7.2 二元一次方程组的解法学案
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二元一次方程组解法
【例题讲解】：解方程组：
解：一、代入消元法：
A、由(1)得： y＝7－x (3) (用含x的代数式表示y)
把(3)代入(1)得：3x ＋ (7－x )＝17
∴3x＋7－x＝17 ∴ x＝5
把x＝5代入(3)得： y＝2 ∴
B、 由(1)得： x＝7－y (3) (用含y的代数式表示x)
把(3)代入(1)得：3 (7－y) ＋ y＝17
∴21－3y＋y＝17 ∴ y＝2
把y＝2代入(3)得： x＝5 ∴
C、由(2)得： y＝17－3x (3) (用含x的代数式表示y)
把(3)代入(2)得：x ＋ (17－3x )＝7
∴x＋17－3x＝7 ∴ x＝5
把x＝5代入(3)得： y＝2 ∴
D、 由(2)得： x＝ (3) (用含y的代数式表示x )
把(3)代入(1)得： ＋ y＝7
∴17－y＋3y＝21 ∴ y＝2
把y＝2代入(3)得： x＝5 ∴
说明：把一个方程中的一个未知数用另 ( http: / / www.21cnjy.com )一个未知数的代数式表示，然后代入另一个方程 中，消去这个未知数，从而转化为一元一次方程。这种解法叫做代入消元法。一般取系数绝对值最小整数的未知数用另一个未知数的代数式表示。力求使变形后的方程比较简单和代入后化简比较容易。代入消元法的一般步骤： 求 表 示 式 ，代 入 消 元 ，回 代 得 解 ；
二、加减消元法： 如由(1)用整体2x＝22－4y代入(2)消去x解题。
E、把(2)－(1)得：2 x＝10 (消去含y的代数式)
∴ x＝5
把x＝5代入(1)得：y＝2 ∴
F、由(1)×3得：3x ＋ 3y ＝21 (3)
把(3)－(2)得：2 y＝4 (消去含x的代数式)
∴ y＝2
把x＝5代入(1)得：y＝2 ∴
说明：先使两个方程中的某一个未知数的系 ( http: / / www.21cnjy.com )数的绝对值相等，然后把方程的两边分别相 加或相减消去一个未知数，转化为一元一次方程，这种解法叫做加减消元法。
(1)当某一个未知数的系数互为相反数时，用加法把这个未知数消去；
(2)当某一个未知数的系数相等时，可用减法把这个未知数消去；
(3)若含某一个未知数的系数不相等时，可用等式性质2乘以一个正数，把未知数的系数化成绝对值相等再进行加减，消去一个未知数。
加减消元法的一般步骤：更 变 常 数 ，加 减 消 项， 回 代 得 解 ；
三、消常数项法： 由(1)×17得：17x ＋ 17y ＝119 (3)
由(2)×7得： 21x ＋ 7y ＝119 (4)
把(4)－(3)得： 4 x＝10y ∴ x＝y
把x＝y代入(1)得：y＝2 ∴
说明：当两个方程中的常数项绝对值相等或成整数倍时，可用加减法先消去常数项，得到两个未知数的直接倍分关系，再灵活运用代入法来解，简洁、迅速。
消去常数项法的一般步骤：变 换 系 数 ，加 减 消 元 ，回 代 得 解 ；
四、整体代入消元法：把(1)代入(2)得：2x＋7＝17 ∴x＝5
把x＝5代入(1)得： y＝2 ∴
说明：当某一个方程中含有另一个方程中的各项之和的整数倍时，可用整体代入法解题，以达简单快捷的目的。
总之，四种解法所得的结果都相同。在解题时就要根据实际情况，选择简便解法。
一般地，二元一次方程组解法的策略：
1、当某一个未知数的系数绝对值是1或一个方程的常数项为0时，宜用代入法较方便；
2、当两个方程中，同一个未知数的系数绝对值相等或成整数倍时，宜用加减法较方便；
3、当两个方程中的常数项绝对值相等或成整数倍时，可用加减法消去常数项比较简捷；
4、方程组中的每一个方程至少要用到一次；
解一次方程组的基本思路是逐步“消元” ( http: / / www.21cnjy.com )即多元 二元 一元。但对于一个具体的多元一次方程组来说，先消去哪一个未知数为好呢？这就要有敏锐的观察力和判断力。在确定消去某个未知数后，任两个方程之间应用消元法时，只有都消去同一个未知数，才能达到消元的目的。主要是根据方程组中各系数的结构特征和特定条件，采用合理的方法和策略灵活运用消元，才能使之解法简捷；
二元一次方程组的特殊解法
1. 换元法
解方程组
分析:此类方程组,若按一般的解法,则显得过程较繁,若进行未知数代换,可使计算简便.
解:设,
则方程组化为解得,把a、b的值代入(3),(4)得原方程组的解为
2. 整体加减法
例2. (1)解方程组
分析:方程组中的x、y的系数绝对值在两个方程中对调,可采用连续加减,化简系数.
解：（1）+（2），得132x+132y=264，
所以x+y=2 ③，
①-②，得34x-34y=-68，所以x-y=-2 ④，
由③、④得方程组
解得所以方程组的解为
(2)解方程组
解:①+②,得88x-88y=-88,所以x-y=-1 , ③
②-①,得58x+58y=174,所以x+y=3, ④
③+④,得2x=2,所以x=1,
④-③,得2y=4,所以y=2.所以方程组的解为
3. 整体代入法
例3. (1)解方程组：
解：方程组化为 将x+1=6y代入2(x+1)-y=11,
得12y-y=11,所以y=1,x=5,所以方程组的解为
（2）解方程组
解：由方程①，得3(x+2)=9+4(y-1) ③,将③代入②,得2[9+4(y-1)]-5(y-1)=12,
整理,得y-1=-2,所以y=-1,将y=-1代入③,得x=-,所以方程组的解为
4.常数消元
消去常数项法解二元一次方程组,可使问题变的简单,减少计算量,但应注意因题而用.
例4.解方程组
分析：观察方程组的特点，未知数中的系数相对较大，直接消去某个未知数，乘起来较麻烦，观察常数项是倍数关系，可采用消去常数项的方法求解。
解：（1）×2-（2），得27x-9y=0，
所以y=3x， （3）
把（3）代入（1），得17x+21x=38，
所以x=1，y=3，
所以方程组的解为
练习（一）答案:（1）（2）（3）（4）（5）
（6）（7）（8）（9）（10） （11）
练习（二）答案:1． 2． 3. 4. 5.
消元
消元
【例题讲解】：解方程组：
解：一、代入消元法：
A、由(1)得： y＝7－x (3) (用含x的代数式表示y)
把(3)代入(1)得：3x ＋ (7－x )＝17
∴3x＋7－x＝17 ∴ x＝5
把x＝5代入(3)得： y＝2 ∴
B、 由(1)得： x＝7－y (3) (用含y的代数式表示x)
把(3)代入(1)得：3 (7－y) ＋ y＝17
∴21－3y＋y＝17 ∴ y＝2
把y＝2代入(3)得： x＝5 ∴
C、由(2)得： y＝17－3x (3) (用含x的代数式表示y)
把(3)代入(2)得：x ＋ (17－3x )＝7
∴x＋17－3x＝7 ∴ x＝5
把x＝5代入(3)得： y＝2 ∴
D、 由(2)得： x＝ (3) (用含y的代数式表示x )
把(3)代入(1)得： ＋ y＝7
∴17－y＋3y＝21 ∴ y＝2
把y＝2代入(3)得： x＝5 ∴
说明：把一个方程中的一个未知数用另 ( http: / / www.21cnjy.com )一个未知数的代数式表示，然后代入另一个方程 中，消去这个未知数，从而转化为一元一次方程。这种解法叫做代入消元法。一般取系数绝对值最小整数的未知数用另一个未知数的代数式表示。力求使变形后的方程比较简单和代入后化简比较容易。代入消元法的一般步骤： 求 表 示 式 ，代 入 消 元 ，回 代 得 解 ；
二、加减消元法： 如由(1)用整体2x＝22－4y代入(2)消去x解题。
E、把(2)－(1)得：2 x＝10 (消去含y的代数式)
∴ x＝5
把x＝5代入(1)得：y＝2 ∴
F、由(1)×3得：3x ＋ 3y ＝21 (3)
把(3)－(2)得：2 y＝4 (消去含x的代数式)
∴ y＝2
把x＝5代入(1)得：y＝2 ∴
说明：先使两个方程中的某一个未知数的系 ( http: / / www.21cnjy.com )数的绝对值相等，然后把方程的两边分别相 加或相减消去一个未知数，转化为一元一次方程，这种解法叫做加减消元法。
(1)当某一个未知数的系数互为相反数时，用加法把这个未知数消去；
(2)当某一个未知数的系数相等时，可用减法把这个未知数消去；
(3)若含某一个未知数的系数不相等时，可用等式性质2乘以一个正数，把未知数的系数化成绝对值相等再进行加减，消去一个未知数。
加减消元法的一般步骤：更 变 常 数 ，加 减 消 项， 回 代 得 解 ；
三、消常数项法： 由(1)×17得：17x ＋ 17y ＝119 (3)
由(2)×7得： 21x ＋ 7y ＝119 (4)
把(4)－(3)得： 4 x＝10y ∴ x＝y
把x＝y代入(1)得：y＝2 ∴
说明：当两个方程中的常数项绝对值相等或成整数倍时，可用加减法先消去常数项，得到两个未知数的直接倍分关系，再灵活运用代入法来解，简洁、迅速。
消去常数项法的一般步骤：变 换 系 数 ，加 减 消 元 ，回 代 得 解 ；
四、整体代入消元法：把(1)代入(2)得：2x＋7＝17 ∴x＝5
把x＝5代入(1)得： y＝2 ∴
说明：当某一个方程中含有另一个方程中的各项之和的整数倍时，可用整体代入法解题，以达简单快捷的目的。
总之，四种解法所得的结果都相同。在解题时就要根据实际情况，选择简便解法。
一般地，二元一次方程组解法的策略：
1、当某一个未知数的系数绝对值是1或一个方程的常数项为0时，宜用代入法较方便；
2、当两个方程中，同一个未知数的系数绝对值相等或成整数倍时，宜用加减法较方便；
3、当两个方程中的常数项绝对值相等或成整数倍时，可用加减法消去常数项比较简捷；
4、方程组中的每一个方程至少要用到一次；
解一次方程组的基本思路是逐步“消元” ( http: / / www.21cnjy.com )即多元 二元 一元。但对于一个具体的多元一次方程组来说，先消去哪一个未知数为好呢？这就要有敏锐的观察力和判断力。在确定消去某个未知数后，任两个方程之间应用消元法时，只有都消去同一个未知数，才能达到消元的目的。主要是根据方程组中各系数的结构特征和特定条件，采用合理的方法和策略灵活运用消元，才能使之解法简捷；
二元一次方程组的特殊解法
1. 换元法
解方程组
分析:此类方程组,若按一般的解法,则显得过程较繁,若进行未知数代换,可使计算简便.
解:设,
则方程组化为解得,把a、b的值代入(3),(4)得原方程组的解为
2. 整体加减法
例2. (1)解方程组
分析:方程组中的x、y的系数绝对值在两个方程中对调,可采用连续加减,化简系数.
解：（1）+（2），得132x+132y=264，
所以x+y=2 ③，
①-②，得34x-34y=-68，所以x-y=-2 ④，
由③、④得方程组
解得所以方程组的解为
(2)解方程组
解:①+②,得88x-88y=-88,所以x-y=-1 , ③
②-①,得58x+58y=174,所以x+y=3, ④
③+④,得2x=2,所以x=1,
④-③,得2y=4,所以y=2.所以方程组的解为
3. 整体代入法
例3. (1)解方程组：
解：方程组化为 将x+1=6y代入2(x+1)-y=11,
得12y-y=11,所以y=1,x=5,所以方程组的解为
（2）解方程组
解：由方程①，得3(x+2)=9+4(y-1) ③,将③代入②,得2[9+4(y-1)]-5(y-1)=12,
整理,得y-1=-2,所以y=-1,将y=-1代入③,得x=-,所以方程组的解为
4.常数消元
消去常数项法解二元一次方程组,可使问题变的简单,减少计算量,但应注意因题而用.
例4.解方程组
分析：观察方程组的特点，未知数中的系数相对较大，直接消去某个未知数，乘起来较麻烦，观察常数项是倍数关系，可采用消去常数项的方法求解。
解：（1）×2-（2），得27x-9y=0，
所以y=3x， （3）
把（3）代入（1），得17x+21x=38，
所以x=1，y=3，
所以方程组的解为
练习（一）答案:（1）（2）（3）（4）（5）
（6）（7）（8）（9）（10） （11）
练习（二）答案:1． 2． 3. 4. 5.
消元
消元