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第四章 三角形与四边形
第一节 几何图形初步
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 线段、射线、直线 ☆ 该专题内容是初中几何的基础，在中考数学中属于基础考点，年年都会考查，分值为8分左右，预计2024年各地中考还将出现. 大部分地区在选择、填空题中考察可能性较大，主要考察平行线的性质和判定、方位角、角度的大小等知识，这些知识点考查较容易，另外平行线的性质可能在综合题中出现，考查学生综合能力，比如：作平行的辅助线，构造特殊四边形，此类题目有一定难度，需要学生灵活掌握．对本专题的复习也直接影响后续对其他几何图形的学习，需要考生细心对待..
考点2 角 ☆☆
考点3相交线 ☆
考点4 平行线的判定与性质 ☆☆
1．线段向一方无限延伸就成为 ．线段向两方无限延伸就成为 ．线段是直线上两点间的部分，射线是直线上某一点一旁的部分．
2．直线有以下的基本事实： ．
线段有以下的基本事实： ．
连结两点的 叫做这两点间的距离．
3．由两条有 的 所组成的图形叫做角，这个公共端点叫做这个角的 ．角也
可以看成是由一条 绕着它的端点旋转而成的图形．
1周角＝ 平角＝ 直角＝360°；1°＝ ，1′＝ ．
4．如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角 ，简称互余．同角或等角的
余角相等．
如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角 ，简称互补．同角或等角的补角相等．
5．两条直线相交，只有 个交点．两条直线相交形成四个角，我们把其中相对的任何一对
角叫做对顶角．对顶角 ．
6．当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角时，我们说这两条直线 ，其中
的一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 ．
从直线外一点到这条直线的 ，叫做点到直线的距离．在同一平面内，过一点有 条直线垂直于已知直线．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中， 最短．
7．垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的 ，简称中垂线．
8．在同一平面内，不相交的两条直线叫做 ．经过直线外一点，有 条直线与这条直线平行．
9．平行线的判定及性质：
(1)判定：
①在同一平面内， 的两条直线叫做平行线．
②同位角 ，两直线平行．
③内错角 ，两直线平行．
④同旁内角 ，两直线平行．
⑤在同一平面内， 同一条直线的两条直线互相平行．
⑥ 同一条直线的两条直线互相平行．
(2)性质：
①两直线平行， ．
②两直线平行， ．
③两直线平行， ．
■考点一 线段、射线、直线的概念、度量及计算
◇典例1：（2021 包头）已知线段AB＝4，在直线AB上作线段BC，使得BC＝2，若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．2或3
◆变式训练
1．（2023 婺城区模拟）如图，小亮为将一个衣架固定在墙上，他在衣架两端各用一个钉子进行固定，用数学知识解释他这样操作的原因，应该是（ ）
A．过一点有无数条直线 B．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短
2．（2023 桃城区校级模拟）下列四个图中，能表示线段x＝a+c﹣b的是（ ）
A． B．
C． D．
■考点二 角的概念、度量及计算
◇典例2：（2022 丽水模拟）将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中∠α与∠β不一定相等的是（ ）
A． B． C．D．
◆变式训练
1．（2021 兴安盟）74°19′30″＝ °．
2．（2023 河北一模）如图1，图2所示，把一副三角板先后放在∠AOB上，则∠AOB的度数可能（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
3．（2023 北京）如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝126°，则∠BOC的大小为（ ）
A．36° B．44° C．54° D．63°
■考点三 两直线相交及其性质
◇典例3：（2023 鲁山县一模）如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠AOD＝120°，则∠EOB度数是（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
◆变式训练
1．（2022 河南）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（ ）
A．26° B．36° C．44° D．54°
2．（2023 余杭区二模）点A为直线BC外一点，AC⊥BC于点C，AC＝6．点P是直线BC上的动点，则线段AP长可能是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
■考点四 平行线的判定与性质
◇典例4： 1．（2023 南浔区二模）如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b．若∠1＝50°，则∠2＝（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
2．（2023 缙云县一模）如图是一款教室护眼灯AB，用两根电线AC，BD吊在天花板EF上，已知∠ACD＝90°，为保证护眼灯AB与天花板EF平行，添加下列条件中，正确的是（ ）
A．∠BDC＝90° B．∠BDF＝90° C．∠BAC＝90° D．∠ACE＝90°
◆变式训练
1．（2022 杭州）如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
2．（2021 嘉兴二模）已知，∠ABC和∠DEF中，AB∥DE，BC∥EF．试探究：
（1）如图1，∠B与∠E的关系是 ；
（2）如图2，写出∠B与∠E的关系，并说明理由；
（3）根据上述探究，请归纳得到一个真命题．
1．（2023 义乌市模拟）若∠α＝60°32'，则∠α的余角是（ ）
A．29°68' B．29°28' C．119°68' D．119°28'
2．（2021 台州）小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．三角形两边之和大于第三边 D．两点确定一条直线
3．（2023 金华模拟）已知∠α＝76°22′，则∠α的补角是（ ）
A．103°38′ B．103°78′ C．13°38′ D．13°78′
4．（2023 西湖区三模）如图，∠ACB＝90°，AC＝4，点P是直线CB上动点，则线段AP长度不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2022 萧山区校级一模）在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，那么有（ ）
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＞∠BOC C．∠BOC＞∠AOB D．∠AOB＞∠AOC
6．（2023 金华模拟）一艘轮船从A港出发，沿着北偏东60°的方向航行，行驶至B处时发现前方有暗礁，所以转向北偏西25°方向航行，到达C后需要把航向恢复到出发时的航向，此时轮船航行的航向向顺时针方向转过角度α的度数为（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
7．（2022 婺城区模拟）木工师傅用刨子可将木板刨平，如图，经过刨平的木板上的两个点，而且只能弹出一条墨线，其数学原理为（ ）
A．两点之间线段最短 B．垂线段最短
C．两点确定一条直线 D．两边之和大于第三边
8．（2023 上城区一模）如图，点A为直线BD外一点，AC⊥BD，垂足为点C，点A到直线BD的距离是线段（ ）的长度．
A．AC B．CD C．BC D．AD
9．（2023 金华）如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，则∠4的度数是（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°
10．（2021 台州）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝（ ）
A．40° B．43° C．45° D．47°
11．（2023 仙居县一模）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为（ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°
12．（2023 滨江区二模）已知点A，B，C是直线l上互不重合的三个点，设AB＝a2+a+4，AC＝na，BC＝2na+1，其中n，a是常数，（ ）
A．若0＜n≤1，则点A在点B，C之间 B．若2＜n≤3，则点A在点B，C之间
C．若0＜n≤1，则点C在点A，B之间 D．若2＜n≤3，则点C在点A，B之间
13．（2022 桂林）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝ cm．
14．（2023 台州）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝20°，则∠2的度数为 ．
15．（2021 长兴县模拟）比较大小：38°15′ 38.15°（选填“＞”“＜”“＝”）．
16．（2023 金东区二模）如图，AD∥BC，点E是BA延长线上一点，∠E＝∠DCE．
（1）求证：∠B＝∠D．
（2）若CE平分∠BCD，∠E＝47°，求∠B的度数．
17．（2023 乐清市模拟）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BD平分∠ABC，∠1与∠2互补．
（1）求证：EF∥BD．
（2）若∠A＝65°，∠AEF＝80°，求∠CBD的度数．
18．（2023 鹿城区二模）如图，在△ABC中，DE∥AB，交AC，BC分别于点D、E，已知∠1＝∠2．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）当AC＝BC时，请判断DE与BE的大小关系，并说明理由．
1．（2023 临沂）如图中用量角器测得∠ABC的度数是（ ）
A．50° B．80° C．130° D．150°
2．（2022 陕西）若∠A＝48°，则∠A的补角的度数为（ ）
A．42° B．52° C．132° D．142°
3．（2023 莲池区二模）下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A．B． C． D．
4．（2021 杭州）如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连结PT，则（ ）
A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ
5．（2023 海淀区校级模拟）如图，已知∠AOC＝90°，∠COB＝60°，OD平分∠AOB，则∠COD的度数是（ ）
A．35° B．30° C．25° D．15°
6．（2023 铜仁市模拟）已知A、B、C为直线l上的三点，线段AB＝9cm，BC＝1cm，那么A、C两点间的距离是（ ）
A．10cm B．8cm C．10cm或8cm D．以上说法都不对
7．（2023 长兴县二模）如图，点A、D在射线AE上，直线AB∥CD，∠CDE＝140°，那么∠A的度数为（ ）
A．140° B．60° C．50° D．40°
8．（2022 贵阳模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E，则点B到AC的距离是（ ）
A．线段AB的长度 B．线段BC的长度 C．线段BD的长度 D．线段DE的长度
9．（2021 金华）某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（ ）
如图，已知直线l1，l2，l3，l4．若∠1＝∠2，则∠3＝∠4． 请完成下面的说理过程． 解：已知∠1＝∠2， 根据（内错角相等，两直线平行），得l1∥l2． 再根据（※），得∠3＝∠4．
A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，同旁内角互补
10．（2023 余杭区二模）如图，直线a∥b，点B在直线a上，AB⊥BC，若∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．140°
11．（2022 兰溪市模拟）小明从A处出发沿北偏东50°方向行走至B处，又从B处沿南偏东70°方向行走至C处，则∠ABC等于（ ）
A．20° B．100° C．120° D．160°
12．（2022 拱墅区模拟）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，过点A作AD⊥CD于点D，若AB＝，CD＝，则AC的长可能是（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．1.5
13．（2021 泰州）互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，这三点的位置关系是（ ）
A．点A在B、C两点之间 B．点B在A、C两点之间
C．点C在A、B两点之间 D．无法确定
14．（2023 丰润区模拟）如图，直线l上有三点A，B，C，AB＝5，BC＝10，点P，Q分别从点A，B同时出发，向点C移动，点P的速度是m个单位长/秒，点Q的速度是n个单位长/秒，2m＜3n，那么（ ）
A．点P先到 B．点Q先到
C．点P，Q同时到 D．无法确定哪点先到
15．（2022 钱塘区二模）把下面的角度化成度的形式：118°20'42''＝ ．
16．（2022 桂林）如图，直线l1，l2相交于点O，∠1＝70°，则∠2＝ °．
17．（2023 乐山）如图，点O在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，若∠AOC＝140°，则∠BOD的度数为 ．
18．（2023 杭州）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，点F在线段BC的延长线上．若∠ADE＝28°，∠ACF＝118°，则∠A＝ ．
19．（2022 丛台区校级三模）如图，直线a，b，c在同一平面内，直线a，c交于点O，∠1＝75°，∠2＝50°．
（1）a，b相交所成的锐角为 ；
（2）保持直线b，c固定不动，直线a绕点O最少旋转 °时，可使直线a⊥b．
20．（2023 柯城区校级一模）已知一条直线上有A，B，C三点，线段AB的中点为P，AB＝100，线段BC的中点为Q，BC＝60，则线段PQ的长为 ．
21．（2021 饶平县校级模拟）如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE为直角，OF平分∠AOE，∠COF＝28°．求∠BOE的度数．
22．（2023 新城区一模）如图，B，F，E，C在同一条直线上，∠A＝∠D．
（1）若∠A＝78°，∠C＝47°，求∠BFD的度数．
（2）若∠AEB+∠BFD＝180°，求证：AB∥CD．
23．（2021 温州三模）如图，已知AB⊥BC，DE⊥AB，∠1＝∠2．
（1）请说明BD∥FG的理由．
（2）若D是AC的中点，F是BC的中点，已知AB＝4，BC＝3，求FG的长度．
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第四章 三角形与四边形
第一节 几何图形初步
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 线段、射线、直线 ☆ 该专题内容是初中几何的基础，在中考数学中属于基础考点，年年都会考查，分值为8分左右，预计2024年各地中考还将出现. 大部分地区在选择、填空题中考察可能性较大，主要考察平行线的性质和判定、方位角、角度的大小等知识，这些知识点考查较容易，另外平行线的性质可能在综合题中出现，考查学生综合能力，比如：作平行的辅助线，构造特殊四边形，此类题目有一定难度，需要学生灵活掌握．对本专题的复习也直接影响后续对其他几何图形的学习，需要考生细心对待..
考点2 角 ☆☆
考点3相交线 ☆
考点4 平行线的判定与性质 ☆☆
1．线段向一方无限延伸就成为射线．线段向两方无限延伸就成为直线．线段是直线上两点间的部分，射线是直线上某一点一旁的部分．
2．直线有以下的基本事实：经过两点有一条而且只有一条直线．
线段有以下的基本事实：两点之间线段最短．
连结两点的线段的长度叫做这两点间的距离．
3．由两条有公共端点的射线所组成的图形叫做角，这个公共端点叫做这个角的顶点．角也
可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．
1周角＝ 2 平角＝ 4 直角＝360°；1°＝ 60′ ，1′＝ 60″ ．
4．如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余．同角或等角的
余角相等．
如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补．同角或等角的补角相等．
5．两条直线相交，只有一个交点．两条直线相交形成四个角，我们把其中相对的任何一对
角叫做对顶角．对顶角相等．
6．当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角时，我们说这两条直线互相垂直，其中
的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
7．垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线．
8．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
9．平行线的判定及性质：
(1)判定：
①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．
②同位角相等，两直线平行．
③内错角相等，两直线平行．
④同旁内角互补，两直线平行．
⑤在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
⑥平行于同一条直线的两条直线互相平行．
(2)性质：
①两直线平行，同位角相等．
②两直线平行，内错角相等．
③两直线平行，同旁内角互补．
■考点一 线段、射线、直线的概念、度量及计算
◇典例1：（2021 包头）已知线段AB＝4，在直线AB上作线段BC，使得BC＝2，若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．2或3
【考点】两点间的距离．
【答案】C
【点拨】根据题意可分为两种情况，①点C在线段AB上，可计算出AC的长，再由D是线段AC的中点，即可得出答案；②BC在线段AB的延长线上，可计算出AC的长，再由D是线段AC的中点，即可得出答案．
【解析】解：根据题意分两种情况，
①如图1，
∵AB＝4，BC＝2，
∴AC＝AB﹣BC＝2，
∵D是线段AC的中点，
∴AD＝＝；
②如图2，
∵AB＝4，BC＝2，
∴AC＝AB+BC＝6，
∵D是线段AC的中点，
∴AD＝＝×6＝3．
∴线段AD的长为1或3．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了两点之间的距离，正确理解题目并进行分情况进行计算是解决本题的关键．
◆变式训练
1．（2023 婺城区模拟）如图，小亮为将一个衣架固定在墙上，他在衣架两端各用一个钉子进行固定，用数学知识解释他这样操作的原因，应该是（ ）
A．过一点有无数条直线 B．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短
【考点】直线的性质：两点确定一条直线．
【答案】C
【点拨】根据公理“两点确定一条直线”来解答即可．
【解析】解：因为“两点确定一条直线”，所以他在衣架两端各用一个钉子进行固定．
故选：C．
【点睛】本题考查的是直线的性质，即两点确定一条直线．
2．（2023 桃城区校级模拟）下列四个图中，能表示线段x＝a+c﹣b的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】直线、射线、线段．
【答案】B
【点拨】根据线段的和差即可得出答案．
【解析】解：根据线段的和差可得，
能表示线段x＝a+c﹣b的是B，
故选：B．
【点睛】本题考查了线段的和差，掌握线段的和差是解题的关键．
■考点二 角的概念、度量及计算
◇典例2：（2022 丽水模拟）将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中∠α与∠β不一定相等的是（ ）
A． B． C．D．
【考点】余角和补角．
【答案】B
【点拨】A、由图形可分别求出∠α＝∠β＝45°，即可做出判断；
B、由图形可得两角互余，即可做出判断；
C、由对顶角相等可得∠α＝∠β，即可做出判断；
D、根据同角的余角相等，即可做出判断．
【解析】解：A、由图形可得∠β＝45°，∠α＝∠90°﹣45°＝45°，则∠α＝∠β＝45°，故A不符合题意；
B、由图形可得∠α+∠β＝90°，故B符合题意；
C、由对顶角相等得：∠α＝∠β，故C不符合题意；
D、根据同角的余角相等，得：∠α＝∠β，故D不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题主要考查余角，解答的关键是对余角的定义的掌握．
◆变式训练
1．（2021 兴安盟）74°19′30″＝ 74.325 °．
【考点】度分秒的换算．
【答案】74.325
【点拨】先将30″化成“分”，再将19.5′化成“度”即可．
【解析】解：30×（）′＝0.5′，
19′+0.5′＝19.5′，
19.5×（）°＝0.325°，
74°+0.325°＝74.325°，
故答案为：74.325．
【点睛】本题考查度、分、秒的换算，掌握度、分、秒的换算进率和换算方法是得出正确答案的前提．
2．（2023 河北一模）如图1，图2所示，把一副三角板先后放在∠AOB上，则∠AOB的度数可能（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【考点】角的大小比较．
【答案】C
【点拨】结合三角板的相应的角的度数与∠AOB的比较，可判断∠AOB的范围，从而可求解．
【解析】解：由图1可得∠AOB＜45°，由图2可得∠AOB＞30°，
∴30°＜∠AOB＜45°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查角的大小的比较，解答的关键是由图比较出∠AOB的范围．
3．（2023 北京）如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝126°，则∠BOC的大小为（ ）
A．36° B．44° C．54° D．63°
【考点】余角和补角．
【答案】C
【点拨】先求出∠COD的度数，然后根据∠BOC＝∠BOD﹣∠COD，即可得出答案．
【解析】解：∵∠AOC＝90°，∠AOD＝126°，
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝36°，
∵∠BOD＝90°，
∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD
＝90°﹣36°
＝54°．
故选：C．
【点睛】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是仔细观察图形，根据角的和差首先求出∠COD的度数．
■考点三 两直线相交及其性质
◇典例3：（2023 鲁山县一模）如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠AOD＝120°，则∠EOB度数是（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．
【答案】B
【点拨】根据对顶角相等可得∠BOC＝120°，再根据角平分线的性质，可得，进而得到答案．
【解析】解：∵∠AOD＝120°，
∴∠BOC＝120°，
∵OE平分∠COB，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了对顶角相等和角平分线的定义等知识，掌握对顶角相等是关键．
◆变式训练
1．（2022 河南）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（ ）
A．26° B．36° C．44° D．54°
【考点】垂线；对顶角、邻补角．
【答案】B
【点拨】首先利用垂直的定义得到∠COE＝90°，然后利用平角的定义即可求解．
【解析】解：∵EO⊥CD，
∴∠COE＝90°，
∵∠1+∠COE+∠2＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠COE＝180°﹣54°﹣90°＝36°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了垂直的定义和平角的性质计算，要注意领会由垂直得直角这一要点．
2．（2023 余杭区二模）点A为直线BC外一点，AC⊥BC于点C，AC＝6．点P是直线BC上的动点，则线段AP长可能是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【考点】垂线段最短．
【答案】D
【点拨】利用垂线段最短得到AP≥AC，然后对各选项进行判断．
【解析】解：∵AC⊥BC，
∴AP≥AC，
即AP≥6．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂线段最短：垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
■考点四 平行线的判定与性质
◇典例4： 1．（2023 南浔区二模）如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b．若∠1＝50°，则∠2＝（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【考点】平行线的性质．
【答案】C
【点拨】由平行线的性质：两直线平行内错角相等，即可得到答案．
【解析】解：∵a∥b，
∴∠2＝∠1＝50°．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，关键是掌握平行线的性质．
2．（2023 缙云县一模）如图是一款教室护眼灯AB，用两根电线AC，BD吊在天花板EF上，已知∠ACD＝90°，为保证护眼灯AB与天花板EF平行，添加下列条件中，正确的是（ ）
A．∠BDC＝90° B．∠BDF＝90° C．∠BAC＝90° D．∠ACE＝90°
【考点】平行线的判定．
【答案】C
【点拨】根据平行线的判定逐项分析即可得到结论．
【解析】解：A、由∠BDC＝90°，不能判定AB∥EF，故该选项不符合题意；
B、由∠BDF＝90°，不能判定AB∥EF，故该选项不符合题意；
C、由∠BAC＝90°，能判定AB∥EF，故该选项符合题意；
D、由∠ACE＝90°，不能判定AB∥EF，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解决问题的关键．
◆变式训练
1．（2022 杭州）如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．
【答案】C
【点拨】由∠AEC为△CED的外角，利用外角性质求出∠D的度数，再利用两直线平行内错角相等即可求出∠A的度数．
【解析】解：∵∠AEC为△CED的外角，且∠C＝20°，∠AEC＝50°，
∴∠AEC＝∠C+∠D，即50°＝20°+∠D，
∴∠D＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D＝30°．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的性质，以及外角性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
2．（2021 嘉兴二模）已知，∠ABC和∠DEF中，AB∥DE，BC∥EF．试探究：
（1）如图1，∠B与∠E的关系是 ∠B＝∠E ；
（2）如图2，写出∠B与∠E的关系，并说明理由；
（3）根据上述探究，请归纳得到一个真命题．
【考点】平行线的判定与性质．
【答案】（1）∠B＝∠E，证明见解析；
（2）∠B+∠E＝180°，证明见解析；
（3）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补．
【点拨】（1）根据平行线的性质得出∠B＝∠1，∠1＝∠E，即可得出答案；
（2）根据平行线的性质得出∠B+∠1＝180°，∠1＝∠E，即可得出答案；
（3）根据（1）（2）可推出，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补．
【解析】解：（1）∠B＝∠E，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠1
∵BC∥EF，
∴∠1＝∠E，
∴∠B＝∠E；
（2）∠B+∠E＝180°．
∵AB∥DE，
∴∠B+∠1＝180°，
∵BC∥EF，
∴∠E＝∠1，
∴∠B+∠E＝180°．
（3）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、命题与证明，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
1．（2023 义乌市模拟）若∠α＝60°32'，则∠α的余角是（ ）
A．29°68' B．29°28' C．119°68' D．119°28'
【考点】余角和补角；度分秒的换算．
【答案】B
【点拨】根据余角的定义解答即可．
【解析】解：若∠α＝60°32'，则∠α的余角是90°﹣60°32'＝29°28'．
故选：B．
【点睛】本题考查余角的定义．掌握和为90°的两角互为余角是解题的关键．
2．（2021 台州）小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．三角形两边之和大于第三边 D．两点确定一条直线
【考点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短；直线的性质：两点确定一条直线．
【答案】A
【点拨】根据线段的性质，可得答案．
【解析】解：从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，理由是两点之间线段最短，
故选：A．
【点睛】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质并应用是解题的关键．
3．（2023 金华模拟）已知∠α＝76°22′，则∠α的补角是（ ）
A．103°38′ B．103°78′ C．13°38′ D．13°78′
【考点】余角和补角；度分秒的换算．
【答案】A
【点拨】根据补角的定义：若两个角的和为180°，则这两个角互补，列出式子计算即可．
【解析】解：180°﹣76°22′＝103°38′，
故选：A．
【点睛】本题考查了补角的定义，度分秒的换算，掌握1°＝60′是解题的关键．
4．（2023 西湖区三模）如图，∠ACB＝90°，AC＝4，点P是直线CB上动点，则线段AP长度不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】垂线段最短．
【答案】A
【点拨】由垂线段的性质：垂线段最短，即可得到答案．
【解析】解：∠ACB＝90°，AC＝4，点P是直线CB上动点，则线段AP长度不可能是3．
故选：A．
【点睛】本题考查垂线段最短，关键是掌握垂线段的性质：垂线段最短．
5．（2022 萧山区校级一模）在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，那么有（ ）
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＞∠BOC C．∠BOC＞∠AOB D．∠AOB＞∠AOC
【考点】角的大小比较．
【答案】D
【点拨】根据题意画出图，观察图即可得答案．
【解析】解：如图：
∵C点是∠AOB内部任一点，
∴∠AOC与∠BOC的大小无法确定，
由图可知∠AOB必大于∠AOC，
故选：D．
【点睛】本题考查角的大小比较，能够根据题意画出图是解题的关键．
6．（2023 金华模拟）一艘轮船从A港出发，沿着北偏东60°的方向航行，行驶至B处时发现前方有暗礁，所以转向北偏西25°方向航行，到达C后需要把航向恢复到出发时的航向，此时轮船航行的航向向顺时针方向转过角度α的度数为（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
【考点】方向角；平行线的性质．
【答案】C
【点拨】根据平行线的性质以及三角形的外角性质解答即可．
【解析】解：如图，
由题意可知，AM∥BD，AB∥CE，
∴∠A+∠ABD＝180°，∠BDC+∠ABD＝180°，
∴∠BDC＝∠A＝60°，
∴∠α＝∠BDC+∠CBD＝60°+25°＝85°．
故选：C．
【点睛】此题考查平行线的性质及方向角的定义，正确理解方向角是关键．
7．（2022 婺城区模拟）木工师傅用刨子可将木板刨平，如图，经过刨平的木板上的两个点，而且只能弹出一条墨线，其数学原理为（ ）
A．两点之间线段最短 B．垂线段最短
C．两点确定一条直线 D．两边之和大于第三边
【考点】垂线段最短；直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短．
【答案】C
【点拨】由直线的性质：两点确定一条直线，即可得到答案．
【解析】解：经过刨平的木板上的两个点，而且只能弹出一条墨线，其数学原理为：两点确定一条直线．
故选：C．
【点睛】本题考查直线的性质，关键是掌握直线的性质：两点确定一条直线．
8．（2023 上城区一模）如图，点A为直线BD外一点，AC⊥BD，垂足为点C，点A到直线BD的距离是线段（ ）的长度．
A．AC B．CD C．BC D．AD
【考点】点到直线的距离．
【答案】A
【点拨】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可判断．
【解析】解：AC⊥BD，垂足为点C，点A到直线BD的距离是线段AC的长度．
故选：A．
【点睛】本题考查点到直线的距离，关键是掌握点到直线的距离的定义．
9．（2023 金华）如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，则∠4的度数是（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°
【考点】平行线的判定与性质．
【答案】C
【点拨】由同位角相等两直线平行得到a与b平行，再由两直线平行同旁内角互补，求出∠5的度数，根据对顶角相等即可求出∠4的度数．
【解析】解：∵∠1＝∠3＝50°，
∴a∥b，
∴∠5+∠2＝180°，
∵∠2＝50°，
∴∠5＝130°，
∴∠4＝∠5＝130°．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
10．（2021 台州）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝（ ）
A．40° B．43° C．45° D．47°
【考点】平行线的性质．
【答案】B
【点拨】直接利用三角形外角的性质结合平行线的性质和三角形内角和定理得出答案．
【解析】解：方法1：如图，∵∠1＝47°，∠4＝45°，
∴∠3＝∠1+∠4＝92°，
∵矩形对边平行，
∴∠5＝∠3＝92°，
∵∠6＝45°，
∴∠2＝180°﹣45°﹣92°＝43°．
方法2：如图，作矩形两边的平行线，
∵矩形对边平行，
∴∠3＝∠1＝47°，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠4＝90°﹣47°＝43°
∴∠2＝∠4＝43°．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质、平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．
11．（2023 仙居县一模）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为（ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°
【考点】平行线的性质．
【答案】D
【点拨】过∠2顶点作直线l∥支撑平台，直线l将∠（2分）成两个角即∠4、∠5，根据平行线的性质即可求解．
【解析】解：如图所示，过∠2顶点作直线l∥支撑平台，直线l将∠2分成两个角∠4和∠5，
∵工作篮底部与支撑平台平行、直线l∥支撑平台，
∴直线l∥支撑平台∥工作篮底部，
∴∠1＝∠4＝30°、∠5+∠3＝180°，
∵∠4+∠5＝∠2＝50°，
∴∠5＝50°﹣∠4＝20°，
∴∠3＝180°﹣∠5＝160°，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
12．（2023 滨江区二模）已知点A，B，C是直线l上互不重合的三个点，设AB＝a2+a+4，AC＝na，BC＝2na+1，其中n，a是常数，（ ）
A．若0＜n≤1，则点A在点B，C之间 B．若2＜n≤3，则点A在点B，C之间
C．若0＜n≤1，则点C在点A，B之间 D．若2＜n≤3，则点C在点A，B之间
【考点】线段的和差；根的判别式．
【答案】D
【点拨】根据点A，B，C是直线上互不重合的三个点，设当点A在点B，C之间时，BC＝BA+AC恒成立；设点C在点A，B之间时，AB＝AC+CB恒成立；分别代入求解即可．
【解析】解：当点A在点B，C之间时，BC＝BA+AC恒成立，即方程至少有一解，
（2na+1）＝（a2+a+4）+（na），
化简得a2+（1﹣n）a+3＝0，
Δ＝（1﹣n）2﹣12．
若0≤n≤1，则Δ（1﹣n）2﹣12＜0，不符合条件，故A选项错误；
若2＜n≤3，则Δ（1﹣n）2﹣12＜0，不符合条件，故B选项错误；
当点C在点A，B之间时，AB＝AC+CB恒成立，即方程至少有一解，
（a2+a+4）＝（2na+1）+（na），
化简得a2+（1﹣3n）a+3＝0，
Δ＝（1﹣3n）2﹣12．
若0＜n≤1，则Δ＝（1﹣3n）2﹣12＜0，不符合条件，故C选项错误；
若2＜n≤3，则Δ＝（1﹣3n）2﹣12＞0，符合条件，故D选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了线段的和与差，一元二次方程根的判定，依据题意，列方程，结合选项进行验证是解题的关键．
13．（2022 桂林）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝ 4 cm．
【考点】两点间的距离．
【答案】4．
【点拨】根据中点的定义可得AB＝2AC＝4cm．
【解析】解：根据中点的定义可得：AB＝2AC＝2×2＝4cm，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查中点的定义，熟知中点的定义是解题关键．
14．（2023 台州）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝20°，则∠2的度数为 140° ．
【考点】平行线的性质．
【答案】140°．
【点拨】利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解．
【解析】解：如图，标注三角形的三个顶点A、B、C．
∠2＝∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB．
∵图案是由一张等宽的纸条折成的，
∴AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
又∵纸条的长边平行，
∴∠ABC＝∠1＝20°，
∴∠2＝∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣2∠1＝180°﹣2×20°＝140°．
故答案为：140°．
【点睛】本题比较简单，主要考查了平行线的性质的运用．
15．（2021 长兴县模拟）比较大小：38°15′ ＞ 38.15°（选填“＞”“＜”“＝”）．
【考点】度分秒的换算．
【答案】＞
【点拨】将38.15°化为38°9′，再进行比较即可得出答案．
【解析】解：∵0.15°＝0.15×60′＝9′，
∴38.15°＝38°9′，
∴38°15′＞38°9′，即38°15′＞38.15°，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查度、分、秒换算，掌握度、分、秒的换算方法是得出正确的前提．
16．（2023 金东区二模）如图，AD∥BC，点E是BA延长线上一点，∠E＝∠DCE．
（1）求证：∠B＝∠D．
（2）若CE平分∠BCD，∠E＝47°，求∠B的度数．
【考点】平行线的性质．
【答案】（1）见解答过程；
（2）86°．
【点拨】（1）先利用平行线的性质可得∠B＝∠EAD，再利用已知和平行线的判定可得EB∥CD，然后再利用平行线的性质可得∠D＝∠EAD，即可解答；
（2）根据已知可得∠DCE＝47°，再利用角平分线的定义可得∠BCE＝∠DCE＝47°，然后利用三角形内角和定理，进行计算即可解答．
【解析】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠B＝∠EAD，
∵∠E＝∠DCE，
∴EB∥CD，
∴∠D＝∠EAD，
∴∠B＝∠D；
（2）解：∵∠E＝47°，∠E＝∠DCE，
∴∠E＝∠DCE＝47°，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE＝47°，
∴∠B＝180°﹣∠E﹣∠BCE＝86°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
17．（2023 乐清市模拟）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BD平分∠ABC，∠1与∠2互补．
（1）求证：EF∥BD．
（2）若∠A＝65°，∠AEF＝80°，求∠CBD的度数．
【考点】平行线的判定与性质；多边形内角与外角．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）35°．
【点拨】（1）由AB∥CD可得∠DBF＝∠1，结合∠1与∠2互补得∠2+∠DBF＝180°，据此即可得证；
（2）由三角形外角的性质可得∠2，再根据EF∥BD可求∠DBF，再根据平分线定义可得答案．
【解析】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠DBF＝∠1，
∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2＝180°，
∴∠2+∠DBF＝180°，
∴EF∥BD；
（2）解：∵∠A＝65°，∠AEF＝80°，
∴∠2＝145°，
∵EF∥BD，
∴∠DBF＝180°﹣145°＝35°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠DBF＝35°．
【点睛】本题主要考查多边形的内角与外角、平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质、三角形的外角的性质及角平分线的性质．
18．（2023 鹿城区二模）如图，在△ABC中，DE∥AB，交AC，BC分别于点D、E，已知∠1＝∠2．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）当AC＝BC时，请判断DE与BE的大小关系，并说明理由．
【考点】平行线的性质．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）DE＝BE，理由见解答过程．
【点拨】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可；
（2）根据AC＝BC和等腰三角形的性质、平行线的性质，可以得到DE与BE的关系．
【解析】（1）证明：∵DE∥AB，
∴∠2＝∠BAE，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BAE，
∴AE平分∠BAC；
（2）解：DE＝BE，理由如下：
∵AC＝BC，
∴∠B＝∠BAC，
∵DE∥BC，
∴∠B＝∠DEC，∠BAC＝∠EDC，
∴∠DEC＝∠EDC，
∴CD＝CE，
∴AD＝BE，
∵∠1＝∠2，
∴AD＝DE，
∴DE＝BE．
【点睛】本题考查平行线的性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
1．（2023 临沂）如图中用量角器测得∠ABC的度数是（ ）
A．50° B．80° C．130° D．150°
【考点】角的概念．
【答案】C
【点拨】本题根据∠ABC的位置和量角器的使用方法可得出答案．
【解析】解：根据∠ABC起始位置BA，另一条边BC可得：∠ABC＝130°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了学生量角器的使用方法，结合∠ABC的位置进行思考是解题关键．
2．（2022 陕西）若∠A＝48°，则∠A的补角的度数为（ ）
A．42° B．52° C．132° D．142°
【考点】余角和补角．
【答案】C
【点拨】两角相加为180°，则两角互补．
【解析】解：180°﹣48°＝132°．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了补角的定义，正确把握定义是解题关键．
3．（2023 莲池区二模）下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A．B． C． D．
【考点】垂线段最短．
【答案】A
【点拨】由垂线段的性质：垂线段最短，即可判断．
【解析】解：A、测量跳远成绩，可以用“垂线段最短”来解释，故A符合题意；
B、C、可以用“两点确定一条直线”来解释，不可以用“垂线段最短”来解释，故B、C 不符合题意；
D、可以用“两点之间线段最短”来解释，不可以用“垂线段最短”来解释，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查垂线段的性质，关键是掌握垂线段最短．
4．（2021 杭州）如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连结PT，则（ ）
A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ
【考点】垂线段最短．
【答案】C
【点拨】根据垂线的性质“垂线段最短”即可得到结论．
【解析】解：∵PQ⊥l，点T是直线l上的一个动点，连结PT，
∴PT≥PQ，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线的性质是解题的关键．
5．（2023 海淀区校级模拟）如图，已知∠AOC＝90°，∠COB＝60°，OD平分∠AOB，则∠COD的度数是（ ）
A．35° B．30° C．25° D．15°
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【答案】D
【点拨】先求出∠AOB＝60°+90°＝150°，再根据角平分线的定义求得∠BOD＝75°，把对应数值代入∠COD＝∠BOD﹣∠COB即可求解．
【解析】解：∵∠AOB＝60°+90°＝150°，
又∵OD平分∠AOB，，
∴∠BOD＝∠AOB＝×150°＝75°，，
∴∠COD＝∠BOD﹣∠COB＝75°﹣60°＝15°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和角的运算．找到等量关系∠COD＝∠BOD﹣∠COB是解题的关键．
6．（2023 铜仁市模拟）已知A、B、C为直线l上的三点，线段AB＝9cm，BC＝1cm，那么A、C两点间的距离是（ ）
A．10cm B．8cm C．10cm或8cm D．以上说法都不对
【考点】两点间的距离．
【答案】C
【点拨】分类讨论：点C在线段AB上和点C在射线AB上两种情况．
【解析】解：分两种情况：
①点C在线段AB上，则AC＝AB﹣BC＝9﹣1＝8（cm）；
②点C在线段AB的延长线上，AC＝AB+BC＝9+1＝10（ cm）．
故选：C．
【点睛】本题考查了两点间的距离．需要分类讨论，以防漏解．
7．（2023 长兴县二模）如图，点A、D在射线AE上，直线AB∥CD，∠CDE＝140°，那么∠A的度数为（ ）
A．140° B．60° C．50° D．40°
【考点】平行线的性质．
【答案】D
【点拨】延长CD，先根据补角的定义得出∠EFD的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解析】解：延长CD，
∵∠CDE＝140°，
∴∠EDF＝40°．
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠EDF＝40°．
故选：D．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
8．（2022 贵阳模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E，则点B到AC的距离是（ ）
A．线段AB的长度 B．线段BC的长度 C．线段BD的长度 D．线段DE的长度
【考点】点到直线的距离．
【答案】C
【点拨】根据点到直线的距离的定义求解即可．
【解析】解：点到直线的距离是垂线段的长度．
因为求的是点B到AC的距离，
所以应该是点B向AC作垂线段，即线段BD的长度为其距离．
故选：C．
【点睛】本题考查了点到直线的距离的定义，数学学习中对概念的掌握要到位．熟练掌握点到直线或线段的距离的定义，学会用定义解决相关问题．
9．（2021 金华）某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（ ）
如图，已知直线l1，l2，l3，l4．若∠1＝∠2，则∠3＝∠4． 请完成下面的说理过程． 解：已知∠1＝∠2， 根据（内错角相等，两直线平行），得l1∥l2． 再根据（※），得∠3＝∠4．
A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，同旁内角互补
【考点】平行线的判定与性质．
【答案】C
【点拨】先证l1∥l2，再由平行线的性质即可得出结论．
【解析】解：已知∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行，得l1∥l2，
再根据两直线平行，同位角相等，得∠3＝∠4．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
10．（2023 余杭区二模）如图，直线a∥b，点B在直线a上，AB⊥BC，若∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．140°
【考点】平行线的性质；垂线．
【答案】B
【点拨】根据平角的定义得出∠3，进而利用平行线的性质解答即可．
【解析】解：∵AB⊥BC，
∴∠CBA＝90°，
∵∠1＝40°，
∴∠3＝180°﹣∠CBA﹣∠1＝180°﹣90°﹣40°＝50°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝50°，
故选：B．
【点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
11．（2022 兰溪市模拟）小明从A处出发沿北偏东50°方向行走至B处，又从B处沿南偏东70°方向行走至C处，则∠ABC等于（ ）
A．20° B．100° C．120° D．160°
【考点】方向角．
【答案】C
【点拨】根据题意画出图形，再求出50°与70°的和，进行计算即可解答．
【解析】解：如图：
∴∠ABC＝50°+70°＝120°，
故选：C．
【点睛】本题考查了方向角，根据题目的已知条件画出图形进行分析是解题的关键．
12．（2022 拱墅区模拟）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，过点A作AD⊥CD于点D，若AB＝，CD＝，则AC的长可能是（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．1.5
【考点】垂线段最短．
【答案】C
【点拨】根据垂线段最短即可得出结果．
【解析】解：在三角形ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC＜AB，
∵AB＝，
∴AC2＜5，
∵AD⊥CD，
在Rt△ADC中，AC＞CD，
∵CD＝，
∴AC2＞3，
∵32＝9＞5，2.52＝6.25＞5，1.52＝2.25＜3，22＝4，3＜4＜5，
∴AC的长可能是2．
故选：C．
【点睛】本题考查垂线段最短，熟记垂线段最短是解题的关键．
13．（2021 泰州）互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，这三点的位置关系是（ ）
A．点A在B、C两点之间 B．点B在A、C两点之间
C．点C在A、B两点之间 D．无法确定
【考点】两点间的距离；整式的加减．
【答案】A
【点拨】用假设法分别计算各选项中的a值，再根据a＞0判断即可．
【解析】解：∵AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，A、B、C三点互不重合
∴a＞0，
若点A在B、C之间，
则AB+AC＝BC，
即2a+1+3a＝a+4，
解得a＝，
故A情况存在，
若点B在A、C之间，
则BC+AB＝AC，
即a+4+3a＝2a+1，
解得a＝﹣，
故B情况不存在，
若点C在A、B之间，
则BC+AC＝AB，
即a+4+2a+1＝3a，
此时无解，
故C情况不存在，
∵互不重合的A、B、C三点在同一直线上，
故选：A．
【点睛】本题主要考查两点间的距离及整式的加减，分类讨论和反证法的应用是解题的关键．
14．（2023 丰润区模拟）如图，直线l上有三点A，B，C，AB＝5，BC＝10，点P，Q分别从点A，B同时出发，向点C移动，点P的速度是m个单位长/秒，点Q的速度是n个单位长/秒，2m＜3n，那么（ ）
A．点P先到 B．点Q先到
C．点P，Q同时到 D．无法确定哪点先到
【考点】两点间的距离．
【答案】B
【点拨】根据题意可得，P点从点A到点C所用时间为t1＝，Q点从点B到点C所用时间为t2＝，应用分式比较大小﹣作差法可得t1﹣t2＝＝＝，由2m＜3n，可得3n﹣2m＞0，即可得出答案．
【解析】解：根据题意可得，
P点从点A到点C所用时间为t1＝，
Q点从点B到点C所用时间为t2＝，
t1﹣t2＝＝＝，
∵2m＜3n，
∴3n﹣2m＞0，
∴t1﹣t2＞0，
∴Q点先到达．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离及分式比较大小，熟练掌握两点间的距离及分式比较大小的方法进行求解是解决本题的关键．
15．（2022 钱塘区二模）把下面的角度化成度的形式：118°20'42''＝ 118.345° ．
【考点】度分秒的换算．
【答案】118.345°．
【点拨】根据度分秒的进制进行计算即可解答．
【解析】解：∵1′＝60″，
∴42″＝0.7′，
∴20′+0.7′＝20.7′，
∵1°＝60′，
∴20.7′＝0.345°，
∴118°20'42''＝118.345°，
故答案为：118.345°．
【点睛】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．
16．（2022 桂林）如图，直线l1，l2相交于点O，∠1＝70°，则∠2＝ 70 °．
【考点】对顶角、邻补角．
【答案】70．
【点拨】根据对顶角的性质解答即可．
【解析】解：∵∠1和∠2是一对顶角，
∴∠2＝∠1＝70°．
故答案为：70．
【点睛】本题主要考查了对顶角，熟练掌握对顶角相等是解答本题的关键．
17．（2023 乐山）如图，点O在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，若∠AOC＝140°，则∠BOD的度数为 20° ．
【考点】角平分线的定义．
【答案】20°．
【点拨】根据邻补角定义求得∠BOC的度数，再根据角平分线定义即可求得答案．
【解析】解：∵∠AOC＝140°，
∴∠BOC＝180°﹣140°＝40°，
∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠BOD＝∠BOC＝20°，
故答案为：20°．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，此为几何中基础且重要知识点，必须熟练掌握．
18．（2023 杭州）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，点F在线段BC的延长线上．若∠ADE＝28°，∠ACF＝118°，则∠A＝ 90° ．
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．
【答案】90°．
【点拨】由平行线的性质得到∠B＝∠ADE＝28°，由三角形外角的性质得到∠A＝∠ACF﹣∠B＝118°﹣28°＝90°．
【解析】解：∵DE∥BC，
∴∠B＝∠ADE＝28°，
∵∠ACF＝∠A+∠B，
∴∠A＝∠ACF﹣∠B＝118°﹣28°＝90°．
故答案为：90°．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是由平行线的性质求出∠B的度数，由三角形外角的性质即可求出∠A的度数．
19．（2022 丛台区校级三模）如图，直线a，b，c在同一平面内，直线a，c交于点O，∠1＝75°，∠2＝50°．
（1）a，b相交所成的锐角为 25° ；
（2）保持直线b，c固定不动，直线a绕点O最少旋转 65 °时，可使直线a⊥b．
【考点】对顶角、邻补角．
【答案】（1）25°；
（2）65．
【点拨】（1）根据三角形的内角和定理求出∠3即可；
（2）过点O作直线b的垂线，根据三角形的内角和定理求出∠4即可．
【解析】解：（1）如图，直线a、直线b相交的锐角为∠3，
∵∠1＝∠2+∠3，∠1＝75°，∠2＝50°，
∴∠3＝∠1﹣∠2
＝75°﹣50°
＝25°，
即直线a、直线b相交的锐角为25°，
故答案为：25°；
（2）如图，过点O作OA⊥b，垂足为A，
∠4＝90°﹣∠3
＝90°﹣25°
＝65°，
即直线a绕着点O逆时针旋转65°，
故答案为：65．
【点睛】本题考查对顶角、邻补角，理解对顶角相等、掌握邻补角的定义是正确解答的前提．
20．（2023 柯城区校级一模）已知一条直线上有A，B，C三点，线段AB的中点为P，AB＝100，线段BC的中点为Q，BC＝60，则线段PQ的长为 20或80． ．
【考点】两点间的距离．
【答案】20或80
【点拨】本题中由于点A、B、C的相对位置关系不明确，可分为点C在AB的延长线上和点C在AB上两种情况求解；
先依据中点的定义求得PB、BQ的长，然后再依据Q、PB、BQ之间的和差关系求解即可．
【解析】解：①当点C在AB的延长线上时，如图1所示
∵P是AB的中点，Q是BC的中点，
∴PB＝AB＝50，QB＝BC＝30，
∴PQ＝PB+QB＝50+30＝80．
②当点C在AB上时，如图2所示：
∵点P是线段AB的中点，点Q是线段BC的中点
∴PB＝AB＝50，QB＝BC＝30．
∴PQ＝PB﹣QB＝50﹣30＝20．
综上所述：PQ的长为20或80．
故答案为：20或80．
【点睛】本题考查的是线段的中点、线段的和差计算，对题目进行分类讨论是解题的关键；
21．（2021 饶平县校级模拟）如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE为直角，OF平分∠AOE，∠COF＝28°．求∠BOE的度数．
【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．
【答案】56°．
【点拨】首先计算出∠EOF的度数，进而可得∠AOF的度数，再利用平角定义可得∠BOE的度数．
【解析】解：∵∠COE为直角，∠COF＝28°，
∴∠EOF＝90°﹣28°＝62°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠EOF＝62°，
∴∠EOB＝180°﹣62°﹣62°＝56°．
【点睛】此题主要考查了邻补角，关键是理清图中角之间的关系．
22．（2023 新城区一模）如图，B，F，E，C在同一条直线上，∠A＝∠D．
（1）若∠A＝78°，∠C＝47°，求∠BFD的度数．
（2）若∠AEB+∠BFD＝180°，求证：AB∥CD．
【考点】平行线的判定．
【答案】（1）125°；
（2）证明过程见解答．
【点拨】（1）根据等量关系和三角形外角的性质可求∠BFD的度数．
（2）根据平角的定义和等量关系可得∠AEB＝∠CFD，再根据三角形内角和定理和平行线的判定即可求解．
【解析】（1）解：∵∠A＝78°，∠A＝∠D，
∴∠D＝78°，
∵∠C＝47°，
∴∠BFD＝∠D+∠C＝78°+47°＝125°；
（2）证明：∵∠AEB+∠BFD＝180°，∠CFD+∠BFD＝180°，
∴∠AEB＝∠CFD，
∵∠A＝∠D，
∴（180°﹣∠A﹣∠B）+（∠C+∠D）＝180°，
∴∠B＝∠C，
∴AB∥CD．
【点睛】本题考查了平行线的判定，三角形外角的性质，关键是熟悉内错角相等，两直线平行的知识点．
23．（2021 温州三模）如图，已知AB⊥BC，DE⊥AB，∠1＝∠2．
（1）请说明BD∥FG的理由．
（2）若D是AC的中点，F是BC的中点，已知AB＝4，BC＝3，求FG的长度．
【考点】平行线的判定与性质．
【答案】（1）BD∥FG的理由详见解答；
（2）．
【点拨】（1）由AB⊥BC，DE⊥AB可得到DE∥BC，根据平行线的性质得到∠1＝∠DBC结合∠1＝∠2可得结论；
（2）利用勾股定理先求出AC的长，再根据斜边与其中线的关系求出BD的长，最后利用中位线定理求出FG．
【解析】解：（1）BD∥FG的理由如下：
∵AB⊥BC，DE⊥AB，
∴DE∥BC．
∴∠1＝∠DBC．
∵∠1＝∠2，
∴∠DBC＝∠2．
∴BD∥FG．
（2）在Rt△ABC中，∵AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝5．
∵D是AC的中点，
∴BD＝AC＝．
∵F是BC的中点，BD∥FG，
∴FG是△CBD的中位线．
∴FG＝BD＝．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质、中位线的性质等知识点，综合性较强，学会分析，综合利用各个知识点是解决本题的关键．
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