河南省许昌市魏都区许昌高级中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题（含答案）

2023-2024学年高一下学期开学检测试题
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知函数fx=x+4+ln1 x，则f2x的定义域为（ ）
A． 4,1 B． 4,1 C． 2,12 D． 8,2
2．若α：M=2,4，β：2 M 2,4,5，则α是β的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知a=2log43,b=log48,c=30.6，则（ ）
A．aC．c4．已知a>b>0>c，则以下不等式不正确的是（ ）
A．ac2>bc2 B．c+aa>c+bb
C．a2>ab>b2 D．ba>ab
5.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个素数(质数)之和，也就是我们所谓的“1＋1”问题．它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都取得了相当好的成绩．若将14拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为素数的概率为(　　)
A．313 B．513 C．27 D．37
6．已知命题“ x∈R，4x2+(a 2)x+14>0”是假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A． ∞,0∪4,+∞ B．0,4
C．4,+∞ D．0,4
7. 函数的零点所在区间是（ ）
A. B. C. D.
8.已知，若方程有四个不同的实数根，则的最小值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D.
二．多选题（共4小题，每题5分，共20分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。）
9.下列命题是真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若非零实数，，满足，，则
C. 若，则
D. 若，，则
10.某学校为了调查学生在一周内生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在区间[50，60)的学生有60人，则下列说法正确的是(　　)
A．样本中支出在区间[50，60)的频率为0.03
B．样本中支出不少于40元的人数为132
C．n的值为200
D．若该校有2 000名学生，则一定有600人支出在区间[50，60)内
11.下列各对事件中，M，N是相互独立事件的有(　　)
A.掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现的点数为奇数”，事件N＝“出现的点数为偶数”
B.袋中有5个红球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M＝“第1次摸到红球”，事件N＝“第2次摸到红球”
C.分别抛掷2枚相同的硬币，事件M＝“第1枚为正面”，事件N＝“两枚结果相同”
D.一枚硬币掷两次，事件M＝“第一次为正面”，事件N＝“第二次为反面”
12.已知函数，则（ ）
A. 的最小值为2 B. ，
C. D.
三．填空题（共4小题，每题5分，共20分。）
13．若函数与互为反函数，则的单调递减区间是 ．
14．若函数f(x)满足f(x+2)=x+3x+2，则f(x)在[1,+∞)上的值域为 .
15. 已知，，且，则的最小值为______.
16.已知函数的值域为，则实数a的取值范围是___________．
四．解答题（共6小题，共70分）
17．设集合A=x∣a+1≤x≤3a,B=x∣5≤x<10.
(1)若a=2，求A∪B, RA∪B；
(2)若A∩B= ，求实数a的取值范围.
18．2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨．我市某小区为了防止疫情在小区出现，严防外来人员进入小区，切实保障居民正常生活，设置“特殊值班岗”．现有包含甲、乙在内的4名志愿者参与该工作，每人安排一天，每4天一轮．在一轮的“特殊值班岗”安排中，求：
(1)甲、乙两人相邻值班的概率；
(2)甲或乙被安排在前2天值班的概率．
19.已知.
（1）若的解集A是集合的真子集，求实数a的取值范围；
（2）若对，均有恒成立，求实数a取值范围.
20. 设为数列的前项和，已知为等比数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，设，记为数列的前项和，证明：．
21．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：40,50 50,60，…，90,100，得到如图所示的频率分布直方图.
求频率分布直方图中a的值；
求样本成绩的第75百分位数；
已知落在50,60的平均成绩是54，方差是7，落在60,70的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数z和总方差s2.
22．已知函数f(x)＝2x-12x+1.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)判断并用定义证明函数f(x)在其定义域上的单调性．
(3)若对任意的t≥1，不等式f(k 3t)＋f(3t-9t+2)<0恒成立，求k的取值范围试卷第44页，共44页
数学答案：
1．C 2．A 3．D 4．D 5．A6．A
7．C 8．B解：不妨设，因为方程的根的个数即为与的交点个数，由图象可得：若方程有四个不同的实数根，则，又因为，且，则，可得，又因为，即，可得，所以当时，取到最小值.
9.解：A选项：当时，显然，A错误；
B选项：若非零实数，，满足，，则有，所以，B正确；
C选项：若，则，所以，C正确；
D选项：设，则，解得，
因为，所以，
又，所以，即，D正确.
10.解：样本中支出在区间[50，60)的频率为1－(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.3，故A错误；样本中支出不少于40元的人数为0.360.3×60＋60＝132，故B正确；n＝600.3＝200，故n的值为200，故C正确；若该校有2 000名学生，则可能有0.3×2 000＝600人支出在区间[50，60)内，故D错误．
11.解:在A中，P(MN)＝0，所以M，N不相互独立；
在B中，M，N不是相互独立事件；
在C中，P(M)＝12，P(N)＝12，P(MN)＝14，P(MN)＝P(M)·P(N)，因此M，N是相互独立事件；
在D中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此M，N是相互独立事件.
12.解：，在上单调递减，在上单调递增，
故在上单调递减，在上单调递增，
，函数关于对称，
对选项A：的最小值为，正确；
对选项B：，错误；
对选项C：，故，，正确；
对选项D：，故，错误；
13．． 14．(1,2] 15. 16.
15. 解：因为，，，所以，则，所以，因为
，当且仅当，即时，等号成立，所以.
17．(1)A∪B=x∣3≤x<10， RA∪B=x∣x<3或x≥10 (2) ∞,53∪9,+∞.
【详解】（2）因为A∩B= ，
（i）当A= 时，a+1>3a，解得a<12，此时满足A∩B= ；（ii）当A≠ 时，满足A∩B= ，即需满足a+1≤3a3a<5或a+1≤3aa+1≥10，解得12≤a<53或a≥9.
综上所述，实数a的取值范围为 ∞,53∪9,+∞.
18．(1)12 (2)56【详解】（1）由题意，设4名志愿者为甲，乙，丙，丁，4天一轮的值班安排所有可能的结果是：（甲，乙，丙，丁），……（丁，丙，甲，乙），共24个样本点。设甲乙相邻为事件A，则事件A包含：（甲，乙，丙，丁），……（丁，丙，甲，乙），共12个样本点，故pA=1224=12
（2）设甲或乙被安排在前两天值班的为事件B．则事件B包含：（甲，乙，丙，丁），……（丁，乙，丙，甲），共20个样本点，故pB=2024=56.
19．解：（1）由，可得，
当时，不等式的解集为，
因为集合A是集合的真子集，可得，∴；
当时，不等式的解集为，，满足题意；当时，不等式的解集为，
因为集合A是集合的真子集，可得，∴，
综上所述，实数a的取值范围是
（2）对一切的实数，均有恒成立，即对一切的实数，恒成立，即对一切的实数，恒成立，
即，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，故实数a的取值范围是.
20.（1）
（2）证明见解析
（1）由，得，等比数列的首项为1公比为2，可得通项；
（2）由与的关系，求出的通项，通过放缩法证明不等式.
【小问1详解】
为数列的前项和，，
则有，所以，等比数列的公比为2，
又，所以；
【小问2详解】
证明：由（1）知，，当时，，
所以，所以，
则，
因此．
21．(1)a=0.030 (2)84 (3)z=62，s2=37
【详解】（3）解：由图可知，成绩在50,60的市民人数为100×0.1=10，成绩在60,70的市民人数为100×0.2=20，故z=10×54+66×2010+20=62.
设成绩在50,60中10人的分数分别为x1，x2，x3，…，x10；成绩在60,70中20人的分数分别为y1，y2，y3，…，y20，则由题意可得x12+x22+ +x10210 542=7，y12+y22+ +y20220 662=4，
所以x12+x22+ +x102=29230，y12+y22+ +y202=87200，所以s2=110+20x12+x22+ +x102+y12+y22+ +y202 z2=13029230+87200 622=37，所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是37.
22．（3）-∞,43.【详解】(1)∵2x＋1≠0，∴函数fx的定义域为R，关于原点对称． ∵f-x=2-x-12-x+1=1-2x1+2x=-2x-12x+1=-fx，∴函数fx为奇函数．
（2）函数fx在定义域上为增函数．证明如下：设x1,x2∈R，且x1（3）∵fk 3t+f3t-9t+2<0，∴fk 3t<-f3t-9t+2．∵函数fx是奇函数，∴fk 3t答案第44页，共44页
答案第33页，共44页
（北京）股份有限公司