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八年级数学下册 预习篇
18.2.3 正方形
1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形，所以，正方形既是矩形，又是菱形。
2.性质：正方形既有矩形的性质，又有菱形的性质.
(1)边的性质：正方形的4条边都相等，对边平行.
(2)角的性质：正方形的4个角都是直角
(3)对角线的性质：正方形的对角线互相垂直平分且相等，并且每条对角线平分一组对角.正方形还有特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形两条对角线把正方形分成4个全等的等腰直角三角形.正方形是轴对称图形，有4条对称轴。
3.正方形的判定方法的应用
(1)一组邻边相等的矩形是正方形.
(2)有一个角是直角的菱形是正方形.
(3)有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
(4)既是矩形又是菱形的四边形是正方形.
规律判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：
①先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等.
②先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角.
在判定正方形时，要弄清是在“四边形”还是在“平行四边形”的基础之上来求证的.要熟悉各判定定理的联系和区别.解答此类问题时要认真审题，通过对已知条件的分析、综合，最后确定用哪一种判定方法是解决这类问题的关键.
4.矩形、菱形、正方形性质的综合运用矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，所以矩形、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质.应从边、角、对角线3个方面区分它们的性质：
(1)从边的角度：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对边平行且相等的性质，而菱形和正方形还具有4条边相等的性质.
(2)从角的角度：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角相等且邻角互补的性质，而矩形和正方形还具有4个角都等于90°的性质.
(3)从对角线的角度：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分的性质，而矩形和正方形的对角线还具有相等的性质；菱形和正方形的对角线还具有互相垂直的性质。
选择题
1.如图，正方形的边长为8，E为边上一点，连接，，取中点F，连接，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查正方形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理，根据题意求出，根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，故可得答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴
∴；
在中，，
∵点F是的中点，
∴是斜边上的中线，
∴，
故选：C．
2.同学们探究四边形纸板是否为正方形，以下测量方案正确的是（ ）
A．测量四条边是否相等 B．测量四个内角是否相等且一组邻边是否相等
C．测量四个内角是否是直角 D．测量两条对角线是否相等且是否互相垂直
【答案】B
【分析】本题考查了正方形的判定；
根据正方形的判定定理逐项分析即可．
【详解】解：A.测量四条边是否相等可以得出四边形纸板是否为菱形，不符合题意；
B.测量四个内角是否相等且一组邻边是否相等可以得出四边形纸板是否为正方形，符合题意；
C.测量四个内角是否是直角 可以得出四边形纸板是否为矩形，不符合题意；
D.测量两条对角线是否相等且是否互相垂直不能判断四边形纸板是否为正方形，还要测量两条对角线是否互相平分，不符合题意；
故选：B．
3.如图，正方形中，，将沿对折至，延长交于点，刚好是边的中点，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题考查正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理等知识．根据正方形的性质和折叠的性质，很容易证明，进而得到，由是的中点，，得到，在中有勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：连接，由已知，且，
，
，
，
，是的中点，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：
，
解得，即．
故选：A
4.如图，正方形的边长为10，且，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，延长交于点，证是解题关键．
【详解】解：延长交于点，如图所示：
∵，，,
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
5.若四边形两条对角线互相垂直，则顺次连接其各边中点得到的四边形是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形
【答案】B
【分析】本题考查了矩形的判定，三角形中位线定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
根据题意画出图形，由三角形中位线定理以及矩形的判定定理即可求解．
【详解】解：如图所示，四边形的对角线，点G，F，E，H分别为边，，，的中点，
在中，
分别为，的中点，
， ，
在中，
分别为，的中点，
， ，
， ，
为平行四边形，
又∵在中，
分别为，的中点，
，
又，，
，
∴四边形为矩形．
故选B．
6.菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行且相等 B．对角线相等
C．四条边相等，四个角相等 D．对角线互相垂直
【答案】A
【分析】本题考查了菱形、矩形、正方形的性质．根据菱形、矩形、正方形的性质，逐项判断即可．
【详解】解：A、菱形、矩形、正方形的两组对边分别平行且相等，故本选项符合题意．
B、矩形的对角线不一定相等，故本选项不符合题意．
C、矩形的四条边不一定相等，菱形的四个角不应当相等，故本选项不符合题意．
D、矩形的对角线不一定互相垂直，故本选项不符合题意．
故选：A．
7.如图，边长为的正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，则两个正方形重叠部分的面积是（ ）
A．8 B．4 C．6 D．2
【答案】B
【分析】证明，则，即可得到四边形的面积等于的面积，即两个正方形重叠部分的面积等于正方形面积的，即可求出答案．本题考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能推出四边形的面积等于的面积是解此题的关键．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
在与中，，
∴，
∴，
∴四边形的面积等于的面积，即两个正方形重叠部分的面积等于正方形面积的，
∴两个正方形重叠部分的面积是，
故选：B．
8.如图，在正方形中，，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，延长到点使，连接、，证明得到，，，证明，得到，
设，则，，利用勾股定理得到，求出的值即可，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
【详解】解：如图，延长到点使，连接、，
，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
，
，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
设，则，，，
，
，
解得：，
，
故选：C．
填空题
1.如图，在正方形中，点E在边上（不与点B，C重合），点F在边的延长线上，，连接交于点G，过点A作于点M，交边于点N．若，．则 ， ．
【答案】 5
【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确作辅助线，构建全等三角形解决问题．
连接，，，由正方形的性质可得，，，可证得，可得，，从而可得，根据等腰三角形三线合一可得点M为中点，由可证得，，可得，设，构建方程求解．
【详解】解：如图，连接，，，
四边形为正方形，
，，，
，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
，，
，，
，
设，则，，
，，
在中，由勾股定理可得：
，
即，
解得，
，，
，
，
故答案为：5，．
2.如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ．
【答案】
【分析】本题考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，根据正方形的性质得出，，，推出，证出可得答案，证明是解此题的关键．
【详解】∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
3.如图，在平面直角坐标系中，是正方形，点的坐标是，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了坐标与图形、三角形全等的判定与性质，作轴于点，轴于点，则，证明，结合点的坐标是，得出，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，构造三角形全等是解此题的关键．
【详解】解：如图，作轴于点，轴于点，
∵四边形是正方形，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：．
4.如图，在边长为2的正方形中，，分别是边，上的动点（可与端点重合），，分别是，的中点，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，确定何时有最大值是解题关键．
连接，则是的中位线，，当最大时，有最大值求出即可．
【详解】解：连接，如图：
，分别是，的中点，
是的中位线，，
当最大时，有最大值，
，分别是边，上的动点，
当与重合时，最大为的长，
正方形边长为2，
，
的最大值为，
故答案为：．
5.如图，长方形中，，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点B落在点处．当为直角三角形时，的长为 ．
【答案】或
【分析】解：①如图，当时， 由勾股定理得，设，由折叠的性质可得：，，由勾股定理，即可求解；②如图，当时，由折叠性质可得：，
，从而可证四边形为正方形，即可求解．
【详解】解：①如图，当时，
四边形是矩形，
，
，
设，
由折叠可得：，
，
，
，
，
在中，
，
，
解得：，
；
②如图，当时，
，
由折叠性质可得：
，
，
∴四边形为正方形，
，
故的长为或；
故答案：或．
解答题
1.如图，已知平行四边形中，对角线，交于点，是延长线上的点，且是等边三角形．
(1)求证：
(2)若，判断四边形是怎样的特殊平行四边形？并证明你的猜想.
【答案】(1)见详解
(2)四边形是正方形，理由见详解
【分析】此题主要考查菱形和正方形的判定，要灵活应用判定定理及等腰三角形的性质、外角的性质定理．
（1）根据平行四边形的性质及等边三角形的性质．证明，得垂直平分即可；
（2）根据有一个角是的菱形是正方形．证明由题意易得即可．
【详解】（1）证明： 四边形是平行四边形，
．
又是等边三角形，
（三线合一），即垂直平分，
．
（2）解：四边形是正方形，理由如下：
四边形是平行四边形，
．
又是等边三角形，
平分（三线合一），
，
又
，
（三角形的一个外角等于和它外角不相邻的两内角之和），
由（1）中，得平行四边形是菱形，
，
四边形是正方形．
2.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、点B关于x轴对称，，，连接，点P从点B出发，沿y轴以每秒1个单位的速度向原点O运动，同时，点Q从点C出发，沿x轴以每秒2个单位的速度向原点O运动，当点P到达原点，点Q也停止运动．
(1)连接、，设点P的运动时间为t秒，的面积为，用含t的式子表示S（不要求写出t的取值范围）；
(2)点M、点N在过A垂直于y轴的直线上，连接，，，，当是以为直角边的等腰直角三角形时，恰好，求此时点N的坐标．
【答案】(1)；
(2)点N的坐标为或．
【分析】（1）由题意得，，，推出，，利用三角形面积公式即可求解；
（2）分点在y轴右侧时，点在y轴左侧时，两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质求解．
【详解】（1）解：∵点A、点B关于x轴对称，，
∴，则，，
由题意得，，则，，
∴的面积为；
（2）解：当点在y轴右侧时，如图，作于点，连接，
则四边形是矩形，，，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴点N与点A重合，
∴此时点N的坐标为；
当点在y轴左侧时，如图，作于点，交的延长线于点，连接，
则四边形、是矩形，，，
∵，
∴，
∴，
∴，解得，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴点N与点G重合，
∴此时点N的坐标为；
综上，点N的坐标为或．
3.活动课上，老师让同学们翻折正方形进行探究活动，同学们经过动手操作探究，发展了空间观念，并积累了数学活动经验．
【问题背景】如图1，过点A引射线，交边于点H（点H与点D不重合）．通过翻折，使点B落在射线上的点G处，折痕交于E，延长交于F．
【问题探究】
(1)如图2，当点H与点C重合时，与的大小关系是______；是______三角形．
(2)如图3，当点H为边上任意一点时（点H与点C不重合），连接，猜想与的数量关系，并说明理由．
(3)在（2）条件下，当，时，CF的长为______．
【答案】(1)；等腰直角；
(2)，理由见解析；
(3)．
【分析】（1）根据证明，，即可解决问题．
（2）结论：，证明方法类似（1）．
（3）设，则，，利用勾股定理构建方程求出即可．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
由翻折可知：，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
故答案为：；等腰直角；
（2）结论：．
∵四边形是正方形，
∴，，
由翻折可知，，
∵，
∴，
∴；
（3）设，则，，
在中，，即，
解得：，即的长为，
∴，
故答案为：．
4.如图，点在正方形的边上（不与点重合），连接，将沿翻折，使点落在点处，作射线交于点，交于点，连接．
(1)求证：．
(2)过点作交射线于点．
①求的度数；
②直接写出线段与之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）根据正方形的性质得到，然后利用证明；
（2）①根据轴对称得到，求出，利用，求出，即可根据四边形内角和求出，进而得到，然后利用平行线的性质求解即可；
②过点A作于点P，得到是等腰直角三角形，求出，证明，得到，由，即可得到．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）①如图，∵点D与点F关系对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②过点A作点P，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
5.如图，在正方形中，点，分别在，上，，垂足为．
(1)求证：；
(2)若正方形的边长是8，，点是的中点，求的长．
【答案】(1)见解答；
(2)
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理．
（1）根据正方形的性质可得，，结合可得即可得证；
（2）由题意知即可求出，则，根据勾股定理即可求出，由是中点可得即可解答．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
是中点，，
．
6.用图①中的1张边长为m的正方形M图纸、1张边长为n的正方形N图纸和2张边长分别为m，n的长方形D图纸拼成图②的一张大正方形图片，观察图形
(1)由图②和图①可以得到关于面积的等式为 ．
(2)小丽同学用图①中这三张图纸拼出一张面积为的大长方形图片，求需要M，N两种纸片各多少张；
(3)如图③，已知点P为线段上的动点，分别以，为边在的两侧作正方形和正方形．若，且两个正方形的面积之和为，利用（1）中得到的结论求图③中阴影部分面积．
【答案】(1)
(2)需要M，N两种纸片各6张
(3)3
【分析】（1）根据图形整体面积等于各部分面积之和即可解答；
（2）根据多项式乘多项式即可解答；
（3）设，则，根据完全平方公式可求得，从而解决本题．本题考查多项式乘多项式，完全平方公式，掌握面积法是解题关键．
【详解】（1）由图形的面积关系可得：，
故答案为：．
（2）∵，
∴需要M，N两种纸片各6张．
（3）设，， ，
故，
∵，
∴
解得，
∴．
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18.2.3 正方形
1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形，所以，正方形既是矩形，又是菱形。
2.性质：正方形既有矩形的性质，又有菱形的性质.
(1)边的性质：正方形的4条边都相等，对边平行.
(2)角的性质：正方形的4个角都是直角
(3)对角线的性质：正方形的对角线互相垂直平分且相等，并且每条对角线平分一组对角.正方形还有特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形两条对角线把正方形分成4个全等的等腰直角三角形.正方形是轴对称图形，有4条对称轴。
3.正方形的判定方法的应用
(1)一组邻边相等的矩形是正方形.
(2)有一个角是直角的菱形是正方形.
(3)有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
(4)既是矩形又是菱形的四边形是正方形.
规律判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：
①先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等.
②先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角.
在判定正方形时，要弄清是在“四边形”还是在“平行四边形”的基础之上来求证的.要熟悉各判定定理的联系和区别.解答此类问题时要认真审题，通过对已知条件的分析、综合，最后确定用哪一种判定方法是解决这类问题的关键.
4.矩形、菱形、正方形性质的综合运用矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，所以矩形、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质.应从边、角、对角线3个方面区分它们的性质：
(1)从边的角度：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对边平行且相等的性质，而菱形和正方形还具有4条边相等的性质.
(2)从角的角度：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角相等且邻角互补的性质，而矩形和正方形还具有4个角都等于90°的性质.
(3)从对角线的角度：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分的性质，而矩形和正方形的对角线还具有相等的性质；菱形和正方形的对角线还具有互相垂直的性质。
选择题
1.如图，正方形的边长为8，E为边上一点，连接，，取中点F，连接，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2.同学们探究四边形纸板是否为正方形，以下测量方案正确的是（ ）
A．测量四条边是否相等 B．测量四个内角是否相等且一组邻边是否相等
C．测量四个内角是否是直角 D．测量两条对角线是否相等且是否互相垂直
3.如图，正方形中，，将沿对折至，延长交于点，刚好是边的中点，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4.如图，正方形的边长为10，且，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
5.若四边形两条对角线互相垂直，则顺次连接其各边中点得到的四边形是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形
6.菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行且相等 B．对角线相等
C．四条边相等，四个角相等 D．对角线互相垂直
7.如图，边长为的正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，则两个正方形重叠部分的面积是（ ）
A．8 B．4 C．6 D．2
8.如图，在正方形中，，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
填空题
1.如图，在正方形中，点E在边上（不与点B，C重合），点F在边的延长线上，，连接交于点G，过点A作于点M，交边于点N．若，．则 ， ．
2.如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ．
3.如图，在平面直角坐标系中，是正方形，点的坐标是，则点的坐标为 ．
4.如图，在边长为2的正方形中，，分别是边，上的动点（可与端点重合），，分别是，的中点，则的最大值为 ．
5.如图，长方形中，，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点B落在点处．当为直角三角形时，的长为 ．
解答题
1.如图，已知平行四边形中，对角线，交于点，是延长线上的点，且是等边三角形．
(1)求证：
(2)若，判断四边形是怎样的特殊平行四边形？并证明你的猜想.
2.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、点B关于x轴对称，，，连接，点P从点B出发，沿y轴以每秒1个单位的速度向原点O运动，同时，点Q从点C出发，沿x轴以每秒2个单位的速度向原点O运动，当点P到达原点，点Q也停止运动．
(1)连接、，设点P的运动时间为t秒，的面积为，用含t的式子表示S（不要求写出t的取值范围）；
(2)点M、点N在过A垂直于y轴的直线上，连接，，，，当是以为直角边的等腰直角三角形时，恰好，求此时点N的坐标．
3.活动课上，老师让同学们翻折正方形进行探究活动，同学们经过动手操作探究，发展了空间观念，并积累了数学活动经验．
【问题背景】如图1，过点A引射线，交边于点H（点H与点D不重合）．通过翻折，使点B落在射线上的点G处，折痕交于E，延长交于F．
【问题探究】
(1)如图2，当点H与点C重合时，与的大小关系是______；是______三角形．
(2)如图3，当点H为边上任意一点时（点H与点C不重合），连接，猜想与的数量关系，并说明理由．
(3)在（2）条件下，当，时，CF的长为______．
4.如图，点在正方形的边上（不与点重合），连接，将沿翻折，使点落在点处，作射线交于点，交于点，连接．
(1)求证：．
(2)过点作交射线于点．
①求的度数；
②直接写出线段与之间的数量关系．
5.如图，在正方形中，点，分别在，上，，垂足为．
(1)求证：；
(2)若正方形的边长是8，，点是的中点，求的长．
6.用图①中的1张边长为m的正方形M图纸、1张边长为n的正方形N图纸和2张边长分别为m，n的长方形D图纸拼成图②的一张大正方形图片，观察图形
(1)由图②和图①可以得到关于面积的等式为 ．
(2)小丽同学用图①中这三张图纸拼出一张面积为的大长方形图片，求需要M，N两种纸片各多少张；
(3)如图③，已知点P为线段上的动点，分别以，为边在的两侧作正方形和正方形．若，且两个正方形的面积之和为，利用（1）中得到的结论求图③中阴影部分面积．
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