2009年中考数学命题趋势与复习策略(江西省南昌市)
文档属性
| 名称 | 2009年中考数学命题趋势与复习策略(江西省南昌市) |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 2.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2009-04-13 18:44:00 | ||
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文档简介
课件155张PPT。2009年中考数学命题趋势与复习策略
江西师大附中 宁文苑一、2008年中考试题的新特点 全国各省市中考数学命题改革，在贯彻落实教育部《关于初中毕业、升学考试改革的指导意见》的基础上，充分体现了《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》的有关精神，“提供新材料，创设新情景，提出新问题，评价新方法”已成为试题创新设计的新特点，出现了一大批内涵丰富，立意深刻，构思巧妙，发人深思的好试题，分析这些试题，有利于改革教学，更新教学理念，把握命题走向．
1．新课程理念题初露曙光
动手实践，自主探索与合作交流是新课程倡导学生学习数学的三种重要学习方式，实践活动是培养学生进行主动探索与合作交流的重要途径，深刻领会新课程理念，对于揣摩命题意图，更新思维观点具有深远意义．例1（2008年·甘肃庆阳）正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin∠AOB=（ ） B． C． D．2 A．解读：将锐角∠AOB置于正方形网格中，让学生在一种宽阔的新颖背景中运用概念解决问题：本试题把∠AOB放在一个直角三角形的模型中，利用三角函数的定义方法进行求解，这样做看似无意，实则对要解决的问题的层次性更加灵活变通，突出了试题的数学本质． 例2（2008年·江西南昌）一个几何体是由一些大小相同的小正方形摆成的，其俯视图与主视图如图所示，则组成这个几何体的小正方形最多有（ ）
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个 解读：本题以几何体的俯视图与主视图为背景，采取设问的隐蔽性、选项的迷惑性，让学生在经历实物与三视图之间的相互转化过程中，进行头脑中的操作与思考，体现对数学活动过程与空间观念的考查．例3（2008年·山西太原）已知m≥2，n≥2，且m、n均为正整数，如果将mn进行如下方式的“分解”，那么下列三个叙述： （1）在25的“分解”中最大的数是11； （2）在43的“分解”中最小的数是13； （3）若m3的“分解”中最小的数是23， 则m等于5． 其中正确的是 ．解读：本题以树状图的图谱“分解”为背景，将指数的底数与分解的层次有机地组合，让学生在一种探索数字规律的过程中感受数字的和谐统一美．2．研究实验题正在升温 学生的数学学习过程是一种再创造的 过程，引导学生将探究问题通过分析的过程展示出来，对学生的数学素质提出了新的要求、新的挑战、新的责任．例4（2008年·河南）复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连结BQ、CP，则BQ=CP． 小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图②的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP．之后，他将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中其他条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图②给出证明． 图① 图②解读：以基本的“三角形”图案为背景，呈现了题目中条件“点在三角形内”拓展到“点在三角形外”，其证明的方法与结论不变的数学方法，以此进行推理论证的数学探究过程，从而促使学生进行主动性的观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学过程．例5（2008年·浙江温州）文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”（如图），她们对各自所作的辅助线描述如下： 文文：“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D”； 彬彬：“作△ABC的角平分线AD”． 数学老师看了两位同学的辅助线作法后， 说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作 法需要订正．” （1）请你简要说明文文的辅助线作法错 在哪里； （2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明 过程． 解读：以课堂常见的设计的方式呈现问题，给学生一种亲切感，以等腰三角形的判定、性质、三角形全等为知识载体，考查学生的阅读理解能力、合情的推理能力、探究数学活动的意识能力，展示不同思维水平的学生在解答本题的过程中所表现出来的不同状况．3．开放评价题形成新气候 数学学业水平考试，首先是一个测试过程，力图考查学生课程目标的达成状况，同时也是一个学生的发展过程，在试卷中，给予学生一定的自主性，给不同学生展现自己才华的机会，给开放性试题制定相应的开放评分标准，尊重不同的解答方法和表达方式是很有必要的．例6（2008年·江西南昌）如图，在平面直角坐标系中，有A（0，1）、B（－1，0）、C（1，0）三点坐标． （1）若点D与A、B、C三点构成平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标； （2）选择（1）中符合条件的一点D，求直线BD的解析式．解读：判断四边形是平行四边形，可从“两组对边相等、两组对边平行、一组对边平行且相等、两条对角线互相平分”等方面入手，借助给定的A、B、C三个顶点坐标，用分类讨论的思想方法求出第四个顶点D点坐标，本问题有三种方法，任选一种方法都可以，这样可使一题多题的开放理念得以极大地发挥．例7（2008年·陕西）阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案． （1）所需的测量工具是： ； （2）请在给定的图中画出测量示意图； （3）设树高AB的长度为x，请用所测数据 （用小写字母表示）求出x．解读：本题选用的方案有多种，设计的方法也有所不同，独立构建数学模型也没有固定格式和标准，可根据特定情况比较才能找到解决问题的方法．例8（2008年·辽宁大连）点A、B分别是两条平行线m、n上任意两点，在直线n上找一点C，使BC=kAB，连结AC，在直线AC上任取一点E，作∠BEF=∠ABC，EF交直线m于点F． （1）如图①，当k=1时，探究线段EF与EB的关系，并加以说明； 说明：①如果你经过反复探索没有解决问题，请写出探索过程（要求至少写三步）；②在完成①之后，可以自己添加条件（添加的条件限定为∠ABC为特殊角），在图②中补全图形，完成证明（选择添加条件比原题少得3分）. （2）如图③，若∠ABC=90°，k≠1，探究线段EF与EB的关系，并说明理由．解读：由于考生学习经验和思考角度不同，所解答试题的难易层次性的问题也有所不同，由自我添加条件进行论证，为考生的发展提供了极佳的样例参考，也为在思维上略逊一点的考生提供了一种展示才能的平台，强弱的解答评分不同体现了新课标中不同学生在数学上有不同的发展这一目标要求．图① 图② 图③4．课题学习题正得以重视 以日常生活中所玩、所看、所想的问题作为数学研究的背景，以日常教学中所学的数学知识作为猜想的依据，以日常游戏中所用的数学活动作为探索的素材，以日常学习中所获的数学思想作为归纳的价值．命题的立意着重突出对现实问题的新颖性、挑战性和独创性，着重体现“猜想的研究价值、数学活动的过程、思想方法的内涵”． 例9（2008年·河北）如图①，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP． （1）在图①中，请你通过观察、测量、猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系； （2）将△EFP沿直线l向左平移到图②所示的位置时，EP交AC于点Q，连结AP、BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）将△EFP沿直线l向左平移到图③所示的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP、BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． ① ② ③解读：以简单的几何图形为蓝本，采取探究的方式考查学生实验、观察、操作、发现、探究、归纳、猜想和合情推理，引导教师关注学生的学习数学的过程与方法，促进师生的教学方法与学生的学习方法的转变，体现“以学生为本，以学生发展为本”的思维理念．例10（2008年·南昌）如图①，正方形ABCD和正三角形EFG的边长都是1，点E、F分别在线段AB、AD上滑动，设点G到CD的距离为x，到BC的距离为y，记∠HEF为 （当点E、F分别与B、A重合时，记 =0°）． （1）当 =0°时（如图②所示），求x、y的值（结果保留根号）； （2）当 为何值时，点G落在对角线AC上？请说出你的理由，并求出此 时x、y的值（结果保留根号）； （3）请你补充完成下表（精确到0.01）： （4）若将 “点E、F分别在线段AB、AD上滑动”改为“点E、F分别在正方形 ABCD边上滑动”．当滑动一周时，请使用（3）的结果在图④中描出部分点后，勾画出点G运动所形成的大致图形． （参考数据： ≈1.732，sin15°= ≈0.259，
sin75°= ≈0.966）解读：以特殊的“正三角形”在“正方形”模型中的滑动作为命题的展开，并借用15°角的倍数关系构造命题，让学生从特殊情况下寻找x、y之间的关系，以此勾画整个图形问题，既考查了学生在模拟操作过程中的思维能力，又考查了正三角形与正方形组合的运动思想．二、2009年中考数学命题走向预测1．题型、题量、几个指标方面的预测
2009年中考数学是南昌市新课程改革的第三年，试卷除继续保持 2008年5个24分结构布局与配合答案纸的方式外，命题的指导思想仍是在稳定中求前进，在前进中求发展，在发展中求完善，在完善中求创新．命题仍会以常规题为主，突出知识层面考查学生各方面的能力．整卷难度与2008年基本持平，平均分估计约为65分，试题难度系数约为0.55～0.60，区分度控制在0.70上下．2．试题在创新方面的预测 根据学生年龄特点和近几年来课标版中考数学的命题方向，试题会在情境设计、设问方式上寻求一种新的突破，类似研究性学习、开放探索性、课题学习内容会成为今年命题的新热点，各种版本的教材课外读物仍是命题者在编制创新试题时考虑的原始素材． 3．试题在立意设计方面的预测 以能力立意取代知识立意，以新增内容取代删除内容仍是试题命制的主旋律，在试题设计上不会出现生僻词、不会出现偏题、怪题、繁题，试题的难度将呈现梯级分布，解答题估计以“代数计算、一次函数与方程整合、曲线型几何题的计算、概率计算、统计应用、直线型几何题的证明”为主构成中档题，而“方程与不等式的应用、二次函数的综合应用、课题学习内容的探究” 将会构成高档题． 以下提供一套2009年南昌市中考模拟样卷参考：2009年南昌市中考数学模拟试卷 命题人 江西师大附中 宁文苑 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
每小题只有一个正确选项，请把正确选项的代号填在答案纸相应的位置上．
1．下列计算结果等于2的是（ ）
A．（－1）＋（－2） B．（－1）－（－2）
C．（－1）×（－2） D．（－1）÷（－2）
2．若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．0 B．－1 C．2 D．－2
3．方程x（x＋1）=x＋1的解是（ ）
A．－1 B．0，－1 C．0， 1 D．－1，1
4．若三角形两边长分别为2cm和5cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ）
A．2cm B．3cm C．5cm D．7cm 5．在平面直角坐标系中，以点（3，1）为圆心，2为半径的圆，必定（ ）
A．与x轴相交，与y轴相离 B．与x轴、y轴都相交
C．与x轴相离，与y轴相交 D．与x轴、y轴都相离
6．由6个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，若主视图、左视图、俯视图的面积分别用S主、
S左、S俯表示，则下列关系成立的是（ ）
A．S主＜S左＜S俯 B．S主=S左=S俯
C．S主＞S左＞S俯 D．S主=S左＜S俯
7．在抗旱救灾中，育华学校八年级（2）班一学习小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，捐款数额分别是：20，50，30，50，10，40，150，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．20，50 B．30，50 C．40，50 D．50，150
8．在平面直角坐标系中，有E（－4，2）、F（－2，－2）两点，若以O为位似中心，△EFO与△E′F′O位似比为
－2︰1，则点E、F的对应点E′、F′的坐标分别是（ ）
A．（－2，1）、（－1，－1）
B．（2，－1）、（1，1）
C．（－8，4）、（－4，－4）
D．（8，－4）、（4，4）二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 请把正确答案填在答卷纸相应的横线上．9．若m，n互为倒数，则mn－2的值是 ．
10．分解因式：xy2－9x= ．
11．若a，b是两个无理数，且满足a－b=3，则符合要求的一组a，b可以是 ．
12．若直线y=kx＋b与x轴交于点A（－4，0），与y轴交于点B（0，－1），则不等式kx＋b＞0的解集是 ．13．某校七年级在下午2︰30开展“阳光体育”活动，则在2︰
30这一时刻，时钟上分针与时针所夹的角度数是 ．
14．若二次函数y=3x2的图象向右平移1个单位，再向上平
移2个单位，则所得图象的函数解析式是 ．
15．小颖同学想用纸板制作一个高为4cm，底面周长为
cm的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸
板的面积是 ．
16．将一张梯形纸片沿中位线剪开，重新拼成一个新图形，
现给出下列五种结论：①三角形；②平行四边形；③矩
形；④菱形；⑤正方形，则符合要求的新图形用序号表示
可以是 ．三、（本大题共4小题，每小题各6分，共24分）
17．先化简，再求值： ，其中x=－ ．
18．如图，在平面直角坐标系中，有A（0，4）、B（－3，0）、C（x，0）三点坐标．
（1）若A、B、C三点构造的图形是等腰三角形，请求出符合要求的所有x的值；
（2）针对符合要求的一个x的值，求直线AC的解析式．19．如图，AB为⊙O的直径，AC交⊙O于点E，BC交⊙O于点D，CD=BD，连接AD．
（1）请你写出三条与CD有关的
正确结论；
（2）若∠BAC=60°，CD=1，
求△ABC的面积．
20．如图，在ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，连接DE、BF、BD．
（1）试找出一对全等三角形，并加以证明；
（2）若AD=BD，且AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．开学前，小晶去书市买同步辅导书，正遇上书店搞促销活动，买一本书可以送1支水笔和2张书签．
（1）若有4张不同书签供选择，其中山水画书签 2张，脸谱画书签2张，请你用树形图法表示小晶依次抽取2张书签的所有可能，请求出抽取的2张书签均是山水画的概率；
（2）若有6支不同水笔供选择，要在其中抽1支 水笔，请你设计一种用替代物模拟抽水笔的方法．22．“送车下乡”是我国今年拉动内需十项振兴之一，A市2005年底拥有汽车量为100000辆，2007年底拥有汽车量为144000辆．
（1）A市2005年底到2007年底拥有汽车量的年平均增长率是多少？
（2）为保护城市环境，要求A市到2009年底汽车拥有量不超过167 400辆，且从2007年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的5%，假设每年新增汽车数量相同，你认为2009年底新增汽车数量最多不超过多少辆？请你通过计算的方式说明．23．某商场对今年中秋节这天销售A、B、C三种品牌月饼的情况进行了统计，并绘制下列两个统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）哪一种品牌的月饼的销售量最大？最大的销售量是多少？
（2）补全图中的条形统计图；
（3）求出A品牌的月饼在扇形统计图中所对应的圆心角的度数；
（4）根据上述统计信息，明年中秋节期间该商场对A、B、C三种品牌的月饼如何进货？请你提出一条合理化的建议．五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．已知抛物线y1=ax2＋4ax＋b经过x轴上点A（－3，0），且与抛物线y2=ax2－4ax＋b交于y轴上同一点M（0，3）．
（1）求a，b的值；
（2）设y1=ax2＋4ax＋b与x轴分别交于A、B两点（A在B左边）y2=ax2－4ax＋b与x轴分别交于C、D两点（C在D左边），观察A、B、C、D四点坐标，写出三条不同的正确结论；
（3）若经过M有一条直线与x轴平行，且分别交y1、y2于另一点N1、N2，求线段N1N2的长度．25．如图①，有一块30°、60°、90°的三角板所对应点为A、B、C，斜边AB为2个单位长度，且A、B两点分别在x轴、y轴上滑动，设点C到y轴上的距离为x，到x轴上的距离为y，并记∠BAO= （当B点与O点重合时，
记 =0°；当A点与O点重合时，记 =90°）．
（1）当 =0°时（如图②所示），求x，y的值（结果保留根号）；
（2）当 =90°时（如图③所示），求x，y的值（结果保留根号）；
（3）请你补充完成下表（结果保留根号）：（4）探索上表中x，y的数值关系，你认为点C是否会落在某条射线上运动，若存在，请写出这条射线的函数表达式；若不存在，请说明理由．
（参考数据：sin15°=cos75°= ，sin75°=cos15°= ．） 图① 图② 图③
三、2009年中考数学复习策略 本学期周期短，任务重，进入中考数学总复习大约只有90课时，对于容易题不要掉以轻心、草率了事，而要踏踏实实做好每一道题、弄清每一种题型，在复习实施过程中可分三个步骤来完成：1．考点透视，落实三基 在初中数学总复习过程中，首要的一环是根据课标精神和南昌市制定的《考试说明》确定中考必须掌握的约220知识点，然后结合教材内容、课标要求按知识体系划分为“数与式、方程与不等式、函数的图象与性质、图形的认识与证明、图形的识别与计算、图形的坐标与变换、统计与概率、课题学习与实践”等八个单元，每个单元分成若干个以课时为单位的元素，约用50课时完成，使学生达到对教材中必须掌握的基础知识、基本技能、基本方法要有一个明确的目标，复习指导书可以“中考大本菅超级赢分练、江西省2009彻底征服新中考、初三数学复习与测试、江西省2009中考复习新思维”为主，也可以选择一本适应自己的学生用书，还可以自编数学知识体系进行复习，操作程序按三步进行：（1）考题透视：
从各省市中考试题中，选取本单元应考的知识点，进行系统性的归纳．
（2）考题分析：
以各省市中考试题为素材，把既能体现本单元重点知识，又是各省市共性的考题精选出来，进行分析、讲解，做到考点与考题的一致性．
（3）考题训练：
紧扣本单元的考点，编写一套练习卷，供学生训练之用，以检查学生对本单元考点的掌握程度．2．专题讲座，训练思维 研究中考数学的考题，探求中考命题的规律，把握中考命题的动向，这对于初中数学教学，以及考生应试教育都有着十分重要的指导作用．因此，在完成第一轮单元复习的基础上，为了提高考生的应试能力，有必要对在江西与南昌中考命题中起关键作用的4个重点专题（开放探索题、情境应用题、研究实验题、课题学习题）进行全面的有针对性的分析研究，约用20个课时完成，使学生在训练过程中，能逐步适应重点专题的变化，掌握重点专题的多种解题思路，以便全方位揭示考题的本来面目，具体操作分三步进行：（1）专题介绍：
对每个重要专题的特点，考查内容的目的和意义作详细的说明，并对每个专题的常见解法作一简介，以明确解法对专题的适应性和可操作性．
（2）专题分析：
以全国中考试题为素材，选取与专题有关的各类有代表性的考题进行分析，以体现各种解法的可操作性，选择的考题尽可能地涉及初中知识的各个层面．
（3）专题训练：
围绕每个专题，选编一套训练题，供学生训练之用，以检查学生对本专题的掌握程度．3．考前模拟，强化能力 经过初中阶段循序渐进、脚踏实地的学习和两轮重要的总复习，学生的基础知识已经过关，基本技能已经形成，基本方法已经掌握，按下来的第三轮便是考前模拟，约用20课时完成．但是必须约用5到6套经过精心准备的、中考难易适当的试卷进行模拟训练．它是实战前的演习和热身，能帮助学生熟悉中考命题的特点，提高解题的速度，形成知识与技能的整合，也能积累考试经验，培养良好的心理素质，将最佳竞技状态带进考场．因此，精心组织考前模拟，认真讲评和分析是至关重要的，也是必须去完成的．四、复习过程中需关注的八种数学基本能力 策略一：关注运算技能训练，让数学课堂常规化 正确运用数学中各种运算法则进行数学运算或正确运用各种数学概念和公式进行代数式变形而获得的一种数学技能．主要是：有理数的运算、无理数的运算、整式的运算、分式的运算、根式的运算及去（添）括号法的变形、因式分解的变形、方程的变形、不等式的变形、分式的变形、根式的变形．在日常教学中有计划熟记一些常用数据、公式、运算法则，在练习过程中做到步步有根据，并有意运用运算性质和公式进行推理能力的训练．训练1：设计以选择题、填空题等形式考查运算技能的运算题例1（2005年·南昌）下列计算正确的是（ ）
A．－6+6=0 B．－6－6=0
C．－6×0=－6 D．－6÷(－1)=－6
例2（2004年·南昌）计算(－2)3的值等于（ ）
A．－6 B．6 C．－8 D．8解读：例1、例2题主要考查有理数加、减、乘、除、乘方运算法则，要求的能力层面较低，只须平时在训练中认真细致就能熟练掌握．训练2：设计以简单解答题等形式考查运算技能的运算题例3（2006年·南昌）计算 ．
例4（2005年·南昌）计算
解读：二次根式的运算要求在新课标中有所降低，在中考试卷上也只有1个或2个基本试题，在此不必花费过多的时间进行高难度的训练．例3、例4题也仅仅考查学生二次根式的基本运算技能与根式有理化因式的技能．训练3：设计在新颖的情境下考查运算技能的运算题例5（2005年·南昌）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
例6（2006年·南昌）请在由边长为1的小正三角形组成的虚线网格中，画出一个所有顶点均在格点上，且至少有一条边为无理数的等腰三角形．
解读：例5、例6主要考查对无理数概念的正确认识，对无理数运算的掌握程度及在新情境中灵活处理问题的一种技能．训练4：设计问题估算或利用计算器考查运算技能的计算题例7（2004年·绍兴）用计算器探索：按一定规律排列的一组数：
如果从中选出若干个数，使它们的和大于0.5，那么至少要选________个数．
例8（2008年·江西）用“＞”或“＜”号填空：
sin50°·cos40°－ 0（可用计算器计算）．
解读：允许考生在中考中使用计算器是一项重大改革，许多地方已在中考中试行，这从根本上使考生从烦琐的计算中解放出来，也为编制试题更贴近生活和生产实际创造了条件，例7、例8题考查学生利用不同型号的计算器来计算数据的能力，这是计算器进入中考的一种有益尝试，能够体现现代信息技术与数学课程内容的整合．训练5：设计运用数学方法考查数式变形的技能题例9（2008年·江西）方程x（x－1）=x的解是 ．
例10（2007年·南昌）化简
解读：例9、例10根据因式分解的方法，将含多项式项分解变形成一种积的形式，以此来简化运算的步骤，使问题得到快速解决．训练6：设计在具体背景中考查数式变形的技能题例11（2005年·江西）解方程组
解读：本题通过解方程组对方程进行适当的同解变形，巧妙地将题中的（x+1）看作一个整体来处理，以此方法考查运算技能及变形技能．例12（2002年·江西）设“●”、“▲”、“■”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么●、▲、■这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（ ）
A．■、●、▲ B．■、▲、●
C．▲、●、■ D．▲、■、●
解读：本题以实际问题中“天平称
物体质量的物理现象”为背景，将
等式、不等式性质的考查寓于直
观的天平之中，并以一种新几何
图形“●”、“▲”、“■”表示三种
不同的物体，以此考查学生解决
问题的过程． 策略二：关注表示技能训练，让数学课堂口语化 实际问题解决的第一步就是将实际问题数学化，即用数学语言表示实际问题，而数学问题的解决也常常需要对数学研究对象进行不同形式的表示，具体来讲：表示技能就是根据研究的对象要求进行的一种表示方法而获得的一种技能．主要是：根据“有关代数式、函数、方程、不等式等关系式对研究对象进行的“数”的表示”及其根据“数轴、函数图象、实物等具体图形对研究对象进行的“形”的表示”．训练1：设计于内容中隐含的考查“数”的表示技能题例13（2005年·烟台）如果等式(x+1)0=1和
同时成立，那么需要的条件是（ ）
A．x≠－1 B．x＜ 且x≠－1
C．x≤ 或x≠－1 D． x≤ 且x≠－1
解读：本题借助于两个等式中隐含不等关系的条件，要求学生用不等式的关系式进行数的表示方法．训练2：设计实际问题中考查“数”的表示技能题例14（2005年·南昌）某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利25%，求这种服装的成本价．设这种服装的成本价为x元，则得到方程（ ）
A．x=150×25% B．25%·x=150
C． D．150－x=25%
解读：本题要求根据题意选择未知量所满足的方程，而所列方程却不需要求解，因而仅是为了专门考查列方程用“数”表示的一种技能，这类题常以选择题或填空题的形式来命制．训练3：设计在具体情境理解中考查“数”的表示技能题例15（2006年·河南）2005年末我国外汇储备达到8189亿美元，8189亿用科学记数法表示（保留3个有效数字）是（ ）
A．8.19×1011 B．8.18×1011
C．8.19×1012 D．8.18×1012
解读：本题用实际问题设计情境，使学生在理解情境的基础上，要求学生将最终的计算结果用科学记数法的形式来表示，使学生的解题过程成为一个生成知识信息的过程．训练4：设计在几何图形中考查“数”的表示技能题例16（2006年·南昌）一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数 比∠2的度数大50°，若设∠1=x°，∠2=y°，则可得到方程组为（ ）
A． B．
C． D．
解读：本题要求学生根据题意并借助于图形中的∠1与∠2的表述来选择未知量所满足的方程组，而不需要进行求解运算，主要考查学生几何问题用代数形式表示数的一种技能．训练5：设计在生活娱乐中考查“形”的表示技能题例17（2005年·大连）如图是甲、乙、丙三人玩跷跷板的示意图（支点在中点处），则甲的体重的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
解读：本题借助生活中玩跷跷板呈现的甲、乙、丙三人的不等关系，要求学生将甲的体重的取值范围最终在数轴上表示出来，以此考查学生用特殊的“形”表示问题的方法．
训练6：设计在代数式中考查“形”的表示技能题例18（2003年·龙岩）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”．如图，在一个边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为， ， ， … ，的矩形彩色纸片（n为大于1的整数），请你用“数形结合”的思想，依数形变化的规律，计算 ＋ ＋ ＋ …＋ ＝ ．
解读：本题创设了一种仿真的试验模型，并依据数形结合的变化规律，来发现图形中隐含数字之间的关系，以此将代数式借用图形的表示方式来计算．
训练7：设计在特定情境中考查“数形互换”的表示技能题例19（2003年·南昌）如图，A表示三经路与一纬路的十字路口，B表示一经路与三纬路的十字路口，如果用（3，1）→（3，2）→（3，3）→（2，3）→（1，3）表示由A到B的一条路径，用同样的方式写出另外一条由A到B的一条路径：（3，1）→（ ）→（ ）→（ ）→（1，3）．
解读：本题的情境是生活中熟悉的，利用代数中坐标点来判断几何中的道路方位，再用道路方位来描述坐标点，这种不用算，也不用证，打破传统的“非算即证”数学命题格式，是考查学生数形互换表示的最好形式之一． 策略三：关注推理技能训练，让数学课堂程序化 推理技能是根据具体内容，按照一定的程序和步骤，进行简单的逻辑推理而获得的一种数学技能，是数学学业考试的一个重要考查目标，在内容组成上主要有演绎推理能力（逻辑推理）和合情推理能力（归纳推理、类比推理），它们都是数学发展过程中不可缺少的既不同又互补的推理能力，在数学学习中往往形成一种协同关系．由于《课程标准》中降低了对几何证明的复杂程度要求，因此在复习几何知识的过程中，应控制试题的难度，可以通过例题、习题增加思考题、证明题、讨论题的形式进行补充，并遵守逻辑规律，正确运用逻辑思维形式的手段，借以加强逻辑思维能力的训练．训练1：设计由已知定理直接考查演绎推理的技能题例20（2002年·江西）如图，已知ABCD是平行四边形，
下列结论中，不一定正确的是（ ）
A. AB=CD
B．AC=BD
C．当AC⊥BD时，它是菱形
D．当∠ABC=90°时，它是矩形
解读：本题是运用平行四边形的性质定理和特殊四边形的判定定理构造的选择支，以此考查学生演绎推理的能力．训练2：设计用多种方式考查演绎推理的技能题例21（2007年·厦门）已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．现给出四个条件：①AC⊥BD；②AC平分对角线BD；③AD∥BC；④∠OAD=∠ODA．请你以其中的三个条件作为命题的题设，以“四边形ABCD是菱形”作为命题的结论．
（1）写出一个真命题，并证明；
（2）写出一个假命题，并举出一个反例说明．
解读：以特殊的四边形为背景，用四选三的方式给学生的自主权，进行常规的命题方式证明，以不是菱形的本质特性作为构造反例的素材，更加考查学生对数学问题的不同理解．训练3：设计用多种等级考查演绎推理的技能题例22 （2004年·南昌）如图，已知△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且AB=，BC=1．连结BF，分别交AC、DC、DE于点P、Q、R．
（1）求证：△BFG∽△FEG，并求出BF的长；
（2）观察图形，请你提出一个与点P相关的问题，并进行解答（根据提出问题的层次和解答过程评分）．
解读：在中考命题中设制等级评分试题有利创造性的学生凸现出来，有利体现不同考生在数学上有不同的发展这一目标要求，更能区分学生在提出问题过程中的思维能力，本题从多种层面上考查了演绎推理的技能，是命制评分试题中不可多得的亮点题．
训练4：设计等式中隐含规律性的问题考查归纳 推理的技能题 例23（2004年·海淀）观察下列各等式：
依照以上各式成立的规律，在括号中填入适当的数，使等式
成立．
解读：本题要求考查学生用归纳方法从具体的特殊事实中探究其存在的规律，不难发现等式左边的分子有2+6=5+3=7+1=10+（－2）=…=n+（8－n）=8规律，于是潜藏在表面现象中的本质挖掘了出来，问题可以很轻松地得以解决．
训练5：设计数学性质之间隐含规律性的问题 考查归纳推理的技能题例24（2005年·南昌）如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上数字0，1，2）上；先让原点与圆周上数字0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合．这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．
（1）圆周上的数字a与数轴上的数5对应，则a=_______；
（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是__________（用含n的代数式表示）．
解读：以常见的圆与数轴构建一种对应关系，用四个演示图提供操作的思维程序，考查学生在探究规律的过程中归纳推理的一种技能．
训练6：设计数学符号或公式法则中考查类比 推理的技能题例25（2005年·福州）小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（ ）
A．(a－b)2=a2－b2 B．(－2a3)2=4a6
C．a3+a2=2a5 D．－(a－1)=－a－1
解读：用数学符号或数学公式中形式类似但其意义完全不同几个特例来构造选择分支，考查学生的类比推理的思维对于培养学生观察问题的能力大有帮助，此类问题在中考选择命题中相当普通．训练7：设计在图形结构上考查类比推理的技能题例26（2005年·广州）（1）观察图①～④中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征；
（2）借助图⑤的网格，请设计一个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所写出的两个共同特征．
解读：学会从不同的图案中寻求共同的特征，要求有较强的观察能力和概括能力，本题所具有的特征可以是：①都是轴对称图形；②面积都等于四个小正方形的面积之和；③都是直线形图案；④图案中都不含钝角等，以此考查学生通过图案的类比重新设计一种合乎两个特性的新的图案能力．
训练8：设计在解题方法上考查类比推理的技能题例27（2002年·山西）阅读下列材料：
关于x的方程： 的解是
(即 )的解是
的解是 的解是 ……（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程
与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证；
（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解．请用这个结论解关于x的方程：
解读：方程的结构与方程的解往往存在某种特殊的关系，学会观察、发现是一个人应有的基本技能．本题考查了学生的类比推理技能，要求学生通过对几个结构类似的方程与解的特征的观察来发现两者之间存在的关系，这样设计考题应算是一个成功的范例．策略四：关注图形技能训练，让数学课堂格式化 根据想象的素材处理的空间形式，探明其关系、结构特征而需要的一种想象能力，是一种对几何结构的表象及其对表象的加工能力．从表面呈现形式来看，主要是识图和作图两大类．在日常教学或复习过程中不仅要对几何知识的了解，还要对数轴、坐标法、函数的几何意义、几何量的度量与计算等内容加深理解，并且通过对实物的观察、解剖、分析或者制作模型、实地测量、作图等数学实习活动来培养学生的作图技能和空间想象力．训练1：设计隐含于数学文化考查图形识别的技能题例28（2006年·南昌）下列图案都是由字母“M”经过变形、组合而成的，其中不是中心对称图形的是（ ）
解读：以字母变形结构为载体，要求学生进行一定的识别或者欣赏活动，并在识别、欣赏过程中考查学生对图形的对称直觉识别能力．训练2：设计以操作活动为载体考查图形识别的技能题例29（2004年·潍坊）水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面，“锦”表示右面，“程”表示下面，则“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的 ．
解读：正方体展开图具有11种不同的方式，正确地从展开图复原成正方体中来观察各层面的关系，既考查了学生动手操作图形的能力，又考查了学生对图形的识别和空间想象能力，本题难得可贵之处是展开图的各个小正方形配以 “祝你前程似锦”文字来标记，关爱学生之情言以于表，对于在各个小正方形中配以数字、颜色、花纹等进行标记来命制试题，这一做法值得借鉴．
训练3：设计在复杂图形中考查图形识别的技能题例30（2003年·山西）右图是正方体分割后的一部分，它的另一部分是下列图形中的（ ）
A B C D
解读：让学生经历直观认识几何体的过程，丰富对现实空间及简单几何体的认识，考查学生空间想象与合情推理能力．本题需要学生根据具体图形进入想象的表层，将两部分图形有机地组合在一起，在操作上虽有一定的难度，但作为选择支的形式出现还是一种很好的归宿．训练4：设计以多角度观察物体的位置考查图形识别的技能题例31（2003年·宁德）桌子上放着一个茶壶，
四位同学从各自的方向观察，小强同学看到
的是下图中的（ ）
解读：本题通过学生 “从不同方向看”所产生的四种画面结果作为选择支设计，尤如把学生带进了一种似真情景，让学生设想自己处在小强位置时，可能会看到什么，从而作出合乎逻辑和事实的判断，在这个想象、分析、判断过程中，考查学生的空间观念和图形位置的识别技能．
训练5：设计以观察物体的大小估算考查图形识别的技能题例32（2006年·南昌）某运动场的面积为300m2，则它的万分之一的面积大约相当于（ ）
A．课本封面的面积 B．课桌桌面的面积
C．黑板表面的面积 D．教室地面的面积
解读：本题以运动场面积的万分之一作为参数，与学生身边的具体事物的大小进行比较，以此考查学生的数感与估算能力，检测学生对图形的度量识别能力．训练6：设计以徒手绘制的形式考查作图的技能题例33（2002年·江西）如图①所示，
一轴对称图形画出了它的一半，
请你以虚线为对称轴，徒手画出
此图形的另一半．
解读：本题以亲切的半张笑脸为背景，考查学生徒手画图的能力及对轴对称图形的认识能力．这类题对作图画出的痕迹的准确度要求不是特别高，只要大致符合即可．训练7：设计以尺规为工具考查作图的技能题例34（2005年·青海）利用尺规，按下列要求作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
（1）在图①中作出AB的中点M，作出∠BCD的平分线CN，延长CD到P，使DP=2CD．
（2）如图②，是一个破损的机器部件，它的残留边缘是圆弧，请作图找出圆弧所在圆的圆心．
解读：本题考查学生用尺规作图工具来完成作图的基本步骤．是中考试题中考查作图题思维时最多的一类，也是作图题中较为容易的一类，一般都要求保留作图痕迹．
训练8：设计以其它工具为辅助考查作图的技能题例35（2005年·甘肃）如图，在大圆中有一个小圆O．
（1）确定大圆的圆心；
（2）作直线l，使其将两圆的面积均二等分．
解读：本题先用不在同一直线上三点确定大圆圆心O的位置，然后过两圆圆心用直尺等分两圆面积，以此考查学生的作图能力．这类题考查的难度较高，考查的层面极其有限．训练9：设计以指定工具考查作图的技能题例36（2007年·南昌）如图，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB上，四边形AEBF是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线（请保留画图痕迹）．
解读：本题以矩形两条对角线的交点作为突破口，在隐含的等腰三角形OAB前提下，考查角平分线的性质，是最近在作图中考试卷中难得的一道精典试题． 策略五：关注应用能力训练，让数学课堂实践化 根据所给问题的背景得到的有关信息进行提炼、加工，找出它们之间的数量关系，并建立数学模型，然后运用所学的数学知识和数学方法找到解决问题的途径，从而得到符合实际的结论．这类问题在中考试题中主要有三类：（1）数学知识和方法的直接应用；（2）运用熟悉的数学模型对问题进行定量分析；（3）根据实际问题所提供的信息建立较简单的数学模型．训练1：设计以日常生活背景为素材考查数学知识 和方法的直接应用能力题例37（2004年·南昌）据报道：某省2003年中小学共装备计算机16.42万台，平均每42名中小学生拥有一台计算机．2004年在学生数不变的情况下，计划平均每35名中小学生拥有一台计算机，则还需装备计算机________万台．
解读：根据报纸中原始数据设计问题，涉及的数学知识仅为简单的数学计算，若设还需装备计算机为x万台，则平均每42名中小学生拥有一台计算机，学生数为42×16．42万台；平均每35名中小学生拥有一台计算机，学生数为35×(16.42+x)万台，本题主要考查学生区分两种不同的数学模型，只要考生抓住学生数不变这一条件就能计算问题的答案．
训练2：设计以学科互动考查数学知识和方法的直 接应用能力题例38（2005年·镇江）如图①是水滴进玻璃容器的示意图（滴水速度不变），图②是容器中水高度随滴水时间变化的图象．给出下列对应：（1）a——e，（2）b——f，（3）c——h，（4）d——g，其中正确的是（ ）
A．（1）和（2） B．（2）和（3）
C．（1）和（3） D．（3）和（4）
解读：水滴进容器是化学中很常见的现象，利用学科知识进行相互渗透，这也是中考数学命题评价中一项指标，本题不必进行复杂的运算，只要学生对函数概念理解，了解容器中水高度随滴水时间变化的趋势，就能选出满意的答案．
训练3：设计以娱乐性为素材考查数学知识和方法的直接应用能力题例39（2005年·杭州）如图的围棋盘放置在某个平面直角坐标系内，白棋②的坐标为（－7，－4），白棋④的坐标为（－6，－8），那么，黑棋①的坐标应该是__________．
解读：近期以娱乐中跳棋、象棋、扑克为素材，让学生在考试中享受快乐的试题盛行于中考试卷上，本题以围棋所处位置作为坐标点，要求学生对函数坐标点含义的理解，完成考查的目的．
训练4：设计运用方程与不等式模型考查应用能力题例40（2004年·南昌）仔细观察如图，认真阅读对话：
根据对话的内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少元？
解读：本题给出的卡通形象是生活中常见的背景，尽管对话形式比较新颖，学生接触较少，但是处理该问题的模型并不复杂，只须根据对话内容建立学生熟悉的方程与不等式模型便能解决问题．
训练5：设计运用函数模型考查应用能力题例41（2005年·连云港）据某气象中心观察和预测，发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km／h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为th内沙尘暴所经过的路程s（km）．
（1）当t=4时，求s的值；
（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；
（3）若N城位于M地的正南方向，且距M地
650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，
如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到
N城？如果不会，请说明理由．
解读：本题用特定的函数图象语言赋于实际生活中
路程新的定义，是考查学生数学能力的最好形式之
一，也是中考数学命题的新视角、新热点，是数学
命题变革演练过程中的思维再现，虽然借助于几种
分段函数关系式来表示s随t变化的规律，在层面理
解上有一定的难度，但作为路程新的定义方式还是
颇有新鲜感，体现出对灵活思维的能力具体要求．训练6：设计运用统计模型考查应用能力题 例42（2005年·泰州）春兰集团对应聘者甲、乙、丙进行面试，并从专业知识、工作经验、仪表形象三方面给应聘者打分，每一方面满分20分，最后的打分制成条形统计图．
（1）利用图中提供的信息，在专业知识方面3人得分的极差是多少?在工作经验方面3人得分的众数是多少?在仪表形象方面谁最有优势?
（2）如果专业知识、工作经验、仪表形象三个方面的重要性之比为10︰7︰3，那么作为人事主管，你认为应该录用哪一位应聘者?为什么?
（3）在（2）的条件下，你对落聘者有何建议?
解读：本题展示春兰集团对应聘者面试的三项考核标准，并通过实际的打分制成的条形统计图对应聘者作出抉择，同时对落聘者写出建议，反映理论与实践的密切联系，是体现课程标准的新理念．
训练7：设计运用几何模型考查应用能力题例43（2005年·沈阳）如图所示，A、B为两个庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直．现在要从点E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆，共有如下两种铺设方案：方案一：E→D→A→B；方案二：E→C→B→A．
经测量得AB=千米，BC=10千米，CE=6千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°．
已知：地下电缆的修建费为2万元／千米，水下电缆的修建费为4万元／千米．
（1）求出河宽AD(结果保留根号)；
（2）求出公路CD的长；
（3）哪种方案铺设电缆的费用低?请说明你的理由．
解读：本题提供条件有三种不同的途径：公路、田地、河宽，每部分铺设电缆的费用方式也各不相同，独立构建数学模型没有固定格式和标准，最后根据特定情况比较找到解决问题的方法．
策略六：关注探究能力训练，让数学课堂开放化 运用学过的知识，通过观察、试验、联想、类比、演绎、归纳、分析、综合、猜想等手段，对问题进行探索和研究的能力．这类问题在中考中主要有四类：（1）根据所提供的信息，寻找问题的规律、数量关系和位置关系；（2）探究问题的结论是否成立或符合条件的数学对象是否存在；（3）根据已知条件探索相应的一个或几个正确的结论或不确定的结论；（4）给出问题的结论，探索使结论成立的一个或几个符合要求的条件或不确定的条件．训练1：设计寻找代数问题的规律考查探究能力题例44（2005年·南宁）观察图形寻找规律，在“?”处填上的数字是（ ）
A．128 B．136 C．162 D．188
解读：本题要求学生通过几个具体的数关系0＋2＋2＝4，2＋2＋4＝8，2＋4＋8＝14，4＋8＋14＝26发现：前面每三个相邻数的和等于后一个数，以此考查学生探究数字之间规律的能力．训练2：设计探究问题的结论是否成立考查探究能力题例45（2004年·海淀）已知：关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0的两个实数根之差的平方为m．
（1）试分别判断当a=1， c=－3与a=2， c= 时， m≥4是否成立，并说明理由；
（2）若对于任意一个非零的实数a， m≥4总成立，求实数c及m的值．
解读：本题在给定的a，c数值的条件下，先根据问题的要求得到方程两根的关系，然后通过计算判断m=(x1－x2)2≥4是否成立，以此考查学生探究问题的结论是否成立的能力．训练3：设计探究符合条件的数学对象是否存在考 查探究能力题例46（2002年·包头）已知x1， x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，c≠0）的两个实数根，且
（1）试求用m和n表示 的式子；
（2）是否存在实数m和n，满足 ，使 成立?若存在，求出m和n的值；若不存在，请说明理由．解读：本题可先假设存在实数m和n，满足 ，使 成立．然后由第(1)问所得到的表达式 和第(2)问所给条件 ，组合成 的形式，再构造(m+n)2=6k，mn=5k(k＞0)，同时借用判别式比较说明m，n的值不存在，以此考查学生探究符合条件的数学对象是否存在的能力．
训练4：设计结论通过特例归纳考查探究能力题例47（2000年·安徽）比较下面两列算式结果的大小（在横线上选填“＜”、“＝”、“＜”）
42+32______2×4×3 ；
(－2)2+12_________2×(－2)×1；
；
22+22_______2×2×2．……
通过观察归纳，写出能反映这种规律的一般结论，并加以证明．解读：本题要求学生通过四个具体的算式结果，归纳、猜想用字母表示数的规律：a2+b2≥2ab，最后给出证明，以此考查学生通过特例归纳探究一般结论规律的能力．
训练5：设计结论不确定考查探究能力题例48（2007年·北京）在五环图案内，分别填写五个数a，b，c，d，e，如图： ，其中a，b，c是三个连续偶数（a＜b），d，e是两个连续奇数（d＜e），且满足a＋b＋c=d＋e，例如： ，请你在0到20之间选择另一组符合条件的数填入图中：解读：以奥运五环图案为背景，将数字的特征与五环有机地组合，让学生在一种紧张的组合数字中感受奥运的比赛气氛，让心灵产生一种振憾力量与数字的和谐统一美．
训练6：设计结论需要通过类比引申考查探究能力题例49（2005年·长沙）已知点E、F在△ABC的边AB所在的直线上，且AE=BF，FH∥EG∥AC，FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G．
（1）如图①，如果点E、F在边AB上，那么EG+FH=AC；
（2）如图②，如果点E在边AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是______________；
（3）如图③，如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是______．
对（1）（2）（3）三种情况的结论，请任选一个给予证明．
解读：猜想EG、FH、AC长度的和差关系，最常用的办法是量一量、算一算，显然通过点E、F在边AB上或在AB延长线上或在AB反向延长线上，发现线段EG、FH、AC三者存在关系会发生一种细小的变化，以此考查学生探究问题的能力．
训练7：设计条件未知需要探求考查探究能力题例50（2004年·江西）已知关于x的方程
（1）当 m 取什么值时，原方程没有实数根；
（2）对 m 选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的平方和．
解读：第（1）问从结论“原方程没有实数根”入手，抓住其等价命题“⊿=4 － =4 ＜0”，可求出所需条件是 m＜ ，至于第（2）问，只要取适合 m≥ 的值计算都是合乎要求的．
训练8：设计条件不足需要补充考查探究能力题例51（2005年·深圳）如图，已知：在△ABC和△DCB中，AC=DB，若不增加任何字母与辅助线，要使△ABC≌△DCB，则还需增加一个条件是__________．
解读：在已知线段和公共边双重条件下，需要再添加一个条件的方法只有二种，即AB=DC或∠ACB=
∠DBC，这种从二个条件选一个的方法摆脱了常规题的模型，是属于开放题一类的探究题．
训练9：设计问题的条件多余或有错误需要排除考 查探究能力题 例52（2005年·烟台）先阅读下面材料，然后解答问题：
王老师在黑板上出了这样一道习题：设方程2x2－5x+k=0的两个实数根是x1，x2，请你选取一个适当的k值，求 的值．
小明同学取k=4，他作了如下解答：
解：取k=4，则方程是2x2－5x+4=0．由根与系数关系，
得 x1+x2=，x1x2=2．
∴ ，
即
问题（1）：请你对小明解答的正误作出判断，并说明理由．
问题（2）：请你另取一个适当的正整数k，其他条件不变，不解方程，改求|x1－x2|的值．
解读：通过阅读小明的解答过程，对小明造成错误原因进行剖析，并对小明选取的k值是否满足方程有实根的条件进行验证，以此考查学生对问题的质疑能力和探究问题的能力．
训练10：设计结论开放考查探究能力题例53（2006年·南昌）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，OD⊥BC于点E，交 于点D．
（1）请你写出三个不同类型的正确结论．
（2）连接CD后，设∠CDB= ，∠ABC= ，试找出 与 之间的一种关系式，并给予适当的说明．
解读：从图形中寻找正确结论与 与 之间的关系有多种，每一种结论或关系只要符合要求都是可以的，本试题通过学生自己的尝试、自主的探索、自我的领悟来判断学生观察问题能力与整合信息的能力，而且暗射了学生要养成把搜寻的结果进行归类的习惯，以此逐步获得有思维价值的结论好方法，当然也可以从命题意图中追寻一种思维突破的方式，来拓展学生的视野，启迪智慧．
策略七：关注创新能力训练，让数学课堂个性化 运用已有的信息，通过开展思维和实践活动，产生某种新颖的、独特的、有社会价值或个人价值的能力．就其表现结构主要有三类：（1）对已有的数学知识和方法进行推广和拓展；（2）对某些定理和公式的结论进行深化和延伸；（3）对未知的数学领域通过探索得到新的结果．目前数学创新的研究刚刚起步，进行创新的途径和方法也很多，但常用的是：（1）特殊与一般；（2）类比与联想；（3）引申与拓展；（4）组合与分解．训练1：设计对已有的数学知识进行推广考查创新能力题例54（2005年·河北）法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改为手势了．下面两个图框是用法国“小九九”计算7×8和8×9的两个示例．若用法国“小九九”计算7×9，左、右手依次伸出手指的个数是（ ）
A．2，3 B．3，3 C．2，4 D．3，4
解读：根据法国与中国“小九九”的类比，结合两个图框介绍法国的方法，易得到左手与右手依次伸出的手指是2和4，以此考查学生对数学知识推广的创新能力．
训练2：设计对公式的结论进行延伸考查创新能力题例55（2005年·哈尔滨）观察下列各式：
（x－1）（x+1）=x2－1，（x－1）（x2+x+1）=x3－1，
（x－1）（x3+x2+x+1）=x4－1，……，根据前面的规律，得
=_________（其中n为正整数）．
解读：根据前面几个具体的公式结构特点进行探索发现，然后引申为更一般性的结论，以此考查学生创新的能力．训练3：设计对已有的数学方法进行拓展考查创新能力题例56（2005年·青岛）等腰三角形是我们熟悉的图形之一，下面介绍一种等分等腰三角形的方法：在△ABC中，AB=AC，把底边BC分成m等份，连结顶点A和底边BC各等分点的线段，即可把这个三角形的面积m等分．
问题的提出：任意给一个正n边形，你能把它的面积m等分吗?
探究与发现：为了解决这个问题，我们先从简单问题入手：怎样从正三角形的中心（正多边形的各对称轴的交点，又称为正多边形的中心）引线段，才能将这个正三角形的面积m等分？如果要把正三角形的面积四等分，我们可以先连接正三角形的中心和顶点（如图①，这些线段将这个正三角形分成了三个全等的等腰三角形）；再把所得的每个等腰三角形的底边四等分，连结中心和各边等分点（如图②，这些线段把这个三角形分成了12个面积相等的小三角形）；最后，依次把相邻的三个小三角形拼合在一起（如图③）．这样就能把正三角形的面积四等分．实验与验证：仿照上述方法，利用刻度尺，在图④中画出一种将正三角形的面积五等分的示意简图．
猜想与证明：怎样从正三角形的中心引线段，才能将这个正三角形的面积m等分?叙述你的分法并说明理由．
拓展与延伸：怎样从正方形的中心引线段，才能将这个正方形的面积m等分?（叙述分法即可，不需说明理由）．
问题解决：怎样从正n边形的中心引线段，才能将这个正n边形的面积m等分?（叙述分法即可，不需说明理由）．
解读：从等腰三角形的分法到等边三角形的分法，引申到正方形的等分，最后到正n边形的等分，运用特殊到一般的手段，将等腰三角形面积的m等分问题拓展到正n边形的面积的m等分的问题．训练4：设计一些实践性的问题考查创新能力题 例57（2002年·太原）如图是一个用六根竹条联接而成的凸六边形风筝骨架，考虑到骨架的稳定性、对称性、实用性等因素，请再加三根竹条与其顶点联接，设计出两种不同的联接方案（用直尺联接）．
解读：以风筝制作为背景，考虑到骨架的稳定性、对称性、实用性等因素，为学生对未知联接方案提供了一个艺术创作的机会，画出的一组图形中，前5个是符合设计要求的，当然学生在这一探索过程中已有对知识的筛选取舍，有对图形的观察分析，有对操作实验的检测，有对猜测推理的反思，让学生通过两种不同联接的类比，使其知识得到迁移，也使探究未知的思维得到了更好的发展．例58（2002年·泰州）以给定的图形“○○、△△、＝”（两个圆、两个三角形、两条平行线段）为构件，构思独特且有意义的图形．举例：如下图左框中是符合要求的一个图形，你还能构思出其他的图形吗？请在右框中画出与之不同的一个图形，并写上一两句贴切、诙谐的解说词．
解说词： 两盏电灯 解说词：训练5：设计一些图形类有关问题考查创新能力题
解读：根据已知给定条件和配制图形的提示，通过类比与联想，分解与组合，考查学生对未知的拼图进行一种再创作，使学生的创新思维得到了应有的发展，也使学生隐含的优良品质得以凸现，从而得到考分之外的另一份惊喜．如热爱运动的考生会写：带球突破 、 投篮命中 ；
喜欢休息的考生会写：晚间8：00 、一千零一夜 ；喜欢情调的考生会写：大红灯笼高挂 ，小小雨伞传真情 ；喜欢幽默的考生会写 ：东边日出西边雨 小鱼水中吹泡泡 等．策略八：关注学习能力训练，让数学课堂思维化 通过阅读，理解以前没有学过的新的数学知识（包括新的概念、定理、公式、法则和方法等），并且运用它们作进一步的运算推理，解决有关问题的能力．在中考试题中主要体现三类：（1）学习新的数学概念；（2）学习新的数学定理、公式和法则；（3）学习新的数学方法．训练1：设计隐含于数学概念的考查学习能力题例59（2004年·温州）火车票上的车次号有两个意义，一是数字越小表示车速越快，1～98次为特快列车，101～198次为直快列车，301～398次为普快列车，401～598次为普客列车；二是单数与双数表示不同的行驶方向，其中单数表示从北京开出，双数表示开往北京，根据以上规定，杭州开往北京的某一直快列车的车次号可能是（ ）
A．20 B．119 C．120 D．319
解读：本题用车次号的方式定义了列车的属性，用单双数的方式定义了开往的方向，有别于常规的数学概念的定义方法，也赋予生活另一层含义，定义的车次序号虽然众多，但学生只要认真分析并不难掌握，从而更加灵活地考查了学生的学习能力．
训练2：设计定义新概念考查学习能力题例60（2003年·安徽）如图所示，这些等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把它与正三角形的接近程度称为“正度”.在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等．设等腰三角形的底和腰分别为a，b底角和顶角分别为 ,要求“正度”的值是非负数．
同学甲认为:可用式子|a－b|来表示“正度”,|a－b|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；同学乙认为:可用式子| |来表示“正度”，| |的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形．探究：
（1）他们的方案哪个较为合理，为什么?
（2）对你认为不够合理的方案，请加以改进
（给出式子即可）；
（3）请再给出一种衡量“正度”的表达式．
解读:本题设置了一个新的数学概念“正度”，而且提供了不同形式的数学活动，包括要求学生去评价已有新定义的合理性，改进不理想定义和创造新的定义，让学生通过对“正度”概念的了解，考查学生对相应概念和知识的理解水平，运用新事物解决问题的能力．
训练3：设计用图形符号定义新公式考查学习能力题例61（2005年·海淀）用“ ”、“ ”定义新运算：对于任意实数a，b，都有a b=a和 a b=b．例如，3 2=3，
3 2=2，则（2006 2005） （2004 2003）= ．
解读：本题用图形符号定义一种新运算，而且用举例的形式来说明，考查学生对新的运算符号的认识及理解新运算方法的掌握程度，并且运用新运算符号解决问题的能力．训练4：设计高年级教材中定义考查学习能力题例62（2004年·昆明）观察下列等式（式子中的“!”是一种数学运算符号）
1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1，……，计算： =________．
解读：本题用高中的阶作为一种新的运算符号，并通过一系列的例子说明，考查学生对新的运算符号“!”的认识和理解，也考查学生学习新问题解决新问题的能力．训练5：设计新方法考查学习能力题例63（2005年·浙江）在日常生活中取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4－ y4 ，因式分解的结果是（x－y）（x+y）（x2+y2），若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：（x－y）=0，（x+y）=18，（x2+y2）=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x3－xy2，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是___________（写出一个即可）．
解读：本题用因式分解的各个式子求出的具体的数值作为一种新的密码，以此考查学生理解新方法的实质，然后解决同类型的多项式产生的新的密码．
训练6：设计新方法反思考查学习能力题例64 (2002年·河北)图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b)：在图①中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分）；在图②中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3 B3B2B1（即阴影部分）．
（1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；
（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S1=_________，S2=________，S3=_________．
（3）联想与探索：如图④，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少?并说明你的猜想是正确的．
解读：本题前三个图形中阴影部分的面积有多种方法，但并不都具有一般性，如果学生开始选择的策略不具有一般性，则在求第（3）问的过程中，会对前面的方法进行反思，从而可以通过分析学生的解题过程考查其反思能力和迁移运用能力．
江西师大附中 宁文苑一、2008年中考试题的新特点 全国各省市中考数学命题改革，在贯彻落实教育部《关于初中毕业、升学考试改革的指导意见》的基础上，充分体现了《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》的有关精神，“提供新材料，创设新情景，提出新问题，评价新方法”已成为试题创新设计的新特点，出现了一大批内涵丰富，立意深刻，构思巧妙，发人深思的好试题，分析这些试题，有利于改革教学，更新教学理念，把握命题走向．
1．新课程理念题初露曙光
动手实践，自主探索与合作交流是新课程倡导学生学习数学的三种重要学习方式，实践活动是培养学生进行主动探索与合作交流的重要途径，深刻领会新课程理念，对于揣摩命题意图，更新思维观点具有深远意义．例1（2008年·甘肃庆阳）正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin∠AOB=（ ） B． C． D．2 A．解读：将锐角∠AOB置于正方形网格中，让学生在一种宽阔的新颖背景中运用概念解决问题：本试题把∠AOB放在一个直角三角形的模型中，利用三角函数的定义方法进行求解，这样做看似无意，实则对要解决的问题的层次性更加灵活变通，突出了试题的数学本质． 例2（2008年·江西南昌）一个几何体是由一些大小相同的小正方形摆成的，其俯视图与主视图如图所示，则组成这个几何体的小正方形最多有（ ）
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个 解读：本题以几何体的俯视图与主视图为背景，采取设问的隐蔽性、选项的迷惑性，让学生在经历实物与三视图之间的相互转化过程中，进行头脑中的操作与思考，体现对数学活动过程与空间观念的考查．例3（2008年·山西太原）已知m≥2，n≥2，且m、n均为正整数，如果将mn进行如下方式的“分解”，那么下列三个叙述： （1）在25的“分解”中最大的数是11； （2）在43的“分解”中最小的数是13； （3）若m3的“分解”中最小的数是23， 则m等于5． 其中正确的是 ．解读：本题以树状图的图谱“分解”为背景，将指数的底数与分解的层次有机地组合，让学生在一种探索数字规律的过程中感受数字的和谐统一美．2．研究实验题正在升温 学生的数学学习过程是一种再创造的 过程，引导学生将探究问题通过分析的过程展示出来，对学生的数学素质提出了新的要求、新的挑战、新的责任．例4（2008年·河南）复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连结BQ、CP，则BQ=CP． 小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图②的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP．之后，他将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中其他条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图②给出证明． 图① 图②解读：以基本的“三角形”图案为背景，呈现了题目中条件“点在三角形内”拓展到“点在三角形外”，其证明的方法与结论不变的数学方法，以此进行推理论证的数学探究过程，从而促使学生进行主动性的观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学过程．例5（2008年·浙江温州）文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”（如图），她们对各自所作的辅助线描述如下： 文文：“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D”； 彬彬：“作△ABC的角平分线AD”． 数学老师看了两位同学的辅助线作法后， 说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作 法需要订正．” （1）请你简要说明文文的辅助线作法错 在哪里； （2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明 过程． 解读：以课堂常见的设计的方式呈现问题，给学生一种亲切感，以等腰三角形的判定、性质、三角形全等为知识载体，考查学生的阅读理解能力、合情的推理能力、探究数学活动的意识能力，展示不同思维水平的学生在解答本题的过程中所表现出来的不同状况．3．开放评价题形成新气候 数学学业水平考试，首先是一个测试过程，力图考查学生课程目标的达成状况，同时也是一个学生的发展过程，在试卷中，给予学生一定的自主性，给不同学生展现自己才华的机会，给开放性试题制定相应的开放评分标准，尊重不同的解答方法和表达方式是很有必要的．例6（2008年·江西南昌）如图，在平面直角坐标系中，有A（0，1）、B（－1，0）、C（1，0）三点坐标． （1）若点D与A、B、C三点构成平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标； （2）选择（1）中符合条件的一点D，求直线BD的解析式．解读：判断四边形是平行四边形，可从“两组对边相等、两组对边平行、一组对边平行且相等、两条对角线互相平分”等方面入手，借助给定的A、B、C三个顶点坐标，用分类讨论的思想方法求出第四个顶点D点坐标，本问题有三种方法，任选一种方法都可以，这样可使一题多题的开放理念得以极大地发挥．例7（2008年·陕西）阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案． （1）所需的测量工具是： ； （2）请在给定的图中画出测量示意图； （3）设树高AB的长度为x，请用所测数据 （用小写字母表示）求出x．解读：本题选用的方案有多种，设计的方法也有所不同，独立构建数学模型也没有固定格式和标准，可根据特定情况比较才能找到解决问题的方法．例8（2008年·辽宁大连）点A、B分别是两条平行线m、n上任意两点，在直线n上找一点C，使BC=kAB，连结AC，在直线AC上任取一点E，作∠BEF=∠ABC，EF交直线m于点F． （1）如图①，当k=1时，探究线段EF与EB的关系，并加以说明； 说明：①如果你经过反复探索没有解决问题，请写出探索过程（要求至少写三步）；②在完成①之后，可以自己添加条件（添加的条件限定为∠ABC为特殊角），在图②中补全图形，完成证明（选择添加条件比原题少得3分）. （2）如图③，若∠ABC=90°，k≠1，探究线段EF与EB的关系，并说明理由．解读：由于考生学习经验和思考角度不同，所解答试题的难易层次性的问题也有所不同，由自我添加条件进行论证，为考生的发展提供了极佳的样例参考，也为在思维上略逊一点的考生提供了一种展示才能的平台，强弱的解答评分不同体现了新课标中不同学生在数学上有不同的发展这一目标要求．图① 图② 图③4．课题学习题正得以重视 以日常生活中所玩、所看、所想的问题作为数学研究的背景，以日常教学中所学的数学知识作为猜想的依据，以日常游戏中所用的数学活动作为探索的素材，以日常学习中所获的数学思想作为归纳的价值．命题的立意着重突出对现实问题的新颖性、挑战性和独创性，着重体现“猜想的研究价值、数学活动的过程、思想方法的内涵”． 例9（2008年·河北）如图①，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP． （1）在图①中，请你通过观察、测量、猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系； （2）将△EFP沿直线l向左平移到图②所示的位置时，EP交AC于点Q，连结AP、BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）将△EFP沿直线l向左平移到图③所示的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP、BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． ① ② ③解读：以简单的几何图形为蓝本，采取探究的方式考查学生实验、观察、操作、发现、探究、归纳、猜想和合情推理，引导教师关注学生的学习数学的过程与方法，促进师生的教学方法与学生的学习方法的转变，体现“以学生为本，以学生发展为本”的思维理念．例10（2008年·南昌）如图①，正方形ABCD和正三角形EFG的边长都是1，点E、F分别在线段AB、AD上滑动，设点G到CD的距离为x，到BC的距离为y，记∠HEF为 （当点E、F分别与B、A重合时，记 =0°）． （1）当 =0°时（如图②所示），求x、y的值（结果保留根号）； （2）当 为何值时，点G落在对角线AC上？请说出你的理由，并求出此 时x、y的值（结果保留根号）； （3）请你补充完成下表（精确到0.01）： （4）若将 “点E、F分别在线段AB、AD上滑动”改为“点E、F分别在正方形 ABCD边上滑动”．当滑动一周时，请使用（3）的结果在图④中描出部分点后，勾画出点G运动所形成的大致图形． （参考数据： ≈1.732，sin15°= ≈0.259，
sin75°= ≈0.966）解读：以特殊的“正三角形”在“正方形”模型中的滑动作为命题的展开，并借用15°角的倍数关系构造命题，让学生从特殊情况下寻找x、y之间的关系，以此勾画整个图形问题，既考查了学生在模拟操作过程中的思维能力，又考查了正三角形与正方形组合的运动思想．二、2009年中考数学命题走向预测1．题型、题量、几个指标方面的预测
2009年中考数学是南昌市新课程改革的第三年，试卷除继续保持 2008年5个24分结构布局与配合答案纸的方式外，命题的指导思想仍是在稳定中求前进，在前进中求发展，在发展中求完善，在完善中求创新．命题仍会以常规题为主，突出知识层面考查学生各方面的能力．整卷难度与2008年基本持平，平均分估计约为65分，试题难度系数约为0.55～0.60，区分度控制在0.70上下．2．试题在创新方面的预测 根据学生年龄特点和近几年来课标版中考数学的命题方向，试题会在情境设计、设问方式上寻求一种新的突破，类似研究性学习、开放探索性、课题学习内容会成为今年命题的新热点，各种版本的教材课外读物仍是命题者在编制创新试题时考虑的原始素材． 3．试题在立意设计方面的预测 以能力立意取代知识立意，以新增内容取代删除内容仍是试题命制的主旋律，在试题设计上不会出现生僻词、不会出现偏题、怪题、繁题，试题的难度将呈现梯级分布，解答题估计以“代数计算、一次函数与方程整合、曲线型几何题的计算、概率计算、统计应用、直线型几何题的证明”为主构成中档题，而“方程与不等式的应用、二次函数的综合应用、课题学习内容的探究” 将会构成高档题． 以下提供一套2009年南昌市中考模拟样卷参考：2009年南昌市中考数学模拟试卷 命题人 江西师大附中 宁文苑 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
每小题只有一个正确选项，请把正确选项的代号填在答案纸相应的位置上．
1．下列计算结果等于2的是（ ）
A．（－1）＋（－2） B．（－1）－（－2）
C．（－1）×（－2） D．（－1）÷（－2）
2．若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．0 B．－1 C．2 D．－2
3．方程x（x＋1）=x＋1的解是（ ）
A．－1 B．0，－1 C．0， 1 D．－1，1
4．若三角形两边长分别为2cm和5cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ）
A．2cm B．3cm C．5cm D．7cm 5．在平面直角坐标系中，以点（3，1）为圆心，2为半径的圆，必定（ ）
A．与x轴相交，与y轴相离 B．与x轴、y轴都相交
C．与x轴相离，与y轴相交 D．与x轴、y轴都相离
6．由6个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，若主视图、左视图、俯视图的面积分别用S主、
S左、S俯表示，则下列关系成立的是（ ）
A．S主＜S左＜S俯 B．S主=S左=S俯
C．S主＞S左＞S俯 D．S主=S左＜S俯
7．在抗旱救灾中，育华学校八年级（2）班一学习小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，捐款数额分别是：20，50，30，50，10，40，150，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．20，50 B．30，50 C．40，50 D．50，150
8．在平面直角坐标系中，有E（－4，2）、F（－2，－2）两点，若以O为位似中心，△EFO与△E′F′O位似比为
－2︰1，则点E、F的对应点E′、F′的坐标分别是（ ）
A．（－2，1）、（－1，－1）
B．（2，－1）、（1，1）
C．（－8，4）、（－4，－4）
D．（8，－4）、（4，4）二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 请把正确答案填在答卷纸相应的横线上．9．若m，n互为倒数，则mn－2的值是 ．
10．分解因式：xy2－9x= ．
11．若a，b是两个无理数，且满足a－b=3，则符合要求的一组a，b可以是 ．
12．若直线y=kx＋b与x轴交于点A（－4，0），与y轴交于点B（0，－1），则不等式kx＋b＞0的解集是 ．13．某校七年级在下午2︰30开展“阳光体育”活动，则在2︰
30这一时刻，时钟上分针与时针所夹的角度数是 ．
14．若二次函数y=3x2的图象向右平移1个单位，再向上平
移2个单位，则所得图象的函数解析式是 ．
15．小颖同学想用纸板制作一个高为4cm，底面周长为
cm的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸
板的面积是 ．
16．将一张梯形纸片沿中位线剪开，重新拼成一个新图形，
现给出下列五种结论：①三角形；②平行四边形；③矩
形；④菱形；⑤正方形，则符合要求的新图形用序号表示
可以是 ．三、（本大题共4小题，每小题各6分，共24分）
17．先化简，再求值： ，其中x=－ ．
18．如图，在平面直角坐标系中，有A（0，4）、B（－3，0）、C（x，0）三点坐标．
（1）若A、B、C三点构造的图形是等腰三角形，请求出符合要求的所有x的值；
（2）针对符合要求的一个x的值，求直线AC的解析式．19．如图，AB为⊙O的直径，AC交⊙O于点E，BC交⊙O于点D，CD=BD，连接AD．
（1）请你写出三条与CD有关的
正确结论；
（2）若∠BAC=60°，CD=1，
求△ABC的面积．
20．如图，在ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，连接DE、BF、BD．
（1）试找出一对全等三角形，并加以证明；
（2）若AD=BD，且AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．开学前，小晶去书市买同步辅导书，正遇上书店搞促销活动，买一本书可以送1支水笔和2张书签．
（1）若有4张不同书签供选择，其中山水画书签 2张，脸谱画书签2张，请你用树形图法表示小晶依次抽取2张书签的所有可能，请求出抽取的2张书签均是山水画的概率；
（2）若有6支不同水笔供选择，要在其中抽1支 水笔，请你设计一种用替代物模拟抽水笔的方法．22．“送车下乡”是我国今年拉动内需十项振兴之一，A市2005年底拥有汽车量为100000辆，2007年底拥有汽车量为144000辆．
（1）A市2005年底到2007年底拥有汽车量的年平均增长率是多少？
（2）为保护城市环境，要求A市到2009年底汽车拥有量不超过167 400辆，且从2007年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的5%，假设每年新增汽车数量相同，你认为2009年底新增汽车数量最多不超过多少辆？请你通过计算的方式说明．23．某商场对今年中秋节这天销售A、B、C三种品牌月饼的情况进行了统计，并绘制下列两个统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）哪一种品牌的月饼的销售量最大？最大的销售量是多少？
（2）补全图中的条形统计图；
（3）求出A品牌的月饼在扇形统计图中所对应的圆心角的度数；
（4）根据上述统计信息，明年中秋节期间该商场对A、B、C三种品牌的月饼如何进货？请你提出一条合理化的建议．五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．已知抛物线y1=ax2＋4ax＋b经过x轴上点A（－3，0），且与抛物线y2=ax2－4ax＋b交于y轴上同一点M（0，3）．
（1）求a，b的值；
（2）设y1=ax2＋4ax＋b与x轴分别交于A、B两点（A在B左边）y2=ax2－4ax＋b与x轴分别交于C、D两点（C在D左边），观察A、B、C、D四点坐标，写出三条不同的正确结论；
（3）若经过M有一条直线与x轴平行，且分别交y1、y2于另一点N1、N2，求线段N1N2的长度．25．如图①，有一块30°、60°、90°的三角板所对应点为A、B、C，斜边AB为2个单位长度，且A、B两点分别在x轴、y轴上滑动，设点C到y轴上的距离为x，到x轴上的距离为y，并记∠BAO= （当B点与O点重合时，
记 =0°；当A点与O点重合时，记 =90°）．
（1）当 =0°时（如图②所示），求x，y的值（结果保留根号）；
（2）当 =90°时（如图③所示），求x，y的值（结果保留根号）；
（3）请你补充完成下表（结果保留根号）：（4）探索上表中x，y的数值关系，你认为点C是否会落在某条射线上运动，若存在，请写出这条射线的函数表达式；若不存在，请说明理由．
（参考数据：sin15°=cos75°= ，sin75°=cos15°= ．） 图① 图② 图③
三、2009年中考数学复习策略 本学期周期短，任务重，进入中考数学总复习大约只有90课时，对于容易题不要掉以轻心、草率了事，而要踏踏实实做好每一道题、弄清每一种题型，在复习实施过程中可分三个步骤来完成：1．考点透视，落实三基 在初中数学总复习过程中，首要的一环是根据课标精神和南昌市制定的《考试说明》确定中考必须掌握的约220知识点，然后结合教材内容、课标要求按知识体系划分为“数与式、方程与不等式、函数的图象与性质、图形的认识与证明、图形的识别与计算、图形的坐标与变换、统计与概率、课题学习与实践”等八个单元，每个单元分成若干个以课时为单位的元素，约用50课时完成，使学生达到对教材中必须掌握的基础知识、基本技能、基本方法要有一个明确的目标，复习指导书可以“中考大本菅超级赢分练、江西省2009彻底征服新中考、初三数学复习与测试、江西省2009中考复习新思维”为主，也可以选择一本适应自己的学生用书，还可以自编数学知识体系进行复习，操作程序按三步进行：（1）考题透视：
从各省市中考试题中，选取本单元应考的知识点，进行系统性的归纳．
（2）考题分析：
以各省市中考试题为素材，把既能体现本单元重点知识，又是各省市共性的考题精选出来，进行分析、讲解，做到考点与考题的一致性．
（3）考题训练：
紧扣本单元的考点，编写一套练习卷，供学生训练之用，以检查学生对本单元考点的掌握程度．2．专题讲座，训练思维 研究中考数学的考题，探求中考命题的规律，把握中考命题的动向，这对于初中数学教学，以及考生应试教育都有着十分重要的指导作用．因此，在完成第一轮单元复习的基础上，为了提高考生的应试能力，有必要对在江西与南昌中考命题中起关键作用的4个重点专题（开放探索题、情境应用题、研究实验题、课题学习题）进行全面的有针对性的分析研究，约用20个课时完成，使学生在训练过程中，能逐步适应重点专题的变化，掌握重点专题的多种解题思路，以便全方位揭示考题的本来面目，具体操作分三步进行：（1）专题介绍：
对每个重要专题的特点，考查内容的目的和意义作详细的说明，并对每个专题的常见解法作一简介，以明确解法对专题的适应性和可操作性．
（2）专题分析：
以全国中考试题为素材，选取与专题有关的各类有代表性的考题进行分析，以体现各种解法的可操作性，选择的考题尽可能地涉及初中知识的各个层面．
（3）专题训练：
围绕每个专题，选编一套训练题，供学生训练之用，以检查学生对本专题的掌握程度．3．考前模拟，强化能力 经过初中阶段循序渐进、脚踏实地的学习和两轮重要的总复习，学生的基础知识已经过关，基本技能已经形成，基本方法已经掌握，按下来的第三轮便是考前模拟，约用20课时完成．但是必须约用5到6套经过精心准备的、中考难易适当的试卷进行模拟训练．它是实战前的演习和热身，能帮助学生熟悉中考命题的特点，提高解题的速度，形成知识与技能的整合，也能积累考试经验，培养良好的心理素质，将最佳竞技状态带进考场．因此，精心组织考前模拟，认真讲评和分析是至关重要的，也是必须去完成的．四、复习过程中需关注的八种数学基本能力 策略一：关注运算技能训练，让数学课堂常规化 正确运用数学中各种运算法则进行数学运算或正确运用各种数学概念和公式进行代数式变形而获得的一种数学技能．主要是：有理数的运算、无理数的运算、整式的运算、分式的运算、根式的运算及去（添）括号法的变形、因式分解的变形、方程的变形、不等式的变形、分式的变形、根式的变形．在日常教学中有计划熟记一些常用数据、公式、运算法则，在练习过程中做到步步有根据，并有意运用运算性质和公式进行推理能力的训练．训练1：设计以选择题、填空题等形式考查运算技能的运算题例1（2005年·南昌）下列计算正确的是（ ）
A．－6+6=0 B．－6－6=0
C．－6×0=－6 D．－6÷(－1)=－6
例2（2004年·南昌）计算(－2)3的值等于（ ）
A．－6 B．6 C．－8 D．8解读：例1、例2题主要考查有理数加、减、乘、除、乘方运算法则，要求的能力层面较低，只须平时在训练中认真细致就能熟练掌握．训练2：设计以简单解答题等形式考查运算技能的运算题例3（2006年·南昌）计算 ．
例4（2005年·南昌）计算
解读：二次根式的运算要求在新课标中有所降低，在中考试卷上也只有1个或2个基本试题，在此不必花费过多的时间进行高难度的训练．例3、例4题也仅仅考查学生二次根式的基本运算技能与根式有理化因式的技能．训练3：设计在新颖的情境下考查运算技能的运算题例5（2005年·南昌）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
例6（2006年·南昌）请在由边长为1的小正三角形组成的虚线网格中，画出一个所有顶点均在格点上，且至少有一条边为无理数的等腰三角形．
解读：例5、例6主要考查对无理数概念的正确认识，对无理数运算的掌握程度及在新情境中灵活处理问题的一种技能．训练4：设计问题估算或利用计算器考查运算技能的计算题例7（2004年·绍兴）用计算器探索：按一定规律排列的一组数：
如果从中选出若干个数，使它们的和大于0.5，那么至少要选________个数．
例8（2008年·江西）用“＞”或“＜”号填空：
sin50°·cos40°－ 0（可用计算器计算）．
解读：允许考生在中考中使用计算器是一项重大改革，许多地方已在中考中试行，这从根本上使考生从烦琐的计算中解放出来，也为编制试题更贴近生活和生产实际创造了条件，例7、例8题考查学生利用不同型号的计算器来计算数据的能力，这是计算器进入中考的一种有益尝试，能够体现现代信息技术与数学课程内容的整合．训练5：设计运用数学方法考查数式变形的技能题例9（2008年·江西）方程x（x－1）=x的解是 ．
例10（2007年·南昌）化简
解读：例9、例10根据因式分解的方法，将含多项式项分解变形成一种积的形式，以此来简化运算的步骤，使问题得到快速解决．训练6：设计在具体背景中考查数式变形的技能题例11（2005年·江西）解方程组
解读：本题通过解方程组对方程进行适当的同解变形，巧妙地将题中的（x+1）看作一个整体来处理，以此方法考查运算技能及变形技能．例12（2002年·江西）设“●”、“▲”、“■”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么●、▲、■这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（ ）
A．■、●、▲ B．■、▲、●
C．▲、●、■ D．▲、■、●
解读：本题以实际问题中“天平称
物体质量的物理现象”为背景，将
等式、不等式性质的考查寓于直
观的天平之中，并以一种新几何
图形“●”、“▲”、“■”表示三种
不同的物体，以此考查学生解决
问题的过程． 策略二：关注表示技能训练，让数学课堂口语化 实际问题解决的第一步就是将实际问题数学化，即用数学语言表示实际问题，而数学问题的解决也常常需要对数学研究对象进行不同形式的表示，具体来讲：表示技能就是根据研究的对象要求进行的一种表示方法而获得的一种技能．主要是：根据“有关代数式、函数、方程、不等式等关系式对研究对象进行的“数”的表示”及其根据“数轴、函数图象、实物等具体图形对研究对象进行的“形”的表示”．训练1：设计于内容中隐含的考查“数”的表示技能题例13（2005年·烟台）如果等式(x+1)0=1和
同时成立，那么需要的条件是（ ）
A．x≠－1 B．x＜ 且x≠－1
C．x≤ 或x≠－1 D． x≤ 且x≠－1
解读：本题借助于两个等式中隐含不等关系的条件，要求学生用不等式的关系式进行数的表示方法．训练2：设计实际问题中考查“数”的表示技能题例14（2005年·南昌）某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利25%，求这种服装的成本价．设这种服装的成本价为x元，则得到方程（ ）
A．x=150×25% B．25%·x=150
C． D．150－x=25%
解读：本题要求根据题意选择未知量所满足的方程，而所列方程却不需要求解，因而仅是为了专门考查列方程用“数”表示的一种技能，这类题常以选择题或填空题的形式来命制．训练3：设计在具体情境理解中考查“数”的表示技能题例15（2006年·河南）2005年末我国外汇储备达到8189亿美元，8189亿用科学记数法表示（保留3个有效数字）是（ ）
A．8.19×1011 B．8.18×1011
C．8.19×1012 D．8.18×1012
解读：本题用实际问题设计情境，使学生在理解情境的基础上，要求学生将最终的计算结果用科学记数法的形式来表示，使学生的解题过程成为一个生成知识信息的过程．训练4：设计在几何图形中考查“数”的表示技能题例16（2006年·南昌）一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数 比∠2的度数大50°，若设∠1=x°，∠2=y°，则可得到方程组为（ ）
A． B．
C． D．
解读：本题要求学生根据题意并借助于图形中的∠1与∠2的表述来选择未知量所满足的方程组，而不需要进行求解运算，主要考查学生几何问题用代数形式表示数的一种技能．训练5：设计在生活娱乐中考查“形”的表示技能题例17（2005年·大连）如图是甲、乙、丙三人玩跷跷板的示意图（支点在中点处），则甲的体重的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
解读：本题借助生活中玩跷跷板呈现的甲、乙、丙三人的不等关系，要求学生将甲的体重的取值范围最终在数轴上表示出来，以此考查学生用特殊的“形”表示问题的方法．
训练6：设计在代数式中考查“形”的表示技能题例18（2003年·龙岩）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”．如图，在一个边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为， ， ， … ，的矩形彩色纸片（n为大于1的整数），请你用“数形结合”的思想，依数形变化的规律，计算 ＋ ＋ ＋ …＋ ＝ ．
解读：本题创设了一种仿真的试验模型，并依据数形结合的变化规律，来发现图形中隐含数字之间的关系，以此将代数式借用图形的表示方式来计算．
训练7：设计在特定情境中考查“数形互换”的表示技能题例19（2003年·南昌）如图，A表示三经路与一纬路的十字路口，B表示一经路与三纬路的十字路口，如果用（3，1）→（3，2）→（3，3）→（2，3）→（1，3）表示由A到B的一条路径，用同样的方式写出另外一条由A到B的一条路径：（3，1）→（ ）→（ ）→（ ）→（1，3）．
解读：本题的情境是生活中熟悉的，利用代数中坐标点来判断几何中的道路方位，再用道路方位来描述坐标点，这种不用算，也不用证，打破传统的“非算即证”数学命题格式，是考查学生数形互换表示的最好形式之一． 策略三：关注推理技能训练，让数学课堂程序化 推理技能是根据具体内容，按照一定的程序和步骤，进行简单的逻辑推理而获得的一种数学技能，是数学学业考试的一个重要考查目标，在内容组成上主要有演绎推理能力（逻辑推理）和合情推理能力（归纳推理、类比推理），它们都是数学发展过程中不可缺少的既不同又互补的推理能力，在数学学习中往往形成一种协同关系．由于《课程标准》中降低了对几何证明的复杂程度要求，因此在复习几何知识的过程中，应控制试题的难度，可以通过例题、习题增加思考题、证明题、讨论题的形式进行补充，并遵守逻辑规律，正确运用逻辑思维形式的手段，借以加强逻辑思维能力的训练．训练1：设计由已知定理直接考查演绎推理的技能题例20（2002年·江西）如图，已知ABCD是平行四边形，
下列结论中，不一定正确的是（ ）
A. AB=CD
B．AC=BD
C．当AC⊥BD时，它是菱形
D．当∠ABC=90°时，它是矩形
解读：本题是运用平行四边形的性质定理和特殊四边形的判定定理构造的选择支，以此考查学生演绎推理的能力．训练2：设计用多种方式考查演绎推理的技能题例21（2007年·厦门）已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．现给出四个条件：①AC⊥BD；②AC平分对角线BD；③AD∥BC；④∠OAD=∠ODA．请你以其中的三个条件作为命题的题设，以“四边形ABCD是菱形”作为命题的结论．
（1）写出一个真命题，并证明；
（2）写出一个假命题，并举出一个反例说明．
解读：以特殊的四边形为背景，用四选三的方式给学生的自主权，进行常规的命题方式证明，以不是菱形的本质特性作为构造反例的素材，更加考查学生对数学问题的不同理解．训练3：设计用多种等级考查演绎推理的技能题例22 （2004年·南昌）如图，已知△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且AB=，BC=1．连结BF，分别交AC、DC、DE于点P、Q、R．
（1）求证：△BFG∽△FEG，并求出BF的长；
（2）观察图形，请你提出一个与点P相关的问题，并进行解答（根据提出问题的层次和解答过程评分）．
解读：在中考命题中设制等级评分试题有利创造性的学生凸现出来，有利体现不同考生在数学上有不同的发展这一目标要求，更能区分学生在提出问题过程中的思维能力，本题从多种层面上考查了演绎推理的技能，是命制评分试题中不可多得的亮点题．
训练4：设计等式中隐含规律性的问题考查归纳 推理的技能题 例23（2004年·海淀）观察下列各等式：
依照以上各式成立的规律，在括号中填入适当的数，使等式
成立．
解读：本题要求考查学生用归纳方法从具体的特殊事实中探究其存在的规律，不难发现等式左边的分子有2+6=5+3=7+1=10+（－2）=…=n+（8－n）=8规律，于是潜藏在表面现象中的本质挖掘了出来，问题可以很轻松地得以解决．
训练5：设计数学性质之间隐含规律性的问题 考查归纳推理的技能题例24（2005年·南昌）如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上数字0，1，2）上；先让原点与圆周上数字0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合．这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．
（1）圆周上的数字a与数轴上的数5对应，则a=_______；
（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是__________（用含n的代数式表示）．
解读：以常见的圆与数轴构建一种对应关系，用四个演示图提供操作的思维程序，考查学生在探究规律的过程中归纳推理的一种技能．
训练6：设计数学符号或公式法则中考查类比 推理的技能题例25（2005年·福州）小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（ ）
A．(a－b)2=a2－b2 B．(－2a3)2=4a6
C．a3+a2=2a5 D．－(a－1)=－a－1
解读：用数学符号或数学公式中形式类似但其意义完全不同几个特例来构造选择分支，考查学生的类比推理的思维对于培养学生观察问题的能力大有帮助，此类问题在中考选择命题中相当普通．训练7：设计在图形结构上考查类比推理的技能题例26（2005年·广州）（1）观察图①～④中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征；
（2）借助图⑤的网格，请设计一个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所写出的两个共同特征．
解读：学会从不同的图案中寻求共同的特征，要求有较强的观察能力和概括能力，本题所具有的特征可以是：①都是轴对称图形；②面积都等于四个小正方形的面积之和；③都是直线形图案；④图案中都不含钝角等，以此考查学生通过图案的类比重新设计一种合乎两个特性的新的图案能力．
训练8：设计在解题方法上考查类比推理的技能题例27（2002年·山西）阅读下列材料：
关于x的方程： 的解是
(即 )的解是
的解是 的解是 ……（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程
与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证；
（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解．请用这个结论解关于x的方程：
解读：方程的结构与方程的解往往存在某种特殊的关系，学会观察、发现是一个人应有的基本技能．本题考查了学生的类比推理技能，要求学生通过对几个结构类似的方程与解的特征的观察来发现两者之间存在的关系，这样设计考题应算是一个成功的范例．策略四：关注图形技能训练，让数学课堂格式化 根据想象的素材处理的空间形式，探明其关系、结构特征而需要的一种想象能力，是一种对几何结构的表象及其对表象的加工能力．从表面呈现形式来看，主要是识图和作图两大类．在日常教学或复习过程中不仅要对几何知识的了解，还要对数轴、坐标法、函数的几何意义、几何量的度量与计算等内容加深理解，并且通过对实物的观察、解剖、分析或者制作模型、实地测量、作图等数学实习活动来培养学生的作图技能和空间想象力．训练1：设计隐含于数学文化考查图形识别的技能题例28（2006年·南昌）下列图案都是由字母“M”经过变形、组合而成的，其中不是中心对称图形的是（ ）
解读：以字母变形结构为载体，要求学生进行一定的识别或者欣赏活动，并在识别、欣赏过程中考查学生对图形的对称直觉识别能力．训练2：设计以操作活动为载体考查图形识别的技能题例29（2004年·潍坊）水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面，“锦”表示右面，“程”表示下面，则“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的 ．
解读：正方体展开图具有11种不同的方式，正确地从展开图复原成正方体中来观察各层面的关系，既考查了学生动手操作图形的能力，又考查了学生对图形的识别和空间想象能力，本题难得可贵之处是展开图的各个小正方形配以 “祝你前程似锦”文字来标记，关爱学生之情言以于表，对于在各个小正方形中配以数字、颜色、花纹等进行标记来命制试题，这一做法值得借鉴．
训练3：设计在复杂图形中考查图形识别的技能题例30（2003年·山西）右图是正方体分割后的一部分，它的另一部分是下列图形中的（ ）
A B C D
解读：让学生经历直观认识几何体的过程，丰富对现实空间及简单几何体的认识，考查学生空间想象与合情推理能力．本题需要学生根据具体图形进入想象的表层，将两部分图形有机地组合在一起，在操作上虽有一定的难度，但作为选择支的形式出现还是一种很好的归宿．训练4：设计以多角度观察物体的位置考查图形识别的技能题例31（2003年·宁德）桌子上放着一个茶壶，
四位同学从各自的方向观察，小强同学看到
的是下图中的（ ）
解读：本题通过学生 “从不同方向看”所产生的四种画面结果作为选择支设计，尤如把学生带进了一种似真情景，让学生设想自己处在小强位置时，可能会看到什么，从而作出合乎逻辑和事实的判断，在这个想象、分析、判断过程中，考查学生的空间观念和图形位置的识别技能．
训练5：设计以观察物体的大小估算考查图形识别的技能题例32（2006年·南昌）某运动场的面积为300m2，则它的万分之一的面积大约相当于（ ）
A．课本封面的面积 B．课桌桌面的面积
C．黑板表面的面积 D．教室地面的面积
解读：本题以运动场面积的万分之一作为参数，与学生身边的具体事物的大小进行比较，以此考查学生的数感与估算能力，检测学生对图形的度量识别能力．训练6：设计以徒手绘制的形式考查作图的技能题例33（2002年·江西）如图①所示，
一轴对称图形画出了它的一半，
请你以虚线为对称轴，徒手画出
此图形的另一半．
解读：本题以亲切的半张笑脸为背景，考查学生徒手画图的能力及对轴对称图形的认识能力．这类题对作图画出的痕迹的准确度要求不是特别高，只要大致符合即可．训练7：设计以尺规为工具考查作图的技能题例34（2005年·青海）利用尺规，按下列要求作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
（1）在图①中作出AB的中点M，作出∠BCD的平分线CN，延长CD到P，使DP=2CD．
（2）如图②，是一个破损的机器部件，它的残留边缘是圆弧，请作图找出圆弧所在圆的圆心．
解读：本题考查学生用尺规作图工具来完成作图的基本步骤．是中考试题中考查作图题思维时最多的一类，也是作图题中较为容易的一类，一般都要求保留作图痕迹．
训练8：设计以其它工具为辅助考查作图的技能题例35（2005年·甘肃）如图，在大圆中有一个小圆O．
（1）确定大圆的圆心；
（2）作直线l，使其将两圆的面积均二等分．
解读：本题先用不在同一直线上三点确定大圆圆心O的位置，然后过两圆圆心用直尺等分两圆面积，以此考查学生的作图能力．这类题考查的难度较高，考查的层面极其有限．训练9：设计以指定工具考查作图的技能题例36（2007年·南昌）如图，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB上，四边形AEBF是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线（请保留画图痕迹）．
解读：本题以矩形两条对角线的交点作为突破口，在隐含的等腰三角形OAB前提下，考查角平分线的性质，是最近在作图中考试卷中难得的一道精典试题． 策略五：关注应用能力训练，让数学课堂实践化 根据所给问题的背景得到的有关信息进行提炼、加工，找出它们之间的数量关系，并建立数学模型，然后运用所学的数学知识和数学方法找到解决问题的途径，从而得到符合实际的结论．这类问题在中考试题中主要有三类：（1）数学知识和方法的直接应用；（2）运用熟悉的数学模型对问题进行定量分析；（3）根据实际问题所提供的信息建立较简单的数学模型．训练1：设计以日常生活背景为素材考查数学知识 和方法的直接应用能力题例37（2004年·南昌）据报道：某省2003年中小学共装备计算机16.42万台，平均每42名中小学生拥有一台计算机．2004年在学生数不变的情况下，计划平均每35名中小学生拥有一台计算机，则还需装备计算机________万台．
解读：根据报纸中原始数据设计问题，涉及的数学知识仅为简单的数学计算，若设还需装备计算机为x万台，则平均每42名中小学生拥有一台计算机，学生数为42×16．42万台；平均每35名中小学生拥有一台计算机，学生数为35×(16.42+x)万台，本题主要考查学生区分两种不同的数学模型，只要考生抓住学生数不变这一条件就能计算问题的答案．
训练2：设计以学科互动考查数学知识和方法的直 接应用能力题例38（2005年·镇江）如图①是水滴进玻璃容器的示意图（滴水速度不变），图②是容器中水高度随滴水时间变化的图象．给出下列对应：（1）a——e，（2）b——f，（3）c——h，（4）d——g，其中正确的是（ ）
A．（1）和（2） B．（2）和（3）
C．（1）和（3） D．（3）和（4）
解读：水滴进容器是化学中很常见的现象，利用学科知识进行相互渗透，这也是中考数学命题评价中一项指标，本题不必进行复杂的运算，只要学生对函数概念理解，了解容器中水高度随滴水时间变化的趋势，就能选出满意的答案．
训练3：设计以娱乐性为素材考查数学知识和方法的直接应用能力题例39（2005年·杭州）如图的围棋盘放置在某个平面直角坐标系内，白棋②的坐标为（－7，－4），白棋④的坐标为（－6，－8），那么，黑棋①的坐标应该是__________．
解读：近期以娱乐中跳棋、象棋、扑克为素材，让学生在考试中享受快乐的试题盛行于中考试卷上，本题以围棋所处位置作为坐标点，要求学生对函数坐标点含义的理解，完成考查的目的．
训练4：设计运用方程与不等式模型考查应用能力题例40（2004年·南昌）仔细观察如图，认真阅读对话：
根据对话的内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少元？
解读：本题给出的卡通形象是生活中常见的背景，尽管对话形式比较新颖，学生接触较少，但是处理该问题的模型并不复杂，只须根据对话内容建立学生熟悉的方程与不等式模型便能解决问题．
训练5：设计运用函数模型考查应用能力题例41（2005年·连云港）据某气象中心观察和预测，发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km／h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为th内沙尘暴所经过的路程s（km）．
（1）当t=4时，求s的值；
（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；
（3）若N城位于M地的正南方向，且距M地
650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，
如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到
N城？如果不会，请说明理由．
解读：本题用特定的函数图象语言赋于实际生活中
路程新的定义，是考查学生数学能力的最好形式之
一，也是中考数学命题的新视角、新热点，是数学
命题变革演练过程中的思维再现，虽然借助于几种
分段函数关系式来表示s随t变化的规律，在层面理
解上有一定的难度，但作为路程新的定义方式还是
颇有新鲜感，体现出对灵活思维的能力具体要求．训练6：设计运用统计模型考查应用能力题 例42（2005年·泰州）春兰集团对应聘者甲、乙、丙进行面试，并从专业知识、工作经验、仪表形象三方面给应聘者打分，每一方面满分20分，最后的打分制成条形统计图．
（1）利用图中提供的信息，在专业知识方面3人得分的极差是多少?在工作经验方面3人得分的众数是多少?在仪表形象方面谁最有优势?
（2）如果专业知识、工作经验、仪表形象三个方面的重要性之比为10︰7︰3，那么作为人事主管，你认为应该录用哪一位应聘者?为什么?
（3）在（2）的条件下，你对落聘者有何建议?
解读：本题展示春兰集团对应聘者面试的三项考核标准，并通过实际的打分制成的条形统计图对应聘者作出抉择，同时对落聘者写出建议，反映理论与实践的密切联系，是体现课程标准的新理念．
训练7：设计运用几何模型考查应用能力题例43（2005年·沈阳）如图所示，A、B为两个庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直．现在要从点E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆，共有如下两种铺设方案：方案一：E→D→A→B；方案二：E→C→B→A．
经测量得AB=千米，BC=10千米，CE=6千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°．
已知：地下电缆的修建费为2万元／千米，水下电缆的修建费为4万元／千米．
（1）求出河宽AD(结果保留根号)；
（2）求出公路CD的长；
（3）哪种方案铺设电缆的费用低?请说明你的理由．
解读：本题提供条件有三种不同的途径：公路、田地、河宽，每部分铺设电缆的费用方式也各不相同，独立构建数学模型没有固定格式和标准，最后根据特定情况比较找到解决问题的方法．
策略六：关注探究能力训练，让数学课堂开放化 运用学过的知识，通过观察、试验、联想、类比、演绎、归纳、分析、综合、猜想等手段，对问题进行探索和研究的能力．这类问题在中考中主要有四类：（1）根据所提供的信息，寻找问题的规律、数量关系和位置关系；（2）探究问题的结论是否成立或符合条件的数学对象是否存在；（3）根据已知条件探索相应的一个或几个正确的结论或不确定的结论；（4）给出问题的结论，探索使结论成立的一个或几个符合要求的条件或不确定的条件．训练1：设计寻找代数问题的规律考查探究能力题例44（2005年·南宁）观察图形寻找规律，在“?”处填上的数字是（ ）
A．128 B．136 C．162 D．188
解读：本题要求学生通过几个具体的数关系0＋2＋2＝4，2＋2＋4＝8，2＋4＋8＝14，4＋8＋14＝26发现：前面每三个相邻数的和等于后一个数，以此考查学生探究数字之间规律的能力．训练2：设计探究问题的结论是否成立考查探究能力题例45（2004年·海淀）已知：关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0的两个实数根之差的平方为m．
（1）试分别判断当a=1， c=－3与a=2， c= 时， m≥4是否成立，并说明理由；
（2）若对于任意一个非零的实数a， m≥4总成立，求实数c及m的值．
解读：本题在给定的a，c数值的条件下，先根据问题的要求得到方程两根的关系，然后通过计算判断m=(x1－x2)2≥4是否成立，以此考查学生探究问题的结论是否成立的能力．训练3：设计探究符合条件的数学对象是否存在考 查探究能力题例46（2002年·包头）已知x1， x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，c≠0）的两个实数根，且
（1）试求用m和n表示 的式子；
（2）是否存在实数m和n，满足 ，使 成立?若存在，求出m和n的值；若不存在，请说明理由．解读：本题可先假设存在实数m和n，满足 ，使 成立．然后由第(1)问所得到的表达式 和第(2)问所给条件 ，组合成 的形式，再构造(m+n)2=6k，mn=5k(k＞0)，同时借用判别式比较说明m，n的值不存在，以此考查学生探究符合条件的数学对象是否存在的能力．
训练4：设计结论通过特例归纳考查探究能力题例47（2000年·安徽）比较下面两列算式结果的大小（在横线上选填“＜”、“＝”、“＜”）
42+32______2×4×3 ；
(－2)2+12_________2×(－2)×1；
；
22+22_______2×2×2．……
通过观察归纳，写出能反映这种规律的一般结论，并加以证明．解读：本题要求学生通过四个具体的算式结果，归纳、猜想用字母表示数的规律：a2+b2≥2ab，最后给出证明，以此考查学生通过特例归纳探究一般结论规律的能力．
训练5：设计结论不确定考查探究能力题例48（2007年·北京）在五环图案内，分别填写五个数a，b，c，d，e，如图： ，其中a，b，c是三个连续偶数（a＜b），d，e是两个连续奇数（d＜e），且满足a＋b＋c=d＋e，例如： ，请你在0到20之间选择另一组符合条件的数填入图中：解读：以奥运五环图案为背景，将数字的特征与五环有机地组合，让学生在一种紧张的组合数字中感受奥运的比赛气氛，让心灵产生一种振憾力量与数字的和谐统一美．
训练6：设计结论需要通过类比引申考查探究能力题例49（2005年·长沙）已知点E、F在△ABC的边AB所在的直线上，且AE=BF，FH∥EG∥AC，FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G．
（1）如图①，如果点E、F在边AB上，那么EG+FH=AC；
（2）如图②，如果点E在边AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是______________；
（3）如图③，如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是______．
对（1）（2）（3）三种情况的结论，请任选一个给予证明．
解读：猜想EG、FH、AC长度的和差关系，最常用的办法是量一量、算一算，显然通过点E、F在边AB上或在AB延长线上或在AB反向延长线上，发现线段EG、FH、AC三者存在关系会发生一种细小的变化，以此考查学生探究问题的能力．
训练7：设计条件未知需要探求考查探究能力题例50（2004年·江西）已知关于x的方程
（1）当 m 取什么值时，原方程没有实数根；
（2）对 m 选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的平方和．
解读：第（1）问从结论“原方程没有实数根”入手，抓住其等价命题“⊿=4 － =4 ＜0”，可求出所需条件是 m＜ ，至于第（2）问，只要取适合 m≥ 的值计算都是合乎要求的．
训练8：设计条件不足需要补充考查探究能力题例51（2005年·深圳）如图，已知：在△ABC和△DCB中，AC=DB，若不增加任何字母与辅助线，要使△ABC≌△DCB，则还需增加一个条件是__________．
解读：在已知线段和公共边双重条件下，需要再添加一个条件的方法只有二种，即AB=DC或∠ACB=
∠DBC，这种从二个条件选一个的方法摆脱了常规题的模型，是属于开放题一类的探究题．
训练9：设计问题的条件多余或有错误需要排除考 查探究能力题 例52（2005年·烟台）先阅读下面材料，然后解答问题：
王老师在黑板上出了这样一道习题：设方程2x2－5x+k=0的两个实数根是x1，x2，请你选取一个适当的k值，求 的值．
小明同学取k=4，他作了如下解答：
解：取k=4，则方程是2x2－5x+4=0．由根与系数关系，
得 x1+x2=，x1x2=2．
∴ ，
即
问题（1）：请你对小明解答的正误作出判断，并说明理由．
问题（2）：请你另取一个适当的正整数k，其他条件不变，不解方程，改求|x1－x2|的值．
解读：通过阅读小明的解答过程，对小明造成错误原因进行剖析，并对小明选取的k值是否满足方程有实根的条件进行验证，以此考查学生对问题的质疑能力和探究问题的能力．
训练10：设计结论开放考查探究能力题例53（2006年·南昌）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，OD⊥BC于点E，交 于点D．
（1）请你写出三个不同类型的正确结论．
（2）连接CD后，设∠CDB= ，∠ABC= ，试找出 与 之间的一种关系式，并给予适当的说明．
解读：从图形中寻找正确结论与 与 之间的关系有多种，每一种结论或关系只要符合要求都是可以的，本试题通过学生自己的尝试、自主的探索、自我的领悟来判断学生观察问题能力与整合信息的能力，而且暗射了学生要养成把搜寻的结果进行归类的习惯，以此逐步获得有思维价值的结论好方法，当然也可以从命题意图中追寻一种思维突破的方式，来拓展学生的视野，启迪智慧．
策略七：关注创新能力训练，让数学课堂个性化 运用已有的信息，通过开展思维和实践活动，产生某种新颖的、独特的、有社会价值或个人价值的能力．就其表现结构主要有三类：（1）对已有的数学知识和方法进行推广和拓展；（2）对某些定理和公式的结论进行深化和延伸；（3）对未知的数学领域通过探索得到新的结果．目前数学创新的研究刚刚起步，进行创新的途径和方法也很多，但常用的是：（1）特殊与一般；（2）类比与联想；（3）引申与拓展；（4）组合与分解．训练1：设计对已有的数学知识进行推广考查创新能力题例54（2005年·河北）法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改为手势了．下面两个图框是用法国“小九九”计算7×8和8×9的两个示例．若用法国“小九九”计算7×9，左、右手依次伸出手指的个数是（ ）
A．2，3 B．3，3 C．2，4 D．3，4
解读：根据法国与中国“小九九”的类比，结合两个图框介绍法国的方法，易得到左手与右手依次伸出的手指是2和4，以此考查学生对数学知识推广的创新能力．
训练2：设计对公式的结论进行延伸考查创新能力题例55（2005年·哈尔滨）观察下列各式：
（x－1）（x+1）=x2－1，（x－1）（x2+x+1）=x3－1，
（x－1）（x3+x2+x+1）=x4－1，……，根据前面的规律，得
=_________（其中n为正整数）．
解读：根据前面几个具体的公式结构特点进行探索发现，然后引申为更一般性的结论，以此考查学生创新的能力．训练3：设计对已有的数学方法进行拓展考查创新能力题例56（2005年·青岛）等腰三角形是我们熟悉的图形之一，下面介绍一种等分等腰三角形的方法：在△ABC中，AB=AC，把底边BC分成m等份，连结顶点A和底边BC各等分点的线段，即可把这个三角形的面积m等分．
问题的提出：任意给一个正n边形，你能把它的面积m等分吗?
探究与发现：为了解决这个问题，我们先从简单问题入手：怎样从正三角形的中心（正多边形的各对称轴的交点，又称为正多边形的中心）引线段，才能将这个正三角形的面积m等分？如果要把正三角形的面积四等分，我们可以先连接正三角形的中心和顶点（如图①，这些线段将这个正三角形分成了三个全等的等腰三角形）；再把所得的每个等腰三角形的底边四等分，连结中心和各边等分点（如图②，这些线段把这个三角形分成了12个面积相等的小三角形）；最后，依次把相邻的三个小三角形拼合在一起（如图③）．这样就能把正三角形的面积四等分．实验与验证：仿照上述方法，利用刻度尺，在图④中画出一种将正三角形的面积五等分的示意简图．
猜想与证明：怎样从正三角形的中心引线段，才能将这个正三角形的面积m等分?叙述你的分法并说明理由．
拓展与延伸：怎样从正方形的中心引线段，才能将这个正方形的面积m等分?（叙述分法即可，不需说明理由）．
问题解决：怎样从正n边形的中心引线段，才能将这个正n边形的面积m等分?（叙述分法即可，不需说明理由）．
解读：从等腰三角形的分法到等边三角形的分法，引申到正方形的等分，最后到正n边形的等分，运用特殊到一般的手段，将等腰三角形面积的m等分问题拓展到正n边形的面积的m等分的问题．训练4：设计一些实践性的问题考查创新能力题 例57（2002年·太原）如图是一个用六根竹条联接而成的凸六边形风筝骨架，考虑到骨架的稳定性、对称性、实用性等因素，请再加三根竹条与其顶点联接，设计出两种不同的联接方案（用直尺联接）．
解读：以风筝制作为背景，考虑到骨架的稳定性、对称性、实用性等因素，为学生对未知联接方案提供了一个艺术创作的机会，画出的一组图形中，前5个是符合设计要求的，当然学生在这一探索过程中已有对知识的筛选取舍，有对图形的观察分析，有对操作实验的检测，有对猜测推理的反思，让学生通过两种不同联接的类比，使其知识得到迁移，也使探究未知的思维得到了更好的发展．例58（2002年·泰州）以给定的图形“○○、△△、＝”（两个圆、两个三角形、两条平行线段）为构件，构思独特且有意义的图形．举例：如下图左框中是符合要求的一个图形，你还能构思出其他的图形吗？请在右框中画出与之不同的一个图形，并写上一两句贴切、诙谐的解说词．
解说词： 两盏电灯 解说词：训练5：设计一些图形类有关问题考查创新能力题
解读：根据已知给定条件和配制图形的提示，通过类比与联想，分解与组合，考查学生对未知的拼图进行一种再创作，使学生的创新思维得到了应有的发展，也使学生隐含的优良品质得以凸现，从而得到考分之外的另一份惊喜．如热爱运动的考生会写：带球突破 、 投篮命中 ；
喜欢休息的考生会写：晚间8：00 、一千零一夜 ；喜欢情调的考生会写：大红灯笼高挂 ，小小雨伞传真情 ；喜欢幽默的考生会写 ：东边日出西边雨 小鱼水中吹泡泡 等．策略八：关注学习能力训练，让数学课堂思维化 通过阅读，理解以前没有学过的新的数学知识（包括新的概念、定理、公式、法则和方法等），并且运用它们作进一步的运算推理，解决有关问题的能力．在中考试题中主要体现三类：（1）学习新的数学概念；（2）学习新的数学定理、公式和法则；（3）学习新的数学方法．训练1：设计隐含于数学概念的考查学习能力题例59（2004年·温州）火车票上的车次号有两个意义，一是数字越小表示车速越快，1～98次为特快列车，101～198次为直快列车，301～398次为普快列车，401～598次为普客列车；二是单数与双数表示不同的行驶方向，其中单数表示从北京开出，双数表示开往北京，根据以上规定，杭州开往北京的某一直快列车的车次号可能是（ ）
A．20 B．119 C．120 D．319
解读：本题用车次号的方式定义了列车的属性，用单双数的方式定义了开往的方向，有别于常规的数学概念的定义方法，也赋予生活另一层含义，定义的车次序号虽然众多，但学生只要认真分析并不难掌握，从而更加灵活地考查了学生的学习能力．
训练2：设计定义新概念考查学习能力题例60（2003年·安徽）如图所示，这些等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把它与正三角形的接近程度称为“正度”.在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等．设等腰三角形的底和腰分别为a，b底角和顶角分别为 ,要求“正度”的值是非负数．
同学甲认为:可用式子|a－b|来表示“正度”,|a－b|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；同学乙认为:可用式子| |来表示“正度”，| |的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形．探究：
（1）他们的方案哪个较为合理，为什么?
（2）对你认为不够合理的方案，请加以改进
（给出式子即可）；
（3）请再给出一种衡量“正度”的表达式．
解读:本题设置了一个新的数学概念“正度”，而且提供了不同形式的数学活动，包括要求学生去评价已有新定义的合理性，改进不理想定义和创造新的定义，让学生通过对“正度”概念的了解，考查学生对相应概念和知识的理解水平，运用新事物解决问题的能力．
训练3：设计用图形符号定义新公式考查学习能力题例61（2005年·海淀）用“ ”、“ ”定义新运算：对于任意实数a，b，都有a b=a和 a b=b．例如，3 2=3，
3 2=2，则（2006 2005） （2004 2003）= ．
解读：本题用图形符号定义一种新运算，而且用举例的形式来说明，考查学生对新的运算符号的认识及理解新运算方法的掌握程度，并且运用新运算符号解决问题的能力．训练4：设计高年级教材中定义考查学习能力题例62（2004年·昆明）观察下列等式（式子中的“!”是一种数学运算符号）
1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1，……，计算： =________．
解读：本题用高中的阶作为一种新的运算符号，并通过一系列的例子说明，考查学生对新的运算符号“!”的认识和理解，也考查学生学习新问题解决新问题的能力．训练5：设计新方法考查学习能力题例63（2005年·浙江）在日常生活中取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4－ y4 ，因式分解的结果是（x－y）（x+y）（x2+y2），若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：（x－y）=0，（x+y）=18，（x2+y2）=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x3－xy2，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是___________（写出一个即可）．
解读：本题用因式分解的各个式子求出的具体的数值作为一种新的密码，以此考查学生理解新方法的实质，然后解决同类型的多项式产生的新的密码．
训练6：设计新方法反思考查学习能力题例64 (2002年·河北)图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b)：在图①中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分）；在图②中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3 B3B2B1（即阴影部分）．
（1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；
（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S1=_________，S2=________，S3=_________．
（3）联想与探索：如图④，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少?并说明你的猜想是正确的．
解读：本题前三个图形中阴影部分的面积有多种方法，但并不都具有一般性，如果学生开始选择的策略不具有一般性，则在求第（3）问的过程中，会对前面的方法进行反思，从而可以通过分析学生的解题过程考查其反思能力和迁移运用能力．
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