新人教版数学八年级下册第十八章平行四边形18.2.3《正方形》课时练习.doc
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| 名称 | 新人教版数学八年级下册第十八章平行四边形18.2.3《正方形》课时练习.doc |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 594.5KB | ||
| 资源类型 | 素材 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-08-19 17:25:03 | ||
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文档简介
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新人教版数学八年级下册18.2.3正方形课时练习
一．选择题（共15小题）
1．如图，△ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（ ）
( http: / / www.m / )
A．12 B．13 C．26 D．30
答案：C
知识点：全等三角形的判定；等腰直角三角形；正方形的性质
解析：
解答：解：设AB＝3，图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为1的有5个，它们组成10对全等三角形；
斜边长为的有6个，它们组成15对全等三角形；
斜边长为2的有2个，它们组成1对全等三角形；
共计26对．
故选C．
分析：根据全等三角形的判定可以确定全等三角形的对数，由于图中全等三角形的对数较多，可以根据斜边长的不同确定对数，可以做到不重不漏．本题考查了全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形和正方形的性质，解题的关键是记熟全等三角形的判定方法并做到不重不漏．
2．如图所示，E．F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF中，错误的有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：A
知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质
解析：
解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AD
∵CE＝DF
∴DE＝AF
∴△ADE≌△BAF
∴①AE＝BF，S△ADE＝S△BAF，∠DEA＝∠AFB，∠EAD＝∠FBA
∴④S△AOB＝S四边形DEOF
∵∠ABF＋∠AFB＝∠DAE＋∠DEA＝90°
∴∠AFB＋∠EAF＝90°
∴②AE⊥BF一定成立．
错误的结论是：③AO＝OE．
故选A．
分析：根据四边形ABCD是正方形及CE＝DF，可证出△ADE≌△BAF，则得到：①AE＝BF，以及△ADE和△BAF的面积相等，得到；④S△AOB＝S四边形DEOF；可以证出∠ABO＋∠BAO＝90°，则②AE⊥BF一定成立．错误的结论是：③AO＝OE．本题考查了全等三角形的判定和正方形的判定和性质．
3．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于H，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF＝FH，②∠HAE＝45°，③BD＝2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有（ ）
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A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
答案：D
知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质
解析：
解答：解：（1）连接FC，延长HF交AD于点L，
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB＝∠CDF＝45°．
∵AD＝CD，DF＝DF，
∴△ADF≌△CDF．
∴FC＝AF，∠ECF＝∠DAF．
∵∠ALH＋∠LAF＝90°，
∴∠LHC＋∠DAF＝90°．
∵∠ECF＝∠DAF，
∴∠FHC＝∠FCH，
∴FH＝FC．
∴FH＝AF．
（2）∵FH⊥AE，FH＝AF， ( http: / / www.m / )
∴∠HAE＝45°．
（3）连接AC交BD于点O，可知：BD＝2OA，
∵∠AFO＋∠GFH＝∠GHF＋∠GFH，
∴∠AFO＝∠GHF．
∵AF＝HF，∠AOF＝∠FGH＝90°，
∴△AOF≌△FGH．
∴OA＝GF．
∵BD＝2OA，
∴BD＝2FG． ( http: / / www.m / )
（4）延长AD至点M，使AD＝DM，过点C作CI∥HL，则：LI＝HC，
根据△MEC≌△MIC，可得：CE＝IM，
同理，可得：AL＝HE，
∴HE＋HC＋EC＝AL＋LI＋IM＝AM＝8．
∴△CEM的周长为8，为定值．
故（1）（2）（3）（4）结论都正确．
故选D．
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分析：（1）作辅助线，延长HF交AD于点L，连接CF，通过证明△ADF≌△CDF，可得：AF＝CF，故需证明FC＝FH，可证：AF＝FH；
（2）由FH⊥AE，AF＝FH，可得：∠HAE＝45°；
（3）作辅助线，连接AC交BD于点O，证BD＝2FG，只需证OA＝GF即可，根据△AOF≌△FGH，可证OA＝GF，故可证BD＝2FG；（4）作辅助线，延长AD至点M，使AD＝DM，过点C作CI∥HL，则IL＝HC，可证AL＝HE，再根据△MEC≌△MIC，可证：CI＝IM，故△CEM的周长为边AM的长，为定值．
解答本题要充分利用正方形的特殊性质，在解题过程中要多次利用三角形全等．
4．一个围棋盘由18×18个边长为1的正方形小方格组成，一块边长为1.5的正方形卡片放在棋盘上，被这块卡片覆盖了一部分或全部的小方格共有n个，则n的最大值是（ ）
A．4 B．6 C．10 D．12
答案：D
知识点：正方形的性质
解析：
解答：解：∵卡片的边长为1.5，∴卡片的对角线长为2＜＜3，
且小方格的对角线长＜1.5．
故该卡片可以按照如图所示放置：
图示为n取最大值的时候，n＝12．
故选D．
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分析：要n取最大值，就让边长为1.5的正方形卡片边与小方格的边成一定角度．本题考查的是已知正方形边长正方形对角线长的计算，旋转正方形卡片并且找到合适的位置使得n为最大值，是解题的关键．
5．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（ ）
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A．75° B．60° C．54° D．67.5°
答案：B
知识点：正方形的性质；线段垂直平分线的性质
解析：
解答：解：如图，连接BD，
∵∠BCE＝∠BCD＋∠DCE＝90°＋60°＝150°，BC＝EC，
∴∠EBC＝∠BEC＝（180°－∠BCE）＝15°
∵∠BCM＝∠BCD＝45°，
∴∠BMC＝180°－（∠BCM＋∠EBC）＝120°，
∴∠AMB＝180°－∠BMC＝60°
∵AC是线段BD的垂直平分线，M在AC上，
∴∠AMD＝∠AMB＝60°
故选B．
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分析：连接BD，根据BD，AC为正方形的两条对角线可知AC为BD的垂直平分线，所以∠AMD＝AMB，要求∠AMD，求∠AMB即可．本题考查的正方形的对角垂直平分的性质，根据垂直平分线的性质可以求得∠AMD＝∠AMB，确定AC和BD垂直平分是解题的关键．
6．在平面直角坐标系中，称横．纵坐标均为整数的点为整点，如下图所示的正方形内（包括边界）整点的个数是（ ）
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A．13 B．21 C．17 D．25
答案：D
知识点：正方形的性质；坐标与图形性质
解析：
解答：解：正方形边上的整点为（0，3）、（1，2）、（2，1）、（3，0）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（4，1）、（5，2）、（1，4）、（2，5）、（3，6）；
在其内的整点有（1，3）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（5，3）．
故选D．
分析：根据正方形边长的计算，计算出边长上的整点，并且根据边长的坐标找出在正方形范围内的整点．本题考查的是正方形四条边上整点的计算，找到每条边上整点变化的规律是解本题的关键．
7．在同一平面上，正方形ABCD的四个顶点到直线l的距离只取四个值，其中一个值是另一个值的3倍，这样的直线l可以有（ ）
A．4条 B．8条 C．12条 D．16条
答案：D
知识点：正方形的性质；点到直线的距离
解析：
解答：解：符合题目要求的一共16条直线，
下图虚线所示直线均符合题目要求．
( http: / / www.m / ) ( http: / / www.m / )
分析：根据正方形的性质，一个值为另一个值的3倍，所以本题需要分类讨论，①该直线切割正方形，确定直线的位置；②该直线在正方形外，确定直线的位置．本题考查了分类讨论计算点到直线的距离，找到直线的位置是解题的关键．
8．如图，正方形ABCD的边长为1，E为AD中点，P为CE中点，F为BP中点，则F到BD的距离等于（ ）
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A． B． C． D．
答案：D
知识点：正方形的性质；三角形的面积
解析：
解答：解：连接DP，
S△BDP＝S△BDC－S△DPC－S△BPC
＝－×1×－×1×
＝，
∵F为BP的中点，∴P到BD的距离为F到BD的距离的2倍．
∴S△BDP＝2S△BDF，
∴S△BDF＝，
设F到BD的距离为h，
根据三角形面积计算公式，S△BDF＝×BD×h＝，
计算得：h＝＝．
故选D．
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分析：图中，F为BP的中点，所以S△BDP＝2S△BDF，所以要求F到BD的距离，求出P到BD的距离即可．本题考查的是转化思想，先求三角形的面积，再根据三角形面积计算公式，计算三角形的高，即F到BD的距离．
9．搬进新居后，小杰自己动手用彩塑纸做了一个如图所示的正方形的挂式小饰品ABCD，彩线BD．AN．CM将正方形ABCD分成六部分，其中M是AB的中点，N是BC的中点，AN与CM交于O点．已知正方形ABCD的面积为576cm2，则被分隔开的△CON的面积为（ ）
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A．96cm2 B．48cm2 C．24cm2 D．以上都不对
答案：B
知识点：正方形的性质；三角形的面积；相似三角形的判定与性质
解析：
解答：解：找到CD的中点E，找到AD的中点F，连接CF，AE，
则CM∥EA，AN∥FC，△BOM∽△BKA，
∴＝＝，
同理可证：＝＝，
故DK＝KO＝OB，
∴△BOC和△BOA的面积和为正方形ABCD的面积，
∵CN＝NB＝AM＝BM，
∴△OCN的面积为△BOC和△BOA的面积和，
∴△OCN的面积为＝48cm2，
故选B．
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分析：先证明BO为正方形ABCD的对角线BD的，再求证△CNO，△NBO，△AMO，△BMO的面积相等，即△CON的面积为正方形面积的．本题考查了正方形内中位线的应用，考查了正方形四边均相等的性质，解本题的关键是求证BO＝BD，△OCN的面积为△BOC和△BOA的面积和．
10．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，在BD上截取BE＝BC，连接CE，点P是CE上任意一点，PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，若正方形ABCD的边长为1，则PM＋PN＝（ ）
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A．1 B． C． D．1＋
答案：C
知识点：正方形的性质，三角形的面积
解析：
解答：解：连接BP，作EH⊥BC，则PM．PN分别为△BPE和△BCP的高，且底边长均为1，
S△BCE＝1－－S△CDE，
∵DE＝BD－BE＝，△CDE中CD边上的高为（－1），
∵S△CDE＝CD×（－1）＝－；
S△BCE＝1－－S△CDE＝；
又∵S△BCE＝S△BPE＋S△BPC＝ BC （PM＋PN）
∴PM＋PN＝＝．
故选C．
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分析：连接BP，PM．PN分别为△BPE和△BCP的高，且底边长均为1，因此根据面积计算方法可以求PM＋PN．本题考查的用求三角形面积的方法求三角形的高的转化思想，考查正方形对角线互相垂直且对角线即角平分线的性质，面积转换思想是解决本题的关键．
11．顶点为A（6，6），B（－4，3），C（－1，－7），D（9，－4）的正方形在第一象限的面积是（ ）
A．25 B．36 C．49 D．30
答案：B
知识点：正方形的性质；坐标与图形性质；三角形的面积
解析：
解答：解：连接OA，
过A．D两点的直线方程是，即y＝－＋16，解得它与x轴的交点E的横坐标是x＝7.8，
同理求得过A．B两点的直线方程是y＝－＋4.2，解得它与y轴的交点E的纵坐标是y＝4.2，
∴S△AOE＝×7.8×6＝23.4，
S△AFO＝×4.2×6＝12.6，
∴S△AOE＋S△AFO＝23.4＋12.6＝36，即顶点为A（6，6），B（－4，3），C（－1，－7），D（9，－4）的正方形在第一象限的面积是36．
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分析：根据正方形的顶点坐标，求出直线AD的方程，由方程式知AD与x轴的交点E的坐标，同理求得AB与y轴的交点F的坐标，连接OA，再去求两个三角形的面积，从而求得正方形在第一象限的面积．解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，利用直角三角形求面积，在本题中，借助直线方程求的点E．F在坐标轴上的坐标，据此解得所求三角形的边长，代入面积公式求得结果．
12．ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，则△BPD的面积为（ ）
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A． B． C． D．
答案：B
知识点：正方形的性质；三角形的面积；等边三角形的性质
解析：
解答：解：△BPD的面积等于△BCP和△CDP面积和减去△BCD的面积
因此本题求解△BCP．△CDP面积和△BCD的面积即可，
S△BCP＝，
S△CDP＝，
S△BCD＝×1×1＝，
∴S△BPD＝．
故选B．
分析：根据三角形面积计算公式，找到△BPD的面积等于△BCP和△CDP面积和减去△BCD的面积的等量关系，并进行求解．本题考查了三角形面积的计算，考查了正方形对角线平分正方形为2个全等的等腰直角三角形．解决本题的关键是找到△BPD的面积等于△BCP和△CDP面积和减去△BCD的面积的等量关系．
13．如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC＋PE的和最小，则这个最小值为（ ）
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A．4 B．2 C．2 D．2
答案：A
知识点：轴对称－最短路线问题；等边三角形的性质；正方形的性质
解析：
解答：解： ( http: / / www.m / )
∵正方形ABCD，
∴AC⊥BD，OA＝OC，
∴C．A关于BD对称，
即C关于BD的对称点是A，
连接AE交BD于P，
则此时EP＋CP的值最小，
∵C．A关于BD对称，
∴CP＝AP，
∴EP＋CP＝AE，
∵等边三角形ABE，
∴EP＋CP＝AE＝AB，
∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB＝4，
∴EP＋CP＝4，
故选A．
分析：根据正方形的性质，推出C．A关于BD对称，推出CP＝AP，推出EP＋CP＝AE，根据等边三角形性质推出AE＝AB＝EP＋CP，根据正方形面积公式求出AB即可．本题考查了正方形的性质，轴对称－最短问题，等边三角形的性质等知识点的应用，解此题的关键是确定P的位置和求出EP＋CP的最小值是AE，题目比较典型，但有一定的难度，主要培养学生分析问题和解决问题的能力．
14.如图是一张矩形纸片ABCD，AD＝10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE＝6cm，则CD＝( )
A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm
答案：A
知识点：正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
解析：
解答：解：∵四边形CEFD是正方形，AD＝BC＝10cm，BE＝6cm，∴CE＝EF＝CD＝10－6＝4(cm). ( http: / / www.m / )
分析：根据正方形的性质，即可轻松解答．
15.如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边的正方形ACEF的周长为( )
A.14 B.15 C.16 D.17
答案：C
知识点：正方形的性质；菱形的性质
解析：
解答：解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝4，∴正方形ACEF的周长是AC＋CE＋EF＋FA＝4×4＝16. ( http: / / www.m / )
分析：根据正方形和菱形的性质，即可轻松解答．
二．填空题（共5小题）
1．如图所示，将五个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点、如果有n个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是___cm2．
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答案：
知识点：正方形的性质；探索图形规律
解析：
解答：解：∵点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点
∴两个三角形之间的阴影面积为正方形总面积的，
即×1×1＝，
当有三个三角形时，其面积为＋＝
当有四个时，其面积为＋＋＝
所以当n个三角形时，其面积为．
故答案为．
分析：求面积问题，因为点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点，所以两个三角形之间的阴影面积为正方形总面积的，由此便可求解．熟练掌握正方形的性质，会运用正方形的性质进行一些简单的计算问题．
2．如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系、已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，若在y轴上存在点P，且满足FE＝FP，则P点坐标为 ．
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答案：（0，4）或（0，0）
知识点：正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质
解析：
解答：解：连接EF，∵OA＝3，OC＝2，∴AB＝2，
∵点E是AB的中点，∴BE＝1，
∵BF＝AB，∴CF＝BE＝1，
∵FE＝FP，∴Rt△FCP≌Rt△FBE，
∴PC＝BF＝2，
∴P点坐标为（0，4）或（0，0），
即图中的点P和点P′．
故答案为：（0，4），（0，0）
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分析：连接EF，CF＝BE＝1，若EF＝FP，显然Rt△FCP≌Rt△FBE，由此确定CP的长．本题考查了三角形翻折前后的不变量，利用三角形的全等解决问题．
3．如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为 ，线段O1O2的长为 ．
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答案：
知识点：正方形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
解析：
解答：解：做O1H∥AE，使O2H⊥O1H，交BG于P，K点，
（1）BP＝，
又∵O2H⊥HO1，
∴KP∥HO2，
∴△PKO1∽△HO2O1，
∴，
KP＝，
阴影部分的面积＝×BK×（）＝×[＋]×
＝＝；
（2）HO1＝，HO2＝，
根据勾股定理O1O2＝
＝
＝．
故答案为：；．
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分析：阴影部分的面积可以看成两个三角形面积之和，所以求2个三角形面积即可；线段O1O2的长根据勾股定理求解．本题考查的相似三角形的证明即对应边比例相等的性质，三角形面积的计算，考查了根据勾股定理计算直角三角形斜边的应用，解决本题的关键是构建直角三角形HO1O2．
4．已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A（0，1），点B（0，0），则点C，D坐标分别为 和 ．（只写一组）
答案： （1，0） 和 （1，1）
知识点：正方形的性质；坐标与图形性质
解析：
解答：解：∵正方形ABCD的点A（0，1），点B（0，0），
∴BD∥x轴，AC∥x轴，这样画出正方形，即可得出C与D的坐标，
分别为：C（1，0），D（1，1）．
故答案为：（1，0），（1，1）．
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分析：首先根据正方形ABCD的点A（0，1），点B（0，0），在坐标系内找出这两点，根据正方形各边相等，从而可以确定C，D的坐标．本题主要考查了正方形的性质与坐标内图形的性质，确定已知点的坐标，从而根据正方形的性质，确定其它顶点的坐标是解决问题的关键．
5．如图，在一个正方形被分成三十六个面积均为1的小正方形，点A与点B在两个格点上．在格点上存在点C，使△ABC的面积为2，则这样的点C有 个．
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答案：5
知识点：正方形的性质；三角形的面积
解析：
解答：解：图中标出的5个点均为符合题意的点．
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故答案为 5．
分析：要使得△ABC的面积为2，即S＝ah，则使得a＝2、h＝2或者a＝4、b＝1即可，在图示方格纸中找出C点即可．本题考查了正方形各边长相等的性质，考查了三角形面积的计算公式，本题中正确地找全C点是解题的关键，考生容易漏掉一个或者几个答案．
三．解答题（共5小题）
1．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点F．
（1）求证：；
（2）点A1、点C1分别同时从A、C两点出发，以相同的速度运动相同的时间后同时停止，如图，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E⊥A1C1，垂足为E，请猜想EF1，AB与三者之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下，当A1E1＝6，C1E1＝4时，则BD的长为 ．
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答案：（1）见解析 （2）AB－EF1＝A1C1 （3）
知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
解析：
解答：解：
（1）过F作FG⊥AB于G，
∵AF平分∠CAB，FO⊥AC，FG⊥AB，
∴OF＝FG，
∵∠AOF＝∠AGF＝90°，AF＝AF，OF＝FG，
∴△AOF≌△AGF，
∴AO＝AG，
直角三角形BGF中，∠DGA＝45°，
∴FG＝BG＝OF，
∴AB＝AG＋BG＝AO＋OF＝AC＋OF，
∴AB－OF＝AC．
（2）过F1作F1G1⊥A1B，过F1作F1H1⊥BC1，则四边形F1G1BH1是矩形．
同（1）可得EF1＝F1G，因此四边形F1G1BH1是正方形．
∴EF1＝G1F1＝F1H1，
即：F1是三角形A1BC1的内心，
∴EF1＝（A1B＋BC1－A1C1）÷2…①
∵A1B＋BC1＝AB＋A1A＋BC－CC1，而CC1＝A1A，
∴A1B＋BC1＝2AB，
因此①式可写成：EF1＝（2AB－A1C1）÷2，
即AB－EF1＝A1C1．
（3）由（2）得，F1是三角形A1BC1的内心，且E1、G1、H1都是切点．
∴A1E＝（A1C1＋A1B－BC1）÷2，
如果设CC1＝A1A＝x，
A1E＝[A1C1＋（AB＋x）－（AB－x）]÷2＝（10＋2x）÷2＝6，
∴x＝1，
在直角三角形A1BC1中，根据勾股定理有A1B2＋BC12＝AC12，
即：（AB＋1）2＋（AB－1）2＝100，
解得AB＝7，
∴BD＝7．
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分析：（1）可通过构建全等三角形来求解，过F作FG⊥AB于G，那么可通过角平分线上的点到角两边的距离相等得出OF＝FG，通过全等三角形AOF和AGF可得出AO＝AG，那么AB＝AO＋OF，而AC＝2OA，由此可得证；
（2）本题作辅助线的方法与（1）类似，过F1作F1G1⊥AB，F1H1⊥BC，那么可证得四边形F1G1BH1是正方形，EF1＝F1G1＝F1H1，那么可得出F1就是三角形A1BC1的内心，根据直角三角形的内心公式可得出EF1＝（A1B＋BC1－A1C1）÷2，然后根据用AB分别表示出A1B，BC1，最后经过化简即可得出AB－EF1＝A1C1；
（3）求BD的长，首先要求出AB的长，本题可借助（2）中，F1是三角形A1BC1的内心来解，那么我们不难看出E，G1，H1都应该是切点，根据切线长定理不难得出A1E＋A1G1＝A1C1＋A1B－C1E－BG1，由于C1E＝C1H1，BG1＝BH1，A1E＝A1G1因此式子可写成2A1E＝A1C1＋A1B－BC1，而（A1B－BC1）正好等于2A1A，由此可求出A1A的长，那么可根据勾股定理用AB表示出两条直角边，求出AB的长，然后即可得出BD的值．
本题主要考查了正方形的性质，三角形的内接圆与内心等知识点，要注意的是后两问中，结合圆的知识来解会使问题更简单．
2．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF．求证：DE＝BF．
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答案：见解析
知识点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质
解析：
解答：
证明：∵∠FAB＋∠BAE＝90°，∠DAE＋∠BAE＝90°，
∴∠FAB＝∠DAE，
∵∠AB＝AD，∠ABF＝∠ADE，
∴△AFB≌△ADE，
∴DE＝BF．
分析：由同角的余角相等知，∠FAB＝∠DAE，由正方形的性质知，∠AB＝AD，∠ABF＝∠ADE＝90°，则ASA证得△AFB≌△ADE DE＝BF．此题即考查了实数的运算又考查了正方形的性质．学生对学过的知识要系统起来．
3．如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG＝AB，则∠EAF为多少度．
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答案：45°
知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质
解析：
解答：解：在Rt△ABF与Rt△AGF中，∵AB＝AG，AF＝AF，∠B＝∠G＝90°，
∴△ABF≌△AGF（HL），
∴∠BAF＝∠GAF，
同理易得：△AGE≌△ADE，有∠GAE＝∠DAE；
即∠EAF＝∠EAG＋∠FAG＝∠DAG＋∠BAG＝∠DAB＝45°，
故∠EAF＝45°．
分析：根据角平分线的判定，可得出△ABF≌△AGF，故有∠BAF＝∠GAF，再证明AGE≌△ADE，有∠GAE＝∠DAE；所以可求∠EAF＝45°．主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定．
4．如图，正方形ABCD中，AB＝，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE＝30°，∠DAF＝15度．
（1）求证：DF＋BE＝EF；
（2）求∠EFC的度数；
（3）求△AEF的面积．
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答案：（1）见解析 （2）30° （3）
知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质
解析：
解答：解：（1）延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，
∵正方形ABCD，
∴AB＝AD，∠ABG＝∠ADF＝∠BAD＝90°，
∵BG＝DF，
∴△ABG≌△ADF，
∴AG＝AF，
∵∠BAE＝30°，∠DAF＝15°，
∴∠FAE＝∠GAE＝45°，
∵AE＝AE，
∴△FAE≌△GAE，
∴EF＝EG＝GB＋BE＝DF＋BE；
（2）∵△AGE≌△AFE，
∴∠AFE＝∠AGE＝75°，
∵∠DFA＝90°－∠DAF＝75°，
∴∠EFC＝180°－∠DFA－∠AFE＝180°－75°－75°＝30°，
∴∠EFC＝30°
（3）∵AB＝BC＝，∠BAE＝30°，
∴BE＝1，CE＝－1，
∵∠EFC＝30°，
∴CF＝3－，
∴S△CEF＝CE CF＝2－3，
由（1）知，△ABG≌△ADF，△FAE≌△GAE，
∴S△AEF＝S正方形ABCD－S△ADF－S△AEB－S△CEF＝S正方形ABCD－S△AEF－S△CEF，
S△AEF＝（S正方形ABCD－S△AEF－S△CEF）＝3－．
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分析：（1）延长EB至G，使BG＝DF，连接AG．利用正方形的性质，证明△AGE≌△AFE，△FAE≌△GAE，得出DF＋BE＝EF；
（2）根据△AGE≌△AFE及角之间的关系从而求得∠EFC的度数；
（3）S△AEF＝S正方形ABCD－S△ADF－S△AEB－S△CEF＝S正方形ABCD－S△AEF－S△CEF，关键求S△CEF．
解答本题利用正方形的特殊性质，通过证明三角形全等，得出线段间的关系，同时考查了三角函数的运用，及组合图形的面积计算．
5．已知正方形ABCD的边长为4cm，E，F分别为边DC，BC上的点，BF＝1cm，CE＝2cm，BE，DF相交于点G，求四边形CEGF的面积．
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答案：
知识点：正方形的性质；一次函数的性质；两条直线相交或平行的问题
解析：
解答：解：以B点为坐标原点建立坐标系，如下图：
由题意可得几个点的坐标A（0，4），B（0，0），C（4，0），D（4，4），E（4，2），F（1，0）．
设BE所在直线的解析式是y＝kx，因为BE所在直线经过E点，因此有
4k＝2，k＝，
因此BE所在直线的解析式是y＝x（1），
同理可得出DF所在直线的解析式是y＝（x－1）（2），
联立（1）（2）可解得点G的坐标为（，）．
故可求四边形CEGF的面积S＝S△BCE－S△BFG＝×4×2－×1×＝．
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分析：本题的关键是求出G点的坐标，那么就要求出BE，DF所在直线的函数解析式，然后联立两个关系式求出交点坐标，再根据GECF的面积＝三角形BEC的面积－三角形BFG的面积，求出GECF的面积．本题主要考查的是正方形的性质，一次函数等知识点的应用．根据BE，DF所在直线求出交点的坐标是解题的关键．
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新人教版数学八年级下册18.2.3正方形课时练习
一．选择题（共15小题）
1．如图，△ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（ ）
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A．12 B．13 C．26 D．30
答案：C
知识点：全等三角形的判定；等腰直角三角形；正方形的性质
解析：
解答：解：设AB＝3，图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为1的有5个，它们组成10对全等三角形；
斜边长为的有6个，它们组成15对全等三角形；
斜边长为2的有2个，它们组成1对全等三角形；
共计26对．
故选C．
分析：根据全等三角形的判定可以确定全等三角形的对数，由于图中全等三角形的对数较多，可以根据斜边长的不同确定对数，可以做到不重不漏．本题考查了全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形和正方形的性质，解题的关键是记熟全等三角形的判定方法并做到不重不漏．
2．如图所示，E．F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF中，错误的有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：A
知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质
解析：
解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AD
∵CE＝DF
∴DE＝AF
∴△ADE≌△BAF
∴①AE＝BF，S△ADE＝S△BAF，∠DEA＝∠AFB，∠EAD＝∠FBA
∴④S△AOB＝S四边形DEOF
∵∠ABF＋∠AFB＝∠DAE＋∠DEA＝90°
∴∠AFB＋∠EAF＝90°
∴②AE⊥BF一定成立．
错误的结论是：③AO＝OE．
故选A．
分析：根据四边形ABCD是正方形及CE＝DF，可证出△ADE≌△BAF，则得到：①AE＝BF，以及△ADE和△BAF的面积相等，得到；④S△AOB＝S四边形DEOF；可以证出∠ABO＋∠BAO＝90°，则②AE⊥BF一定成立．错误的结论是：③AO＝OE．本题考查了全等三角形的判定和正方形的判定和性质．
3．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于H，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF＝FH，②∠HAE＝45°，③BD＝2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有（ ）
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A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
答案：D
知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质
解析：
解答：解：（1）连接FC，延长HF交AD于点L，
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB＝∠CDF＝45°．
∵AD＝CD，DF＝DF，
∴△ADF≌△CDF．
∴FC＝AF，∠ECF＝∠DAF．
∵∠ALH＋∠LAF＝90°，
∴∠LHC＋∠DAF＝90°．
∵∠ECF＝∠DAF，
∴∠FHC＝∠FCH，
∴FH＝FC．
∴FH＝AF．
（2）∵FH⊥AE，FH＝AF， ( http: / / www.m / )
∴∠HAE＝45°．
（3）连接AC交BD于点O，可知：BD＝2OA，
∵∠AFO＋∠GFH＝∠GHF＋∠GFH，
∴∠AFO＝∠GHF．
∵AF＝HF，∠AOF＝∠FGH＝90°，
∴△AOF≌△FGH．
∴OA＝GF．
∵BD＝2OA，
∴BD＝2FG． ( http: / / www.m / )
（4）延长AD至点M，使AD＝DM，过点C作CI∥HL，则：LI＝HC，
根据△MEC≌△MIC，可得：CE＝IM，
同理，可得：AL＝HE，
∴HE＋HC＋EC＝AL＋LI＋IM＝AM＝8．
∴△CEM的周长为8，为定值．
故（1）（2）（3）（4）结论都正确．
故选D．
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分析：（1）作辅助线，延长HF交AD于点L，连接CF，通过证明△ADF≌△CDF，可得：AF＝CF，故需证明FC＝FH，可证：AF＝FH；
（2）由FH⊥AE，AF＝FH，可得：∠HAE＝45°；
（3）作辅助线，连接AC交BD于点O，证BD＝2FG，只需证OA＝GF即可，根据△AOF≌△FGH，可证OA＝GF，故可证BD＝2FG；（4）作辅助线，延长AD至点M，使AD＝DM，过点C作CI∥HL，则IL＝HC，可证AL＝HE，再根据△MEC≌△MIC，可证：CI＝IM，故△CEM的周长为边AM的长，为定值．
解答本题要充分利用正方形的特殊性质，在解题过程中要多次利用三角形全等．
4．一个围棋盘由18×18个边长为1的正方形小方格组成，一块边长为1.5的正方形卡片放在棋盘上，被这块卡片覆盖了一部分或全部的小方格共有n个，则n的最大值是（ ）
A．4 B．6 C．10 D．12
答案：D
知识点：正方形的性质
解析：
解答：解：∵卡片的边长为1.5，∴卡片的对角线长为2＜＜3，
且小方格的对角线长＜1.5．
故该卡片可以按照如图所示放置：
图示为n取最大值的时候，n＝12．
故选D．
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分析：要n取最大值，就让边长为1.5的正方形卡片边与小方格的边成一定角度．本题考查的是已知正方形边长正方形对角线长的计算，旋转正方形卡片并且找到合适的位置使得n为最大值，是解题的关键．
5．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（ ）
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A．75° B．60° C．54° D．67.5°
答案：B
知识点：正方形的性质；线段垂直平分线的性质
解析：
解答：解：如图，连接BD，
∵∠BCE＝∠BCD＋∠DCE＝90°＋60°＝150°，BC＝EC，
∴∠EBC＝∠BEC＝（180°－∠BCE）＝15°
∵∠BCM＝∠BCD＝45°，
∴∠BMC＝180°－（∠BCM＋∠EBC）＝120°，
∴∠AMB＝180°－∠BMC＝60°
∵AC是线段BD的垂直平分线，M在AC上，
∴∠AMD＝∠AMB＝60°
故选B．
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分析：连接BD，根据BD，AC为正方形的两条对角线可知AC为BD的垂直平分线，所以∠AMD＝AMB，要求∠AMD，求∠AMB即可．本题考查的正方形的对角垂直平分的性质，根据垂直平分线的性质可以求得∠AMD＝∠AMB，确定AC和BD垂直平分是解题的关键．
6．在平面直角坐标系中，称横．纵坐标均为整数的点为整点，如下图所示的正方形内（包括边界）整点的个数是（ ）
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A．13 B．21 C．17 D．25
答案：D
知识点：正方形的性质；坐标与图形性质
解析：
解答：解：正方形边上的整点为（0，3）、（1，2）、（2，1）、（3，0）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（4，1）、（5，2）、（1，4）、（2，5）、（3，6）；
在其内的整点有（1，3）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（5，3）．
故选D．
分析：根据正方形边长的计算，计算出边长上的整点，并且根据边长的坐标找出在正方形范围内的整点．本题考查的是正方形四条边上整点的计算，找到每条边上整点变化的规律是解本题的关键．
7．在同一平面上，正方形ABCD的四个顶点到直线l的距离只取四个值，其中一个值是另一个值的3倍，这样的直线l可以有（ ）
A．4条 B．8条 C．12条 D．16条
答案：D
知识点：正方形的性质；点到直线的距离
解析：
解答：解：符合题目要求的一共16条直线，
下图虚线所示直线均符合题目要求．
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分析：根据正方形的性质，一个值为另一个值的3倍，所以本题需要分类讨论，①该直线切割正方形，确定直线的位置；②该直线在正方形外，确定直线的位置．本题考查了分类讨论计算点到直线的距离，找到直线的位置是解题的关键．
8．如图，正方形ABCD的边长为1，E为AD中点，P为CE中点，F为BP中点，则F到BD的距离等于（ ）
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A． B． C． D．
答案：D
知识点：正方形的性质；三角形的面积
解析：
解答：解：连接DP，
S△BDP＝S△BDC－S△DPC－S△BPC
＝－×1×－×1×
＝，
∵F为BP的中点，∴P到BD的距离为F到BD的距离的2倍．
∴S△BDP＝2S△BDF，
∴S△BDF＝，
设F到BD的距离为h，
根据三角形面积计算公式，S△BDF＝×BD×h＝，
计算得：h＝＝．
故选D．
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分析：图中，F为BP的中点，所以S△BDP＝2S△BDF，所以要求F到BD的距离，求出P到BD的距离即可．本题考查的是转化思想，先求三角形的面积，再根据三角形面积计算公式，计算三角形的高，即F到BD的距离．
9．搬进新居后，小杰自己动手用彩塑纸做了一个如图所示的正方形的挂式小饰品ABCD，彩线BD．AN．CM将正方形ABCD分成六部分，其中M是AB的中点，N是BC的中点，AN与CM交于O点．已知正方形ABCD的面积为576cm2，则被分隔开的△CON的面积为（ ）
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A．96cm2 B．48cm2 C．24cm2 D．以上都不对
答案：B
知识点：正方形的性质；三角形的面积；相似三角形的判定与性质
解析：
解答：解：找到CD的中点E，找到AD的中点F，连接CF，AE，
则CM∥EA，AN∥FC，△BOM∽△BKA，
∴＝＝，
同理可证：＝＝，
故DK＝KO＝OB，
∴△BOC和△BOA的面积和为正方形ABCD的面积，
∵CN＝NB＝AM＝BM，
∴△OCN的面积为△BOC和△BOA的面积和，
∴△OCN的面积为＝48cm2，
故选B．
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分析：先证明BO为正方形ABCD的对角线BD的，再求证△CNO，△NBO，△AMO，△BMO的面积相等，即△CON的面积为正方形面积的．本题考查了正方形内中位线的应用，考查了正方形四边均相等的性质，解本题的关键是求证BO＝BD，△OCN的面积为△BOC和△BOA的面积和．
10．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，在BD上截取BE＝BC，连接CE，点P是CE上任意一点，PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，若正方形ABCD的边长为1，则PM＋PN＝（ ）
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A．1 B． C． D．1＋
答案：C
知识点：正方形的性质，三角形的面积
解析：
解答：解：连接BP，作EH⊥BC，则PM．PN分别为△BPE和△BCP的高，且底边长均为1，
S△BCE＝1－－S△CDE，
∵DE＝BD－BE＝，△CDE中CD边上的高为（－1），
∵S△CDE＝CD×（－1）＝－；
S△BCE＝1－－S△CDE＝；
又∵S△BCE＝S△BPE＋S△BPC＝ BC （PM＋PN）
∴PM＋PN＝＝．
故选C．
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分析：连接BP，PM．PN分别为△BPE和△BCP的高，且底边长均为1，因此根据面积计算方法可以求PM＋PN．本题考查的用求三角形面积的方法求三角形的高的转化思想，考查正方形对角线互相垂直且对角线即角平分线的性质，面积转换思想是解决本题的关键．
11．顶点为A（6，6），B（－4，3），C（－1，－7），D（9，－4）的正方形在第一象限的面积是（ ）
A．25 B．36 C．49 D．30
答案：B
知识点：正方形的性质；坐标与图形性质；三角形的面积
解析：
解答：解：连接OA，
过A．D两点的直线方程是，即y＝－＋16，解得它与x轴的交点E的横坐标是x＝7.8，
同理求得过A．B两点的直线方程是y＝－＋4.2，解得它与y轴的交点E的纵坐标是y＝4.2，
∴S△AOE＝×7.8×6＝23.4，
S△AFO＝×4.2×6＝12.6，
∴S△AOE＋S△AFO＝23.4＋12.6＝36，即顶点为A（6，6），B（－4，3），C（－1，－7），D（9，－4）的正方形在第一象限的面积是36．
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分析：根据正方形的顶点坐标，求出直线AD的方程，由方程式知AD与x轴的交点E的坐标，同理求得AB与y轴的交点F的坐标，连接OA，再去求两个三角形的面积，从而求得正方形在第一象限的面积．解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，利用直角三角形求面积，在本题中，借助直线方程求的点E．F在坐标轴上的坐标，据此解得所求三角形的边长，代入面积公式求得结果．
12．ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，则△BPD的面积为（ ）
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A． B． C． D．
答案：B
知识点：正方形的性质；三角形的面积；等边三角形的性质
解析：
解答：解：△BPD的面积等于△BCP和△CDP面积和减去△BCD的面积
因此本题求解△BCP．△CDP面积和△BCD的面积即可，
S△BCP＝，
S△CDP＝，
S△BCD＝×1×1＝，
∴S△BPD＝．
故选B．
分析：根据三角形面积计算公式，找到△BPD的面积等于△BCP和△CDP面积和减去△BCD的面积的等量关系，并进行求解．本题考查了三角形面积的计算，考查了正方形对角线平分正方形为2个全等的等腰直角三角形．解决本题的关键是找到△BPD的面积等于△BCP和△CDP面积和减去△BCD的面积的等量关系．
13．如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC＋PE的和最小，则这个最小值为（ ）
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A．4 B．2 C．2 D．2
答案：A
知识点：轴对称－最短路线问题；等边三角形的性质；正方形的性质
解析：
解答：解： ( http: / / www.m / )
∵正方形ABCD，
∴AC⊥BD，OA＝OC，
∴C．A关于BD对称，
即C关于BD的对称点是A，
连接AE交BD于P，
则此时EP＋CP的值最小，
∵C．A关于BD对称，
∴CP＝AP，
∴EP＋CP＝AE，
∵等边三角形ABE，
∴EP＋CP＝AE＝AB，
∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB＝4，
∴EP＋CP＝4，
故选A．
分析：根据正方形的性质，推出C．A关于BD对称，推出CP＝AP，推出EP＋CP＝AE，根据等边三角形性质推出AE＝AB＝EP＋CP，根据正方形面积公式求出AB即可．本题考查了正方形的性质，轴对称－最短问题，等边三角形的性质等知识点的应用，解此题的关键是确定P的位置和求出EP＋CP的最小值是AE，题目比较典型，但有一定的难度，主要培养学生分析问题和解决问题的能力．
14.如图是一张矩形纸片ABCD，AD＝10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE＝6cm，则CD＝( )
A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm
答案：A
知识点：正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
解析：
解答：解：∵四边形CEFD是正方形，AD＝BC＝10cm，BE＝6cm，∴CE＝EF＝CD＝10－6＝4(cm). ( http: / / www.m / )
分析：根据正方形的性质，即可轻松解答．
15.如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边的正方形ACEF的周长为( )
A.14 B.15 C.16 D.17
答案：C
知识点：正方形的性质；菱形的性质
解析：
解答：解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝4，∴正方形ACEF的周长是AC＋CE＋EF＋FA＝4×4＝16. ( http: / / www.m / )
分析：根据正方形和菱形的性质，即可轻松解答．
二．填空题（共5小题）
1．如图所示，将五个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点、如果有n个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是___cm2．
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答案：
知识点：正方形的性质；探索图形规律
解析：
解答：解：∵点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点
∴两个三角形之间的阴影面积为正方形总面积的，
即×1×1＝，
当有三个三角形时，其面积为＋＝
当有四个时，其面积为＋＋＝
所以当n个三角形时，其面积为．
故答案为．
分析：求面积问题，因为点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点，所以两个三角形之间的阴影面积为正方形总面积的，由此便可求解．熟练掌握正方形的性质，会运用正方形的性质进行一些简单的计算问题．
2．如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系、已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，若在y轴上存在点P，且满足FE＝FP，则P点坐标为 ．
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答案：（0，4）或（0，0）
知识点：正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质
解析：
解答：解：连接EF，∵OA＝3，OC＝2，∴AB＝2，
∵点E是AB的中点，∴BE＝1，
∵BF＝AB，∴CF＝BE＝1，
∵FE＝FP，∴Rt△FCP≌Rt△FBE，
∴PC＝BF＝2，
∴P点坐标为（0，4）或（0，0），
即图中的点P和点P′．
故答案为：（0，4），（0，0）
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分析：连接EF，CF＝BE＝1，若EF＝FP，显然Rt△FCP≌Rt△FBE，由此确定CP的长．本题考查了三角形翻折前后的不变量，利用三角形的全等解决问题．
3．如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为 ，线段O1O2的长为 ．
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答案：
知识点：正方形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
解析：
解答：解：做O1H∥AE，使O2H⊥O1H，交BG于P，K点，
（1）BP＝，
又∵O2H⊥HO1，
∴KP∥HO2，
∴△PKO1∽△HO2O1，
∴，
KP＝，
阴影部分的面积＝×BK×（）＝×[＋]×
＝＝；
（2）HO1＝，HO2＝，
根据勾股定理O1O2＝
＝
＝．
故答案为：；．
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分析：阴影部分的面积可以看成两个三角形面积之和，所以求2个三角形面积即可；线段O1O2的长根据勾股定理求解．本题考查的相似三角形的证明即对应边比例相等的性质，三角形面积的计算，考查了根据勾股定理计算直角三角形斜边的应用，解决本题的关键是构建直角三角形HO1O2．
4．已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A（0，1），点B（0，0），则点C，D坐标分别为 和 ．（只写一组）
答案： （1，0） 和 （1，1）
知识点：正方形的性质；坐标与图形性质
解析：
解答：解：∵正方形ABCD的点A（0，1），点B（0，0），
∴BD∥x轴，AC∥x轴，这样画出正方形，即可得出C与D的坐标，
分别为：C（1，0），D（1，1）．
故答案为：（1，0），（1，1）．
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分析：首先根据正方形ABCD的点A（0，1），点B（0，0），在坐标系内找出这两点，根据正方形各边相等，从而可以确定C，D的坐标．本题主要考查了正方形的性质与坐标内图形的性质，确定已知点的坐标，从而根据正方形的性质，确定其它顶点的坐标是解决问题的关键．
5．如图，在一个正方形被分成三十六个面积均为1的小正方形，点A与点B在两个格点上．在格点上存在点C，使△ABC的面积为2，则这样的点C有 个．
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答案：5
知识点：正方形的性质；三角形的面积
解析：
解答：解：图中标出的5个点均为符合题意的点．
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故答案为 5．
分析：要使得△ABC的面积为2，即S＝ah，则使得a＝2、h＝2或者a＝4、b＝1即可，在图示方格纸中找出C点即可．本题考查了正方形各边长相等的性质，考查了三角形面积的计算公式，本题中正确地找全C点是解题的关键，考生容易漏掉一个或者几个答案．
三．解答题（共5小题）
1．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点F．
（1）求证：；
（2）点A1、点C1分别同时从A、C两点出发，以相同的速度运动相同的时间后同时停止，如图，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E⊥A1C1，垂足为E，请猜想EF1，AB与三者之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下，当A1E1＝6，C1E1＝4时，则BD的长为 ．
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答案：（1）见解析 （2）AB－EF1＝A1C1 （3）
知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
解析：
解答：解：
（1）过F作FG⊥AB于G，
∵AF平分∠CAB，FO⊥AC，FG⊥AB，
∴OF＝FG，
∵∠AOF＝∠AGF＝90°，AF＝AF，OF＝FG，
∴△AOF≌△AGF，
∴AO＝AG，
直角三角形BGF中，∠DGA＝45°，
∴FG＝BG＝OF，
∴AB＝AG＋BG＝AO＋OF＝AC＋OF，
∴AB－OF＝AC．
（2）过F1作F1G1⊥A1B，过F1作F1H1⊥BC1，则四边形F1G1BH1是矩形．
同（1）可得EF1＝F1G，因此四边形F1G1BH1是正方形．
∴EF1＝G1F1＝F1H1，
即：F1是三角形A1BC1的内心，
∴EF1＝（A1B＋BC1－A1C1）÷2…①
∵A1B＋BC1＝AB＋A1A＋BC－CC1，而CC1＝A1A，
∴A1B＋BC1＝2AB，
因此①式可写成：EF1＝（2AB－A1C1）÷2，
即AB－EF1＝A1C1．
（3）由（2）得，F1是三角形A1BC1的内心，且E1、G1、H1都是切点．
∴A1E＝（A1C1＋A1B－BC1）÷2，
如果设CC1＝A1A＝x，
A1E＝[A1C1＋（AB＋x）－（AB－x）]÷2＝（10＋2x）÷2＝6，
∴x＝1，
在直角三角形A1BC1中，根据勾股定理有A1B2＋BC12＝AC12，
即：（AB＋1）2＋（AB－1）2＝100，
解得AB＝7，
∴BD＝7．
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分析：（1）可通过构建全等三角形来求解，过F作FG⊥AB于G，那么可通过角平分线上的点到角两边的距离相等得出OF＝FG，通过全等三角形AOF和AGF可得出AO＝AG，那么AB＝AO＋OF，而AC＝2OA，由此可得证；
（2）本题作辅助线的方法与（1）类似，过F1作F1G1⊥AB，F1H1⊥BC，那么可证得四边形F1G1BH1是正方形，EF1＝F1G1＝F1H1，那么可得出F1就是三角形A1BC1的内心，根据直角三角形的内心公式可得出EF1＝（A1B＋BC1－A1C1）÷2，然后根据用AB分别表示出A1B，BC1，最后经过化简即可得出AB－EF1＝A1C1；
（3）求BD的长，首先要求出AB的长，本题可借助（2）中，F1是三角形A1BC1的内心来解，那么我们不难看出E，G1，H1都应该是切点，根据切线长定理不难得出A1E＋A1G1＝A1C1＋A1B－C1E－BG1，由于C1E＝C1H1，BG1＝BH1，A1E＝A1G1因此式子可写成2A1E＝A1C1＋A1B－BC1，而（A1B－BC1）正好等于2A1A，由此可求出A1A的长，那么可根据勾股定理用AB表示出两条直角边，求出AB的长，然后即可得出BD的值．
本题主要考查了正方形的性质，三角形的内接圆与内心等知识点，要注意的是后两问中，结合圆的知识来解会使问题更简单．
2．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF．求证：DE＝BF．
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答案：见解析
知识点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质
解析：
解答：
证明：∵∠FAB＋∠BAE＝90°，∠DAE＋∠BAE＝90°，
∴∠FAB＝∠DAE，
∵∠AB＝AD，∠ABF＝∠ADE，
∴△AFB≌△ADE，
∴DE＝BF．
分析：由同角的余角相等知，∠FAB＝∠DAE，由正方形的性质知，∠AB＝AD，∠ABF＝∠ADE＝90°，则ASA证得△AFB≌△ADE DE＝BF．此题即考查了实数的运算又考查了正方形的性质．学生对学过的知识要系统起来．
3．如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG＝AB，则∠EAF为多少度．
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答案：45°
知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质
解析：
解答：解：在Rt△ABF与Rt△AGF中，∵AB＝AG，AF＝AF，∠B＝∠G＝90°，
∴△ABF≌△AGF（HL），
∴∠BAF＝∠GAF，
同理易得：△AGE≌△ADE，有∠GAE＝∠DAE；
即∠EAF＝∠EAG＋∠FAG＝∠DAG＋∠BAG＝∠DAB＝45°，
故∠EAF＝45°．
分析：根据角平分线的判定，可得出△ABF≌△AGF，故有∠BAF＝∠GAF，再证明AGE≌△ADE，有∠GAE＝∠DAE；所以可求∠EAF＝45°．主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定．
4．如图，正方形ABCD中，AB＝，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE＝30°，∠DAF＝15度．
（1）求证：DF＋BE＝EF；
（2）求∠EFC的度数；
（3）求△AEF的面积．
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答案：（1）见解析 （2）30° （3）
知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质
解析：
解答：解：（1）延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，
∵正方形ABCD，
∴AB＝AD，∠ABG＝∠ADF＝∠BAD＝90°，
∵BG＝DF，
∴△ABG≌△ADF，
∴AG＝AF，
∵∠BAE＝30°，∠DAF＝15°，
∴∠FAE＝∠GAE＝45°，
∵AE＝AE，
∴△FAE≌△GAE，
∴EF＝EG＝GB＋BE＝DF＋BE；
（2）∵△AGE≌△AFE，
∴∠AFE＝∠AGE＝75°，
∵∠DFA＝90°－∠DAF＝75°，
∴∠EFC＝180°－∠DFA－∠AFE＝180°－75°－75°＝30°，
∴∠EFC＝30°
（3）∵AB＝BC＝，∠BAE＝30°，
∴BE＝1，CE＝－1，
∵∠EFC＝30°，
∴CF＝3－，
∴S△CEF＝CE CF＝2－3，
由（1）知，△ABG≌△ADF，△FAE≌△GAE，
∴S△AEF＝S正方形ABCD－S△ADF－S△AEB－S△CEF＝S正方形ABCD－S△AEF－S△CEF，
S△AEF＝（S正方形ABCD－S△AEF－S△CEF）＝3－．
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分析：（1）延长EB至G，使BG＝DF，连接AG．利用正方形的性质，证明△AGE≌△AFE，△FAE≌△GAE，得出DF＋BE＝EF；
（2）根据△AGE≌△AFE及角之间的关系从而求得∠EFC的度数；
（3）S△AEF＝S正方形ABCD－S△ADF－S△AEB－S△CEF＝S正方形ABCD－S△AEF－S△CEF，关键求S△CEF．
解答本题利用正方形的特殊性质，通过证明三角形全等，得出线段间的关系，同时考查了三角函数的运用，及组合图形的面积计算．
5．已知正方形ABCD的边长为4cm，E，F分别为边DC，BC上的点，BF＝1cm，CE＝2cm，BE，DF相交于点G，求四边形CEGF的面积．
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答案：
知识点：正方形的性质；一次函数的性质；两条直线相交或平行的问题
解析：
解答：解：以B点为坐标原点建立坐标系，如下图：
由题意可得几个点的坐标A（0，4），B（0，0），C（4，0），D（4，4），E（4，2），F（1，0）．
设BE所在直线的解析式是y＝kx，因为BE所在直线经过E点，因此有
4k＝2，k＝，
因此BE所在直线的解析式是y＝x（1），
同理可得出DF所在直线的解析式是y＝（x－1）（2），
联立（1）（2）可解得点G的坐标为（，）．
故可求四边形CEGF的面积S＝S△BCE－S△BFG＝×4×2－×1×＝．
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分析：本题的关键是求出G点的坐标，那么就要求出BE，DF所在直线的函数解析式，然后联立两个关系式求出交点坐标，再根据GECF的面积＝三角形BEC的面积－三角形BFG的面积，求出GECF的面积．本题主要考查的是正方形的性质，一次函数等知识点的应用．根据BE，DF所在直线求出交点的坐标是解题的关键．
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