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第五章 圆
第一节 圆的有关概念及性质
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 圆的有关概念 ☆ 圆的相关概念及性质在中考数学中，小题通常考查圆的基本概念、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形等基础考点，难度一般在中档及以下，而在解答题中，圆的基本性质还可以和相似、三角形函数、特殊四边形等结合出题，难度中等或偏上。在整个中考中的占比也不是很大，通常都是一道小题一道大题，分值在8-10分左右，属于中考中的中档考题。所以考生在复习这块考点的时候，要充分掌握圆的基本性质的各个概念、性质以及推论。
考点2 圆的相关性质及推理 ☆☆☆
■考点一 圆的有关概念
1．与圆有关的概念
1）圆：平面上到 （圆心）的距离等于 （半径）的所有点组成的图形。
2）弦与直径：连接圆上任意两点的 叫做弦，过 的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦。
3）弧：圆上任意两点间的部分叫做 ，符号：；小于半圆的弧叫 ，大于半圆的弧叫 。
4）圆心角：顶点在圆心的角叫做 。
5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做 。
6）弦心距：圆心到弦的距离，叫 。
7）同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做 ；等圆：半径相等的圆叫做 ；同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做 。
8）在 中能够互相重合的弧是 ，度数或长度相等的弧不一定是等弧。
■考点二 圆的相关性质及推理
1）圆的对称性
（1）圆既是 图形，又是 图形。其中直径所在的直线都是圆的对称轴；圆心是圆的对称中心，将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性。
（2）圆是一个特殊的对称图形，它的许多性质都可以由它的对称性推出。
2）垂径定理：垂直于弦的 平分这条 ，并且 弦所对的两条弧。
解题技巧：关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形。
3）推论
1）平分弦（不是 ）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
3）如图，可得①AB过圆心；②AB⊥CD；③CE=DE；④；⑤。
总结：垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（被平分的弦不是直径）；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理。
4）弧、弦、圆心角的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 相等，所对的弦的 相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量 ，那么它们所对应的 分别相等。
解题技巧：运用这些相等关系，可以实现线段相等与角相等之间的相互转化。
5）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 。
推论1： 所对的圆周角 。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是 ，的圆周角所对的弦是 。
注意：圆的一条弧（弦）只对着一个圆心角，对应的圆周角有无数个，但圆周角的度数只有两个，这两个度数和为 。
6）圆内接四边形：如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形。这个圆叫做这个四边形的外接圆。
性质：（1）圆内接四边形 ；（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
解题技巧：（1）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；（2）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角；（3）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化。比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等。
■易错提示
1.求两条弦间的距离时要分类讨论两条弦与圆心的相对位置：两弦在圆心的同侧，两弦在圆心的异侧。
2.圆周角定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角。
■考点一 圆的有关概念
◇典例1：（2023·安徽安庆·九年级统考期末）下列说法中正确的是（ ）
A．直径是弦，半圆不是弧 B．相等的圆心角所对的弧也相等
C．周长相等的两个圆是等圆 D．圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴
◆变式训练
1．（2023·广东湛江·校联考一模）下列命题中，是真命题的个数有（ ）
直径是弦；弦是直径；半圆是弧；弧是半圆．
A．个 B．个 C．个 D．个
2．（2023上·江苏无锡·九年级校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．弦是直径 B．半圆是弧
C．等弧就是长度相等的两条弧 D．圆是轴对称图形，对称轴是任意一条直径
◇典例2：（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是（ ）
A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形 C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形
◆变式训练
1．（2023上·河北沧州·九年级校考期中）如图，由点P引出的为的四条弦，其中最长的是（ ）
A． B． C． D．
2.（2023·浙江绍兴·校联考三模）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：若圆半径为1，当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d（x）．下列描述正确的是（ ）
A． B．当时，
C．当时， D．当时，
◇典例3：（2023·福建泉州·校考二模）适时的休闲可以缓解学习压力，如图是火影忍者中的仙法·白激之术，其形状外围大致为正圆，整体可看成为两个同心圆，像素，，那么周围圆环面积约为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·山东·统考一模）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3∶1，则圆的面积约为正方形面积的 倍．（精确到个位）
2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的周长为 ．
◇典例4：（2022·山东东营·统考中考真题）如图，在中，弦半径，则的度数为 ．
◆变式训练
1.（2023·湖南长沙·校考二模）如图，点A，B，C均在上，若，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年江西省中考数学真题）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
◇典例5：（2021·四川攀枝花·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
◆变式训练
1．（2023上·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广东汕头·统考一模）如图，在等腰中，，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是 ．
■考点二 圆的相关性质及推理
◇典例5：（2023·四川德阳·模拟预测）下列语句中，正确的是（ ）
①相等的圆周角所对的弧相等；②同弧或等弧所对的圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接平行四边形一定是矩形．
A．①② B．②③ C．②④ D．④
◆变式训练
1．（2023上·江苏徐州·九年级校考阶段练习）下列说法正确的个数有（ ）
①半圆是弧；②面积相等的两个圆是等圆；③所对的弦长相等的两条弧是等弧；④等弧所对的圆心角相等；⑤如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023·广东深圳·校考模拟预测）下列说法中，正确的个数为（ ）
①在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等；②平分弦的直径垂直于这条弦；
③圆的对称轴是直径；④弧分为优弧和劣弧；⑤在同圆或等圆中，弦相等则所对的圆周角相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
◇典例6：（2023年四川省宜宾中考数学真题）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当，时，则的值为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023年湖南省永州市中考数学真题）如图，是一个盛有水的容器的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度为 ．
2．（2023.广东.九年级期末）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”．用现在的几何语言表达即：如图，为的直径，弦，垂足为点，寸，寸，则直径的长度是 寸．
◇典例7：（2023·辽宁抚顺·校联考一模）如图，四边形内接，平分，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2.（2023·四川成都·模拟预测）如图，在中，弦相交于点E，连接，已知．
(1)求证：；(2)如果的半径为5，，求的长．
◇典例8：（2023年浙江省湖州市中考数学真题）如图，点A，B，C在上，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023年黑龙江省牡丹江市中考数学真题）如图，A，B，C为上的三个点，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·黑龙江·校联考一模）如图，是的外接圆，，，则的直径为 ．
◇典例9：（2023年山东省枣庄市中考数学真题）如图，在中，弦相交于点P，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2023·河北沧州·统考二模）某圆形舞台，圆心为．，是舞台边缘上两个固定位置，由线段及优弧（点是该弧中点）围成的区域是表演区．如图1，在处安装一台监控器，其监控的度为．如图2，若再加一台该型号的监控器，可以监控到表演区的整个区域，则下列方案可行的是（ ）
甲：在处放置；乙：在处放置；丙：在处放置
A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙
2．（2023·辽宁抚顺·统考一模）如图，是的内接三角形，为的直径，平分，交于点D，连接，点E在弦上，且，连接．
(1)求证：；(2)若，，求的长．
◇典例10：（2023年辽宁省营口市中考数学真题）如图所示，是的直径，弦交于点E，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023年山西省中考数学真题）如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2.（2023·安徽·模拟预测）如图，在中，直径，弦，连接相交于点，则的度数是 ．
◇典例11：（2023年西藏自治区中考数学真题）如图，四边形内接于，E为BC延长线上一点．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2023年内蒙古赤峰市中考数学真题）如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年宁夏回族自治区中考数学真题）如图，四边形内接于，延长至点，已知，那么 ．
◇典例12：（2022·山东泰安·统考中考真题）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023上·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，作于点F．当点E从点B出发，顺时针旋转到点D时，点F所经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．
1．（2023年四川省巴中市中考数学真题）如图，是的外接圆，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年山东省青岛市中考数学真题）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年山东省淄博市中考数学真题）如图，是的内接三角形，，，是边上一点，连接并延长交于点．若，，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023年广西壮族自治区中考数学真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023年湖北省黄冈市中考数学真题）如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，若，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023年浙江省温州市中考数学真题）如图，四边形内接于，，．若，，则的度数与的长分别为（ ）
A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，
7．（2023年江苏省常州市中考数学真题）如图，是的直径，是的内接三角形．若，，则的直径 ．
8.（2023年浙江省衢州市中考数学真题）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切，则此餐盘的半径等于
cm．
9．（2023年湖南省郴州市中考数学真题）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点处安装了一台监视器，它的监控角度是，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台．
10．（2023年内蒙古呼和浩特市中考数学真题）如图，内接于且，弦平分，连接，．若，，则 ， ．
11．（2023年湖南省湘西初中学业水平数学试题）如图，点D，E在以为直径的上，的平分线交于点B，连接，，，过点E作，垂足为H，交于点F．
(1)求证：；(2)若，求的长．
12．（2023年内蒙古包头市中考数学真题）如图，是的直径，是弦，是上一点，是延长线上一点，连接．(1)求证：；（请用两种证法解答）
(2)若，的半径为3，，求的长．
1．（2023上·江苏无锡·九年级校联考期中）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①长度相等的弧是等弧；②相等的圆心角所对的弦相等；③等边三角形的外心与内心重合；④任意三点可以确定一个圆；⑤三角形有且只有一个外接圆．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2023·安徽·模拟预测）如图，在中，半径，，点在弦上，，连接，过点作交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·陕西渭南·统考二模）如图，是的直径，、是的两条弦，交于点G，点C是的中点，点B是的中点，若，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
4．（2023·湖北孝感·校考一模）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
5．（2023·安徽·模拟预测）如图，内接于，，，于点．若的长为，则的直径为（ ）
A． B．2 C．4 D．
6．（2023·广东茂名·统考二模）如图，⊙O的半径为4，直径AB与直径CD垂直，P是上一点，连接PC，PB分别交AB，CD于E，F，若，则BF的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024上·河南新乡·九年级统考期末）如图，用一块直径为4米的四来布平铺在对角线长为4米的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则这个最大长度x为 米（用根号表示）．
8．（2023·广东清远·统考二模）如图，的直径和弦垂直相交于点，，于点，交于点，且，则的半径长为 ．
9．（2022·黑龙江牡丹江·统考二模）在半径为4cm的中，弦CD平行于弦AB，，，则AB与CD之间的距离是 cm．
10．（2022·安徽·模拟预测）如图，中两条弦，互相垂直，垂足为，为的中点，连接并延长交于点．(1)求证：；(2)连接，求的值．
1．（2023·广东·九年级课时练习）如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（ ）
A．π B．π C．π D．2π
2．（2023年浙江省宁波市中考数学真题）如图1，锐角内接于，D为的中点，连接并延长交于点E，连接，过C作的垂线交于点F，点G在上，连接，若平分且．
(1)求的度数．(2)①求证：．②若，求的值，
(3)如图2，当点O恰好在上且时，求的长．
3．（2023年浙江省嘉兴市中考数学真题）小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1，的直径垂直弦AB于点E，且，．
(1)复习回顾：求的长．(2)探究拓展：如图2，连接，点G是上一动点，连接，延长交的延长线于点F．①当点G是的中点时，求证：；
②设，，请写出y关于x的函数关系式，并说明理由；
③如图3，连接，当为等腰三角形时，请计算的长．
4．（2023年江苏省泰州市中考数学真题）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角．
知识回顾(1)如图①，中，B、C位于直线异侧，．
①求的度数；②若的半径为5，，求的长；
逆向思考(2)如图②，P为圆内一点，且，，．求证：P为该圆的圆心；
拓展应用(3)如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．点D在上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．
5．（2023年吉林省长春市中考数学真题）【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为__________度．
【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，．
，．
是等边三角形．，
请你补全余下的证明过程．
【应用】如图③，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．若，则的值为__________．
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第五章 圆
第一节 圆的有关概念及性质
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 圆的有关概念 ☆ 圆的相关概念及性质在中考数学中，小题通常考查圆的基本概念、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形等基础考点，难度一般在中档及以下，而在解答题中，圆的基本性质还可以和相似、三角形函数、特殊四边形等结合出题，难度中等或偏上。在整个中考中的占比也不是很大，通常都是一道小题一道大题，分值在8-10分左右，属于中考中的中档考题。所以考生在复习这块考点的时候，要充分掌握圆的基本性质的各个概念、性质以及推论。
考点2 圆的相关性质及推理 ☆☆☆
■考点一 圆的有关概念
1．与圆有关的概念
1）圆：平面上到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的图形。
2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦。
3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，符号：；小于半圆的弧叫劣弧，大于半圆的弧叫优弧。
4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角。
6）弦心距：圆心到弦的距离，叫弦心距。
7）同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；等圆：半径相等的圆叫做等圆；同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。
8）在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧。
■考点二 圆的相关性质及推理
1）圆的对称性
（1）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。其中直径所在的直线都是圆的对称轴；圆心是圆的对称中心，将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性。
（2）圆是一个特殊的对称图形，它的许多性质都可以由它的对称性推出。
2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
解题技巧：关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形。
3）推论
1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
3）如图，可得①AB过圆心；②AB⊥CD；③CE=DE；④；⑤。
总结：垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（被平分的弦不是直径）；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理。
4）弧、弦、圆心角的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。
解题技巧：运用这些相等关系，可以实现线段相等与角相等之间的相互转化。
5）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。
注意：圆的一条弧（弦）只对着一个圆心角，对应的圆周角有无数个，但圆周角的度数只有两个，这两个度数和为180°。
6）圆内接四边形：如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形。这个圆叫做这个四边形的外接圆。
性质：（1）圆内接四边形对角互补；（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
解题技巧：（1）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；（2）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角；（3）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化。比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等。
■易错提示
1.求两条弦间的距离时要分类讨论两条弦与圆心的相对位置：两弦在圆心的同侧，两弦在圆心的异侧。
2.圆周角定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角。
■考点一 圆的有关概念
◇典例1：（2023·安徽安庆·九年级统考期末）下列说法中正确的是（ ）
A．直径是弦，半圆不是弧 B．相等的圆心角所对的弧也相等
C．周长相等的两个圆是等圆 D．圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆的基本性质．根据圆的基本性质，逐项判断，即可求解．
【详解】解：A、直径是弦，半圆是弧，故本选项错误，不符合题意；
B、同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的弧也相等，故本选项错误，不符合题意；
C、周长相等的两个圆是等圆，故本选项正确，符合题意；D、圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，故本选项错误，不符合题意；故选：C
◆变式训练
1．（2023·广东湛江·校联考一模）下列命题中，是真命题的个数有（ ）
直径是弦；弦是直径；半圆是弧；弧是半圆．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】根据圆的弦、弧的概念判断即可．
【详解】解：直径是弦，是真命题；弦是直径，是假命题；
半圆是弧，是真命题；弧是半圆，是假命题；故选：．
【点睛】此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，解题的关键是要熟悉圆的有关概念．
2．（2023上·江苏无锡·九年级校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．弦是直径 B．半圆是弧
C．等弧就是长度相等的两条弧 D．圆是轴对称图形，对称轴是任意一条直径
【答案】B
【分析】此题考查了圆的相关性质，根据圆的弦、弧、直径等相关知识进行判断即可．熟练掌握圆的相关知识是解题的关键．
【详解】直径是经过圆心的弦，不是所有的弦都是直径，故A错误；
圆上任意两点间的部分是弧，所以半圆是弧，故B正确；
只有在同圆或等圆中，能够完全重合的弧才是等弧，故C错误；
圆是轴对称图形，对称轴是任意一条直径所在的直线，故D错误．故选：B．
◇典例2：（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是（ ）
A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形 C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形
【答案】B
【分析】根据扇形的定义，即可求解．扇形，是圆的一部分，由两个半径和和一段弧围成．
【详解】解：甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，只有乙是扇形，故选：B．
【点睛】本题考查了扇形的定义，熟练掌握扇形的定义是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023上·河北沧州·九年级校考期中）如图，由点P引出的为的四条弦，其中最长的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆中最长的弦为直径，根据圆中最长的弦为直径进行作答即可．
【详解】解：由图可知，过圆心为直径，∴最长，故选：C．
2.（2023·浙江绍兴·校联考三模）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：若圆半径为1，当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d（x）．下列描述正确的是（ ）
A． B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】D
【分析】根据已知，利用图象判断即可．
【详解】解：如图，当时，
当时，；
A、，本选项不符合题意；B、当时，，本选项不符合题意；
C、当时，与可能相等，可能不等，本选项不符合题意；
D、当时，，本选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了圆知识的应用，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
◇典例3：（2023·福建泉州·校考二模）适时的休闲可以缓解学习压力，如图是火影忍者中的仙法·白激之术，其形状外围大致为正圆，整体可看成为两个同心圆，像素，，那么周围圆环面积约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】圆环的面积等于大圆面积减去小圆面积，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，设同心圆的圆心为，连接，则大圆的半径为，小圆的半径为，
∴设小圆的半径为，大圆的半径，∵像素，，∴，
在中，，即，∴，
∵，∴，故选：．
【点睛】本题主要考查圆与直角三角形的综合，掌握圆环面积的计算方法是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·山东·统考一模）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3∶1，则圆的面积约为正方形面积的 倍．（精确到个位）
【答案】14
【分析】根据圆的性质和正方形的性质求圆的半径和正方形的边长，利用面积公式求解即可.
【详解】解：如图 由题意得AC与EF共线
∵圆的直径与正方形的对角线之比为3：1∴EF：AC=3：1∴OE：OA=3：1
设OE=3x，OA= x在正方形ABCD中 由勾股定理得：AD=x
∴圆的面积为：π×（3x）2=9πx2 正方形的面积为（x）2=2 x2∴9πx2÷2 x2=≈14 故答案为：14
【点睛】本题主要考查了圆的性质和正方形的性质，以及圆与正方形的面积公式的求解.
2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的周长为 ．
【答案】
【分析】根据正方形ABCD的面积为4，求出，根据位似比求出，周长即可得出；
【详解】解：正方形ABCD的面积为4，，
，，，所求周长；故答案为：．
【点睛】本题考查位似图形，涉及知识点：正方形的面积，正方形的对角线，圆的周长，解题关键求出正方形ABCD的边长．
◇典例4：（2022·山东东营·统考中考真题）如图，在中，弦半径，则的度数为 ．
【答案】100°/100度
【分析】先根据平行线的性质求出∠OCA的度数，再根据等边对等角求出∠OAC的度数，即可利用三角形内角和定理求出∠AOC的度数．
【详解】解：∵，∴∠OCA=∠BOC=40°，
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=40°，∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=100°，故答案为：100°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，圆的基本性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键．
◆变式训练
1.（2023·湖南长沙·校考二模）如图，点A，B，C均在上，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，根据等边对等角得出，则，最后根据等角对等角得出，即可求解．
【详解】解：如图，连接，∵，∴，
∵，∴，∵，∴．故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握半径相等，等腰三角形“等边对等角”．
2．（2023年江西省中考数学真题）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解．
【详解】解：依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆，
∴共有6个，
故选：D．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键．
◇典例5：（2021·四川攀枝花·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】根据对称性得到动点M的轨迹是在以A圆心，3为半径的圆上，根据点圆模型，在矩形中利用勾股定理求出线段长即可．
【详解】解：连接AM，如图所示：∵点B和M关于AP对称，
∴AB＝AM＝3，∴M在以A圆心，3为半径的圆上，∴当A，M，C三点共线时，CM最短，
∵在矩形ABCD中，AC＝，AM＝AB＝3，∴CM＝5﹣3＝2，故选：A．
【点睛】本题考查动点最值问题，解题过程涉及到对称性质、圆的性质、矩形性质、勾股定理等知识点，解决问题的关键是准确根据题意得出动点轨迹．
◆变式训练
1．（2023上·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系；作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，点在半径为1的上，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，作，使得，，则，，，
，，，，
，，即（定长），
点是定点，是定长，点在半径为1的上，
，的最大值为，故选：C．
2．（2023·广东汕头·统考一模）如图，在等腰中，，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是 ．
【答案】
【分析】取AB中点O，连接OP，OC，取OC中点D，连接MD，由勾股定理可得的长度，由三角形中位线定理可知，可以推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆．
【详解】取AB中点O，连接OP，OC，取OC中点D，连接MD，
∵为等腰直角三角形，∴，
，，
由题意可知，点M的运动路径是以点D为圆心，以为半径的半圆，
点M的运动路径长，故答案为：．
【点睛】本题考查了轨迹、点按一定规律运动所形成的圆形为点运动的轨迹、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、圆的周长的计算等知识点，解答本题的关键是作出辅助线，正确寻找点的运动轨迹．
■考点二 圆的相关性质及推理
◇典例5：（2023·四川德阳·模拟预测）下列语句中，正确的是（ ）
①相等的圆周角所对的弧相等；②同弧或等弧所对的圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接平行四边形一定是矩形．
A．①② B．②③ C．②④ D．④
【答案】C
【分析】根据圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质定理判断．
【详解】①在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，本说法错误；
②同弧或等弧所对的圆周角相等，本说法正确；
③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，本说法错误；
④圆内接平行四边形一定是矩形，本说法正确；故选：C．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，掌握圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质定理是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023上·江苏徐州·九年级校考阶段练习）下列说法正确的个数有（ ）
①半圆是弧；②面积相等的两个圆是等圆；③所对的弦长相等的两条弧是等弧；④等弧所对的圆心角相等；⑤如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了与圆有关的概念，圆心角、弧、弦的关系，根据半圆的定义判断①；根据圆的面积公式和等圆的定义判断②；根据圆心角、弧、弦的关系判断③④⑤．
【详解】解：①半圆是弧，原说法正确，符合题意；
②面积相等的两个圆是等圆，原说法正确，符合题意；
③所对的弦长相等的两条弧不一定是等弧，例如同一条弦所对的优弧和劣弧不是等弧，原说法错误，不符合题意；④等弧所对的圆心角相等，原说法正确，符合题意；
⑤在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等，原说法错误，不符合题意；
∴说法正确的有3个，故选C．
2．（2023·广东深圳·校考模拟预测）下列说法中，正确的个数为（ ）
①在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等；②平分弦的直径垂直于这条弦；
③圆的对称轴是直径；④弧分为优弧和劣弧；⑤在同圆或等圆中，弦相等则所对的圆周角相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
【答案】B
【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系和垂径定理一一判断即可．
【详解】解：①在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等，故正确；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故错误；
③圆的对称轴是直径所在的直线，故错误；④弧分为优弧和劣弧，故正确；
⑤在同圆或等圆中，弦相等则所对的圆周角相等或互补，故错误．故选：B．
【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间关系和垂径定理，解题关键是掌握圆心角，弧，弦之间的关系．
◇典例6：（2023年四川省宜宾中考数学真题）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当，时，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接,根据等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的三角函数，后代入公式计算即可．
【详解】连接，根据题意，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，，
得，∴点M，N，O三点共线，∵，，∴是等边三角形，
∴，
∴．故选B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的函数值，熟练掌握相关知识是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023年湖南省永州市中考数学真题）如图，是一个盛有水的容器的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度为 ．
【答案】
【分析】过点作于点，交于点，则，依题意，得出，进而在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点，则，
∵水的最深处到水面的距离为，的半径为．∴，
在中，∴故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
2．（2023.广东.九年级期末）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”．用现在的几何语言表达即：如图，为的直径，弦，垂足为点，寸，寸，则直径的长度是 寸．
【答案】26
【分析】连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由垂直得到点为的中点，由可求出的长，再设出圆的半径为，表示出，根据勾股定理建立关于的方程，求解方程可得的值，即为圆的直径．
【详解】解：连接，，且寸，寸，
设圆的半径的长为，则，，，
在直角三角形中，根据勾股定理得：，化简得：，
即，（寸）．故答案为：26．
【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．
◇典例7：（2023·辽宁抚顺·校联考一模）如图，四边形内接，平分，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、与的大小关系不确定，与不一定相等，故本选项错误；
B、平分，，，，故本选项正确；
C、与的大小关系不确定，与不一定相等，故本选项错误；
D、与的大小关系不确定，故本选项错误．故选：B．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
◆变式训练
1．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先由可得，再由可得出．
【详解】解：∵在中，∴，
∵，∴， 故选：B．
【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
2.（2023·四川成都·模拟预测）如图，在中，弦相交于点E，连接，已知．
(1)求证：；(2)如果的半径为5，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)7
【分析】（1）根据，可得，再证明，即可；
（2）过O作与F，于G，连接，则，根据垂径定理可得，证明，可得，从而得到四边形是正方形，可得，设，则，根据勾股定理求出x的值，即可．
【详解】（1）证明：∵，∴，
在与中，，∴，∴；
（2）解：过O作与F，于G，连接，则，
∴四边形是矩形，根据垂径定理得：，
∵，∴，在与中，，
∴，∴，∵，∴四边形是正方形，∴，
设，则，∴，
即，解得：或（舍去），∴，∴．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，弧、弦，圆心角的关系，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握垂径定理，弧、弦，圆心角的关系，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
◇典例8：（2023年浙江省湖州市中考数学真题）如图，点A，B，C在上，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆周角定理解答即可.
【详解】解：∵，∴；故选：C.
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半是解题关键.
◆变式训练
1．（2023年黑龙江省牡丹江市中考数学真题）如图，A，B，C为上的三个点，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，可得，结合，可得，再利用圆周角定理可得答案．
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，∴，故选C．
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，熟记圆周角定理的含义是解本题的关键．
2．（2023·黑龙江·校联考一模）如图，是的外接圆，，，则的直径为 ．
【答案】
【分析】连接，，依据是等腰直角三角形，即可得到，进而得出的直径为．
【详解】如图，连接
，，是等腰直角三角形，
又，∴，∴的直径为，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理和勾股定理，熟知同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半是解题的关键．
◇典例9：（2023年山东省枣庄市中考数学真题）如图，在中，弦相交于点P，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据圆周角定理，可以得到的度数，再根据三角形外角的性质，可以求出的度数．
【详解】解：，，
，，故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理、三角形外角的性质，解答本题的关键是求出的度数．
◆变式训练
1.（2023·河北沧州·统考二模）某圆形舞台，圆心为．，是舞台边缘上两个固定位置，由线段及优弧（点是该弧中点）围成的区域是表演区．如图1，在处安装一台监控器，其监控的度为．如图2，若再加一台该型号的监控器，可以监控到表演区的整个区域，则下列方案可行的是（ ）
甲：在处放置；乙：在处放置；丙：在处放置
A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙
【答案】A
【分析】结合圆的基本性质和定理逐项分析即可得出结论．
【详解】解：①若在处放置，如图1所示，连接；
∵点是优弧的中点，∴，，∴在处安装监控器可监控到所对的区域，即两台监控器可满足监控到表演区的整个区域，故甲方案可行；
②若在处放置，如图2所示，连接、、；
由①知，由圆周角定理，，∴在处安装监控器可监控到所对的区域，即两台监控器可满足监控到表演区的整个区域，故乙方案可行；
③若在处放置，如图3所示，连接、、、，
要使得其与处监控器能够监控到表演区的整个区域，则处监控器应该监控到所对弓形的内部，由圆的内接四边形性质可知，，
∵监控器监控的度为，∴无法满足监控到所对弓形的内部，即丙方案不可行；
综上分析，甲、乙方案可行，故选：A．
【点睛】本题考查圆的基本性质运用，掌握圆的基本性质和常见定理，并熟练运用于实际问题中是解题关键．
2．（2023·辽宁抚顺·统考一模）如图，是的内接三角形，为的直径，平分，交于点D，连接，点E在弦上，且，连接．
(1)求证：；(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）根据题意得到，根据等边对等角得到，进而得到，进而求解即可；
（2）连接，首先证明出，得到，，然后由勾股定理得到，然后证明出是等边三角形，进而得到．
【详解】（1）证明：∵平分∴ ∵∴
∵∴即
（2）解：连接，∵为的直径∴
∵∴∴，
∵在中，∴
∵∴∵∴是等边三角形∴．
【点睛】此题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
◇典例10：（2023年辽宁省营口市中考数学真题）如图所示，是的直径，弦交于点E，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图所示，连接，先由同弧所对的圆周角相等得到，再由直径所对的圆周角是直角得到，则．
【详解】解：如图所示，连接，∵，∴，
∵是的直径，∴，∴，故选D．
【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，正确求出的度数是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023年山西省中考数学真题）如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由同弧所对圆周角相等及直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，∴，
∵为圆的直径，∴，∴；故选：B．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，直角三角形两锐角互余，掌握它们是关键．
2.（2023·安徽·模拟预测）如图，在中，直径，弦，连接相交于点，则的度数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查圆周角定理及其推论，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理．连接常用的辅助线是解题关键．连接，由题意可得出，即证明为等边三角形，得出，根据圆周角定理及其推论可得出，，结合三角形内角和定理即可求出．
【详解】解：如图，连接，
∵，且为直径，∴，，
∴为等边三角形，∴，∴，
∴．故答案为：．
◇典例11：（2023年西藏自治区中考数学真题）如图，四边形内接于，E为BC延长线上一点．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据邻补角互补求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补求出的度数，最后根据圆周角定理即可求出的度数．
【详解】解：∵，∴，
∵四边形内接于，∴，
∴，∴，故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握这些定理和性质是解题的关键．
◆变式训练
1.（2023年内蒙古赤峰市中考数学真题）如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据圆内接四边形对角互补得出，根据圆周角定理得出，根据已知条件得出，进而根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵圆内接四边形中，，∴∴
∵∴，
∵∴,故选：A．
【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
2．（2023年宁夏回族自治区中考数学真题）如图，四边形内接于，延长至点，已知，那么 ．
【答案】
【分析】根据圆周角定理得到，再根据圆内接四边形性质和平角的定义即可得解．
【详解】解：∵，∴，
∵四边形内接于，∴，
∵，∴，故答案为：．
【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．
◇典例12：（2022·山东泰安·统考中考真题）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】证明，得出点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，从而计算出答案．
【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆
∵四边形为矩形∴
∵∴∴∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上
连接OB交圆O与点N∵点B为圆O外一点∴当直线BM过圆心O时，BM最短
∵，∴∴∵故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．
◆变式训练
1．（2023上·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，作于点F．当点E从点B出发，顺时针旋转到点D时，点F所经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，，，先由圆周角定理得到点F的运动轨迹是以为直径的圆上，且点O在圆上，进而得到当点E从点B出发，顺时针旋转到点D时，点F所经过的路径长为的长；根据勾股定理和锐角三角函数求得，，则所对的圆心角的度数为，利用弧长公式求得的长即可求解．
【详解】解：连接，，，∵，∴，
∴点F的运动轨迹是以为直径的圆上，且点O在圆上，当点E在点B处时，，点F与O重合；当点E在点D处时，∵以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，∴即，点F与A重合，
∴当点E从点B出发，顺时针旋转到点D时，点F所经过的路径长为的长；
∵，，，∴，
∵，∴，，
∴，则所对的圆心角的度数为，
∴的长为，即点F所经过的路径长为，故选：B．
【点睛】本题考查圆周角定理、解直角三角形、弧长公式、坐标与图形等知识，正确得到点F的运动轨迹以及点F所经过的路径长为的长是解答的关键．
2．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．
【答案】/
【分析】设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，证明，可知点F在以为直径的半圆上运动，当点F运动到与的交点时，线段有最小值，据此求解即可．
【详解】解：设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴点F在以为直径的半圆上运动，
∴当点F运动到与的交点时，线段有最小值，
∵，∴，，∴，
的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F的运动轨迹是解题的关键．
1．（2023年四川省巴中市中考数学真题）如图，是的外接圆，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，首先根据圆周角定理得到，然后利用半径相等得到，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可．
【详解】如图所示，连接，
∵，，∴，
∵，∴．故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，等边对等角和三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点．
2．（2023年山东省青岛市中考数学真题）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，根据圆内接四边形的性质得出，再根据三角形的内角和求出，进而得出，最后根据弧长公式即可求解．
【详解】解：连接，
∵四边形是的内接四边形，，∴，
∵，∴，
∴，∴，故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆的内接四边形，圆周角定理，三角形的内角和，弧长公式，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，三角形的内角和为，弧长．
3．（2023年山东省淄博市中考数学真题）如图，是的内接三角形，，，是边上一点，连接并延长交于点．若，，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接, 根据等腰三角形的性质得到, 根据等边三角形的性质得到，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.
【详解】连接,
∵,∴∴,
∵,∴是等边三角形,∴ ,
∵，,∴,，∴,
∵,，，
即的半径为 ，故选: .
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质度量是解题的关键.
4．（2023年广西壮族自治区中考数学真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R，，
是半径，且，，
在中，，，解得：，故选B
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解题关键．
5．（2023年湖北省黄冈市中考数学真题）如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据圆周角定理得出，再由三角形外角和定理可知，再根据直径所对的圆周角是直角，即，然后利用进而可求出．
【详解】解：∵，∴，∵，∴，
又∵为直径，即，∴，故选：D．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理，三角形外角和定理等知识，解题关键是熟知圆周角定理的相关知识．
6．（2023年浙江省温州市中考数学真题）如图，四边形内接于，，．若，，则的度数与的长分别为（ ）
A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，
【答案】C
【分析】过点O作于点E，由题意易得，然后可得，，，进而可得，最后问题可求解．
【详解】解：过点O作于点E，如图所示：
∵，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，，，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，∴；故选C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、圆周角定理及三角函数，熟练掌握平行线的性质、圆周角定理及三角函数是解题的关键．
7．（2023年江苏省常州市中考数学真题）如图，是的直径，是的内接三角形．若，，则的直径 ．
【答案】
【分析】连接，，根据在同圆中直径所对的圆周角是可得，根据圆周角定理可得，根据圆心角，弦，弧之间的关系可得，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，，如图：
∵是的直径，∴，∵，∴，∴，
又∵，∴，在中，，故答案为：．
【点睛】本题考查了在同圆中直径所对的圆周角是，圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
8.（2023年浙江省衢州市中考数学真题）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切，则此餐盘的半径等于
cm．
【答案】10
【分析】连接，过点作，交于点，交于点，则点为餐盘与边的切点，由矩形的性质得，，，则四边形是矩形，，得，，，设餐盘的半径为，则，，然后由勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】由题意得：，，
如图，连接，过点作，交于点，交于点，则，
餐盘与边相切，点为切点，四边形是矩形，
，，，四边形是矩形，，
，，，
设餐盘的半径为，则，，
在中，由勾股定理得：，
即，解得：，餐盘的半径为，故答案为：10．
【点睛】本题考查切线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题关键．
9．（2023年湖南省郴州市中考数学真题）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点处安装了一台监视器，它的监控角度是，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台．
【答案】4
【分析】圆周角定理求出对应的圆心角的度数，利用圆心角的度数即可得解．
【详解】解：∵，∴对应的圆心角的度数为，
∵，∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器台；故答案为：4
【点睛】本题考查圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键．
10．（2023年内蒙古呼和浩特市中考数学真题）如图，内接于且，弦平分，连接，．若，，则 ， ．
【答案】
【分析】首先利用已知条件得到为直径，然后可以证明为等腰直角三角形，由此求出，接着把绕逆时针旋转得到，证明为等腰直角三角形即可解决问题．
【详解】解：内接于且，
为的直径，，，
弦平分，，，
，，，，
如图把绕逆时针旋转得到，，，
，、、三点共线，为等腰直角三角形，
，．故答案为：，．
【点睛】此题分别考查了三角形的外接圆、圆周角定理及其推论、角平分线的性质及勾股定理，有一定的综合性．
11．（2023年湖南省湘西初中学业水平数学试题）如图，点D，E在以为直径的上，的平分线交于点B，连接，，，过点E作，垂足为H，交于点F．
(1)求证：；(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）先证明，再利用两角分别相等的两个三角形相似证明，利用相似三角形的性质即可求证；（2）先利用勾股定理求出，再利用和正弦值即可求出．
【详解】（1）连接，∵，∴，
∵是直径，∴，∴，∴，∴，
又∵，∴，∴，∴；
（2）如图，连接，∵的平分线交于点B，∴，∴，∴，
∵是直径，∴，∵，
∴，，∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正弦函数、圆周角定理的推论和勾股定理等知识，学生应理解与掌握正弦的定义、两角分别相等的两个三角形相似和相似三角形的对应边成比例、圆周角定理的推论，即同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
12．（2023年内蒙古包头市中考数学真题）如图，是的直径，是弦，是上一点，是延长线上一点，连接．(1)求证：；（请用两种证法解答）
(2)若，的半径为3，，求的长．
【答案】(1)证明见解析(2)8
【分析】（1）证法一：连接，得到，因为，所以；证法二：连接，可得，则，根据，可得，即可得到结果；（2）连接，根据角度间的关系可以证得为直角三角形，根据勾股定理可得边的长，进而求得结果．
【详解】（1）证法一：如图，连接，∵，∴，
∵是的直径，∴，∴
∵，∴，∴，
证法二：如图，连接，
∵四边形是的内接四边形，∴，∴，
∵是的直径，∴，∴，
∴，∴，
（2）解：如图，连接，
∵，，∴，
∵，∴，∴，∴．
∵的半径为3，∴，在中，，
∵，∴，∴，∴，
【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，找到角度之间的关系是解题的关键．
1．（2023上·江苏无锡·九年级校联考期中）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①长度相等的弧是等弧；②相等的圆心角所对的弦相等；③等边三角形的外心与内心重合；④任意三点可以确定一个圆；⑤三角形有且只有一个外接圆．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查的是等弧的概念，弧，弦，圆心角的关系，正多边形的性质，圆的确定，三角形的外接圆的含义，根据基本概念与基本性质逐一分析即可，熟记基本性质是解本题的关键．
【详解】解：能够完全重合的弧是等弧，故①假命题；
在同圆与等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故②是假命题，
等边三角形的外心与内心重合；故③是真命题，
不在同一直线上的三点可以确定一个圆，故④是假命题，
三角形有且只有一个外接圆，故⑤是真命题；故选C
2．（2023·安徽·模拟预测）如图，在中，半径，，点在弦上，，连接，过点作交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，三角函数，勾股定理，连接，，过点作于点，由得到，由勾股定理得到，由三角函数得到，再由勾股定理即可得到，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，，过点作于点，
，，，
在中，∵，，
又∵，∴，，故选：．
3．（2023·陕西渭南·统考二模）如图，是的直径，、是的两条弦，交于点G，点C是的中点，点B是的中点，若，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】先根据垂径定理的推论得到，，再利用勾股定理求出，进而得到，再证明，则．
【详解】解：如图所示，连接，
∵点B是的中点，是的直径，∴，，∴，
∵，∴，∵，∴，
在中，由勾股定理得，∴，
∵点C是的中点，∴，∴，∴，∴，故选D．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的推论，勾股定理，弧与弦之间的关系，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
4．（2023·湖北孝感·校考一模）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
【答案】C
【分析】如图，连接OB，OD，AC，先求解，再求解，从而可得，再利用周角的含义可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，
∵，∴，∵，∴，
∵，，∴，，
∴，∴，
∴．∴的度数20°．故选：C．
【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键．
5．（2023·安徽·模拟预测）如图，内接于，，，于点．若的长为，则的直径为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，连接,，先证是等边三角形，再解求出的长，从而得解，作辅助线构造等边三角形是解本题的关键．
【详解】连接,．，，
，是等边三角形，，
，，，
，的直径为4．故选：C．
6．（2023·广东茂名·统考二模）如图，⊙O的半径为4，直径AB与直径CD垂直，P是上一点，连接PC，PB分别交AB，CD于E，F，若，则BF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查圆周角定理、解直角三角形等知识，连接BD，过点F作，证明，设，则，构建方程求出m，即可求解.
【详解】解：连接BD，过点F作于H．∵，∴，
∵，，∴，∴，
∵，∴，
设，则，∵，，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴．故选：A．
7．（2024上·河南新乡·九年级统考期末）如图，用一块直径为4米的四来布平铺在对角线长为4米的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则这个最大长度x为 米（用根号表示）．
【答案】
【分析】本题考查正方形和圆的性质、三角函数等，解题的关键建立几何图形与实际问题的对应关系．
根据正方形与圆的性质、正弦函数关系等求解即可．
【详解】四来布展平后的俯视图如下．
根据题意可知，正方形的对角线恰好等于的直径，，最大长度．
∵为正方形的对角线，又是的直径，∴．
由知是直角三角形，∴，
又∵，∴（米）故答案为：．
8．（2023·广东清远·统考二模）如图，的直径和弦垂直相交于点，，于点，交于点，且，则的半径长为 ．
【答案】
【分析】连接，，，根据垂径定理和圆周角定理得到，，，求出，根据等腰三角形的性质得到，，设，根据勾股定理得，求出即可．
【详解】解：连接，，，
的直径和弦垂直相交于点，，
，，，，，
，，，，
，，，，，设，
，，，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：或（不符合题意，舍去），，即的半径长为，答案：．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
9．（2022·黑龙江牡丹江·统考二模）在半径为4cm的中，弦CD平行于弦AB，，，则AB与CD之间的距离是 cm．
【答案】或
【分析】根据题意，分析两种AB的位置情况进行求解即可；
【详解】解：①如图，AB//CD，过点O作
在中∵，∴∴
∵∴∴∵∴
∴∴
∵AB//CD∴AB与CD之间的距离即GH∴AB与CD之间的距离为
②如图，作，连接AD则有四边形PEFD是矩形，∴EF=PD
∵∴∵∴
∵∴∴
∵∴∴故答案为：或
【点睛】本题圆的性质、三角形的全等，勾股定理，掌握相关知识并正确做出辅助线是解题的关键．
10．（2022·安徽·模拟预测）如图，中两条弦，互相垂直，垂足为，为的中点，连接并延长交于点．
(1)求证：；(2)连接，求的值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）本题根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，得到，推出，利用同弧所对的圆周角相等推出，对顶角相等得到，最后进行等量代换，即可解题．（2）本题过点作于点，连接，，，，．利用圆周角定理和等腰三角形性质推出，，利用角的等量代换得到，证明，最后结合全等三角形性质和垂径定理，即可解题．
【详解】（1）解：，为的中点，，，
，，，．
（2）解：过点作于点，连接，，，，．
，，．同理得．
，．，．
又，，，，即．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边一半、等腰三角形性质、同弧所对的圆周角相等、对顶角性质、全等三角形的性质和判定、垂径定理，解题的关键在于作辅助线构造等腰三角形和全等三角形．
1．（2023·广东·九年级课时练习）如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（ ）
A．π B．π C．π D．2π
【答案】A
【详解】解：设AB的中点为Q，连接NQ，如图所示：
∵N为BM的中点，Q为AB的中点，∴NQ为△BAM的中位线，
∵AM⊥BP，∴QN⊥BN，∴∠QNB＝90°，
∴点N的路径是以QB的中点O为圆心，AB长为半径的圆交CB于D的，
∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，∴ABCA＝4，∠QBD＝45°，∴∠DOQ＝90°，
∴为⊙O的周长，∴线段BM的中点N运动的路径长为：π，故选：A．
在中，点、为、的中点，，，
，即，点在以为直径的半圆上，
，点的运动路径长为，故答案为：．
2．（2023年浙江省宁波市中考数学真题）如图1，锐角内接于，D为的中点，连接并延长交于点E，连接，过C作的垂线交于点F，点G在上，连接，若平分且．
(1)求的度数．(2)①求证：．②若，求的值，
(3)如图2，当点O恰好在上且时，求的长．
【答案】(1)(2)①证明见解析；②；(3)
【分析】（1）先证明，结合，，可得，从而可得答案；
（2）①证明，再证明，可得；②设， ，证明，可得，即，则，可得，从而可得答案；
（3）解法一：如图，设的半径为，连接交于，过作于，证明，，可得，证明，可得，，证明，，即，再解方程可得答案．
解法二：如图，延长，分别交、于M、N，连接．先证，再证，则可得．根据等腰三角形三线合一，可得，由此可得．由，可得．再证．则可得，即，解出r的值，即可求出的长．
【详解】（1）证明：∵平分，∴，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴，∴；
（2）①∵为中点，，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴，∴；
②设， ，∴，，
∵，，∴，
∴，即，∴，即，
∴，∴，∴（负根舍去）；
（3）解法一：如图，设的半径为，连接交于，过作于，
∵，∴，∴，
∵，，∴，∴，
∵，∴，而，，
∴，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，即，解得：，（负根舍去），
由（2）①知，∴．
解法二： 如图，延长，分别交、于M、N，连接，，．
又，，．
，，．
又，，．
又，，．
，．，
，，，
即，得，解得：，（负根舍去），∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆的基本性质，圆周角定理的应用，垂径定理的应用，求解锐角的正切，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键．
3．（2023年浙江省嘉兴市中考数学真题）小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1，的直径垂直弦AB于点E，且，．
(1)复习回顾：求的长．(2)探究拓展：如图2，连接，点G是上一动点，连接，延长交的延长线于点F．①当点G是的中点时，求证：；
②设，，请写出y关于x的函数关系式，并说明理由；
③如图3，连接，当为等腰三角形时，请计算的长．
【答案】(1)；(2)①见解析；②；③的长为或．
【分析】（1）先求得的直径为10，再利用垂径定理求得，在中，利用勾股定理即可求解；（2）①连接，由点G是的中点，推出，根据等角的余角相等即可证明结论成立；②利用勾股定理求得，利用垂径定理得到，推出，证明，利用相似三角形的性质即可求解；③分两种情况讨论，当和时，证明，利用相似三角形的性质求解即可.
【详解】（1）解：连接，
∵的直径垂直弦AB于点E，且，，
∴，，∴，，
在中，，∴；
（2）解：①连接，
∵点G是的中点，∴，∴，
∵的直径垂直弦AB于点E，∴，
∴，∴；
②∵，，，∴，
∵的直径垂直弦AB于点E，∴，∴，
∵，∴，∴，即，∴；
③当时， 在中，，∴，
∵，∴，
∴，即，∴；
当时，在中，，
在中，，∴，
同理，∴，即，∴；
综上，的长为或．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
4．（2023年江苏省泰州市中考数学真题）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角．
知识回顾(1)如图①，中，B、C位于直线异侧，．
①求的度数；②若的半径为5，，求的长；
逆向思考(2)如图②，P为圆内一点，且，，．求证：P为该圆的圆心；
拓展应用(3)如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．点D在上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．
【答案】(1)①；②；(2)见解析；(3)见解析
【分析】（1）①根据，结合圆周角定理求的度数；②构造直角三角形；
（2）只要说明点到圆上、和另一点的距离相等即可；（3）根据，构造一条线段等于，利用三角形全等来说明此线段和相等．
【详解】（1）解：①，，，．
②连接，过作，垂足为，
，，是等腰直角三角形，且，
，，是等腰直角三角形，，
在直角三角形中，，．
（2）证明：延长交圆于点，则，
，，
，，，
，，为该圆的圆心．
（3）证明：过作的垂线交的延长线于点，连接，延长交圆于点，连接，，
，，是等腰直角三角形，，
，，，
是直径，，，
，，，
，，
必有一个点的位置始终不变，点即为所求．
【点睛】本题考查了圆周角定理，还考查了勾股定理和三角形全等的知识，对于（3）构造一条线段等于是关键．
5．（2023年吉林省长春市中考数学真题）【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为__________度．
【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，．
，．
是等边三角形．，
请你补全余下的证明过程．
【应用】如图③，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．若，则的值为__________．
【答案】感知：；探究：见解析；应用：．
【分析】感知：由圆周角定理即可求解；探究：延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证；
应用：延长至点E，使，连结，通过证明得，可推得是等腰直角三角形，结合与可得，代入即可求解．
【详解】感知：由圆周角定理可得，故答案为：；
探究：证明：延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，．
，．
是等边三角形．，，
∴，，，
是等边三角形，，，即；
应用：延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，．
，．
，，∴，，
，是等腰直角三角形，
，，即，
，，
，，，
，故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，邻补角，全等三角形的判定和性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是做辅助线构造，进行转换求解．
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