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八年级数学下册 预习篇
18.1.1 平行四边形的性质
1.平行四边形的概念
定义 表示方法及解读 注意
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形用符号“口”表示；平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形 平行四边形的表示一定按顺时针或逆时针依次注明各顶点
2.平行四边形的性质
性质 符号语言
边 平行四边形的两组对边分别平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC,AD//BC,AB=CD,AB//CD
角 平行四边形的两组对角分别相等，邻角互补 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴(1)∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC, (2)∠ABC+∠BAD=180°,°
对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形，
此外，平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心且平行四边形具有一般四边形的一切性质，
3.平行四边形的性质的应用
平行四边形的性质是我们研究平行四边形的角或边的重要依据.利用平行四边形的性质，可以求角的度数、线段的长度。
选择题
1.用四根木条钉成一个平行四边形，把它拉成一个长方形，这时长方形与原平行四边形相比，面积( )
A．不变 B．减少了
C．增大了 D．以上说法都不对
【答案】C
【分析】此题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的面积等于底乘以高解答即可．
【详解】解：∵用四根木条钉成一个平行四边形，把它拉成一个长方形，
∴平行四边形和长方形的底不变，而高变大，
∴长方形与原平行四边形相比，面积增大，
故选：C．
2.如图，在中，，，于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了平行四边形的性质，等边对等角求角度，直角三角形两锐角互余的性质；根据等边对等角求出，得到，根据平行四边形的对边平行得到，再根据直角三角形两锐角互余求出度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
3.如图，中，过对角线的交点，，，，则四边形的周长为（ ）
A．16 B．19 C．22 D．32
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定；证明，得出，，进而可得四边形的周长为，即可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
．
在和中，
， ，，
，
，．
又，，，，
四边形的周长为：．
故选C．
4.如图，点是的对角线交点，为中点，交于点，若，则的值为( )
A．2 B．4 C． D．8
【答案】A
【分析】由本题考查平行四边形的性质，三角形中线的性质；利用平行四边形的性质得出，根据三角形中位线的性质得出，即可得出答案．
【详解】解：点是 的对角线交点，
，
为中点，
∴
，
．
故选：A．
5.如图，平行四边形的顶点A，B，D的坐标分别是，，，则顶点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，根据平行四边形对边平行且相等可得，，再根据顶点A，B，D的坐标求出长及点C的纵坐标即可．
【详解】四边形是平行四边形，
，，
A，B，D的坐标分别是，，，
，，
，点C的纵坐标为2，
顶点C的坐标是．
故选B．
6.在中，，则的度数为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等、邻角互补是解题的关键．
由平行四边形的性质得，则，再求出，即可解决问题．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
，
故选：A．
7.如图，在中，E为边延长线上一点，连结．若的面积为6，则的面积为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】此题主要考查利用平行四边形的性质．首先根据平行四边形的性质，平行四边形和的高相等，即可求解．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴平行四边形和的高相等，
，
故选：C．
8.如图，，分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点，与相交于点，若，，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键在于求出各三角形之间的面积关系．根据平行四边形的面积与三角形的面积公式可得三角形的面积，连接、两点，由三角形的面积公式我们可以推出，，所以，，因此可以推出四边形的面积就是．再根据面积差可得答案．
【详解】解：连接、两点，过点作于点，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
的边上的高与的边上的高相等，
，
，
同理：，
，
，，
，
故阴影部分的面积为．
故选：B．
填空题
1.如图，在平行四边形中，，按下列步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点，；②过点，作直线，交于点．如果的周长为8，那么平行四边形的周长是 ．
【答案】16
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质及平行四边形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质及平行四边形的性质是解答本题的关键；
由中垂线的作法可知，然后由的周长为8，可知，继而可求出平行四边形的周长．
【详解】解：由作法得：垂直平分，
，
的周长为8，
即，
，
即，
四边形是平行四边形，
，，
平行四边形的周长．
故答案为：16．
2.如图，E为平行四边形边上一点，F，G分别为，的中点，若与的面积之和为6，则四边形的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形中线的性质，由平行四边形的性质可知，结合，，可得，连接，由F、G分别为、的中点，可得，，进而可得四边形的面积．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
连接，
∵F、G分别为、的中点，
∴，，
∴四边形的面积，
故答案为：4.5．
3.如图，在中，平分，交于点F，平分，交于点E，，，则长为 .
【答案】3
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边；熟练掌握平行四边形的性质，得出是解题的关键．
根据平行四边形的对边平行且相等可得，，；根据两直线平行，内错角相等可得；根据从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得；推得，根据等角对等边可得，，即可列出等式，求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
则，
∴，
同理可证：，
∵，
即，
解得：；
故答案为：3．
4.如图，在中，，对角线与相交于点O，，则的周长为 .
【答案】22
【分析】本题考查平行四边形的性质以及三角形周长等知识，解题的关键是记住平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形对角线互相平分求出的长，即可解决问题．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴的周长．
故答案为：22．
5.如图，将平行四边形的一边延长至点E，若，则的度数是 ．
【答案】/80度
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．利用平行四边形的对角相等可得，再利用平角的定义可得答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
故答案为：．
解答题
1.在四边形中，，，，，点从出发以的速度向运动，点从点出发，以的速度向点运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t．
若是上一点，且，t取何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】或
【分析】本题考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用．熟练掌握平行四边形的性质，一元一次方程的应用是解题的关键．
由题意知，分当点在线段上，当在线段上，两种情况求解；①当点在线段上，时，即，计算求解即可；②当在线段上，时，即，计算求解即可．
【详解】解：∵，是上一点，即，
∴，，
①当点在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
∴，
解得；
②当在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
∴，
解得；
综上所述，或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
2.如图，平行四边形的对角线与交于点，若，，．
(1)猜想的度数，并证明你的猜想；
(2)求平行四边形的周长．
【答案】(1)的度数为，证明见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理：
（1）先根据平行四边形的性质可得，，，再利用勾股定理的逆定理即可得出结论；
（2）先利用勾股定理可得，再根据平行四边形的周长公式即可得解．
【详解】（1）解：的度数为，证明如下：
∵四边形是平行四边形，且，，
，，
，
，
∴是直角三角形，且；
（2）解：，，，
∴，
∴平行四边形的周长为．
3.如图，为平行四边形的边上一点．连接，过点作于点，在的延长线上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了尺规作图，掌握尺规作图的方法是解题的关键．过点作于点即可．
【详解】如图，即为所求，
4.如图，平行四边形中，的平分线交于E，的平分线交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见详解．
(2)13
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质知识，
（1）根据平行四边形性质和角平分线性质可得，．即可得到，．即可求证结论．
（2）过点A作，垂足为H，利用，可计算出的长度，结合（1）即可求出长度．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形．
∴，，．
∴，．
∵是的平分线，是的平分线．
∴，．
∴，．
∴，．
∴．
∴．
∴．
（2）过点A作，垂足为H，如图：
由（1）知，且，，
∴， ．
∵，
∴，
∴，．
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
5.如图，中，把沿翻折得到，相交于点．
(1)求证：；
(2)连接交于点，连接，在不添加辅助线的条件下请直接写出图中所有等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)，
【分析】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
（1）由平行四边形的性质和折叠的性质可得，由“”可证，可得，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求，可得；
（2）由全等三角形的性质可得，则是等腰三角形，由“”可证，可得，可证是等腰三角形．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
∵把沿翻折得到，
，
，
在和中，
，
，
，
，
又，
，
；
（2）解：，
是等腰三角形，
∵四边形是平行四边形，
，
，
∵把沿翻折得到，
，
，
在和中，
，
，
，
是等腰三角形．
6.如图，平行四边形中，连接．
(1)尺规作图：作对角线的垂直平分线，分别交，，于点M，O，N（不要求写作法，保留作图痕迹）；
(2)连接，，求证：；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
(3)
【分析】（1）根据垂直平分线的作图方法进行作图即可；
（2）根据证明即可；
（3）根据，得出，根据勾股定理求出，即可求出结果．
【详解】（1）解：如图，即为所作；
（2）证明：∵垂直平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，，
在和中，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴．
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八年级数学下册 预习篇
18.1.1 平行四边形的性质
1.平行四边形的概念
定义 表示方法及解读 注意
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形用符号“口”表示；平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形 平行四边形的表示一定按顺时针或逆时针依次注明各顶点
2.平行四边形的性质
性质 符号语言
边 平行四边形的两组对边分别平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC,AD//BC,AB=CD,AB//CD
角 平行四边形的两组对角分别相等，邻角互补 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴(1)∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC, (2)∠ABC+∠BAD=180°,°
对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形，
此外，平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心且平行四边形具有一般四边形的一切性质，
3.平行四边形的性质的应用
平行四边形的性质是我们研究平行四边形的角或边的重要依据.利用平行四边形的性质，可以求角的度数、线段的长度。
选择题
1.用四根木条钉成一个平行四边形，把它拉成一个长方形，这时长方形与原平行四边形相比，面积( )
A．不变 B．减少了
C．增大了 D．以上说法都不对
2.如图，在中，，，于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，中，过对角线的交点，，，，则四边形的周长为（ ）
A．16 B．19 C．22 D．32
4.如图，点是的对角线交点，为中点，交于点，若，则的值为( )
A．2 B．4 C． D．8
5.如图，平行四边形的顶点A，B，D的坐标分别是，，，则顶点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6.在中，，则的度数为（）
A． B． C． D．
7.如图，在中，E为边延长线上一点，连结．若的面积为6，则的面积为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
8.如图，，分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点，与相交于点，若，，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
填空题
1.如图，在平行四边形中，，按下列步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点，；②过点，作直线，交于点．如果的周长为8，那么平行四边形的周长是 ．
2.如图，E为平行四边形边上一点，F，G分别为，的中点，若与的面积之和为6，则四边形的面积是 ．
3.如图，在中，平分，交于点F，平分，交于点E，，，则长为 .
4.如图，在中，，对角线与相交于点O，，则的周长为 .
5.如图，将平行四边形的一边延长至点E，若，则的度数是 ．
解答题
1.在四边形中，，，，，点从出发以的速度向运动，点从点出发，以的速度向点运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t．
若是上一点，且，t取何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形？
2.如图，平行四边形的对角线与交于点，若，，．
(1)猜想的度数，并证明你的猜想；
(2)求平行四边形的周长．
3.如图，为平行四边形的边上一点．连接，过点作于点，在的延长线上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
4.如图，平行四边形中，的平分线交于E，的平分线交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
5.如图，中，把沿翻折得到，相交于点．
(1)求证：；
(2)连接交于点，连接，在不添加辅助线的条件下请直接写出图中所有等腰三角形．
6.如图，平行四边形中，连接．
(1)尺规作图：作对角线的垂直平分线，分别交，，于点M，O，N（不要求写作法，保留作图痕迹）；
(2)连接，，求证：；
(3)若，，求的长．
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