2023-2024学年四川省攀枝花市高一（上）质检数学试卷（含解析）

2023-2024学年四川省攀枝花市高一（上）质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.函数的定义域是( )
A. B. C. D.
3.已知，那么的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知扇形的弧长为，圆心角为，则扇形的面积为( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知且，则函数与在同一直角坐标系中的图象大致是( )
A. B.
C. D.
7.已知函数的最小值为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
8.市场调查机构通过大数据统计发现：一棵某种水果树的产量单位：百千克与肥料费用单位：百元满足关系，且投入的肥料费用不超过百元此外，还需要投入其他成本如人工费等百元已知这种水果的市场售价为元千克即百元百千克，且市场需求始终供不应求记该棵水果树获得的利润为单位：百元，则有( )
A. 最小值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最大值
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
10.下列说法正确的是( )
A. 化成弧度是 B. 化成角度是
C. D.
11.已知函数的最小正周期为，则( )
A. B. 在上的值域为
C. 在区间上单调递减 D. 的图象在区间上存在对称轴
12.已知定义在上的奇函数，对，，，且当时，，则( )
A.
B. 有个零点
C. 在上单调递增
D. 不等式的解集是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若幂函数的图象过点，则______．
14.若命题“，”为假命题，则实数的取值范围为______．
15.已知角的终边经过点，则 ______．
16.已知函数若方程有四个不同的解，，，，且，则实数的最小值是 ；的最小值是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数的定义域为集合，集合．
求；
设集合，若，求实数的取值范围．
18.本小题分
计算下列各式的值：
；
．
19.本小题分
已知．
求及；
若，，，求．
20.本小题分
定义在上的函数满足，且当时，．
求，的值，并判断函数的奇偶性；
判断并用定义证明函数在上的单调性；
解不等式．
21.本小题分
已知函数
求的最小值和单调递增区间；
将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围．
22.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数．
求的值；
若，，使得不等式成立，求的取值范围；
若函数的图象经过点，且函数在上的最大值为，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
则．
故选：．
根据已知条件，结合并集的定义，即可求解．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：要使函数有意义，则有，即，所以且．
所以函数的定义域为．
故选：．
利用对数函数要求真数大于，分式函数要求分母不大于，来求解．
本题考查函数的定义域，解题时要认真审题，注意对数函数和分式函数对变量取值的要求．
3.【答案】
【解析】解：因为，那么；但是或，
所以的必要不充分条件．
故选B．
直接利用充要条件的判定方法，判断即可．
判断充要条件的方法是：
若为真命题且为假命题，则命题是命题的充分不必要条件；
若为假命题且为真命题，则命题是命题的必要不充分条件；
若为真命题且为真命题，则命题是命题的充要条件；
若为假命题且为假命题，则命题是命题的即不充分也不必要条件．
判断命题与命题所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题与命题的关系．
4.【答案】
【解析】解：设扇形的半径为，
扇形的弧长为，圆心角为，
则，
故扇形的面积为．
故选：．
根据已知条件，结合扇形的弧长公式，以及扇形的面积公式，即可．
本题主要考查扇形的弧长公式，以及扇形的面积公式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，
，，
，
．
故选：．
利用对数函数、指数函数、三角函数的性质求解．
本题考查对数函数、指数函数、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：结合与可知，两函数单调性一定相反，排除选项A；
因为恒过定点，恒过定点，排除选项B，．
故选：．
由已知结合指数及对数函数的性质及函数图象的变换检验各选项即可判断．
本题主要考查了指数函数及对数函数性质的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：的最小值为，
，，
的解集为，
的两个根，分别为，，
，
根据韦达定理可知，，，
，，
，
，即．
故选：．
先得到，把不等式解的问题转化为方程根的问题，利用韦达定理求解即可．
本题考查了二次函数的最值和应用一元二次不等式和方程根的关系，韦达定理的应用．
8.【答案】
【解析】解：由题意可知，，
，当且仅当，即时，等号成立，
当时，取得最大值．
故选：．
由题意可知，，再利用基本不等式求最值即可．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：若，则，
所以，A错误；
由可得，B正确；
因为，
所以，
即，C正确；
由可得，，
所以，D正确．
故选：．
由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：化成弧度是，故A错误；
化成角度是，故B正确；
，故C错误；
，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合弧度制的定义，以及三角函数恒等变换，即可求解．
本题主要考查弧度制的定义，以及三角函数恒等变换，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：的最小正周期为，
，A正确；
故，
当时，，，
，B正确；
当时，，
在区间上单调递减，C正确；
时，，
的图象在区间上不存在对称轴，D错误．
故选：．
的最小正周期为可求得，判断；再利用余弦函数的性质对、、三个选项逐一分析可得答案．
本题主要考查了诱导公式的应用，三角函数的图象与性质，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：在中，令，得，
，故A正确；
又为上的奇函数，，，
至少有三个零点，故B错误；
设，，且，
则，，，
，在上是增函数，
由于为奇函数，
在上也是增函数，故C正确；
易知当时，，
当时，，
由，得或，
解得，故D错误．
故选：．
令，可判断选项A；由奇函数的性质可判断选项B；利用单调性的定义可判断选项C；由的取值情况，结合不等式的性质即可判断选项D．
本题考查抽象函数及其运用，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：设，
的图象过点，
，，
，
故答案为：．
设出函数的解析式，代入点的坐标，求出函数值即可．
本题考查了幂函数的定义，考查函数求值问题，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：命题“，”为假命题，
则，为真命题，
则，
故实数的取值范围为．
故答案为：．
根据已知条件，推得，为真命题，再结合指数函数值域的范围，即可求解．
本题主要考查存在量词和特称命题，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：的终边经过点，．
则．
故答案为：．
由题意，利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，计算求得所给式子的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：当时，是开口向下的二次函数，最多由个解，
当，也最多只有两个解，
故在，范围内各有两个解，
当时，关于对称，在上单调递增，
所以，
又在上单调递减，
为使得在有两个解，应使，即，
对于，，对于任意的都有两个根，
所以的最小值为，
，关于对称轴对称，
所以，
又，
因为，且在上单调递减，且，
所以，
所以，故，所以，
原式可化为，
因为，所以，所以，
又在上是增函数，
所以原式的最小值为时的值，即．
故答案为：；．
分别考虑分段函数的两段函数，可得在，范围内各有两个解，然后对两段分别分析，求解即可得到答案；
利用二次函数的对称性可得，再利用，可得，将原式进行化简变形为，利用已知条件求出，利用对勾函数的单调性进行分析求解即可．
本题考查了函数零点与方程根之间的关系，涉及了分段函数的应用，对于分段函数问题，一般运用分类讨论或数形结合的方法进行研究，属于中档题．
17.【答案】解：由可得或，
或，
，
由可得，
，
；
，，
，，
，解得，
即实数的取值范围．
【解析】先求出集合，，再利用集合的基本运算求解；
由可得，进而列出不等式，求出的取值范围．
本题主要考查了一元二次不等式和指数不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题．
18.【答案】解：
；
．
【解析】结合指数的运算性质即可求解；
结合对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了指数及对数的运算性质，属于基础题．
19.【答案】解：已知．
则，；
若，，，
则，
又，
则，，
则．
【解析】由两角和与差的公式，结合二倍角公式求解；
由两角和与差的公式，结合同角三角函数的关系求解．
本题主要考查两角和与差的公式，重点考查了同角三角函数的关系，属中档题．
20.【答案】解：，
，，
又，即，
，
，其定义域为，且满足，
函数为偶函数；
函数在上单调递增．
证明：令，则，
，
，
在上单调递增．
由知偶函数在上单调递增，
，
解得或．
原不等式的解集为．
【解析】由，且当时，可求得，的值，利用定义可判断函数的奇偶性；
分离常数得，在上单调递增，利用单调性的定义证明即可；
依题意，不等式可等价转化为，解之可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查逻辑推理与运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：函数
，
的最小值为．
令，，求得，，
可得的单调递增区间为，．
将函数的图象向左平移个单位，可得的图象；
再将所得的图象上各点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象．
若函数在上有且仅有两个零点，即在上有且仅有两个解．
而，
则，求得．
故的取值范围为
【解析】由题意，利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．
由题意，利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，求出的取值范围．
本题主要考查三角恒等变换，函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
22.【答案】解：因为，所以；
经检验，当时，为上的奇函数；
由，解得．
易知是上的单调递减函数．
又是定义在上的奇函数，由，
故，使得成立．
即，使得成立，所以，故．
因为，解得或舍去．
由，令，
则．
当时，在上的最大值为，
即，解得，不成立．
当时，在上的最大值为，
即，解得或舍去．
综上所述，．
【解析】由奇函数的性质可得，解方程可得所求值；
由，解得的取值范围，判断的单调性，去掉不等式两边的““，由二次不等式的解法，可得所求取值范围；
求得，运用换元法和分类讨论思想，结合对数函数和二次函数的性质，可得最大值，解方程可得所求的值．
本题考查函数的奇偶性和单调性、最值，考查转化思想和分类讨论思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
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