NT20 名校联合体高一年级收心考试
数学答案
1．B【解析】CRA= x 1 x 4 ，故 CR A B x 1 x 3 .故选 B.
2．D π 3【解析】 cos( ) sin ，又sin y 3 , y 0 ，解得 y 2 .故选 D.
2 3 8 y2 3
1
3．B【解析】 a 0.50.9 (0,1)， b ln3 1， c log3 0，故 b a c .故选 B.2
4．A π π π π π 4【解析】因为 0, ，所以 , ， sin
2 6 6 3 6 5
sin sin(( π π 3 ) ) sin( π ) 1 π cos( ) 3 4 3 .故选 A.
6 6 2 6 2 6 10
5．C【解析】 f (x)为奇函数，则 f (x) f ( x)，又因为 f x f 2 x 0，
所以 f (x)
3
的周期为 4， f log212 f log212 4 f log2 ，因为 f (x)为奇函数，
4
3 4 4 log 4
所以 f log
2 4
2 f4
log2 f3
log 32 2 .故选 C.
3 3
x
6 C e sin x sin x．【解析】f (x) (a 1)x x
eax
(a 1)x x ，因为 y sin x为奇函数，所以 y e e 为偶函数，则 a 2 . 1 e e
故选 C.
7．D【解析】分 a 1和 0 a 1进行讨论. 当 a 1时， y loga x （a a 0）单调递增，A、B均不符合题意.
当 0 a 1时， y loga x a单调递减，当 x 1时 y 0 .故选 D.
f x f x
f x 1 2
8．A 【解析】令 g x ，因为对 x1、x2 0, ，且 x1 x2 ，都有 x1 x2 0成立，x x1 x2
f x f x
不妨设 0 x1 x2，则 x1 x2 0，故 x2 f
1 2 x1 x1 f x2 0，则 ，即 g x g x ，x1 x 1 22
所以 g x 在 0, 上单调递增，
f f 4 f x又因为 4 2 ，所以 g 4 1 1 ，故 可化为 g x g 4 ，
4 2 x 2
g x f xx 4 1所以由 的单调性可得 ，即不等式 的解集为 4, ．故选：A.
x 2
9．ACD【解析】A选项， sin A B sin(π C ) sinC ，选项 A正确；
B选项， cos A B cos(π C ) cosC ，选项 B错误；
在 ABC 中， sin A sin B，利用正弦函数的图象知 a b，再利用三角形中大角对大边，小角对小边，可
知 A B，故 C和 D正确；
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{#{QQABDYYUggAoABBAAAgCEwEICAOQkBAAAKoGhBAAMAAByANABAA=}#}
π π π T 2π
10．AC【解析】由图 A 2，知 ， T π， 2，6 12 4 4 T
f π 因为 2cos 2
π
π π π
6 6
2， | | ，则 ， f (x) 2cos 2x ，
2 3 3
∵ f (x) 2cos 2x
π 2π
, T π，故 A正确;
3 2
f π 2cos
π π π
0, 故 f (x)的图象不关于点 ,0 中心对称， 故 B错误，
6 3 3 6
f (x) 2cos 2x
π
2sin(2x
π
) ，可以由 y 2sin 2x π向左平移 个单位长度得到，C正确;
3 6 12
x π , π 当 时， 2x
π π
π,
， f (x) 2cos
2x π 不单调，D错误，故选:AC.
3 3 3 3 3
11 AB 2 2． 【解析】由题知 x R ， k 1 x 2 k 1 x 1 0是真命题，当 k 2 1 0，即 k 1时， 1 0恒
成立， k 1时， 2x 1 0不恒成立；当 k 2 1 0时， 4(k 1)2 4(k 2 1) 0，解得 0 k 1，综上
得 0 k 1 .故选 AB．
12．ABC【解析】由题知 ex1 x1，ln x2 x2 ， y e
x与 y ln x的图象关于 y x对称，所以点 (x ,ex11 )与
点 (x2 , ln x2 )关于 y x对称，故 x1 x2 0，A正确;
1 x 1 1 x 1由零点存在性定理可知 2 ， 1 ，B正确;2 2
ex1 x1 x2，两边同时取对数知 ln x2 x1，故 C正确;
4x1x2 1 2x1 2x2 (2x1 1)(2x2 1) 0，故 D错误，故选 ABC.
1 ln x 1 0
13． x | e x 3 【解析】要使函数 f (x) ln x 1 有意义，则应有 ，解得 e x 3，
3 x 3 x 0
所以函数的定义域为 x | e x 3 ．
1 cos sin cos 1 tan
14 2 2 2 2
1 1
． 【解析】利用倍角公式化简得 .
6 cos sin sin 1 tan tan 6
2 2 2 2 2
9
15. 【解析】因为 2a b 3，所以 (2a 4) (b 1) 8．
8
2 1 4 1 4 1 2a 4 b 1 1所以
a 2 b 1 2a 4 b 1 2a 4 b 1
8
1 2a 4 4(b 1) 1 9
5 5 2 4 ，
8 b 1 2a 4 8
8
2 5 2 1 9
当且仅当 a ,b 时等号成立．故 的最小值为 ．
3 3 a 2 b 1 8
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{#{QQABDYYUggAoABBAAAgCEwEICAOQkBAAAKoGhBAAMAAByANABAA=}#}
2
16.[0,16)【解析】 f x ln
1 9x 3x ln 1 9x2 3x 2
，
e
2
令 g x ln 1 9x2 3x ，显然可得 g x 为奇函数，且在R 上单调递增.
f kx2 2 f 2 kx 4 0 g kx2 2 g 2 kx 0 g kx2 2 g 2 kx g kx 2
于是 kx2 2 kx 2 kx2 kx 4 0恒成立.
当 k 0时不等式恒成立；
k 0
当 k 0时，要满足题意则需 2 k [0,16)
Δ k 16k 0
1 1 10 2
17 0．【解析】（1） 20.027 3 4 2 1 0.25 1 6 3 6 1 4 3 2 ……………5分
9 3 3
2 log 2（ ） 3ln24 9 log3 8 lg2 lg50 lg25 lg2 e
3 lg 2 (lg5 1) 2lg5 lg 2 2 1
8
3 lg 2 (lg5 lg 2 1) 2lg5 1
8
7
………………………………………………………………………10分
8
4
18．【解析】 (1) 由1 0， 得 1 x 3，…………………………………………………………2分
x 1
当 k 1 时， B {x | x2 2x 3 0}，
由 x2 2x 3 0， 解得 3 x 1， 所以 B {x | 3 x 1}，………………………………4分
所以 A B {x | 1 x 1}………………………………………………………………………5分
（2）“ x B”的充分不必要条件是“ x A”，即 A是 B的真子集…………………………6分
由（1）知 A x | 1 x 3 ，又由 x2 2kx 3k 2 0，得 x 3k x k 0，
当 k 0时， x ( 3k,k)；当 k 0时， B ；
当 k 0时， x (k, 3k)．…………………………………………………………………………8分
因为“ x A”是“ x B”的充分不必要条件，
所以当 k 0
3k 1
时，满足 ，解得 k 3；……………………………………………………9分
k 3
当 k 0时，不符合题意；…………………………………………………………………………10分
当 k 0
k 1
时，满足 ，解得 k 1．…………………………………………………………11分
3k 3
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{#{QQABDYYUggAoABBAAAgCEwEICAOQkBAAAKoGhBAAMAAByANABAA=}#}
综上可得，实数 k的取值范围为 ( , 1) (3, )．………………………………………………12分
19．【解析】（1）因为 f (x) f (x) sinx cosx f x tan x 1化简可得 ，即 ………2分
3cosx sinx 3 tan x
tan 1因为 f 3，即 3， 3 tan
解得 tan 5 …………………………………………………4分
3 1 1 1
（2）依题意，由 f ( ) , f ( ) ，可得 tan( ) ， tan ………………7分
5 2 2 3
1 1
tan(2 ) tan[( ) ] tan( ) tan 2 3 1………………9分
1 tan( ) tan 1 1
6
π 0, π , tan 1 0, ，
3 6
…………………10分
π , π π π又 π,
2 3 ，
2 ( π, )……………………11分
6
2 3π ………………………………………12分
4
20 2．【解析】(1)幂函数 f (x) (m 4m 4) x2m 4 在 ( ,0)上单调递减，
m2 4m 4 1
所以 m 3，所以 f (x) x2 ……………………………………2分
2m 4 0
(2) f (x) x2 图象关于 y轴对称，且在 0, 上单调递增，
则 f (1 2x) f (x 2)可化为 1 2x x 2 ，平方得 4x2 4x 1 x2 4x 4，
1
化简得 3x2 8x 3 0，解得 x 3……………………………………5分3
x 1所以 的取值范围是 ,3
…………………………………………………………6分
3
（3）由（1）可得 f (x) x2
因为对 x [1,2]，使得 f x at2 t a 1都成立
所以 f (x) 2max at t 2a 9 ，其中 x [1,2]，由（1）可得函数 f x 在 1,2 上的最大值为 4，
所以 at2 t a 1 4，…………………………………………………………………………7分
又 a [1,2]，使得 at2 t a 1 4成立
2
所以 at t a 3 0，………………………………………………………………8分
max
2
因为 t2 1 0，所以 y a t 1 t 3是关于 a的单调递增函数，
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{#{QQABDYYUggAoABBAAAgCEwEICAOQkBAAAKoGhBAAMAAByANABAA=}#}
at2 t a 3 = 2 t2∴ 1 t 3 0，…………………………………………10分max
1
即 2t2 t 1 0，∴ t 或 t 1，2
1
所以实数 t的取值范围为 ( , ] [1, ) .………………………………………………12分
2
1 cos2x
21.【解析】（1） f x 2 3 sin2 x sin x cos x 2 3 2 3 1 2sin xcos x 32
sin 2x 3 cos2x 1 π 2sin 2x
1……………………………………………………2分
3
故函数 f x 2π的最小正周期为 π．………………………………………………………3分
2
π
（2）由（1）知 f x 2sin 2x 1，
3
x π , π π 5π π 因为 ，所以 2x , ， 4 4 3 6 6
t 2x π令
3
，则 y sint，
y sint 5π π 函数 在区间 , 6 2
上单调递减，
π π
在区间 , 上单调递增， 2 6
t π x π f x 2sin π 所以 ，即 时，函数 2x 16 4 3
π
有最大值，最大值为 f 2．…………………………………………………………5分
4
π
当 t
π π
，即 x ，函数 f x 2sin 2x 12 12 3
有最小值，最小值为 f
π
1．……………………………………………………7分
12
x π π , y f x x π π综上 ， 的最小值为 1，此时 ；最大值为 2，此时 x 4 4 12 4
（3）因为函数 y f x m在 x 0,
π π
内有且只有一个零点，所以 f x m 0在 x 0, 只有一 2 2
个实根，
2sin π 2x 1 m 0，即 sin
2x π m 1
………………………………………………9分
3 3 2
y sin 2x π π即函数
x 在 0, 的图象在与直线 y
m 1
只有一个交点，……………………10分
3 2 2
x π 3
π π 3
当 0, y sin( ) ，当 x , y sin π ，3 2 2 3 2
π π m 1
结合函数图象可知：函数 y sin 2x 在区间 0, 的图象在与直线 y 只有一个交点时， 3 2 2
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{#{QQABDYYUggAoABBAAAgCEwEICAOQkBAAAKoGhBAAMAAByANABAA=}#}
m 1 3 3
, 1 ，即m 1 3,1 3 3 ………………………………………………12分2 2 2
22 1 f 0 0 a b 0 f 1 1 3a b．【解析】（ ）由题意得 ，则 ①，又因为 ，则 1②，
4
a 2
联立①②解得 ，………………………………………………………………2分
b 2
x
f x 2 3 2 f x 2 3
x 2 2 2 3x
此时 x ， x f x ，且定义域为 R ，关于原点对称，故3 1 3 1 1 3x
此时 f x 为奇函数．………………………………………………………………………3分
（2） f x 在R 上单调递增，证明如下：………………………………4分
x
2 3x 2 2 3 1 4f x 2 4
3x 1 3x 1 3x 1
4 4 4 4 4 3x1 3x2
设 x1 x2， f x1 f x2 2 2 ………6分
3x1 1 3x2 1 3x2 1 3x1 1 1 3x1 1 3x2
因为 x1 x2，所以 0
x x
3x1 3x2 ，所以 1 3 1 1 3 2 0， 4 3x1 3x2 0，
4 3x1 3x2
故 0，即 f x f x x x 1 2 ，则 f x 在R 上单调递增…………………………7分1 3 1 1 3 2
（3）奇函数 f x 在 , 上单调递增，
不等式 f 4x 3 f m m 2x 0即为 f 4x 3 f m 2x m ，…………………8分
所以，不等式 4x m 2x m 3 0在 x 0,1 时恒成立，
则 m 1 2x 4x 3, x 0,1 …………………………………………9分
令 t 1 2x , x 0,1 ，则 t 2,3 , 2x t 1，
原不等式转化为 mt (t 1)2 3 t 2 2t 2在 t 2,3 时恒成立………………………………10分
m t
2 2t 2 t 2 2则 2，又 t 2在 t 2,3 上单调递增，最小值为-1.
t t t
所以 m 1，即m 1，故实数m的取值范围是 1, ……………………………………12分
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NT20名校联合体高一年级收心考试
数学
考试说明：
1.本试卷共150分。考试时间20分钟。
2,赫将各题答案填在答题卡上
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1,设集合A={xx<1,或x>4},B={x子≤2≤8}，则(CRA)nB=
A.{x|-1≤x≤2}
B.{x|1≤x≤3}
C.{x|2≤x≤4}
D.{x|x≤1或x≥3}
2若点P(-25,刀是角a终边上一点，且c0s(a十受)=-停，则y的值为
A.一√2
B.√2
C.-2
D.2
3.已知a=0.50,b=ln3,c=log是，则
A.a>b>c
B.b>a>c
C.ca>b
D.a>c>b
4.若e∈(0，受)，且cos(a一晋)=号，则sinw的值为
A.3+4⑤
B.43-3
C3±43
4w5±3
10
10
10
D.
0
5.已知f(x)为R上的奇函数，且f(x)-f(2-x)=0,当0f(1og212)的值为
A次一4
g一是
c.号
D
6.若f()=:sin严为奇函数，则a=
ear+1
A.0
B.1
C.2
D.-1
7.在同一平面直角坐标系中，函数y=a,y=logax一a(a>0且a≠1)的图象可能是
23
23x
-2-10
-2-10
23
A.
B
D.
8.定义在(0，十∞)上的函数f(x)满足：对Vx1,x2∈(0，十∞)，且x1≠x2,都有
(知-)汇f(a)-zf()]>0成立，且f4)=2,则不等式f②>号的解集为
A.(4,+∞)B.(0,4)
C.(0,2)
D.(2,十∞)
高一数学第1页共4页
示
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0，分，部分选对的得2分。
9.已知角A,B,C是三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的有
A.sin(A+B)=sinC
B.cos(A+B)-cosC
C,若sinA>sinB,则AB
D.若AB,则sinAsinB
10.已知函数f(x)=Acos(wx十p)(A>0,w>0,Ip<受)的部分图象如图所示，其中
f(x)的图象与x轴的一个交点的横坐标为一登，则
A,f(x)的最小正周期为π
12/
B。f(x)的图象关于点(-石，0)中心对称
0
6
C.f(x)的图象可以由y=2sin2x向左平移多个单位长度得到
D.f(x)在(-于，5)上单调递增
11.若命题“了x∈R,(k2一1)x2+2(一1)x一1>0”是假命题，则的值可能为
A.0
B.1
C.2
D.3
12.,已知方程e#x=0与x十nx与0的根分别为2药，x2,则下列说法正确的是
A.x1十x2=0
B合<4<1
C.Inz2=1
D.4x1x2-1>2(x1-x2)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
3.函数f(x)=√nx-1十3云的定义域为
14.巳知an号=-3，则品g+og2的值为
15。已知a,bER*,2a+6=3,则2子2+6中的最小值为
16.已知函数)=1n(牛92+3二)，若2+2)+f2-kr)+4>0对于任意
e2
x∈R恒成立，则实数的取值范围是.
四、解答题：本题共6小题，：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本题共10分)
计算：(1)0.027号+（号）-(W2-1)°-(0.25)-1+9(-3)，
(2)1og,9·1og38-lg2·lg50-lg25-(1g2)2-e-32.
高一数学第2页共4页
