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八年级数学下册 预习篇
18.2.2 菱形
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2.性质
（1）菱形的四条边都相等.
（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
3.判定定理
（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
（3）对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
（4）四条边相等的四边形是菱形.
(4)菱形的面积：菱形被它的两条对角线分成四个全等的直角三角形，它们的底和高都分别是两条对角线的一半.利用三角形的面积公式可推得，菱形的面积等于它的对角线之积的一半.
选择题
1.菱形的面积为，一条对角线长是，那么菱形的另一条对角线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的面积公式；
设菱形的另一条对角线长为，根据菱形的面积公式列方程求解即可．
【详解】解：设菱形的另一条对角线长为，
由题意得：，
解得：，
即菱形的另一条对角线长为，
故选：D．
2.已知菱形的边长为，它的一条对角线长为，则该菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理；根据已知可求得菱形的边长，根据勾股定理可求得其另一条对角线的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求得其面积．
【详解】解：如图所示，
，，
，
，
从而得到菱形的面积．
故选：B．
3.菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对边平行且相等 B．每一条对角线所在的直线都是它的对称轴
C．内角和等于外角和 D．对角线互相平分
【答案】B
【分析】本题考查菱形与矩形的性质，菱形的性质有：四边形相等，两组对边分别平行，对角相等，邻角互补，对角线互相垂直且平分，且每一组对角线平分一组对角；矩形的性质有：两组对边分别相等，两组对边分别平行，四个内角都是直角，对角线相等且平分；由此逐项判断即可得出答案，熟练掌握并区分矩形和菱形的性质是解题的关键．
【详解】解：A、对边平行且相等，菱形和矩形都具有的性质，故此选项不符合题意；
B、每一条对角线所在的直线都是它的对称轴，菱形具有而矩形不一定具有的性质，故此选项符合题意；
C、内角和等于外角和，菱形和矩形都具有的性质，故此选项不符合题意；
D、对角线互相平分，菱形和矩形都具有的性质，故此选项不符合题意；
故选：B．
4.如图，在菱形中，，，，分别是，的中点，，相交于点，连接，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据菱形的性质和，可知是等边三角形，是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，即可判断①；根据可证，根据全等三角形的性质可得，再根据含角的直角三角形的性质可判断②；根据为直角三角形，可知，进一步可知，即可判断③；根据勾股定理可得，再根据三角形面积的求法即可判断④．从而得出答案．
【详解】解：在菱形中，，
，
，
是等边三角形，是等边三角形，
，，
，分别是，的中点，
，
，
，，
，
故①正确；
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
故②正确；
为直角三角形，
，
，
与不全等，
故③错误；
∵菱形，，
∴
，，，
根据勾股定理，得，
，
故④正确，
故正确的有①②④，共3个，
故选：C．
5.如图，已知，，将沿边翻折，得到的与原拼成的四边形是菱形、其依据正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．一组邻边相等的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是菱形
【答案】A
【分析】本题主要考查了菱形的判定，折叠的性质，根据折叠的性质和已知条件可证明，再由四边形线段的四边形是菱形可得答案．
【详解】解：由折叠的性质可得，
又∵，
∴，
∴四边形是菱形，
故选A．
6.如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点F，E为垂足，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先连接，根据线段垂直平分线的性质得，再根据菱形的性质得到，再证明，进而得出，，可知，然后根据等腰三角形的性质得，进而得出答案．
【详解】连接．
∵是的垂直平分线，
∴．
∵四边形是菱形，
∴．，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
7.如图，平行四边形中，对角线，相交于点O，，E，F，G是，，的中点．下列结论：①；②；③平分；④平分；⑤四边形是菱形．其中正确的个数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】设和的交点为点P，根据三角形中位线定理可得，且，然后根据平行四边形的性质可得，可证得，故②正确；再证明，可得垂直平分，从而得到，故①正确；再根据等腰三角形的性质，可得平分，故④正确；可证得四边形为平行四边形，而无法得到四边形为菱形，故③错误；即可求解．
【详解】解：设和的交点为点P，如图，
∵E、F分别是，的中点，
∴，且，
∵四边形为平行四边形，
∴，且，
∴，
∴，
∵点G为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，故②正确；
∴，
∴，
∵，，
∴，点O为平行四边形对角线交点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∵E为中点，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，故①正确；
∴平分，故④正确；
∵，，
∴四边形为平行四边形，
而无法得到四边形为菱形，故③错误；
故选：C．
8.如图，在给定的平行四边形上，作一个菱形，甲、乙二人的做法如下：甲：分别以、为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点，连接，则四边形为菱形；乙：以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，作的垂直平分线交于，则四边形为菱形；根据两人的做法可判断（ ）
A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
【答案】C
【分析】由甲作图可得，，证明四边形是平行四边形，根据，证明四边形是菱形，可判断甲的正误；由乙作图可得，，，在的垂直平分线上，，则，四边形为菱形，进而可判断乙的正误．
【详解】解：由甲作图可得，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，甲正确，故符合要求；
由乙作图可得，，，在的垂直平分线上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，乙正确，故符合要求；
故选：C．
填空题
1.如图，四边形是菱形，是两条对角线的交点，过点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，若菱形的两条对角线分别为3和6，则阴影部分的面积为 ．
【答案】4.5//
【分析】本题考查了中心对称，菱形的性质，根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，即可得出结果．
【详解】解：标注字母如图所示：
∵O是菱形两条对角线的交点，菱形是中心对称图形，
∴，四边形四边形，四边形四边形，
∴阴影部分的面积．
故答案为：．
2.在的两边上分别截取线段、，使；分别以点、为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接、、、．若，四边形的面积为，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查菱形的判定和性质，根据作图得到四边形为菱形，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，进行求解即可．
【详解】解：由作图可知：，
∴四边形为菱形，
∴四边形的面积为，
∴；
故答案为：．
3.如图，菱形的对角线，相交于点，为中点，，则菱形的周长为 ．
【答案】
【分析】此题考查了菱形的性质和中位线定理，解题的关键是熟练掌握菱形的性质和中位线定理的应用．
【详解】∵四边形是菱形，
∴，，
∵为中点，
∴，
∴，
∴菱形的周长为，
故答案为：．
4.边长为的菱形，一条对角线长是，则菱形的面积是 ．
【答案】/24平方厘米
【分析】此题主要考查了菱形的性质．根据菱形对角线垂直且互相平分，即可得出菱形的另一条对角线的长，再利用菱形的面积公式求出即可．
【详解】解：如图所示：
设菱形中，对角线，
∵四边形是菱形，对角线，
∴，
，
，
∴菱形的面积为∶．
故答案为：．
5.如图，菱形中，交于点，于点，连接，若，则 ．
【答案】/20度
【分析】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，关键是熟练掌握直角三角形斜边中线性质．先根据菱形的性质得到，，进而求得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，然后根据等边对等角求解即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：．
解答题
1.如图，在菱形中，点分别在边上，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查菱形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后可证，进而问题可求证
【详解】证明：四边形是菱形，
，
在和中，
，
，
．
2.如图：在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长至点F，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定，勾股定理：
（1）先证，结合菱形的性质证明四边形是平行四边形，再结合可证四边形是矩形；
（2）由菱形的性质得，推出，再用勾股定理解即可．
【详解】（1）解：在菱形中，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：在菱形中，，
∵，
∴，
∵在矩形中，，
∵，
∴在中，，
解得：．
3.如图，在四边形中，，，对角线、相交于点，若四边形是菱形，求证：四边形是矩形．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的性质与判定，先证明四边形是平行四边形，得到，再由菱形的性质得到，则，进而得到，再由对角线相等的平行四边形是矩形即可证明结论．
【详解】证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形．
4.【作图与探究】如图，在矩形中，．
(1)用尺规作图法作菱形，使点分别在和边上；
(2)求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线，交于，交于，连接，，四边形即为所作．
（2）利用勾股定理，求出，，再利用勾股定理求出即可．
【详解】（1）解：如图，连接，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，连接两弧交点，即为线段的垂直平分线，与线段分别交于点，连接，，菱形即为所求作．
（2）设交于点．
四边形是矩形，
，
，
，
设，则，
解得，
，
，
．
∴的长为．
5.已知，是△ABC的角平分线，交AB于点E，交于点F．求证：四边形是菱形．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是平行四边形的判定，菱形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练的利用菱形的判定方法进行证明是解本题的关键．
先证明四边形为平行四边形，再证明可得从而可得结论．
【详解】证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵是的一条角平分线，
∴
∴
∴四边形为菱形．
6.如图，四边形中，，，，连接，的角平分线分别交，于点，．
(1)连接，求证：四边形为菱形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)的长为．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得，再证，得，则四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）由勾股定理得，则，再由菱形的性质得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解得，则，进而由勾股定理求出的长，即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图，
，平分，
，
∵，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形为菱形；
（2）解：，
，
，
，平分，
，
由（1）可知，，四边形为菱形，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
在中，由勾股定理得：，
，
即的长为．
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八年级数学下册 预习篇
18.2.2 菱形
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2.性质
（1）菱形的四条边都相等.
（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
3.判定定理
（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
（3）对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
（4）四条边相等的四边形是菱形.
(4)菱形的面积：菱形被它的两条对角线分成四个全等的直角三角形，它们的底和高都分别是两条对角线的一半.利用三角形的面积公式可推得，菱形的面积等于它的对角线之积的一半.
选择题
1.菱形的面积为，一条对角线长是，那么菱形的另一条对角线长为（ ）
A． B． C． D．
2.已知菱形的边长为，它的一条对角线长为，则该菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3.菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对边平行且相等 B．每一条对角线所在的直线都是它的对称轴
C．内角和等于外角和 D．对角线互相平分
4.如图，在菱形中，，，，分别是，的中点，，相交于点，连接，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5.如图，已知，，将沿边翻折，得到的与原拼成的四边形是菱形、其依据正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．一组邻边相等的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是菱形
6.如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点F，E为垂足，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7.如图，平行四边形中，对角线，相交于点O，，E，F，G是，，的中点．下列结论：①；②；③平分；④平分；⑤四边形是菱形．其中正确的个数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
8.如图，在给定的平行四边形上，作一个菱形，甲、乙二人的做法如下：甲：分别以、为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点，连接，则四边形为菱形；乙：以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，作的垂直平分线交于，则四边形为菱形；根据两人的做法可判断（ ）
A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
填空题
1.如图，四边形是菱形，是两条对角线的交点，过点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，若菱形的两条对角线分别为3和6，则阴影部分的面积为 ．
2.在的两边上分别截取线段、，使；分别以点、为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接、、、．若，四边形的面积为，则的长为 ．
3.如图，菱形的对角线，相交于点，为中点，，则菱形的周长为 ．
4.边长为的菱形，一条对角线长是，则菱形的面积是 ．
5.如图，菱形中，交于点，于点，连接，若，则 ．
解答题
1.如图，在菱形中，点分别在边上，．求证：．
2.如图：在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长至点F，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
3.如图，在四边形中，，，对角线、相交于点，若四边形是菱形，求证：四边形是矩形．
4.【作图与探究】如图，在矩形中，．
(1)用尺规作图法作菱形，使点分别在和边上；
(2)求的长度．
5.已知，是△ABC的角平分线，交AB于点E，交于点F．求证：四边形是菱形．
6.如图，四边形中，，，，连接，的角平分线分别交，于点，．
(1)连接，求证：四边形为菱形；
(2)若，，求的长．
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