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第五章 圆
第二节 与圆有关的位置关系
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 点、直线与圆的位置关系 ☆☆ 与圆相关的位置关系也是各地中考数学中的必考考点之一，主要内容包括点、直线与圆的位置关系、切线的性质和判定、三角形的内切圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大。关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分。
考点2 切线的性质与判定 ☆☆☆
考点3 三角形的外接圆与内切圆 ☆☆☆
■考点一 点、直线与圆的位置关系类
1）点和圆的位置关系：已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：
图1 图2
(1)dr 点在⊙O外，如图3．
解题技巧：掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系。
2）直线和圆的位置关系：
设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下：
图1 图2 图3
(1)d>r 相离，如图1；(2)d=r 相切，如图2；(3)d3）圆和圆之间的位置关系（了解）
设⊙O1、⊙O2的半径分别为r、R（其中R>r），两圆圆心距为d，则两圆位置关系如下：
图1 图2 图3 图4 图5
（1）d>R+r 两圆外离；（2）d=R+r 两圆外切；（3）R-r（4）d=R-r 两圆内切；（5）0≤d两圆相切、相交的重要性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦.
■考点二 切线的性质与判定
1）切线的性质：（1）切线与圆只有一个公共点；（2）切线到圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于经过切点的半径。
解题技巧：利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题。
2）切线的判定
（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）；
（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线（数量关系法）；
（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（判定定理法）。
切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径。
3）切线长定理
定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
解题技巧：切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角三角形来求解。
■考点三 三角形的外接圆与内切圆
1）三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
2）三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
3）三角形的外心：三角形三边中垂线的交点，叫该三角形的外心。
4）三角形的内心：三角形三条角平分线的交点，叫该三角形的内心。
5）常见结论
（1）三角形内切圆半径： ，其中S为三角形的面积；C为三角形的周长；
（2）直角三角形内切圆半径： ，其中a，b为直角三角形的直角边长，c为斜边长。
■易错提示
1. 由于圆是轴对称和中心对称图形，当题目中未给出具体图形时，要结合题意画出符合题意的图形，并进行分类讨论，否则比较容易漏解。
2. 一个三角形有且只有一个内切圆和一个外接圆，而一个圆有无数个外切三角形和内接三角形。
■考点一 点、直线与圆的位置关系类
◇典例1：（2023·上海闵行·校联考模拟预测）矩形中，，，点在边上，且，如果圆是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A．点，均在圆外 B．点在圆外，点在圆内
C．点在圆内，点在圆外 D．点，均在圆内
【答案】C
【分析】由，得到，，再根据勾股定理，在中计算出，在中计算出，则，然后根据点与圆的位置关系进行判断．
【详解】解：如图，
四边形为矩形，，，，，，
在中，，，，
在中，，，，
，点在圆内，点在圆外．故选：．
【点睛】本题考查了点与圆的位置：设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内．
◆变式训练
1．（2023·重庆·统考二模）如图，已知及其所在平面内的个点．如果半径为，那么到圆心距离为的点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】C
【分析】根据点与圆的位置关系即可求解．
【详解】解：根据题意得，半径为，如图所示，连接，
∴，∴到圆心距离为的点可能是点，故选：．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，理解并掌握点到圆心的线段与圆的半径的大小关系是解题关键．
2．（2023·上海·模拟预测）如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接交于，根据勾股定理求出的长，从而求出的长，再根据相交两圆的位置关系得出的范围即可．
【详解】解：连接交于，如图，
在中，由勾股定理得：，则，
，，与相交，且点在外，必须，
即只有选项B符合题意，故选：B．
【点睛】本题考查了相交两圆的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识点，能熟记相交两圆的性质和点与圆的位置关系的内容是解题的关键．
3．（2023·江苏苏州·校考一模）已知点P是半径为4的上一点，平面上一点Q到点P的距离为2，则线段的长度a的范围为 ．
【答案】
【分析】如图，当点在圆外且，，三点共线时，线段的长度的最大，当点在圆内且，，三点共线时，线段的长度的最小，据此得到结论．
【详解】解：如图，
当点在圆外且，，三点共线时，线段的长度的最大，最大值为；
当点在圆内且，，三点共线时，线段的长度的最小，最小值为，
所以，线段的长度的范围为．故答案为：．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，正确的作出图形是解题的关键．
◇典例2：（2023·广东广州·统考二模）的半径r和圆心O到直线l的距离d分别为关于x的一元二次方程的两根和与两根积，则直线l与的位置关系是 ．
【答案】相交
【分析】由以及题意知，，，由，可判断直线l与的位置关系．
【详解】解：，由题意知，，
∵，∴直线l与相交，故答案为：相交．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，直线与圆的位置关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
◆变式训练
1．（2023·浙江湖州·统考二模）已知平面内有与直线，的半径为，点O到直线的距离为，则直线与的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不能判断
【答案】A
【分析】根据点O到直线的距离与圆的半径大小作比较即可．
【详解】解：∵点O到直线的距离为，且的半径为，
∴，即直线与的位置关系是相切，故选：A．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．
2．（2023·河北沧州·校考三模）题目：“如图，在中，，，，以点为圆心的的半径为，若对于的一个值，与只有一个交点，求的取值范围．”对于其答案，甲答：．乙答：．丙答：．则正确的是（ ）
A．只有乙答的对 B．甲、乙的答案合在一起才完整
C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整
【答案】D
【分析】由勾股定理求出，再根据等面积法求出斜边上的高为，再根据半径的情况，分别作出图形，进行判断即可得到答案．
【详解】解：，，，
斜边上的高为：，当时，画出图如图所示：
， ， ，
此时在圆内部，与只有一个交点，
当时，画出图如图所示，此时与只有一个交点，
当时，画出图如图所示：此时与只有一个交点，
三人的答案合在一起才完整，故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，直线与圆的位置关系，等面积法，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．
3．（2023·吉林松原·校联考二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案．
【详解】解：的圆心P的坐标为，，
的半径为2，，，，
当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1，
当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5，
平移的距离d的取值范围是，故答案为：．
【点睛】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．
◇典例3：（2023·上海浦东新·统考二模）如果两圆的半径分别为5或2，圆心距为7，那么这两个圆的位置关系是 ．
【答案】外切
【分析】根据圆心距d，以及两圆半径R，r的数量关系间的联系得出两圆位置关系．
【详解】解：∵，∴这两个圆外切．故答案为：外切．
【点睛】被踢主要考查了圆与圆之间的位置关系，解题的关键是掌握：当时，两圆外离；当时，两圆外切；当时，两圆内切；当时，两圆内离；当时，两圆相交．
◆变式训练
1．（2023·山东菏泽·统考一模）已知两圆相交，它们的圆心距为，一个圆的半径是，那么另一个圆的半径长可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由两圆相交，它们的圆心距为，其中一个圆的半径为，根据两圆内切和外切时求得两圆的半径，即可求解．
【详解】∵两圆相交，它们的圆心距为，其中一个圆的半径为，
当两圆外切时，另一个圆的半径为，
当两圆内切时，另一个圆的半径为
∴当两圆相交时，另一个圆的半径可以是,故选：C．
【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是注意掌握两圆位置关系与圆心距，两圆半径，的数量关系间的联系，注意分类讨论思想的应用．
2．（2023·上海宝山·一模）已知内切两圆的圆心距为5，其中一个圆的半径长等于2，那么另一个圆的半径长等于 ．
【答案】7
【分析】设另一个圆的半径长为，根据两圆内切得出或，再求出即可．
【详解】解：设另一个圆的半径长为，内切两圆的圆心距为5，其中一个圆的半径长等于2，
或，解得：或（半径不能为负，舍去），
所以另一个圆的半径长是7．故答案为：7．
【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，能熟练掌握圆与圆的位置关系的内容是解此题的关键，已知两圆的半径分别为，，两圆的圆心距为，那么当时，两圆的位置关系是内切．
3．（2023年四川省德阳市中考数学真题）已知的半径为，的半径为，圆心距，如果在上存在一点，使得，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】当位于内部，且，，位于同一条直线上时，可以取得最大值；当位于外部，且，，位于同一条直线上时，可以取得最小值．
【详解】当位于内部，且，，位于同一条直线上时，可以取得最大值．
如图所示，．
当位于外部，且，，位于同一条直线上时，可以取得最小值．
如图所示，．故答案为：．
【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，能采用数形结合的方法和分类讨论的思想分析问题是解题关键．
■考点二 切线的性质与判定
◇典例4：（2023年海南省中考数学真题）如图，为的直径，是的切线，点是切点，连接交于点，连接，若，则 度．
【答案】100
【分析】由切线的性质可得，则，通过计算可得，再由圆周角定理即可得到答案．
【详解】解：为的直径，是的切线，，，
，，
，故答案为：100．
【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理，熟练掌握切线的性质及圆周角定理是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023年青海省中考数学真题）如图，是的切线，是切点，连接，．若，则的度数是 ．
【答案】/度
【分析】根据切线的性质可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答．
【详解】解∶∵是的切线，是切点，∴，
∴故答案为∶．
【点睛】本题考查了切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
2．（2023·山西大同·校联考一模）如图，是的直径，、分别切于点B、C，若，则的度数是 ；
【答案】/50度
【分析】连接，由切线长定理证明，再求得，最后由三角形的内角和定理求得的度数．
【详解】解：连接，
∵、分别切于点B、C，， ∴， ∴，
∵是的直径，∴∵， ∴，
∴ ，∴；故答案为50°．
【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理等知识，综合性强，难度一般．
◇典例5：（2023年四川省泸州市中考数学真题）如图，在中，，点在斜边上，以为直径的半圆与相切于点，与相交于点，连接．若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，，首先根据勾股定理求出，然后证明出，利用相似三角形的性质得到，，证明出，利用相似三角形的性质求出．
【详解】如图所示，连接，，
∵，，，∴，
∵以为直径的半圆与相切于点，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，
∴，即，∴，，
∴，∴，
∵，∴，
∵，，∴，
又∵，∴，∴，即，∴解得．故选：B．
【点睛】此题考查了圆与三角形综合题，切线的性质定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
◆变式训练
1．（2023年湖南省湘西初中学业水平数学试题）如图，为的直径，点在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接、、，交于，如图，利用切线的性质和切线长定理得到，，平分，根据等腰三角形的性质得到，则，根据圆周角定理得到，所以，然后求出即可．
【详解】解：连接、、，交于，如图，
，与相切，切点分别为，，
，，平分，，，，
，，∵∴
∵∴在中，，
，．故选：D．
【点睛】本题考查切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查圆周角定理和解直角三角形．
2．（2023年北京市中考数学真题）如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】根据，得出，，根据等腰直角三角形的性质得出，即，根据，，得出为等腰直角三角形，即可得出．
【详解】解：∵，∴，．
∵，∴为等腰直角三角形，
∴，∴．∵是的切线，∴，
∵，∴为等腰直角三角形，∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，切线的性质，解题的关键是熟练掌握垂径定理，得出．
◇典例6：（2023年湖北省潜江、天门、仙桃、江汉油田中考数学真题）如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则 ．
【答案】/度
【分析】如图所示，连接，设交于H，由内切圆的定义结合三角形内角和定理求出，再由切线长定理得到，进而推出是的垂直平分线，即，则．
【详解】解：如图所示，连接，设交于H，
∵是的内切圆，∴分别是的角平分线，
∴，∵，∴，
∴，∴，
∵与分别相切于点，，∴，
又∵，∴是的垂直平分线，∴，即，
∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形内切圆，切线长定理，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定，三角形外角的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·浙江·模拟预测）如图，在中，为直角，，在三角形的内部有一个半圆，半圆与均相切且直径在上．则半圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设半圆与相切于点，连接、，根据切线的性质， ，在中，根据勾股定理列方程即可得解．
【详解】解：如图，
设半圆与相切于点，连接、，根据切线的性质得， ，
由切线长定理得，，在中，为直角，，，
，，，
在中，设半径为，则，，
由勾股定理得，，解得，．故选：．
【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理以及圆的相关知识，掌握切线的性质构造直角三角形列方程解决问题是关键．
2．（2023·江苏盐城·校考模拟预测）如图，，，是的切线，，，为切点，若，，则的长为 ．
【答案】3
【分析】此题考查切线长定理，由与相切于点、与相切于点，可得，同理得，再由求得结果．熟练运用切线长定理解决问题是解题的关键．
【详解】解：与相切于点、与相切于点，，
，，
与相切于点、与相切于点，，的长为3，故答案为：3．
◇典例7：（2023年辽宁省鞍山市中考数学真题）如图，四边形内接于，为的直径，过点D作，交的延长线于点F，交的延长线于点E，连接．若．(1)求证：为的切线．(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析(2)的半径为
【分析】（1）连接，根据同角的补角相等，得到，等角的余角相等，得到，等边对等角，得到，推出，得到，即可得证；（2）连接，推出，利用锐角三角函数求出的长，设的半径为，证明，列出比例式进行求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵，，∴，
∵为的直径，，∴，，
∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，即：，
又为的半径，∴为的切线；
（2）连接，则：，
∵为的直径，∴，∴，∴，
在中，，，∴，
设的半径为，则：，
∵，∴，∴，即：，∴；∴的半径为．
【点睛】本题考查圆与三角形的综合应用，重点考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质．题目的综合性较强，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
◆变式训练
1.（2023年四川省攀枝花市中考数学真题）如图，为的直径，如果圆上的点恰使，求证：直线与相切．
【答案】见详解
【分析】由等腰三角形的性质和圆周角定理得出，则，再由切线的判定即可得出结论．
【详解】证明：如图，连接，，，
为的直径，，，
，，即，，
是的半径，直线与相切．
【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解题的关键．
2.（2023年陕西九年级中考模拟）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，且．(1)求证：是的切线；(2)若直径，求的长．
【答案】(1)详见解析(2)
【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角，余角的性质即可求得结论；(2)根据已知条件可知，再根据正切的定义和相似三角形的性质得到线段的关系即可求得线段的长度．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的直径，∴，∴，又∵，∴，
又∵，∴，即，∴是的切线；
（2）解：∵，∴，
∵在中，∴
∴，∴，∵，
∴，∴，设，则，
又∵，即，解得（取正值），∴，
【点睛】本题考查了圆周角的性质，切线的判定定理，正切的定义，相似三角形的性质和判定，找出正切的定义与相似三角形相似比的关联是解题的关键．
3．（2023年内蒙古呼和浩特市中考数学真题）已知在中，，，，以边为直径作，与边交于点，点为边的中点，连接．
(1)求证：是的切线；(2)点为直线上任意一动点，连接交于点，连接．
①当时，求的长；②求的最大值．
【答案】(1)见解析(2)①或；②
【分析】（1）连接，，由是的直径，可得，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据等腰三角形性质可得，进而可得，即，再利用切线的判定定理即可证得结论；
（2）①分两种情况：当点在线段上时，过点作于点，利用勾股定理和解直角三角形即可求得答案；当点在的延长线上时，过点作于点，运用勾股定理和解直角三角形即可；②设，则，利用面积法可得，得出，即，再运用乘法公式和不等式性质可得，即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，，
是的直径，，，
点为边的中点，，，
，，，即，
，即，，
是的半径，是的切线；
（2）①当点在线段上时，如图，过点作于点，
在中，，设，
，，，，
，，解得：，，
，即，；
当点在的延长线上时，如图，过点作于点，
，，设，则，
在中，，即，
解得：，（舍去），，，
，，
设，则，在中，，
即，解得：，（舍去），；
综上所述，的长为或；
②设，则，如图，是的直径，，
，，，
，，，，的最大值为．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定定理，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，三角形面积，乘法公式和不等式性质等．熟练掌握圆的相关性质和解直角三角形等是解题关键．
■考点三 三角形的外接圆与内切圆
◇典例8：（2023年内蒙古包头市中考数学真题）如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，连接．若的周长为21，则的长为（ ）
A．8 B．4 C．3.5 D．3
【答案】B
【分析】根据三角形外接圆的性质得出点D、E、F分别是的中点，再由中位线的性质及三角形的周长求解即可．
【详解】解：∵是锐角三角形的外接圆，，
∴点D、E、F分别是的中点，∴，
∵的周长为21，∴即，
∴，故选：B．
【点睛】本题考查三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是解题关键．
◆变式训练
1．（2023·河北保定·统考一模）如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用勾股定理，可求得点P到A，B，C，D，E各点的距离，只有到B、C、E的距离相等，而三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，即可解答．
【详解】解：如图，由勾股定理得：，
∴P到B、C、E的距离相等，∴P是的外心，故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的外心及勾股定理，解题的关键在于熟悉三角形外心的概念．
2．（2023·湖北襄阳·统考二模）在中，，则这个三角形的外接圆半径为 ．
【答案】或
【分析】根据直角三角形外接圆的性质，其圆心是直角三角形斜边中点，从而利用勾股定理求出斜边长即可得到答案，注意题中并没有指明具体的直角，需要分类讨论求解．
【详解】解：在中，，则分三种情况：
①当，如图所示：这个三角形的外接圆半径为；
②当，如图所示：，
这个三角形的外接圆半径为；
③当，，
由于直角三角形中斜边大于直角边，则该情况不存在；
综上所述，这个三角形的外接圆半径为或，故答案为：或．
【点睛】本题考查三角形外接圆的性质，设计勾股定理，根据题意，分类讨论求解是解决问题的关键．
◇典例9：（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，是的内切圆，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由三角形内角和定理求出的度数，再由是的内接圆得到，，最后根据三角形内角和定理即可求出．
【详解】解：∵，，∴，
∵是的内切圆，∴，，
∴，，
∴
，故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，由三角形的内切圆与内心及三角形内角和定理求出的度数是解决问题的关键．
◆变式训练
1．（2023·湖南永州·统考二模）如图，在中，，点I是内心，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据三角形内角和定理得到，再由内心的定义得到，则，由此即可求出答案．
【详解】解：∵，∴，
∵点I是内心，∴分别是的角平分线，
∴，∴，
∴，故选D．
【点睛】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和定理，三角形内心的定义，灵活运用所学知识是解题的关键．
2．（2023·湖南常德·统考模拟预测）如图，是边长为的正三角形的内切圆，与边、均相切，且与外切，则的半径为 ．
【答案】
【分析】由切线的性质得到，，又，得到平分，因此得到，同理得到，故，推出，由锐角的正切即可求出的长．
【详解】解：设与切于，与相切于，连接，连接，，，
，，，平分，，
是等边三角形，，，
同理：，，，，
∵，．故答案为：．
【点睛】本题考查切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，三角形的内切圆与内心，等腰三角形的性质，关键是由以上知识点推出，得到是中点，应用锐角的正切即可求解．
◇典例10：（2023年山东省聊城市中考数学真题）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形内心的定义可得的度数，然后由圆周角定理求出，再根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出答案．
【详解】解：连接，∵点I是的内心，，
∴，∴，
∵，∴，故选：C．
【点睛】本题考查三角形内心的定义和圆周角定理，熟知三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·江苏无锡·校考二模）已知三边分别为，，，则该三角形的内心，外心和重心围成的小三角形的面积为 ．
【答案】
【分析】取中点，则点为外心，取中点，连接、交于点，则点为重心，设点为内心，过点作垂直于，交与，作于点，根据外心，重心，内心的性质分别求得，，，勾股定理求得，根据作图可得，进而根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解：如图，，，，，
取中点，则点为外心，取中点，连接、交于点，则点为重心，设点为内心，过点作垂直于于，交与，作于点，
点为中点，，，由题得，为中位线，
：：，：：，：：，，，
，，，
由内切圆半径得，，，，
∵，∴，∴四边形为矩形，
，．故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形外心，重心，内心的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
2．（2023·河北衡水·校考模拟预测）如图，已知在中，，，，点是的内心．（1）点到边的距离为 ；（2）是的外心，连接，则的长为 ．
【答案】 2
【分析】（1）连接，，，过点分别作，，于点，，，根据，，可得，即可解决问题；
（2）连接，证明，可得，再利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：（1）如图，连接，，，过点分别作，，于点，，，
在中，，，，，
是的内心，，，
，，点到边的距离为2；故答案为：2；
（2）如图，连接，由1.知，，，，
四边形是正方形，，，，
在和中，，（AAS），，
是的外心，，，
在中，根据勾股定理得：．故答案为：；．
【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心，三角形外接圆与外心，三角形的全等的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握内心和外心的区别．
◇典例11：（2023年四川省攀枝花市中考数学真题）已知的周长为，其内切圆的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得，，，由面积关系可求解．
【详解】解：如图，设内切圆与相切于点，点，点，连接，，，，，，
切于，，，，
同理：，，
，
，，故选A
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，掌握内切圆的性质是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·宁夏银川·校联考一模）如图，在中，，，，则的内切圆半径 ．
【答案】1
【分析】本题考查了切线长定理，圆的切线的性质，正方形的判定与性质，熟练掌握切线长定理是解答本题的关键，首先利用切线的性质证明四边形是正方形，得到，再利用切线长定理得到，，最后由列方程即可求解．
【详解】设的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，，，
，四边形是矩形，
，四边形是正方形，，，，
，，，，
在中，，
，，解得 ．故答案为：1．
2．（2023·四川泸州·统考模拟预测）如图，在中，，，，为的内切圆，则图中阴影部分的面积为(结果保留)( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内切圆的性质；勾股定理求得，进而根据等面积法求得，三角形的内切半径，根据，即可求解．
【详解】解：中，，，，
，，内切圆半径，
，设与切于点，与切于点，连接、，
则四边形为正方形，．故选：C．
1．（2023年广东广州中考数学真题）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（ ）
A．2r， B．0， C．2r， D．0，
【答案】D
【分析】如图，连接．利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可．
【详解】解：如图，连接．
∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，
∴，
∴，，
∴，∴．故选：D．
【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型．
2．（2023年江苏省苏州市中考数学真题）如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为的面积为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图，过作于，证明，由，即，可得，证明，可得，设，则，可得，，再利用正切的定义可得答案．
【详解】解：如图，过作于，∵，∴，
∵，即，∴，
∵，∴，∴，即，
设，则，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴；故选A
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
3．（2023年湖北省武汉市数学真题）如图，在四边形中，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作延长线于点，连接，根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理求解在和，最终得到，即可根据正弦函数的定义求解．
【详解】解：如图所示，作延长线于点，连接，
∵，，∴，
∴四边形为矩形，，，∴为的切线，
由题意，为的切线，∴，，
∵，∴设，，，
则，，
在中，，在中，，
∵，∴，解得：或（不合题意，舍去），
∴，∴，∴，故选：B．
【点睛】本题考查圆的切线的判定与性质，解直角三角形，以及正弦函数的定义等，综合性较强，熟练运用圆的相关性质以及切线的性质等是解题关键．
4．（2023年山东省潍坊市中考数学真题）（多选题）发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图．图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点C、D是直线l与的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时，点B到达D．若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．当与相切时， D．当时，
【答案】AC
【分析】如图，由题意可得：，，，，从而可判断A，B，如图，当与相切时，求解，可得，可判断C；当时，如图，可得，，，可判断D；从而可得答案．
【详解】解：如图，由题意可得：
，，，，
∴，故A符合题意；，故B不符合题意；
如图，当与相切时，∴，∴，
∴，故C符合题意；
当时，如图，∴，∴，
，∴，故D不符合题意；故选AC
【点睛】本题考查的是线段的和差运算，圆的切线的性质，勾股定理的应用，理解题意熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
5．（2023年湖南省湘潭市中考数学真题）（多选题）如图，是的直径，为弦，过点的切线与延长线相交于点，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据是的直径，可得，根据是的切线，可得，根据，可得是等腰直角三角形，进而可得，即可判断A，B，D选项，根据是直角三角形，是斜边，则，即可判断C选项．
【详解】解：∵是的直径，∴，故A选项正确，
∵是的切线，∴，∴，故B选项正确，
∵∴是等腰直角三角形，∵，∴，∴，故D选项正确
∵是直角三角形，是斜边，则，故C选项错误，故选：ABD．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直径所对的圆周角是直角，切线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
6．（2023湖南省衡阳市中考数学真题）如图，在中，．以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边所在的直线相切时，r的值为 ．
【答案】
【分析】根据勾股定理，得，根据切线的性质，得到圆的半径等于边上的高，根据直角三角形的面积不变性计算即可．
【详解】∵，∴，
根据切线的性质，得到圆的半径等于边上的高，∴,
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，切线的性质，熟练掌握勾股定理，切线的性质是解题的关键．
7．（2023年浙江省嘉兴（舟山）市中考数学真题）如图，点是外一点，，分别与相切于点，，点在上，已知，则的度数是 ．
【答案】/度
【分析】连接，根据切线的性质得出，根据四边形内角和得出，根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：如图，∵，分别与相切于点，，∴，
∵，∴，
∵，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，求得是解题的关键．
8．（2023年山东省青岛市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，过原点O，且与x轴交于另一点D，为的切线，为切点，是的直径，则的度数为 ．
【答案】
【分析】先根据点，的坐标得，进而得的半径为1，然后再在中利用锐角三角函数求出，进而得，最后再证为等边三角形即可求出的度数．
【详解】解：点，，，
过原点，为的半径，为的切线，，，
在中，，，，，，，
又，三角形为等边三角形，，即的度数为．故答案为：．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，切线的性质，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质等，熟练掌握切线的性质，锐角三角函数的定义和等边三角形的判定和性质是解答此题的关键．
9．（2023年湖南省岳阳市中考数学真题）如图，在中，为直径，为弦，点为的中点，以点为切点的切线与的延长线交于点．
（1）若，则的长是 （结果保留）；（2）若，则 ．
【答案】
【分析】（1）连接，根据点为的中点，根据已知条件得出，然后根据弧长公式即可求解；（2）连接，根据垂径定理的推论得出，是的切线，则,得出，根据平行线分线段成比例得出，设，则，勾股定理求得,J进而即可求解．
【详解】解：（1）如图，连接，∵点为的中点，∴，
又∵，∴，∴，
∵，∴，∴，故答案为：．
（2）解：如图，连接，∵点为的中点，∴，∴，
∵是的切线，∴,∴∴，∵，∴，
设，则，，
∴，，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的性质，弧长公式，平行线分线段成比例定理等知识，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
10．（2023年山东省济南市中考数学真题）如图，，为的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，，点是的中点，弦，相交于点．
(1)求的度数；(2)若，求直径的长．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据切线的性质，得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据等边对等角，得出，再根据等量代换，得出，再根据，得出，即，得出，进而计算即可得出答案；（2）连接，根据圆周角定理，得出，再根据中点的定义，得出，再根据同弧或同弦所对的圆周角相等，得出，再根据正切的定义，得出，再根据角所对的直角边等于斜边的一半，得出，进而即可得出答案．
【详解】（1）解：∵与相切于点，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
∴，即，∴，∴；
（2）解：如图，连接，
∵是直径，∴，∵点是的中点，∴，
∴，
在中，∵，，∴，
在中，∵，∴，∴的直径的长为．
【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形两锐角互余、等边对等角、圆周角定理及其推论、锐角三角函数、含角的直角三角形的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
11．（2023年广东省深圳市中考数学真题）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，，，以O为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：
①过点A作切线，且（点C在A的上方）；
②连接，交于点D；③连接，与交于点E．
(1)求证：为的切线；(2)求的长度．
【答案】(1)画图见解析，证明见解析(2)
【分析】（1）根据题意作图，首先根据勾股定理得到，然后证明出，得到，即可证明出为的切线；（2）首先根据全等三角形的性质得到，然后证明出，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）如图所示，
∵是的切线，∴，∵，，∴，
∵，，∴，∴，
又∵，，∴，
∴，∴，∵点D在上，∴为的切线；
（2）∵，∴，
∵，，∴，
∴，即，∴解得．
【点睛】此题考查了格点作图，圆切线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
12．（2023年湖南省永州市中考数学真题）如图，以为直径的是的外接圆，延长到点D．使得，点E在的延长线上，点在线段上，交于N，交于G．(1)求证：是的切线；(2)若，求的长；(3)若，求证：．
【答案】(1)证明见解析(2)(3)证明见解析
【分析】（1）由是的直径得到，则，由得到，则，结论得证；（2）证明，则，可得，解得或3，由即可得到的长；（3）先证明，则，得到，由得到，则，由同角的余角相等得到，则，得，进一步得到，则，即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵是的直径，∴，∴，
∵，∴，∴，∴是的切线；
（2）∵，，∴，
∴，∴，解得或3，
当时，，当时，，
∵，即，∴；
（3）证明：∵是的直径，∴，
∵， ∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∴．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
1．（2023·山东泰安·统考三模）如图，抛物线与轴负半轴交于点A，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段PA的中点，连接，则线段的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】连接，如图，先解方程得，再判断为的中位线得到，利用点与圆的位置关系，过圆心C时，最小，如图，点P运动到位置时，最小，然后计算出即可得到线段的最小值．
【详解】解：连接，如图，
当时，，解得，∴，
∵Q是线段的中点，∴为的中位线，∴，
当最小时，最小，而过圆心C时，最小，如图，点P运动到位置时，最小，
∵，∴，∴线段的最小值是．故选：A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了三角形中位线．确定位置是解题的关键．
2．（2023·上海虹口·校联考二模）如图，在矩形中，对角线与相交于点，，．分别以点、为圆心画圆，如果与直线相交、与直线相离，且与内切，那么的半径长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点作，勾股定理求得，进而根据平行线分线段成比例得出，根据题意，画出相应的图形，即可求解．
【详解】解：如图所示，当圆O与相切时，过点作，
∵矩形中，对角线与相交于点，，．
∴，，，，
∴∴，则；
当圆O与相切时，过点作于点，如图所示，
则 则
∴与直线相交、与直线相离，且与内切时，，故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，根据题意画出图形是解题的关键．
3．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，为直径，C为圆上一点，I为内心，交于D，于I，若，则为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【分析】如图，连接，，由题意知，平分，平分，则，，，，由，可得，由垂径定理得，则，由勾股定理得，，如图，连接交于，则，设，则，由勾股定理得，，即，解得，进而可得，，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，，
由题意知，平分，平分，
∴，，∴，，
∵，∴，
∵，∴，由勾股定理得，，
如图，连接交于，则，设，则，
由勾股定理得，，即，解得，
∴，，由勾股定理得，，故选：A．
【点睛】本题考查了内心，勾股定理，垂径定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
4．（2023·四川成都·统考二模）已知是内一点（点不与圆心重合），点到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于的一元二次方程的两个实数根，则的直径为 ．
【答案】12
【分析】根据题意知的直径为最小距离与最大距离的和，再利用根与系数的关系即可求解．
【详解】解：∵是内一点，
∴的直径为最小距离与最大距离的和，
∵最小距离与最大距离是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴的直径为，故答案为：12．
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．
5．（2023·贵州遵义·统考二模）已知内接于，它的内心为点D，连接交弦于点E，交于点F，已知，，，则线段的长为 ．
【答案】/
【分析】连接，，通过证明得到，求得线段，利用三角形的内心是三角形的三个内角平分线的交点，根据圆周角定理和相似三角形的判定与性质求得的长，再利用三角形的外角的性质和等腰三角形的判定与性质得到，则．
【详解】解：连接，，
∵，∴，∴，∴，∴，
∵点为的内心，∴，分别为，的平分线，
∴，，∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∵，∴，
∴∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理及其推论，等腰三角形的判定与性质，充分利用相似三角形的判定与性质求得相应线段的长度是解题的关键．
6．（2023·广东·统考一模）如图，的内切圆（圆心为点）与各边分别相切于点，，，连接，，．以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于，两点；分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点；作射线．下列说法正确的是 ．（填代码即可）
A．射线一定过点 B．点是三条中线的交点
C．若是等边三角形，则 D．点是三条边的垂直平分线的交点
【答案】ACD
【分析】根据三角形内切圆和外接圆的性质逐一判断即可．
【详解】解： A、∵的内切圆圆心为O，∴点O是三条角平分线的交点，
以点B为圆心，以适当长为半径作弧分别交于G，H两点；分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点P；作射线，由此可得BP是角平分线，所以射线一定过点O，说法正确，故此选项符合题意；B、∵都在上，∴是的外接圆，
∴点O是三条边的垂直平分线的交点，故此选项不符合题意；
C、当是等边三角形时，则，
∵与相切于点D，∴，∴三点共线，∴点D是的中点，
同理点E是的中点，∴是的中位线，∴，故此选项符合题意；
D、∵都在上，∴是的外接圆，
∴点O是三条边的垂直平分线的交点，故此选项符合题意；故答案为：ACD．
【点睛】本题考查了三角形内切圆和外接圆的特点和性质，三角形中位线定理，解题的关键是能与其它知识联系起来，加以证明选项的正确．
7．（2023·四川绵阳·统考二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周长为20，⊙I是△ABC的内切圆，其半径为，则△BIC的外接圆直径为 .
【答案】
【分析】设△BIC的外接圆圆心为O，连接OB，OC，作CD⊥AB于点D，在圆O上取点F，连接FB，FC，作OE⊥BC于点E，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，根据三角形内心定义可得S△ABC＝lr＝×20×＝AB CD，可得bc＝40，根据勾股定理可得BC＝a＝7，再根据I是△ABC内心，可得IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，根据圆内接四边形性质和圆周角定理可得∠BOC＝120°，再根据垂径定理和勾股定理即可求出OB的长．
【详解】解：如图，设△BIC的外接圆圆心为O，连接OB，OC，作CD⊥AB于点D，
在圆O上取点F，连接FB，FC，作OE⊥BC于点E，
设AB＝c，BC＝a，AC＝b，∵∠BAC＝60°，∴AD＝b，
CD＝AC sin60°＝b，∴BD＝AB﹣AD＝c﹣b，
∵△ABC周长为l＝20，△ABC的内切圆半径为r＝，
∴S△ABC＝lr＝×20×＝AB CD，∴b c，∴bc＝40，
在Rt△BDC中，根据勾股定理，得BC2＝BD2+CD2，
即a2＝（c﹣b）2+（b）2，整理得：a2＝c2+b2﹣bc，
∵a+b+c＝20，∴a2＝c2+b2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（20﹣a）2﹣3×40，解得a＝7，∴BC＝a＝7，
∵I是△ABC内心，∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∵∠BAC＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠IBC+∠ICB＝60°，
∴∠BIC＝120°，∴∠BFC＝180°﹣120°＝60°，∴∠BOC＝120°，
∵OE⊥BC，∴BE＝CE＝，∠BOE＝60°，∴OB＝.
∴外接圆直径为．故答案为：．
【点睛】本题属于圆的综合题，考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，解直角三角形，圆内接四边形的性质，垂径定理，勾股定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．属于中考选择题的压轴题，很有难度．
8．（2023·上海宝山·一模）已知相交两圆的半径长分别为13和20，公共弦的长为24，那么这两个圆的圆心距为 ．
【答案】11或21
【分析】设半径长分别为13和20的、相交于点、点，，连接、，则，，再分两种情况讨论，一是点、点在直线的同侧，延长交于点，根据“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”得，，可由勾股定理求得，，则；二是点、点在直线的异侧，交于点，则，，．
【详解】解：半径长分别为13和20的、相交于点、点，，
连接、，则，，
如图1，点、点在直线的同侧，延长交于点，
垂直平分，，，
，，；
如图2，点、点在直线的异侧，交于点，
，，
，，，
综上所述，这两个圆的圆心距为11或21，故答案为：11或21．
【点睛】此题重点考查圆与圆的位置关系、线段的垂直平分线的性质、勾股定理以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
9．（2023·福建泉州·统考一模）如图，在中，是钝角
(1)求作，使得圆心在边上，且经过点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，设与的另一个交点为D，且求证：是的切线。
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）由经过点可知圆心到点的距离相等，因此线段的垂直平分线与的交点即为圆心，由此可解；（2）连接，设，则，，利用勾股定理的逆定理判断，即可证明是的切线．
【详解】（1）解：如图1，是所求作的圆：
图1 图2
（2）证明：如图2，连接，设，则，，
，，．
在中，，，
，，即．
点在上，是的切线．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的作法及性质，圆的基本性质，勾股定理的逆定理，切线的判定等，难度不大，解题的关键是正确作出辅助线，综合运用上述知识点．
10．（2023·贵州遵义·统考一模）已知中，．根据作图过程，解决下列问题．
【作图过程】：以点A为圆心，任意长为半径画弧交AB、AC于H、L点，分别以点H、L为圆心、大于的长为半径画弧交于点K，作射线AK；以点B为圆心，任意长为半径画弧交BC、BA于E、F点，分别以E、F为圆心、大于的长为半径画弧交于点G，作射线BG交射线AK于点O，过点O作于点M，点M为垂足，以点O为圆心，OM为半径作．
【解决问题】：(1)证明：是的内切圆；(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见详解(2)2
【分析】（1）过O点作OD⊥AB于D点，过O点作OP⊥AC于点P，根据角平分线的性质有OP=OD=OM，即O点到Rt△ABC三边的距离相等，则有O点是Rt△ABC的内心，可知⊙O是Rt△ABC的内切圆；
（2）设⊙O的半径为r，即OP=OM=r，先证明四边形OPCM是正方形，即有CM=OM=OP=PC=r，利用勾股定理求出AB=10，再证明Rt△OMB≌Rt△ODB(HL)，即有BM=BD，同理可得AP=AD，则有AB=AD+BD=AP+BM，则r可求．
【详解】（1）过O点作OD⊥AB于D点，过O点作OP⊥AC于点P，如图，
根据作图可知OA、OB分别是∠CAB、∠ABC的角平分线，
∵OP⊥AC，OD⊥AB，OM⊥BC，∠C=90°，∴OP=OD，OD=OM，∴OP=OD=OM，
∴O点到Rt△ABC三边的距离相等，∴O点是Rt△ABC的内心，∴⊙O是Rt△ABC的内切圆；
（2）设⊙O的半径为r，即OP=OM=r，
∵OP⊥AC，∠C=90°，OM⊥BC，OP=OM，∴四边形OPCM是正方形，∴CM=OM=OP=PC=r，
∵BC=6，AC=8，∴在Rt△ABC中，AB=10，
∵OM=OD，OB=OB，∴Rt△OMB≌Rt△ODB(HL)，∴BM=BD，同理可得AP=AD，
∵BM=BC-CM=6-r，AP=AC-PC=8-r，AB=AD+BD，
∴AB=AD+BD=AP+BM=8-r+6-r=14-2r=10，∴r=2，即⊙O的半径为2．
【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图与性质、三角形内切圆的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，掌握角平分线的性质是解答本题的关键．
11．（2023·广东佛山·一模）如图，内接于⊙O，且为的直径，，与交于点E，与过点C的的切线交于点D，交于点F．(1)求证：是等腰三角形；(2)若，求的长；(3)当点F为的中点时，直接写出的值．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【分析】（1）连接，证明，，证明为直角，由可得，结合，证明，即可得证；（2）先求出证明，可得，结合，表示出，即可求解；（3）如图，延长交于H，连接，证明，设的半径为r,可得，再利用正切的定义进行计算即可；
【详解】（1）连接，
∵为的切线，∴，
∵为直径，点C在上，∴，
∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴是等腰三角形．
（2）∵，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，在中，，
∴，
解得，∴．
（3）如图，延长交于H，连接，
∵为直径，，∴，
∵，∴，∴
∴，∴，∴，
∵F为的中点，设，的半径为r，
∴，∴解得，
∴，∴．
【点睛】本题考查的是圆的综合应用，勾股定理的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角函数等知识点，作出合适的辅助线是解本题的关键．
1．（2023年山东省威海市中考数学真题）在中，，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．内切圆的半径 D．当时，是直角三角形
【答案】C
【分析】根据三角形三边关系、三角形面积、内切圆半径的计算以及勾股定理逆定理逐一求解即可．
【详解】解：∵，∴即，故A说法正确；
当时，，
若以为底，高，∴，故B说法正确；
设内切圆的半径为r，则，
∵，∴，，
∵，∴，∴，故C说法错误；
当时，，∴是直角三角形，故D说法正确；故选：C．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形面积，三角形内切圆半径以及勾股定理的逆定理，掌握内切圆半径与圆的面积周长之间的关系是解题的关键．
2．（2023年四川省德阳市中考数学真题）如图，的直径，是弦，，，，的延长线与的延长线相交于点，的延长线与的延长线相交于点，连接．下列结论中正确的个数是（ ）
①；②是的切线；③B，E两点间的距离是；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】连接、、，过点作交延长线于，于．①根据已知、垂径定理和圆内接四边形证，，即可得到；②根据已知、垂径定理、中垂线定理证，推出，不垂直，即可判断不是的切线；③证，结合、，计算出、、，最后根据勾股定理计算即可；④先计算出，推理出，设，用含的代数式表示和，代入求解即可．
【详解】如图，连接、、，过点作交延长线于，于
的直径，，，，
，，
是弦，，，（垂直于弦的直径平分弦所对的弧），
，即，，
，，
（圆内接四边形的一个外角等于它的内对角），，故结论①正确
，，又（同弧所对圆周角是圆心角的一半），
，，，于，
，，，
，，故结论③正确
，，，，
平分（垂直于弦的直径平分弦），是的中垂线，，，
，，，即，
是弦，是锐角，是钝角，
是钝角，，不垂直，不是的切线，故结论②不正确
，，，，
，，，，
设，则，
，，
，，，，
，，解得：，
，故结论④不正确综上，①和③这2个结论正确，故选：B．
【点睛】本题考查了圆的性质综合，结合判断切线、勾股定理、三角函数解直角三角形知识点，熟练掌握、综合运用知识点推理证明和计算是解题的关键．
3．（2023年黑龙江省大庆市中考数学真题）如图，是的直径，点是圆上的一点，于点，交于点，连接，若平分，过点作于点，交于点，延长，交于点．(1)求证：是的切线；(2)求证：；
(3)若，求的值．
【答案】(1)证明，见解析(2)证明，见解析(3)
【分析】（1）连接，根据平分，则，根据，得，根据平行线的判定和性质，即可；（2）由（1）得，，根据，，相似三角形的判定和性质，即可；（3）根据，则，设的半径为，则，根据勾股定理求出；根据，，根据勾股定理求出，再根据，再根据勾股定理求出，根据，即可．
【详解】（1）连接∵平分，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴是的切线．
（2）证明，如下：由（1）得，，∵，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∴．
（3）∵，∴，设的半径为，∴，∴，
∵，∴，，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴．
【点睛】本题考查圆，相似三角形，锐角三角形函数的知识，解题的关键圆的切线定理的运用，相似三角形的判定和性质，锐角三角形函数的运用．
4．（2023年四川省雅安市中考数学真题）如图，在中，，以为直径的与交于点D，点是的中点，连接，．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长；(3)在（2）的条件下，点P是上一动点，求的最大值．
【答案】(1)证明见解析；(2)(3)
【分析】（1）连接，由圆周角定理得到，由直角三角形斜边中线的性质结合等腰三角形的性质证得，由等腰三角形的性质得到，根据，得到，由切线的判定即可证得与相切；
（2）由直角三角形斜边中线的性质求出，根据三角函数的定义即可求出；，
（3）设的边高为，由可得，即可得出当取最大值时，取最大值，根据进而求解即可．
【详解】（1）证明：连接，如图所示，
∵为的直径，∴，∴，
∵点为的中点，∴，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，
∵是的半径，∴与相切；
（2）解：由（1）知，，∵是的中点，∴，∴，
∵，∴，，
又∵在中，，即：，
∴（负值以舍去），∴；
（3）设的边高为，由（2）可知，
又∵是直径，∴，∴，∴，
∴当取最大值时，也取最大值，
又∵，∴当取最大值时，取最大值，
此时边高为取最大值为半径，∴，
∴∴，∴，
综上所述：的最大值为．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定以及直角三角形的性质，解题的关键是：（1）熟练掌握切线的判定方法；（2）通过解直角三角形斜边中线的性质证得．（3）将的最大值转化为的面积最大值．
5．（2023年湖北省宜昌市中考数学真题）如图1，已知是的直径，是的切线，交于点，．(1)填空：的度数是_________，的长为_________；(2)求的面积；(3)如图2，，垂足为．是上一点，．延长，与，的延长线分别交于点，求的值．
【答案】(1)，5；(2)(3)
【分析】（1）根据切线性质和勾股定理分别求解即可；（2）由面积法求出，再利用勾股定理求，则的面积可求；（3）先证明，得到，利用，分别得到，进而计算，，再分别求出则问题可解；
【详解】（1）解：∵是的直径，是的切线，∴的度数是；
∵，∴；故答案为：，5；
（2）如图，∵是的直径，∴，
，∴由面积法，∴
，；
（3）方法一：如图，由∴
∴∴
∴∴
设
是等腰直角三角形，
，是等腰直角三角形
，∴，∴，，
，，．
方法二：如图 由
设，
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，，
．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质和相似三角形的性质和判定，解答关键是根据条件证明三角形相似，再根据相似三角形的性质解答问题．
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第五章 圆
第二节 与圆有关的位置关系
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 点、直线与圆的位置关系 ☆☆ 与圆相关的位置关系也是各地中考数学中的必考考点之一，主要内容包括点、直线与圆的位置关系、切线的性质和判定、三角形的内切圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大。关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分。
考点2 切线的性质与判定 ☆☆☆
考点3 三角形的外接圆与内切圆 ☆☆☆
■考点一 点、直线与圆的位置关系类
1）点和圆的位置关系：已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：
图1 图2
(1)dr 点在⊙O ，如图3．
解题技巧：掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系。
2）直线和圆的位置关系：
设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下：
图1 图2 图3
(1)d>r ，如图1；(2)d=r ，如图2；(3)d3）圆和圆之间的位置关系（了解）
设⊙O1、⊙O2的半径分别为r、R（其中R>r），两圆圆心距为d，则两圆位置关系如下：
图1 图2 图3 图4 图5
（1）d>R+r 两圆 ；（2）d=R+r 两圆 ；（3）R-r（4）d=R-r 两圆 ；（5）0≤d两圆相切、相交的重要性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦.
■考点二 切线的性质与判定
1）切线的性质：（1）切线与圆只有一个 ；（2）切线到圆心的距离等于圆的 ；（3）切线 经过切点的半径。
解题技巧：利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题。
2）切线的判定
（1）与圆只有一个 的直线是圆的切线（定义法）；
（2）到圆心的距离等于 的直线是圆的切线（数量关系法）；
（3）经过半径 并且 于这条半径的直线是圆的切线（判定定理法）。
切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径。
3）切线长定理
定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的 。
定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的 ，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
解题技巧：切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角三角形来求解。
■考点三 三角形的外接圆与内切圆
1）三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的 ，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
2）三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 ，内切圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的外切三角形。
3）三角形的外心：三角形三边 的交点，叫该三角形的 。
4）三角形的内心：三角形三条 的交点，叫该三角形的 。
5）常见结论
（1）三角形内切圆半径： ，其中S为三角形的面积；C为三角形的周长；
（2）直角三角形内切圆半径： ，其中a，b为直角三角形的直角边长，c为斜边长。
■易错提示
1. 由于圆是轴对称和中心对称图形，当题目中未给出具体图形时，要结合题意画出符合题意的图形，并进行分类讨论，否则比较容易漏解。
2. 一个三角形有且只有一个内切圆和一个外接圆，而一个圆有无数个外切三角形和内接三角形。
■考点一 点、直线与圆的位置关系类
◇典例1：（2023·上海闵行·校联考模拟预测）矩形中，，，点在边上，且，如果圆是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A．点，均在圆外 B．点在圆外，点在圆内
C．点在圆内，点在圆外 D．点，均在圆内
◆变式训练
1．（2023·重庆·统考二模）如图，已知及其所在平面内的个点．如果半径为，那么到圆心距离为的点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
2．（2023·上海·模拟预测）如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·江苏苏州·校考一模）已知点P是半径为4的上一点，平面上一点Q到点P的距离为2，则线段的长度a的范围为 ．
◇典例2：（2023·广东广州·统考二模）的半径r和圆心O到直线l的距离d分别为关于x的一元二次方程的两根和与两根积，则直线l与的位置关系是 ．
◆变式训练
1．（2023·浙江湖州·统考二模）已知平面内有与直线，的半径为，点O到直线的距离为，则直线与的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不能判断
2．（2023·河北沧州·校考三模）题目：“如图，在中，，，，以点为圆心的的半径为，若对于的一个值，与只有一个交点，求的取值范围．”对于其答案，甲答：．乙答：．丙答：．则正确的是（ ）
A．只有乙答的对 B．甲、乙的答案合在一起才完整
C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整
3．（2023·吉林松原·校联考二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．
◇典例3：（2023·上海浦东新·统考二模）如果两圆的半径分别为5或2，圆心距为7，那么这两个圆的位置关系是 ．
◆变式训练
1．（2023·山东菏泽·统考一模）已知两圆相交，它们的圆心距为，一个圆的半径是，那么另一个圆的半径长可以是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·上海宝山·一模）已知内切两圆的圆心距为5，其中一个圆的半径长等于2，那么另一个圆的半径长等于 ．
3．（2023年四川省德阳市中考数学真题）已知的半径为，的半径为，圆心距，如果在上存在一点，使得，则的取值范围是 ．
■考点二 切线的性质与判定
◇典例4：（2023年海南省中考数学真题）如图，为的直径，是的切线，点是切点，连接交于点，连接，若，则 度．
◆变式训练
1．（2023年青海省中考数学真题）如图，是的切线，是切点，连接，．若，则的度数是 ．
2．（2023·山西大同·校联考一模）如图，是的直径，、分别切于点B、C，若，则的度数是 ；
◇典例5：（2023年四川省泸州市中考数学真题）如图，在中，，点在斜边上，以为直径的半圆与相切于点，与相交于点，连接．若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023年湖南省湘西初中学业水平数学试题）如图，为的直径，点在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年北京市中考数学真题）如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为 ．
◇典例6：（2023年湖北省潜江、天门、仙桃、江汉油田中考数学真题）如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则 ．
◆变式训练
1．（2023·浙江·模拟预测）如图，在中，为直角，，在三角形的内部有一个半圆，半圆与均相切且直径在上．则半圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江苏盐城·校考模拟预测）如图，，，是的切线，，，为切点，若，，则的长为 ．
◇典例7：（2023年辽宁省鞍山市中考数学真题）如图，四边形内接于，为的直径，过点D作，交的延长线于点F，交的延长线于点E，连接．若．(1)求证：为的切线．(2)若，，求的半径．
◆变式训练
1.（2023年四川省攀枝花市中考数学真题）如图，为的直径，如果圆上的点恰使，求证：直线与相切．
2.（2023年陕西九年级中考模拟）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，且．(1)求证：是的切线；(2)若直径，求的长．
3．（2023年内蒙古呼和浩特市中考数学真题）已知在中，，，，以边为直径作，与边交于点，点为边的中点，连接．
(1)求证：是的切线；(2)点为直线上任意一动点，连接交于点，连接．
①当时，求的长；②求的最大值．
■考点三 三角形的外接圆与内切圆
◇典例8：（2023年内蒙古包头市中考数学真题）如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，连接．若的周长为21，则的长为（ ）
A．8 B．4 C．3.5 D．3
◆变式训练
1．（2023·河北保定·统考一模）如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖北襄阳·统考二模）在中，，则这个三角形的外接圆半径为 ．
◇典例9：（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，是的内切圆，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·湖南永州·统考二模）如图，在中，，点I是内心，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖南常德·统考模拟预测）如图，是边长为的正三角形的内切圆，与边、均相切，且与外切，则的半径为 ．
◇典例10：（2023年山东省聊城市中考数学真题）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·江苏无锡·校考二模）已知三边分别为，，，则该三角形的内心，外心和重心围成的小三角形的面积为 ．
2．（2023·河北衡水·校考模拟预测）如图，已知在中，，，，点是的内心．（1）点到边的距离为 ；（2）是的外心，连接，则的长为 ．
◇典例11：（2023年四川省攀枝花市中考数学真题）已知的周长为，其内切圆的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·宁夏银川·校联考一模）如图，在中，，，，则的内切圆半径 ．
2．（2023·四川泸州·统考模拟预测）如图，在中，，，，为的内切圆，则图中阴影部分的面积为(结果保留)( )
A． B． C． D．
1．（2023年广东广州中考数学真题）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（ ）
A．2r， B．0， C．2r， D．0，
2．（2023年江苏省苏州市中考数学真题）如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为的面积为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年湖北省武汉市数学真题）如图，在四边形中，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023年山东省潍坊市中考数学真题）（多选题）发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图．图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点C、D是直线l与的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时，点B到达D．若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．当与相切时， D．当时，
5．（2023年湖南省湘潭市中考数学真题）（多选题）如图，是的直径，为弦，过点的切线与延长线相交于点，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023湖南省衡阳市中考数学真题）如图，在中，．以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边所在的直线相切时，r的值为 ．
7．（2023年浙江省嘉兴（舟山）市中考数学真题）如图，点是外一点，，分别与相切于点，，点在上，已知，则的度数是 ．
8．（2023年山东省青岛市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，过原点O，且与x轴交于另一点D，为的切线，为切点，是的直径，则的度数为 ．
9．（2023年湖南省岳阳市中考数学真题）如图，在中，为直径，为弦，点为的中点，以点为切点的切线与的延长线交于点．
（1）若，则的长是 （结果保留）；（2）若，则 ．
10．（2023年山东省济南市中考数学真题）如图，，为的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，，点是的中点，弦，相交于点．
(1)求的度数；(2)若，求直径的长．
11．（2023年广东省深圳市中考数学真题）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，，，以O为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：
①过点A作切线，且（点C在A的上方）；②连接，交于点D；③连接，与交于点E．(1)求证：为的切线；(2)求的长度．
12．（2023年湖南省永州市中考数学真题）如图，以为直径的是的外接圆，延长到点D．使得，点E在的延长线上，点在线段上，交于N，交于G．(1)求证：是的切线；(2)若，求的长；(3)若，求证：．
1．（2023·山东泰安·统考三模）如图，抛物线与轴负半轴交于点A，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段PA的中点，连接，则线段的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
2．（2023·上海虹口·校联考二模）如图，在矩形中，对角线与相交于点，，．分别以点、为圆心画圆，如果与直线相交、与直线相离，且与内切，那么的半径长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，为直径，C为圆上一点，I为内心，交于D，于I，若，则为（ ）
A． B． C． D．5
4．（2023·四川成都·统考二模）已知是内一点（点不与圆心重合），点到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于的一元二次方程的两个实数根，则的直径为 ．
5．（2023·贵州遵义·统考二模）已知内接于，它的内心为点D，连接交弦于点E，交于点F，已知，，，则线段的长为 ．
6．（2023·广东·统考一模）如图，的内切圆（圆心为点）与各边分别相切于点，，，连接，，．以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于，两点；分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点；作射线．下列说法正确的是 ．（填代码即可）
A．射线一定过点 B．点是三条中线的交点
C．若是等边三角形，则 D．点是三条边的垂直平分线的交点
7．（2023·四川绵阳·统考二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周长为20，⊙I是△ABC的内切圆，其半径为，则△BIC的外接圆直径为 .
8．（2023·上海宝山·一模）已知相交两圆的半径长分别为13和20，公共弦的长为24，那么这两个圆的圆心距为 ．
9．（2023·福建泉州·统考一模）如图，在中，是钝角
(1)求作，使得圆心在边上，且经过点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，设与的另一个交点为D，且求证：是的切线。
10．（2023·贵州遵义·统考一模）已知中，．根据作图过程，解决下列问题．
【作图过程】：以点A为圆心，任意长为半径画弧交AB、AC于H、L点，分别以点H、L为圆心、大于的长为半径画弧交于点K，作射线AK；以点B为圆心，任意长为半径画弧交BC、BA于E、F点，分别以E、F为圆心、大于的长为半径画弧交于点G，作射线BG交射线AK于点O，过点O作于点M，点M为垂足，以点O为圆心，OM为半径作．
【解决问题】：(1)证明：是的内切圆；(2)若，，求的半径．
11．（2023·广东佛山·一模）如图，内接于⊙O，且为的直径，，与交于点E，与过点C的的切线交于点D，交于点F．(1)求证：是等腰三角形；(2)若，求的长；(3)当点F为的中点时，直接写出的值．
1．（2023年山东省威海市中考数学真题）在中，，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．内切圆的半径 D．当时，是直角三角形
2．（2023年四川省德阳市中考数学真题）如图，的直径，是弦，，，，的延长线与的延长线相交于点，的延长线与的延长线相交于点，连接．下列结论中正确的个数是（ ）
①；②是的切线；③B，E两点间的距离是；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023年黑龙江省大庆市中考数学真题）如图，是的直径，点是圆上的一点，于点，交于点，连接，若平分，过点作于点，交于点，延长，交于点．(1)求证：是的切线；(2)求证：；
(3)若，求的值．
4．（2023年四川省雅安市中考数学真题）如图，在中，，以为直径的与交于点D，点是的中点，连接，．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长；(3)在（2）的条件下，点P是上一动点，求的最大值．
5．（2023年湖北省宜昌市中考数学真题）如图1，已知是的直径，是的切线，交于点，．(1)填空：的度数是_________，的长为_________；(2)求的面积；(3)如图2，，垂足为．是上一点，．延长，与，的延长线分别交于点，求的值．
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