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八年级数学下册 预习篇
18.1.2 平行四边形的判定
一、判定方法
1.从边看：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)。
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
2.从角看：④两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
3.从对角线看：⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。
二、中位线
1.三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
中位线与中线的区别：中位线是中点与中点的连线，中线是顶点与对边中点的连线。
2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
3.三角形中位线定理的作用：在已知两边中点的条件下，证明线段的平行关系及线段的倍分关系。
选择题
1.如图，点是内的一点，过点作直线、分别平行于、，与的边分别交于、、、．则图中平行四边形的个数为（ ）
A．4个 B．5个 C．8个 D．9个
【答案】D
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵过点作直线、分别平行于、，
∴，
∴四边形均为平行四边形，
∴加上共9个；
故选D．
2.不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（ ）
A．一组对边相等，另一组对边平行 B．一组对边平行且相等
C．两条对角线互相平分 D．两组对边分别相等
【答案】A
【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法逐项判断即可．
【详解】解：一组对边相等，另一组对边平行，不能判定一个四边形是平行四边形，故A选项正确；
一组对边平行且相等，能判定一个四边形是平行四边形，故B选项错误；
两条对角线互相平分，能判定一个四边形是平行四边形，故C选项错误；
两组对边分别相等，能判定一个四边形是平行四边形，故D选项错误；
故选A．
3.如图，点是边延长线上一点，连接、、，与交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，理解并掌握平行四边形的判定定理是解题关键．首先根据平行四边形的性质可得，，，，若，由“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”，即可判断选项A；若，易得，即可证明，由“两组对边分别平行的四边形为平行四边形”即可判断选项B；若，证明，由全等三角形的性质可得，由“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”，即可判断选项D；由不能证明四边形为平行四边形，即可判断选项C．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
即，
若，则有，
∴四边形为平行四边形，故选项A不符合题意；
∵，
∴，
若，则有，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，故选项B不符合题意；
∵，
∴，
若，则在和中，
，
∴，
∴，
又∵
∴四边形为平行四边形，故选项D不符合题意；
由不能证明四边形为平行四边形，选项C符合题意．
故选：C．
4.如图，的周长为，以它的各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，如此下去，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，三角形的周长的计算，正确的找出规律是解题的关键．根据三角形的中位线定理得到的周长的周长，各的周长，于是得到结论．
【详解】解：以的各边的中点为顶点作，
的周长的周长的周长，
以各边的中点为顶点作，
的周长各的周长的周长，
，
的周长
故选：A．
5.如图，在中，，是的中点，过点作的平行线交于点，作的垂线交于点，若，且的面积为，则的长为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质．熟练掌握三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质是解题的关键．
由题意知，是的中位线，则，设，则，由勾股定理得，，如图，过作，交的延长线于，证明，则，由，，可得，即，计算求出满足要求的，进而可求．
【详解】解：∵是的中点，，
∴是的中位线，
∴，
设，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
如图，过作，交的延长线于，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，即，
解得，或（舍去），
∴，
故选：A．
6.如图，在中，过点D作交于点E，过点E作交点F，与交于点N．若，，则长为（ ）
A．10 B．12． C．15 D．18
【答案】A
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，证明四边形是平行四边形，得到，然后由，求得，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵
∴
∴
故选：A．
7.）如图，四边形中，对角线与相交于点O，不能判断四边形是平行四边形的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟知平行四边形的判定条件是解题的关键．
【详解】解：A、，一边平行，另一边相等的四边形不一定是平行四边形，也有可能是等腰梯形，故此条件不能判断四边形是平行四边形，符合题意；
B、，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故此条件能判断四边形是平行四边形，不符合题意；
C、，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故此条件能判断四边形是平行四边形，不符合题意；
D、，对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此条件能判断四边形是平行四边形，不符合题意；
故选：A．
8.如图，D，E，F分别是的边上的中点，连接交于点G，，的面积为6，设的面积为，的面积为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】此题考查三角形的面积，涉及中线平分三角形的面积，得，，结合，得，即可作答．关键是根据三角形的面积得出的面积的面积，的面积的面积．
【详解】解：∵D，E，F分别是的边上的中点，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴
∴的面积相等，
∴，
故选：B
填空题
1.如图，O是等边三角形内任意一点，过点O作分别交于点G，H，I，已知等边三角形的周长18，则 ．
【答案】6
【分析】本题考查了平行的性质、等边三角形的判定和性质、平行四边形的判定与性质．在解题的时候要注意找准对应平行线所形成的角．由平行推理得是等边三角形，由等边三角形三边相等的性质和平行四边形的性质求出的值．
【详解】解：∵
∴
则四边形和四边形都是平行四边形，
∵是等边三角形
∴三角形是等边三角形，
则，
∴，
∴，
∵的周长为，
∴．
故答案为：6．
2.在四边形中,,为两条对角线,若,,则在下列结论中,不正确的是 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质,平行四边形的性质及判定．通过证明,根据得到,根据已知条件即可判定三角形全等,继而根据全等三角形性质得出结论．
【详解】解:∵,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,故正确；
∴,故正确；
∴,故错误；
∴四边形是平行四边形,,故正确．
故答案为:．
3.如图所示，四边形是平行四边形，按下列条件得到的四边形是平行四边形的有 个．
①图甲，；
②图乙，平分，平分；
③图丙，是的中点，是的中点；
④图丁，是上一点，．
【答案】3
【分析】本题考查了平行四边形的判定及全等三角形的判定与性质，①由可得，利用可得，即可得证；②由四边形是平行四边形，平分，平分可证，则可得到，即可得证；③由四边形是平行四边形，是的中点，是的中点，可得，即可得证；④无法确定，只能证得，故不能证明四边形是平行四边形，注意掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解此题的关键．
【详解】①∵四边形是平行四边形，
，
，
，，，
，
∴四边形是平行四边形；
②∵四边形是平行四边形，
，
，
平分，平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形；
③∵四边形是平行四边形，
，
是的中点，是的中点，
，，
，
∴四边形是平行四边形；
④∵四边形是平行四边形，
，
是上一点，，无法判断，
∴四边形不一定是平行四边形；
综上所述，能得到四边形是平行四边形的个数是3，
答案：3．
4.如图，平行四边形的对角线与相交于点O，E为边中点，点F在的延长线上，，于G，，则的长为 ．
【答案】
【分析】根据三线合一可得是等腰的中线，进而可得，即有，结合勾股定理可得，再证明是的中位线，问题得解．
【详解】∵E为边中点，
∴，
∵，，
∴是等腰的中线，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵平行四边形的对角线与相交于点O，
∴点O是的中点，
∵E为边中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：．
5.如图，在中，点D，E分别是，的中点，以点A为圆心，为半径作圆弧交于点F．若，，则的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查三角形的中位线性质，熟练掌握三角形的中位线性质是解答的关键．利用三角形的中位线得到，进而求得即可求解．
【详解】解：∵在中，点D、E分别是、的中点，，
∴，即，
∵以A为圆心，为半径作圆弧交于点F，，
∴，
∴，
故答案为：3．
解答题
1.如图，中，点D、E分别为、的中点．
(1)过点C作，并交延长线于点F（要求尺规作图，保留作图痕迹）；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用尺规作一个角等于已知角的方法作，根据平行线的判定可得；
（2）求出，，利用可直接证明；
（3）根据是的中位线求出，再利用全等三角形的性质得出答案．
【详解】（1）解：如图所示：点F，即为所求；
（2）证明：由作图知，，
∵点E为的中点，
∴，
又∵，
∴；
（3）∵点D、E分别为、的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴．
2.图1表示一双开门关闭时的状态图，图2表示打开双门过程中，某一时刻的示意图，其中AB为门槛宽度．
(1)当时，双门间隙与门槛宽度的比值为 ___________．
(2)若双门间隙的距离为2寸，点和点距离都为1尺（1尺10寸），则门槛宽度是 ___________寸．
【答案】(1)
(2)101
【分析】（1）过作交于点，得到是等边三角形，四边形是平行四边形，从而推出，即可得到答案；
（2）作于，于，得到，得到，设寸，则寸，由勾股定理列出关于的方程，即可解决问题．
【详解】（1）解：过作交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴双门间隙与门槛宽度的比值为．
故答案为：；
（2）作于，于，
∵点和点距离都为1尺，
∴（寸），
∵，
∴，
∴，
设寸，则寸，
∵寸，
∴（寸），
∵，，
∴（寸），
∵，
∴，
∴，
∴（寸），
∴门槛宽度是101寸．
故答案为：101．
3.如图，点E、F是对角线上的两点，且，连接、、、．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，，求的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等：
（1）由平行线的性质得到，进而得到，再证明，得到，即可证明四边形是平行四边形；
（2）先利用勾股定理求出，进而得到，求出即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：，，，
∴，
∵，
∴（同高三角形），
∵，
∴．
4.在平行四边形中，，，∠BAD＝120°．
(1)若，则______；
(2)如图，求对角线的长（用含，的式子表示）；
(3)如图，四边形也是平行四边形，连结并延长交于点，若AG⊥BE，，，，求的长．
【答案】(1)
(2)对角线的长为
(3)的长为
【分析】（1）延长，过点作的延长线于点，根据勾股定理和直角三角形的性质得出及的长，根据勾股定理即可得出结论；
（2）延长，过点作的延长线于点，根据得出，再由得出，，故，根据勾股定理即可得出结论；
（3）过点作，交的延长线于点，连接、，先根据平行四边形的性质得出，，在中求出和，再用勾股定理求出，然后利用平行四边形的性质求出且，然后用勾股定理求即可．
【详解】（1）解：如图1，延长，过点作的延长线于点，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，．
，
，
．
故答案为：；
（2）解：如图1，延长，过点作的延长线于点，
，
．
，
，．
，
，
；
（3）解：过点作，交的延长线于点，连接、，如图所示：
四边形是平行四边形，，，
，，
，
，
在中，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是平行四边形，
∴，，
，
，
，
．
5.如图，直角中，，，点D是边的中点，点E是边上的一个动点（不与A，B重合），交于点F，设，．
(1)求证：；
(2)写出y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
(3)写出x为何值时，？
【答案】(1)见详解
(2)，
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，正确证明是关键．
（1）取的中点记为，取的中点记为．根据三角形中位线的性质可得，根据余角的性质可得，根据可证，根据全等三角形的性质即可证明；
（2）根据全等三角形的性质可得，从而得到y关于x的函数关系式，以及x的定义域；
（3）连接，根据三角形中位线的性质可得x为1时，．
【详解】（1）解：取的中点记为H，取的中点记为N．连接
∵，点D是边的中点，
∴都是三角形中位线
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴
即
∵E是边上的一个动点（不与A、B重合），
∴；
（3）解：连接，当E与H重合时，，
∵此时，
∴当时，．
6.如图，在平行四边形 中，分别平分和，交于点E，交于点F．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接分别交于点G、H，连接与交于点M，与交于点N，请直接写出图中所有的平行四边形（平行四边形除外）．
【答案】(1)见解析
(2)平行四边形、平行四边形、平行四边形、平行四边形．
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义等等，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）由平行四边形的性质得到，再由角平分线的定义证明，进而证明，即可证明；
（2）先找出平行四边形，①平行四边形，②平行四边形 ，③平行四边形，④平行四边形，再分别证明即可；
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵分别平分和，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
由（1）得：，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴图中所有的平行四边形（平行四边形除外）为平行四边形、平行四边形、平行四边形、平行四边形．
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八年级数学下册 预习篇
18.1.2 平行四边形的判定
一、判定方法
1.从边看：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)。
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
2.从角看：④两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
3.从对角线看：⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。
二、中位线
1.三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
中位线与中线的区别：中位线是中点与中点的连线，中线是顶点与对边中点的连线。
2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
3.三角形中位线定理的作用：在已知两边中点的条件下，证明线段的平行关系及线段的倍分关系。
选择题
1.如图，点是内的一点，过点作直线、分别平行于、，与的边分别交于、、、．则图中平行四边形的个数为（ ）
A．4个 B．5个 C．8个 D．9个
2.不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（ ）
A．一组对边相等，另一组对边平行 B．一组对边平行且相等
C．两条对角线互相平分 D．两组对边分别相等
3.如图，点是边延长线上一点，连接、、，与交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
4.如图，的周长为，以它的各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，如此下去，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
5.如图，在中，，是的中点，过点作的平行线交于点，作的垂线交于点，若，且的面积为，则的长为（ ）.
A． B． C． D．
6.如图，在中，过点D作交于点E，过点E作交点F，与交于点N．若，，则长为（ ）
A．10 B．12． C．15 D．18
7.）如图，四边形中，对角线与相交于点O，不能判断四边形是平行四边形的是( )
A． B．
C． D．
8.如图，D，E，F分别是的边上的中点，连接交于点G，，的面积为6，设的面积为，的面积为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
填空题
1.如图，O是等边三角形内任意一点，过点O作分别交于点G，H，I，已知等边三角形的周长18，则 ．
2.在四边形中,,为两条对角线,若,,则在下列结论中,不正确的是 ．
3.如图所示，四边形是平行四边形，按下列条件得到的四边形是平行四边形的有 个．
①图甲，；
②图乙，平分，平分；
③图丙，是的中点，是的中点；
④图丁，是上一点，．
4.如图，平行四边形的对角线与相交于点O，E为边中点，点F在的延长线上，，于G，，则的长为 ．
5.如图，在中，点D，E分别是，的中点，以点A为圆心，为半径作圆弧交于点F．若，，则的长为 ．
解答题
1.如图，中，点D、E分别为、的中点．
(1)过点C作，并交延长线于点F（要求尺规作图，保留作图痕迹）；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
2.图1表示一双开门关闭时的状态图，图2表示打开双门过程中，某一时刻的示意图，其中AB为门槛宽度．
(1)当时，双门间隙与门槛宽度的比值为 ___________．
(2)若双门间隙的距离为2寸，点和点距离都为1尺（1尺10寸），则门槛宽度是 ___________寸．
3.如图，点E、F是对角线上的两点，且，连接、、、．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，，求的面积．
4.在平行四边形中，，，∠BAD＝120°．
(1)若，则______；
(2)如图，求对角线的长（用含，的式子表示）；
(3)如图，四边形也是平行四边形，连结并延长交于点，若AG⊥BE，，，，求的长．
5.如图，直角中，，，点D是边的中点，点E是边上的一个动点（不与A，B重合），交于点F，设，．
(1)求证：；
(2)写出y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
(3)写出x为何值时，？
6.如图，在平行四边形 中，分别平分和，交于点E，交于点F．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接分别交于点G、H，连接与交于点M，与交于点N，请直接写出图中所有的平行四边形（平行四边形除外）．
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