2023-2024学年新疆克州高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年新疆克州高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，设集合，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的条件．( )
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
3.的值为( )
A. B. C. D.
4.命题“”的否定是( )
A. B.
C. D.
5.设扇形周长为，圆心角的弧度数是，则扇形的面积为( )
A. B. C. D.
6.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )
A. B. C. D.
7.设，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知则的函数值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图某池塘中的浮萍蔓延后的面积与时间月的关系：且，以下叙述中正确的是( )
A. 这个指数函数的底数是
B. 第个月时，浮萍的面积就会超过
C. 浮萍从蔓延到需要经过个月
D. 浮萍每个月增加的面积都相等
10.下列各组函数中，是相同函数的是( )
A. ，与
B. 与
C. 与
D. 与
11.函数，则( )
A. 的一个周期为
B. 是增函数
C. 的图象关于点对称
D. 将函数的图象向右平移个单位长度可得到的图象
12.已知函数的图像，则下列结论成立的是( )
A. ，
B. ，
C.
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.若，，且，则的最大值为______．
14.已知，则 ______．
15.函数，且的图象恒过定点______．
16.函数的单调递增区间是______．
四、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
计算：．
18.本小题分
已知函数．
Ⅰ求函数的定义域；
Ⅱ判断函数的奇偶性，并用定义证明你的结论．
19.本小题分
如图，某物业需要在一块矩形空地记为矩形上修建两个绿化带，矩形的面积为，这两个绿化带是两个形状、大小完全相同的直角梯形，这两个梯形上下对齐，且中心对称放置，梯形与空地的顶部、底部和两边都留有宽度为的人行道，且这两个梯形之间也留有的人行道设．
用表示绿化带的面积；
求绿化带面积的最大值．
20.本小题分
已知函数，且．
求函数的解析式；
用定义证明函数在上是增函数．
21.本小题分
已知函数，．
求的最小正周期和单调递减区间；
求在区间上的最大值和最小值．
22.本小题分
已知函数为定义在上的奇函数．
求的值，并猜想函数的单调性；
若对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：全集，集合，所以．
故选：．
根据给定条件，利用补集的定义直接求解即得．
本题主要考查补集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由得或，
故“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
根据得或，故“”是“”的充分不必要条件．
本题考查充分不必要条件的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
逆用两角差的正弦公式即可求得答案．
本题考查两角差的正弦公式，掌握公式是关键，属于基础题．
【解答】
解：，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，命题“”的否定是．
故选：．
根据题意，由全称命题的否定方法，分析可得答案．
本题考查命题的否定，注意全称命题和特称命题的关系，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：设扇形的半径为，则弧长为，
因为扇形的周长为，
所以，解得，
则，
故扇形的面积为．
故选：．
根据弧长公式以及周长得出半径，再由公式得出面积．
本题主要考查了扇形的面积公式以及弧长公式的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：不是奇函数，是偶函数，在定义域上不是增函数，
又，定义域为且关于原点对称，
当时，，
当时，，
所以为奇函数，又可知时为增函数，
所以是增函数且为奇函数．
故选：．
直接判断一次函数、二次函数、反比例函数的单调性和奇偶性，先将写成分段函数的形式，然后利用定义判断函数性质．
本题主要考查了基本初等函数的奇偶性及单调性的判断，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，，，
．
故选：．
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：由题意，可得．
故选：．
由分段函数，，代入运算可得解．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于，将点代入中，得，则，故A正确；
对于，当时，，故B错误；
对于，当时，，当时，，所以浮萍从蔓延到需要经过个月，故C正确；
对于，由指数函数的性质可得浮萍每个月增加的面积不相等，故D错误．
故选：．
根据图中数据求出函数关系，然后逐个分析即可．
本题考查了指数函数在解决实际问题上的应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于，函数，与函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一个函数，故A正确；
对于，函数，与函数的对应关系不同，所以是同一个函数，故B错误；
对于，，与函数的对应关系不同，所以是同一个函数，故C错误；
对于，，与函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一个函数，故D正确．
故选：．
判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可判断两个函数是否相同函数．
本题主要考查了判断两个函数是否相同，需要判断定义域与对应法则是否相同，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于：的最小正周期为，故A正确；
对于：的单调递增区间满足：，即增区间为，故B错误．
对于：的对称中心满足：，即中心为，，故C正确；
对于：将函数的图象向右平移个单位长度可得到，故D错误．
故选：．
根据的周期性，单调区间，对称中心，及平移逐项判断．
本题考查的知识要点：正切函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
因为函数图象在处没有意义，
结合图象可知，，即，
因为时，，
所以，
所以，，，
故选：．
分解就时函数值的正负，函数没有意义的及时函数值的正负分别判断，，的正负即可判断．
本题主要考查了由部分函数的图象确定参数的取值范围，体现了数形结合思想的应用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：由，，且，得，
当且仅当时取等号．
故答案为：．
根据给定条件，利用基本不等式求出最大值即得．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，．
故答案为：．
利用同角函数关系即可得．
本题考查同角三角函数关系，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：对于函数，且，令，求得，，
可得它的图象恒过定点．
故答案为：．
令真数等于，求得、的值，可得恒过定点的坐标．
本题主要考查对数函数的性质，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：根据题意，函数分解成两部分：外层函数，是内层函数．
根据复合函数的单调性，可得函数单调减函数，
则函数单调递增区间就是函数单调递减区间，
由可得或，则可得函数的单调递增区间
故答案为．
欲求得函数的单调递增区间，由于是减函数，故要求内层函数是减函数时，原函数才为增函数．问题转化为求的单调减区间，但要注意要保证．
本小题主要考查对数函数单调性的应用、二次函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．
17.【答案】解：原式；
解：原式．
【解析】结合对数的运算性质即可求解；
结合指数的运算性质即可求解．
本题主要考查了指数及对数的运算性质的应用，属于基础题．
18.【答案】解：Ⅰ根据题意，函数．
则有，解得，解可得，
则函数的定义域．
Ⅱ函数是奇函数．
证明：由Ⅰ知定义域关于原点对称．因为函数．
．
所以函数是奇函数．
【解析】根据题意，由函数的解析式可得，解可得的取值范围，即可得答案；
根据题意，先分析函数的定义域，进而分析可得与的关系，即可得答案．
本题考查函数的奇偶性的判断，涉及函数的定义域的计算，属于基础题．
19.【答案】解：已知．
则梯形的高为，
设梯形的上底为，下底为，
由题意可得：，
则绿化带的面积为，
其中，
即；
由可得，
当且仅当，即时取等号，
即绿化带面积的最大值为
【解析】先阅读题意，然后结合矩形的面积公式求解；
结合基本不等式的应用求解，特别要强调取等的条件．
本题考查了函数解析式的求法，重点考查了基本不等式的应用，属中档题．
20.【答案】解：的定义域为，关于原点对称，
，，即，
；
证明：任取，且，
．
，且，
，，
，即，
在上为增函数．
【解析】由已知代入可求，进而可求函数解析式；
根据函数单调性的定义：取值、作差、变形、定号、下结论，进行证明即可．
本题考查函数解析式的求解，还考查了函数单调性的定义：取值、作差、变形、定号、下结论的应用，考查化简、变形能力，属于中档题．
21.【答案】解：因为，
所以函数的最小正周期；
由，得．
即函数的单调递减区间为；
因为，所以，
当，即时，函数取最小值，；
当，即时，函数取最大值，．
【解析】利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期；解不等式，可得出函数的单调递减区间；
由求出的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数的最小值和最大值．
本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：因为函数为定义在上的奇函数，
所以，得，
经检验符合题意，所以；
所以，
猜想函数为上单调递增的奇函数；
根据知，
，且，
则，
因为，所以，，，
所以，即，
所以函数在上单调递增，
即函数为上单调递增的奇函数，
所以，即，
即，
则，
所以对任意实数恒成立，
当时，，显然成立；
当时，，解得，
综上可知，实数的取值范围是．
【解析】由求解后，再验证即可得的解析式，再根据解析式猜想单调性即可；
将问题转化为对任意实数恒成立，分和求解即可．
本题考查了奇函数的性质、二次函数的性质，考查了转化思想及分类讨论思想，属于中档题．
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