并说明当°时， 是什么三角形？
（3） 在图3的基础上，将纸片绕点逆时针旋转一定的角度（旋转角度小于90°），此时变成，同样取的中点，连接、（如图4），请继续探究与的数量关系和的大小，直接写出你的猜想，不需要证明，并说明为何值时，为等边三角形.
得 分 评 卷 人
山西省太原市2008年初中毕业生学业考试
28．（本小题满分10分）
将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片和．将这两张三角形胶片的顶点与顶点重合，把绕点顺时针方向旋转，这时与相交于点．
（1）当旋转至如图②位置，点，在同一直线上时，与的数量关系是 ． 2分
（2）当继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）在图③中，连接，探索与之间有怎样的位置关系，并证明．
原命题与逆命题
变逆
1、（1）如图，⊿ABC中，AB=AC，BD=CE，求证：DF=EF。
（2）如图，⊿ABC中，AB=AC，DF=EF，求证：BD=CE。
（3）如图，⊿ABC中，BD=CE，DF=EF，求证：AB=AC。
2、如图，⊿ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CA=CB，AD平分∠CAB。求证：AB=CD+AC。
3、如图，⊿ABC为等腰三角形，∠ACB=108°，CA=CB，AD平分∠CAB。求证：AB=BD+AC。
4、如图，⊿ABC为等腰三角形，∠ACB=100°，CA=CB，AD平分∠CAB。求证：AB=AD+CD。
正方形向矩形推广
浙江省2008年初中毕业生学业考试（义乌市卷）
23．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．
（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (ab，k0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．
（3）在第(2)题图5中，连结、，且a=3，b=2，k=，求的值．
2008年浙江省嘉兴市 ( http: / / www. )中考试题
23．小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面3个有联系的问题，请你帮助解决：
（1）如图1，正方形中，作交于，交于，求证：；
（2）如图2，正方形中，点分别在上，点分别在上，且，求的值；
（3）如图3，矩形中，，，点分别在上，且，求的值．
2008年辽宁省大连市
25．如图25－1，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M =∠B，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E．
⑴求证：ME = MF．
⑵如图25－2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并加以证明．
⑶如图25－3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB = mBC，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并说明理由．
⑷根据前面的探索和图25－4，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广命题；若不能，请说明理由．
直接证法与间接证法
2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．
求证：△PBC是正三角形．（初二）
图11—1
图11—2
m
m
m
m
图11—3
n
图11—4
图11—5
图1
H
G
A
B
C
E
F
B
G
C
H
A
F
E
图2
图3
B
C
G
H
E
F
A
A
（E）
B
C
（F）
P
l
l
l
A
A
B
B
Q
P
E
F
F
C
Q
图14-1
图14-2
图14-3
E
P
C
E
A
B
C
D
M
N
P
.
O
图8－3
A
B
M
C
P
N
O
.
图8－1
.
M
N
P
O
图8－4
A
B
C
.
O
A
B
C
D
M
N
P
图8－2
（第16题图）
A
B
D
C
A
C
B
D
E
图4—4
图4—5
F
A
B
C
D
E
P
M
(4)
A
B
C
D
E
P
M
(3)
A
B
C
D
E
P
M
(2)
A
B
C
D
E
M(P)
(1)
A
B
C
D
E
P
M
(5)
F
A
B
C
D
E
P
M
(6)
R
S
O
D
C
B
A
图3
P
图2
O
D
C
B
A
E
F
P
F
P(O)
D
C
B
A
图1
图甲
A
B
D
F
E
C
图乙
A
B
D
E
C
F
第28题图
图丙
A
B
D
C
E
A
B
P
C
Q
O
A
B
C
备用图
O
A
A
A
A
F
L
F
F
F
B
C
H
C
B
B
C
C
E
B
E
E
E
G
D
K
D
D
D
A
A
A
B
B
B
C
C
C
D
D
D
E
E
E
F
F
F
图①
图②
图③
(第24题图)
A
A
B
B
C
C
D
D
E
E
F
F
图④
(第24题图)
图⑤
B
A
O
D
C
E
图8
C
B
O
D
图7
A
C
A
B
E
F
M
N
图①
C
A
B
E
F
M
N
图②
D
C
G
P
A
B
E
F
图2
D
A
B
E
F
C
P
G
图1
C
A
B
E
F
M
N
图①
C
A
B
E
F
M
N
图②
B
B
M
B
C
N
C
N
M
C
N
M
图1
图2
图3
A
A
A
D
D
D
B
B
M
B
C
N
C
N
M
C
N
M
图1
图2
图3
A
A
A
D
D
D
（图3）
（图3）
（图2）
（图1）
45°
60°
A
E
D
B
C
F
A
G
D
H
M
E
F
C
B
(N)
第24题图
图①
图②
(2)
第23题图
A
C
B
E
D’
E’′′′′′′′′′′′
A
C
B
E
D
l
(3)
l
D’
F’
A
C
B
E
D
(4)
A
C
B
E
D
l
E’
C’
(1)
D
C
E
N
D
A
B
M
图①
C
A
E
M
B
D
N
图②
第25题图
C
A
B
E
F
M
N
图①
C
A
B
E
F
M
N
图②
图1
图2
图4
图3
C
A
E
F
D
B
C
D
O
A
F
B(E)
A
D
O
F
C
B(E)
图①
图②
图③
（第23题图1）
（第23题图2）
（第23题图3）
A
P
C
D
B
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