2023-2024学年辽宁省朝阳市建平县高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年辽宁省朝阳市建平县高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.已知直线与直线平行，则实数( )
A. B. C. D.
3.已知是坐标原点，是抛物线：的焦点，是上一点，则线段的长度为( )
A. B. C. D.
4.圆：与圆：的位置关系是( )
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
5.已知偶函数在区间上单调递增，则满足的实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.已知空间向量，若共面，则实数的值为( )
A. B. C. D.
7.打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术如图所示的塔筒为打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒数据均以外壁即塔筒外侧表面计算的上底直径为，下底直径为，喉部中间最细处的直径为，则该塔筒的高为( )
A. B. C. D.
8.如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，过焦点的直线交椭圆于，两点，若的内切圆的面积为，设，两点的坐标分别为，，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知关于，的方程表示的曲线是，则曲线可以是( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
10.如图，在四棱锥中，，，，若，，则( )
A.
B.
C.
D.
11.已知将函数的图象向右平移个单位长度，然后将图象上所有点的纵坐标变为原来的倍横坐标不变，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是( )
A. 函数的最大值是
B. 函数在上单调递增
C. 函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到
D. 若关于的方程在区间上有两个不同的实根，则
12.如图，在长方体中，，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是( )
A. 平面
B. 平面
C. 异面直线和所成角的余弦值为
D. 若为线段上的动点，则点到平面的距离不是定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知复数满足，则 ______．
14.已知抛物线：的焦点为，，为上一点，则的最小值为______．
15.在中，点是边上的动点点异于，，且，若，则的最小值为______．
16.已知，分别是双曲线的上、下焦点，经过点且与轴垂直的直线与的一条渐近线相交于点，且在第四象限，四边形为平行四边形，若的离心率的取值范围是，则直线的倾斜角的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且，．
求的值；
若，求的面积．
18.本小题分
已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合．
求抛物线的标准方程；
若过双曲线的右顶点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，求线段的长度．
19.本小题分
年月日至月日，第届亚运会在杭州成功举办，中国跳水运动小将全红婵备受大家关注某调研机构为了了解杭州市民对亚运会跳水项目的认知程度，举办了一次“亚运会跳水项目”知识竞赛，随机抽取了名参赛者，发现他们的成绩都在分之间，将他们的成绩分成，，，，，六组，并制成如图所示的频率分布直方图．
求的值以及这人竞赛成绩的平均数同一组数据用该组数据的中点值代替；
用比例分配的分层随机抽样方法，从，中抽取人，并从这人中随机抽取人进行采访，求接受采访的人中有人成绩在的概率．
20.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
21.本小题分
已知圆：．
若直线过点且与圆相切，求直线的方程；
设直线：与圆相交于，两点，点为圆上异于，的动点，求的面积的最大值．
22.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，为上一点，的面积的最大值为．
求的方程；
若直线：与圆相切，与椭圆交于，两点，且，求直线的方程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
．
故选：．
利用集合的交集运算求解．
本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：直线与直线平行，
，解得．
当时，直线与直线平行，故．
故选：．
根据直线平行的条件求解即可．
本题考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：由是上一点，得，
解得，所以．
故选：．
根据点在抛物线上，求得抛物线方程即可求解．
本题主要考查抛物线的方程及运用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：圆的圆心坐标为，半径，
圆的圆心坐标为，半径，
因为，所以圆与圆内切．
故选：．
根据圆与圆的位置关系的判断方法求得正确答案．
本题考查的知识要点：圆与圆的位置关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，偶函数在区间上单调递增，
则在上递减
则，
解可得：或，即不等式的解集为．
故选：．
根据题意，由函数的奇偶性和单调性分析可得，解可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，因为共面，所以存在实数对，使得，
即，
所以解得
故选：．
根据题意，由空间向量基本定理可得存在实数对，使得，由此可得关于、、的方程组，进而求出、、的值，即可得答案．
本题考查空间向量基本定理，涉及向量的共面，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题意可得：以为喉部对应点，以所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设与分别为上，下底面对应点，
设双曲线的方程为，
因为双曲线的离心率为，
所以，
又喉部中间最细处的直径为，
所以，，
所以双曲线的方程为．
由题意可知，代入双曲线方程，
得，，
则，
则该塔筒的高为．
故选：．
结合双曲线的性质求解．
本题考查了双曲线的性质，重点考查了阅读理解能力，属中档题．
8.【答案】
【解析】解：由椭圆的方程可知，，所以，
设内切圆的半径为，则，可得，
，
即，
解得．
故选：．
由椭圆的方程可得，的值，进而求出的值，由三角形的内切圆的面积，可得内切圆的半径，由三角形的面积的表达式，可得的值．
本题考查椭圆的性质的应用及三角形面积的求法，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：当时，，方程可以化简为，曲线是圆；
当，且时，或，曲线是椭圆；
当时，或，曲线是双曲线．
故选：．
根据圆，双曲线和椭圆的性质即可分类讨论求解．
本题考查了曲线与方程，圆，双曲线和椭圆的性质，考查了分类讨论思想，属基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于选项A，，故选项A错误；
对于选项B，，故选项B正确；
对于选项C，，故选项C正确；
对于选项D，，故选项D错误．
故选：．
利用空间向量的线性运算法则求解．
本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：将函数的图象向右平移个单位长度，得到，
然后将图象上所有点的纵坐标变为原来的倍横坐标不变，得到，再向上平移个单位长度，
得到函数的图象．
对于项，由正弦函数，得，则，故A错误；
对于项，由，则，又正弦函数在上单调递增，所以在上单调递增，故 B正确；
对于项，函数的图象向右平移个单位，
可得其函数解析式为，故C正确；
对于项，由，令，则，
其图象如图所示，则，故D正确．
故选：．
根据图象变换求出函数的解析式，然后根据正弦函数的性质利用整体代换思想对各个选项逐个分析即可判断求解．
本题考查了三角函数的图像变换，正弦函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：在长方体中，，
，分别为棱，的中点，
以为坐标原点，、、所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，
，，，
，，，
对于，，
，又平面，平面，
平面，故A正确；
对于：，
设平面的法向量为，
则，
令，得平面的一个法向量为，
与不平行，
平面不成立，故B错误；
对于：，
设异面直线和 所成的角为，
则，故C错误；
对于 ，设，
，
又平面的一个法向量为，
点到平面的距离，不是定值，故D正确．
故选：．
建立空间直角坐标系，根据线面平行的判定定理，利用空间平面向量的数量积运算性质、夹角公式逐一判断即可．
本题考查线面平行、线面垂直的判定与性质、点到平面距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，，则，
则．
故答案为：．
根据题意，由复数的计算公式求出的值，进而计算可得答案．
本题考查复数的计算，涉及复数模的计算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：如图，过作准线的垂线，垂足为，
则，
显然点在抛物线内，则当，，三点共线时，
最小，其最小值为．
故答案为：．
根据抛物线的几何性质，数形结合，即可求解．
本题考查抛物线的几何性质，数形结合思想，属基础题．
15.【答案】
【解析】解：依题意，
由于，，三点共线，所以，
而，
由于点是边上的动点点异于，，
所以，则，所以，为正数，
所以，
当且仅当时等号成立．
故答案为：．
先求得，的等量关系式，然后利用基本不等式求得正确答案．
本题考查了平面向量基本定理和基本不等式的应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由双曲线的对称性可知也在双曲线的渐近线上，且在第二象限，
由轴，
可知轴，
所以可设，
又在渐近线上，
所以，
所以，
因为的离心率的取值范围是，
所以，
即，
又，
所以．
故答案为：．
由双曲线的性质，结合双曲线离心率的求法求解．
本题考查了双曲线的性质，属中档题．
17.【答案】解：因为，则由正弦定理可得：，
所以；
若，则，
由余弦定理可得：，即，
即，解得或舍去，
所以三角形的面积为．
【解析】利用正弦定理以及已知关系化简即可求解；先求出的值，再利用余弦定理求出的值，然后根据三角形的面积公式即可求解．
本题考查了解三角形问题，涉及到正余弦定理的应用，属于中档题．
18.【答案】解：已知双曲线的方程为，
此时，，
所以，
解得，
则双曲线的右焦点为，
因为双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，
不妨设抛物线的标准方程为，焦点为，
此时，
解得，
则抛物线的标准方程为；
由知，
所以双曲线的右顶点为，
因为直线过点且斜率为，
所以直线的方程为，
不妨设，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
则
．
【解析】由题意，根据题目所给信息以及，，之间的关系得到双曲线的右焦点，设出抛物线的方程，根据双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，列出等式，即可求出物线的标准方程；
设出直线的方程和，两点的坐标，将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式进行求解即可．
本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
19.【答案】解：由频率分布直方图得：
，
解得，
平均数为．
内的频率为，内的频率为，
比例分配的分层随机抽样方法，从，中抽取人，
则从内抽取人，记为，，，，，
从内抽取人，记为，
从这人中随机抽取人进行采访，基本事件有：
，，，，，，，，，，，
，，，，共个，
接受采访的人中有人成绩在包含的基本事件有：
，，，，，共种，
接受采访的人中有人成绩在的概率为．
【解析】根据频率分布直方图中频率之和为，求出，由此能求出平均数；
根据分层抽样、古典概型、列举法能求出接受采访的人中有人成绩在的概率．
本题考查频率分布直方图、平均数、分层抽样、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20.【答案】证明：取的中点，连接，，
，分别为，的中点，，，
又为的中点，，，
，，
四边形是平行四边形，
G.
又平面，平面，
平面；
解：在直三棱柱中，平面，
又，平面，，，
又，
故以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，
令，得
设直线与平面所成的角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】取的中点，连接，，利用线线平行证明线面平行；
建立空间直角坐标系，利用坐标法求线面夹角正弦值．
本题主要考查线面平行的证明，直线与平面所成角的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：圆：，化为标准方程为：，
所以圆心，半径，
当直线斜率不存在时，直线的方程为，
圆心到直线的距离为，与圆相切；
当直线斜率存在时，设直线的方程为，即，
由直线与圆相切，得圆心到直线的距离为，
解得，
所以直线的方程为；
综上所述：直线的方程为或．
到直线的距离为，
所以，
因为点为圆上异于，的动点，
所以点到直线的距离，
所以的面积，
当，且，在圆心的同侧时，等号成立，
所以的面积的最大值为．
【解析】分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即可求得结果；
当直线与圆相交时，利用垂径定理可以求出弦长，再判断当点到直线的距离为时，的面积最大，利用面积公式即可求得结果．
本题考查直线与圆的位置关系，三角形面积的最值问题，属中档题．
22.【答案】解：由题意知，当面积最大时，
，又，，
解得：，，
故C的方程为；
如图，
因为直线：与圆相切，
则，即，
设，
联立方程，消去得，
则，即，显然成立，
所以，
所以，
整理得，又，
解得负值舍去，则，
所以直线的方程或．
【解析】由题意知求得，结合离心率解得，则椭圆方程可得；
利用直线和圆相切，得到一个方程，后利用弦长得到另一个方程，联立求解即可．
本题考查了椭圆方程的求解和直线与椭圆的综合运用，属于中档题．
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