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八年级数学下册 预习篇
18.2.1 矩形
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形.
矩形的定义有两个要素：四边形是平行四边形；有一个角是直角。两者缺一不可.
2.性质
性质 符号语言
角 矩形的四个 角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°
对角线 矩形的对角 线相等 ∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD
矩形性质的推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
3.判定定理
判定定理 符号语言
角 有一个角是直角的平 行四边形是矩形 在 ABCD中，∠ABC=90°， ∴ ABCD是矩形
有三个角是直角的四 边形是矩形 在四边形ABCD中，∠BAD= ∠ADC=∠ABC=90°，∴四边形 ABCD是矩形
对角线 对角线相等的平行四 边形是矩形 在 ABCD中，∵AC=BD， ∴DABCD是矩形
选择题
1.在数学活动课上，同学们在判断一个四边形门框是否为矩形，下面是几个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量两组对边是否分别相等 B．测量其中三个内角是否都为直角
C．测量对角线是否相等 D．测量对角线是否互相平分
【答案】B
【分析】本题考查的是矩形的判定定理，牢记矩形的判定方法是解答本题的关键，难度较小．根据矩形的判定定理即可得到结论．
【详解】解：A、测量两组对边是否相等，能判定平行四边形；不符合题意；
B、测量其中三个内角是否为直角，能判定矩形；符合题意；
C、测量对角线是否相等，不能判定形状；不符合题意；
D、测量对角线是否相互平分，能判定平行四边形；不符合题意；
故选：B．
2.如图，在中，，是边上的中线，且，则（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形的特征：斜边的中线等于斜边的一半，熟记相关结论即可求解．
【详解】解：∵，是边上的中线，
∴
故选：B
3.如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，使点落在对角线上的点处，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，
根据勾股定理，列出方程即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
由折叠性质可得：，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
故选：．
4.如图，在中，点，分别是，的中点，点M，在对角线上，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则四边形是矩形
B．若，则四边形是矩形
C．若，则四边形是矩形
D．若，则四边形是矩形
【答案】D
【分析】取中点O，连接、，先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的判定定理依次判定即可得到答案．
本题考查了平行四边形、矩形的判定定理，掌握矩形的判定定理是解题的关键．
【详解】如图，取中点O，连接、，
∵中，点E，F分别是，的中点，
，，，，，，
，，
∴E，O，F三点共线，
又，，
，即，
四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
A选项，不能推出四边形有内角，故不能证明四边形是矩形；
B、C、D选项，只有D选项能由、，得到，根据对角线相等的平行四边形是矩形可得四边形是矩形．
故选：D
5.如图，将长方形沿着折叠，点落在边上的点处，已知，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理等知识点，根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，根据勾股定理即可得到结论，解题关键是熟练掌握矩形的性质及勾股定理．
【详解】∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵将长方形沿着折叠，点D落在边上的点F处，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
故选：C．
6.如图，在中，于点E，点在边的延长线上，则添加下列条件不能证明四边形是矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
由平行四边形的性质得，，再证，得四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论．
【详解】解：四边形是平行四边形，
∴，，
，
，
，，
四边形是矩形，故A不符合题意；
，
，
∵，，
四边形是矩形，故B不符合题意；
，
，
即，
，
四边形是平行四边形，
又，
，
平行四边形是矩形，故C不符合题意；
，
，故四边形不能判定是矩形，故D符合题意；
故选：D．
7.如图，矩形如图放置在平面直角坐标系中，其中，若将其沿着对折后，为点A的对应点，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．4.5
【答案】B
【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，等腰三角形的判定．根据平行线的性质得到，由折叠的性质得到，求得，设，则，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵长方形中，，
∴，，
∴，，，
∴，
由折叠的性质得，，，
∴，
∴，
设，则，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，
在中，，
∴．
故选：B．
8.如图，是内部一点，，且，，依次取，，，的中点，并顺次连接得到四边形，则四边形的面积是（ ）
A．12 B．16 C．24 D．48
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，矩形的性质与判定，先根据三角形中位线定理可得，，，从而可得，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，然后根据平行线的性质可得，根据矩形的判定可得平行四边形是矩形，最后利用矩形的面积公式求解即可得．
【详解】解：点分别是，的中点，且，
，
同理可得：，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
平行四边形是矩形，
∴四边形的面积是，
故选：A．
填空题
1.如图，以长方形的相邻边建立直角坐标系，，，点E是边上一点，将沿着翻折，点D恰好落在BC边上，记为点F．若线段沿y轴正半轴向上平移，得到线段，连结OF'．若△OA'F'是等腰三角形，则的坐标是 ．
【答案】或或
【分析】根据矩形及折叠的性质得，，进而可求出的值，分类讨论：若，若，若，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
，，
由折叠对称性：，，
在中，，
如图，由平移可知：，，
∴四边形是平行四边形，
，，
，
如图，过点作于H，
，
∴四边形是矩形，
，
∴F′的横坐标为4，
分三种情况讨论：
若，
，
，
的坐标是；
若，
，，
，
的坐标是；
若，
在中，，
设，
，
，
，
解得：，
的坐标是；
综上所述，若是等腰三角形，的坐标是或或，
故答案为：或或．
2.如图，在中，，，点是外的一个点，连接，，且，，四边形的面积是，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，过点作，交的延长线于点，证出，设，得出，，由四边形的面积求出，则可得出答案．熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解：过点作，交的延长线于点，
，
，
，
，
设，
，，
，
过点作于点，
，，
，
，
四边形的面积是，
，
解得，（舍去），
，
．
故答案为：．
3.如图，在中，，是的中线，E是的中点，连接，，若，垂足为E，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线定理，勾股定理， 根据中线定理解题即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵点D是的中点，，
∴，
∵E是的中点
∴
∴
∴，
故答案为：．
4.如图，矩形中，，，为边上的动点，连接，于，为的中点，连接，以为边向右作等边，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，等边三角形的性质等知识，取的中点，的中点，连接，，，，通过证明 ，得 ，在 中，利用三边关系即可求解，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.
【详解】如图，取的中点，的中点，连接，，，，
则，，，
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
连接，由勾股定理得：，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
5.如图，矩形中，，.F是上一点，将沿所在的直线折叠，点A恰好落在边上的点E处，连接交于点G，取的中点H，连接，则 .
【答案】
【分析】本题考查图形的折叠，熟练掌握翻折的性质，矩形的性质，三角形中位线的性质是解题的关键．由折叠可知，垂直平分，连接，可得是的中位线，求出即可求．
【详解】解：由折叠可知，垂直平分，连接，
是的中点，
是的中点，
，
，，
，
，
故答案为：．
解答题
1.取一张矩形纸片，E为边上一动点，将沿直线折叠得．
(1)如图1，连接，，，当时，试判断的形状；
(2)如图2，连接，当，的最大值与最小值的和为20时，求线段的值；
(3)如图3，当点落在边上，分别延长，交于点，将绕点逆时针旋转得，分别连接，，取中点连接CH，试探究线段与CH的数量关系．
【答案】(1)是等边三角形
(2)
(3)
【分析】（1）结论：是等边三角形．证明，推出，可得结论；
（2）由题意，的最大值为线段的长，设，则最小值为，当B，F，D共线时，的值最小，推出，利用勾股定理构建方程，可得结论；
（3）结论：．如图3中，延长到M，使得，连接，，．证明是等腰直角三角形，可得结论．
【详解】（1）解：结论：是等边三角形．
理由：如图1中，
由翻折变换的性质可知，，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）如图2中，连接，
由题意，的最大值为线段的长，设，则最小值为，当B，F，D共线时，的值最小，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）结论：．
理由：如图3中，延长到M，使得，连接，，．
∵，，，
∴，
∴，，
由翻折的性质可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴．
2.如图，在中，为斜边的中线，在边及的延长线上依次取点E，F，连接，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质．根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，可得，从而得到，进而得到，即可求证．
【详解】证明：在中，为斜边的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
3.如图，在和中，，连接与交于点，，分别是、的中点．求证：垂直平分．
【答案】见解析
【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质；连接，根据斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而根据等腰直角三角形的性质，即可求解．
【详解】证明：连接，
∵，是的中点，
∴，
∵是的中点，
∴，即垂直平分．
4.如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知，，求的长．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的折叠问题，勾股定理等知识点；根据矩形的性质和折叠的性质，得到，再根据勾股定理，求出的长度，进而求出的长度，设，则，根据勾股定理建立方程即可得出答案．
【详解】解：根据题意，，
，
在中，由勾股定理得，
，
设，则，
在中，，
，
，解得
．
．
5.如图，中，是边上的高，、分别是、的中点，且．
(1)判断并说明与的位置关系；
(2)若，，求．
【答案】(1)，理由见解析；
(2)．
【分析】（）连接，由是边上的高，则，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得出，最后由等腰三角形的“三线合一”性质即可；
（）由等腰三角形的性质和勾股定理即可求解；
此题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半和勾股定理，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
【详解】（1）解：，理由如下：
连接，
∵是边上的高，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴；
（2）由（）得：，，
∴，，
在中，由勾股定理得：．
6.如图，在长方形中，的平分线交边于点，于点，连接并延长交边于点，连接交于点，若．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)如果，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）分别证明、都是等腰直角三角形，进而推出，，再由即可证明结论；
（2）利用三角形内角和定理，等腰三角形的性质，平角的定义求出，的度数，即可利用三角形外角的性质求出的度数；
（3）先证明，得到，由（2）得，得到，推出，得到，再求出，由勾股定理得，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是长方形，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，，
∴，，
∴、都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，，
又∵，即，
∴，
∵，
∴，
∴的度数；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
由（2）得：，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是长方形，，
∴，，
∴，
∴，
在，，
∴，
∴，
∴的值为．
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八年级数学下册 预习篇
18.2.1 矩形
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形.
矩形的定义有两个要素：四边形是平行四边形；有一个角是直角。两者缺一不可.
2.性质
性质 符号语言
角 矩形的四个 角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°
对角线 矩形的对角 线相等 ∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD
矩形性质的推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
3.判定定理
判定定理 符号语言
角 有一个角是直角的平 行四边形是矩形 在 ABCD中，∠ABC=90°， ∴ ABCD是矩形
有三个角是直角的四 边形是矩形 在四边形ABCD中，∠BAD= ∠ADC=∠ABC=90°，∴四边形 ABCD是矩形
对角线 对角线相等的平行四 边形是矩形 在 ABCD中，∵AC=BD， ∴DABCD是矩形
选择题
1.在数学活动课上，同学们在判断一个四边形门框是否为矩形，下面是几个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量两组对边是否分别相等 B．测量其中三个内角是否都为直角
C．测量对角线是否相等 D．测量对角线是否互相平分
2.如图，在中，，是边上的中线，且，则（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
3.如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，使点落在对角线上的点处，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4.如图，在中，点，分别是，的中点，点M，在对角线上，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则四边形是矩形
B．若，则四边形是矩形
C．若，则四边形是矩形
D．若，则四边形是矩形
5.如图，将长方形沿着折叠，点落在边上的点处，已知，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6.如图，在中，于点E，点在边的延长线上，则添加下列条件不能证明四边形是矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
7.如图，矩形如图放置在平面直角坐标系中，其中，若将其沿着对折后，为点A的对应点，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．4.5
8.如图，是内部一点，，且，，依次取，，，的中点，并顺次连接得到四边形，则四边形的面积是（ ）
A．12 B．16 C．24 D．48
填空题
1.如图，以长方形的相邻边建立直角坐标系，，，点E是边上一点，将沿着翻折，点D恰好落在BC边上，记为点F．若线段沿y轴正半轴向上平移，得到线段，连结OF'．若△OA'F'是等腰三角形，则的坐标是 ．
2.如图，在中，，，点是外的一个点，连接，，且，，四边形的面积是，则的长为 ．
3.如图，在中，，是的中线，E是的中点，连接，，若，垂足为E，则的长为 ．
4.如图，矩形中，，，为边上的动点，连接，于，为的中点，连接，以为边向右作等边，连接，则的最小值为 ．
5.如图，矩形中，，.F是上一点，将沿所在的直线折叠，点A恰好落在边上的点E处，连接交于点G，取的中点H，连接，则 .
解答题
1.取一张矩形纸片，E为边上一动点，将沿直线折叠得．
(1)如图1，连接，，，当时，试判断的形状；
(2)如图2，连接，当，的最大值与最小值的和为20时，求线段的值；
(3)如图3，当点落在边上，分别延长，交于点，将绕点逆时针旋转得，分别连接，，取中点连接CH，试探究线段与CH的数量关系．
2.如图，在中，为斜边的中线，在边及的延长线上依次取点E，F，连接，且．求证：．
3.如图，在和中，，连接与交于点，，分别是、的中点．求证：垂直平分．
4.如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知，，求的长．
5.如图，中，是边上的高，、分别是、的中点，且．
(1)判断并说明与的位置关系；
(2)若，，求．
6.如图，在长方形中，的平分线交边于点，于点，连接并延长交边于点，连接交于点，若．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)如果，求的值．
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