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第四章 三角形与四边形
第二节 三角形
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 三角形三边关系 ☆☆☆ 在初中几何数学中，三角形的基础知识是解决后续很多几何问题的基础.所以，在中考中，与其它几何图形结合考察的几率比较大，特别是全等三角形的性质和判定的综合应用.考生在复习该考点时，不仅要熟悉掌握其本身的性质和应用，还要注重转化思想在题目中的应用，同步联想，其他几何图形在什么情况下会转化成该考点的知识考察.
考点2 三角形的内角与外角 ☆☆
考点3三角形的中线、高线、角平分线 ☆☆☆
考点4 三角形的面积问题 ☆☆
考点5 三角形的中位线 ☆☆
1．三角形的概念与分类
（1）概念：由三条线段首尾顺次相接所围成的平面图形
（2）三角形的分类：
按边的大小分：
按角的大小分：
2.三角形的边角关系
(1)边与边：三角形任何两边的和 第三边；任何两边的差小于第三边．
(2)角与角：三角形三个内角的和等于 ，外角和等于 ；三角形的一个外角等于 ．
3．三角形中的重要线段
名称 定义 性质
角平分线 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段 (1)AD是△ABC的角平分线 ∠BAD＝∠DAC＝∠BAC； (2)遇到角平分线时可利用角平分线上的点到角两边的距离相等，证明线段相等，或构造全等三角形
中线 连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段 (1)AE是△ABC的中线 BE＝CE＝BC； (2)三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形； (3)中线位于一般三角形中，可利用倍长中线法解题
高线 从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段 (1)AF是△ABC的高线 ∠AFB＝∠AFC＝90°； (2)一般可通过作三角形的高线求三角形的面积或构造直角三角形，利用勾股定理来解题
中位线 连结三角形两边的中点的线段 (1)DE是△ABC的中位线 DE∥BC，DE＝BC； (2)遇到中点时，常构造三角形的中位线，利用中位线的性质来解题
■考点一 三角形三边关系
◇典例1：（2022 金华）已知三角形的两边长分别为5cm和8cm，则第三边的长可以是（ ）
A．2cm B．3cm C．6cm D．13cm
◆变式训练
1．（2023 金东区二模）若长度分别为a，2，3的三条线段能组成一个三角形，则a的值可能是（ ）
A．1 B．2 C．5 D．8
2．（2023 微山县二模）已知a，b，c是一个三角形的三边，且a，b满足．则c的取值范围是（ ）
A．c＞1 B．c＜2 C．1＜c≤2 D．1＜c＜3
■考点二 三角形的内角与外角
◇典例2：（2023 通州区一模）如图，一副三角板拼成如图所示图形，则∠BAC的度数为（ ）
A．75° B．60° C．105° D．120°
◆变式训练
1．（2023 漳州模拟）如图，∠CBD是△ABC的外角，∠A＝38°，∠CBD＝68°，则∠C的度数是（ ）
A．68° B．40° C．38° D．30°
2．（2020 富阳区一模）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A的对称点A'落在边BC上，若∠A＝50°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．
3．（2021 西湖区校级二模）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A．∠A＝∠1﹣∠2 B．2∠A＝∠1﹣∠2 C．3∠A＝2∠1﹣∠2 D．3∠A＝2（∠1﹣∠2）
■考点三 三角形的中线、高线、角平分线
◇典例3：（2023 梁山县二模）如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A．AB＝2BF B．∠ACE＝∠ACB C．AE＝BE D．CD⊥BE
◆变式训练
1．（2023 拱墅区校级三模）若AM、AN分别是△ABC的高线和中线，AG是△ABC的角平分线，则（ ）
A．AM＜AG B．AG＜AN C．AN≤AG D．AM≤AN
2．（2022 陕西）如图，AD是△ABC的中线，AB＝4，AC＝3．若△ACD的周长为8，则△ABD的周长为 ．
■考点四 三角形的面积问题
◇典例4：（2023 德兴市一模）如图，BD是△ABC的中线，点E、F分别为BD、CE的中点，若△AEF的面积为3cm2，则△ABC的面积是 cm2．
◆变式训练
1．（2023 鄞州区校级模拟）如图，AC，AD分别为△ABE的中线和高，AC＝AE，已知AD＝5，DE＝2，则△ABD面积为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
2．（2023 梅州一模）如图，△ABC的面积为30，BD＝2CD，E为AB的中点，则△ADE的面积等于（ ）
A．15 B．12 C．10 D．9
■考点五 三角形的中位线
◇典例5：（2023 鹿城区校级三模）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点F．若AD＝7，DE＝5，则BF的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
◆变式训练
1．（2023 金华）如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点，若CD＝4cm，则该工件内槽宽AB的长为 cm．
2．（2022 宁波模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为CA，CB的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若，则DF的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
1．（2022 杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（ ）
A．线段CD是△ABC的AC边上的高线 B．线段CD是△ABC的AB边上的高线
C．线段AD是△ABC的BC边上的高线 D．线段AD是△ABC的AC边上的高线
2．（2023 临平区校级二模）如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（ ）
A．AB＝AC B．BD＝CD C．BD＝AD D．AC＝AD
3．（2023 上城区二模）如图，∠BCD为△ABC的外角，∠A＝64°，∠BCD＝142°，那么∠B＝（ ）
A．60° B．82° C．78° D．80°
4．（2023 金华）在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是（ ）
A．1cm B．2cm C．13cm D．14cm
5．（2020 绍兴）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（2021 下城区校级四模）若△ABC的一个外角等于其中一个内角，则（ ）
A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45°
C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90°
7．（2023 东阳市三模）在△ABC中，BC与BC边上的中线长分别为8cm，4cm，则△ABC的面积不可能为（ ）
A．4cm2 B．8cm2 C．16cm2 D．32cm2
8．（2022 丽水）如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．若AB＝6，BC＝8，则四边形BDEF的周长是（ ）
A．28 B．14 C．10 D．7
9．（2023 临平区校级二模）如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，连接AE，AD．设∠EAD＝α，∠ACB＝β，则∠B的度数为（ ）
A．α﹣ B．2α﹣β C．α+ D．3α﹣β
10．（2021 浙江）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，点D在AC上，且AD＝2，点E是AB上的动点，连结DE，点F，G分别是BC和DE的中点，连结AG，FG，当AG＝FG时，线段DE长为（ ）
A． B． C． D．4
11．（2023 桐乡市一模）若一个三角形的三边长分别为3，4，x，且x是正整数，则x的值可以是 （写出一个即可）．
12．（2023 柯城区校级一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，∠B＝40°，∠C＝60°，若DE∥AB，则∠AED＝ °．
13．（2022 台州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点．若EF的长为10，则CD的长为 ．
14．（2023 临海市一模）如图，△ABC中，AB＝AC＝4，AD平分∠BAC，点E为AC中点，则DE的长为 ．
15．（2023 海曙区模拟）如图，∠DCB＝∠A，CD＝4，BD＝2，∠CDB＝120°，则△ABC的面积为 ．
16．（2023 台州）如图，点C，D在线段AB上（点C在点A，D之间），分别以AD，BC为边向同侧作等边三角形ADE与等边三角形CBF，边长分别为a，b，CF与DE交于点H，延长AE，BF交于点G，AG长为c．
（1）若四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，则a，b，c之间的等量关系为 ；
（2）若四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为 ．
17．（2021 富阳区二模）已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积，古希腊的几何学家海伦给出海伦公式S＝（其中p＝），我国南宋时期数学家秦九韶提出了秦九韶公式S＝，若一个三角形的三边长分别为2，2，3，请你选择自己喜欢的公式计算这个三角形的面积．
18．（2023 永嘉县校级二模）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交边AB于点E，在边AE上取点F，连结DF，使∠1＝∠D．
（1）求证：DF∥BC；
（2）当∠A＝40°，∠DFE＝36°时，求∠2的度数．
19．（2023 湖州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知BC＝10，AD＝12，求BD，DE的长．
20．（2022 滨江区二模）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E为BC上一点，AE交CD于F，且∠AFD＝∠B．
（1）求证：AE⊥BC．
（2）若∠AFD＝45°，∠BAC＝75°，，求△ABC的面积．
1．（2022 衢州）线段a，b，c首尾顺次相接组成三角形，若a＝1，b＝3，则c的长度可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2023 路北区二模）如图所示在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022 金东区一模）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
4．（2021 诸暨市模拟）在学完八上《三角形》一章后，某班组织了一次数学活动课，老师让同学们自己谈谈对三角形相关知识的理解．
小峰说：“存在这样的三角形，他的三条高的比为1：2：3．”
小慧说：“存在这样的三角形，其一边上的中线不小于其他两边和的一半．”
对以上两位同学的说法，你认为（ ）
A．两人都不正确 B．小慧正确，小峰不正确
C．小峰正确，小慧不正确 D．两人都正确
5．（2021 衢州）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连结DE，EF，则四边形ADEF的周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
6．（2023 政和县模拟）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B＝3∠C B．∠A+∠B＝∠C C． D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
7．（2021 河北）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B．
证法1：如图， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形内角和定理）， 又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定义）， ∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代换）． ∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性质）．
证法2：如图， ∵∠A＝76°，∠B＝59°， 且∠ACD＝135°（量角器测量所得） 又∵135°＝76°+59°（计算所得） ∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）．
下列说法正确的是（ ）
A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B．证法1用严谨的推理证明了该定理
C．证法2用特殊到一般法证明了该定理
D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
8．（2023 灌云县校级模拟）如图，AD，BE分别为△ABC的中线和高线，△ABD的面积为5，AC＝4，则BE的长为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．6
9．（2023 陇县一模）在四边形ABCD中，连接AC与BD，若AC⊥BD，且AC＝4，BD＝6，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．24 B．18 C．15 D．12
10．（2023 缙云县二模）如图，在△ABC中，D为AB的中点，E为AC的中点，F是DE上一点，且AF⊥BF，若AB＝12，BC＝20，则线段EF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．（2023 任丘市三模）有四根长度分别为2，4，5，x（x为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能围成一个三角形，则围成的三角形的周长（ ）
A．最小值是8 B．最小值是9 C．最大值是13 D．最大值是14
12．（2023 西安一模）如图，△ABC内有一点O到△ABC三个顶点的距离相等，连接OA、OB、OC，若∠BAO＝35°，∠ACO＝15°，则∠BOC＝（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
13．（2023 长阳县一模）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
14．（2021 新昌县模拟）如图，在△ABC中，若E是AB的中点，F是AC的中点，∠B＝50°，则∠BEF＝ 度．
15．（2022 宝应县一模）如果三角形的两边长分别是3和5，那么它的第三边x的取值范围是 ．
16．（2022 拱墅区模拟）如图，△ABC中，AB＝AC＝6，AD平分∠BAC，点E为AC中点，则DE的长为 ．
17．（2022 台山市模拟）如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为22，AB比AC长3，则△ACD的周长为 ．
18．（2023 大丰区校级模拟）已知a、b、c为△ABC的三边长，且a、b满足|3﹣b|+a2﹣12a+36＝0，c为奇数，则c的取值为 ．
19．（2023 徐汇区模拟）如图，在△ABC中，已知AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD，若E是AD的中点，则＝ ．
20．（2023 宿城区一模）锐角△ABC中，∠A＝30°，AB＝1，则△ABC面积S的取值范围是 ．
21．（2023 鹿城区校级三模）如图，在△ABC中，点E，F分别为AC，BC的中点，点D为BC上一点，连结AD交EF于点G，已知AE＝EG．
（1）求证：∠CAD＝∠BAD；
（2）已知DG＝DF，若∠B＝32°，求∠C的度数．
22．（2023 杭州二模）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点，若AE＝AD，DF＝2．
（1）求证：DE为∠ADF的角平分线；
（2）求BD的长．
23．（2023 诸暨市模拟）在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，点E是射线AB上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交直线CD于点F，∠BEF的角平分线所在的直线与射线CD交于点G．
（1）如图1，点E在线段AD上运动．
①若∠B＝60°，∠ACB＝40°，则∠EGC＝ 50 °；
②若∠A＝90°，求∠EGC的度数；
（2）若点E在射线DB上运动时，探究∠EGC与∠A之间的数量关系．
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第四章 三角形与四边形
第二节 三角形
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 三角形三边关系 ☆☆☆ 在初中几何数学中，三角形的基础知识是解决后续很多几何问题的基础.所以，在中考中，与其它几何图形结合考察的几率比较大，特别是全等三角形的性质和判定的综合应用.考生在复习该考点时，不仅要熟悉掌握其本身的性质和应用，还要注重转化思想在题目中的应用，同步联想，其他几何图形在什么情况下会转化成该考点的知识考察.
考点2 三角形的内角与外角 ☆☆
考点3三角形的中线、高线、角平分线 ☆☆☆
考点4 三角形的面积问题 ☆☆
考点5 三角形的中位线 ☆☆
1．三角形的概念与分类
（1）概念：由三条线段首尾顺次相接所围成的平面图形
（2）三角形的分类：
按边的大小分：
按角的大小分：
2.三角形的边角关系
(1)边与边：三角形任何两边的和大于第三边；任何两边的差小于第三边．
(2)角与角：三角形三个内角的和等于180°，外角和等于360°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
3．三角形中的重要线段
名称 定义 性质
角平分线 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段 (1)AD是△ABC的角平分线 ∠BAD＝∠DAC＝∠BAC； (2)遇到角平分线时可利用角平分线上的点到角两边的距离相等，证明线段相等，或构造全等三角形
中线 连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段 (1)AE是△ABC的中线 BE＝CE＝BC； (2)三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形； (3)中线位于一般三角形中，可利用倍长中线法解题
高线 从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段 (1)AF是△ABC的高线 ∠AFB＝∠AFC＝90°； (2)一般可通过作三角形的高线求三角形的面积或构造直角三角形，利用勾股定理来解题
中位线 连结三角形两边的中点的线段 (1)DE是△ABC的中位线 DE∥BC，DE＝BC； (2)遇到中点时，常构造三角形的中位线，利用中位线的性质来解题
■考点一 三角形三边关系
◇典例1：（2022 金华）已知三角形的两边长分别为5cm和8cm，则第三边的长可以是（ ）
A．2cm B．3cm C．6cm D．13cm
【考点】三角形三边关系．
【答案】C
【点拨】由三角形的两边长分别为5cm和8cm，可得第三边x的长度范围即可得出答案．
【解析】解：∵三角形的两边长分别为5cm和8cm，
∴第三边x的长度范围为：3cm＜x＜13cm，
∴第三边的长度可能是：6cm．
故选：C．
【点睛】此题考查了三角形的三边关系．注意已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
◆变式训练
1．（2023 金东区二模）若长度分别为a，2，3的三条线段能组成一个三角形，则a的值可能是（ ）
A．1 B．2 C．5 D．8
【考点】三角形三边关系．
【答案】B
【点拨】根据三角形的三边关系求出a的范围，判断即可．
【解析】解：由三角形的三边关系可知：3﹣2＜a＜3+2，
∴1＜a＜5，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
2．（2023 微山县二模）已知a，b，c是一个三角形的三边，且a，b满足．则c的取值范围是（ ）
A．c＞1 B．c＜2 C．1＜c≤2 D．1＜c＜3
【考点】三角形三边关系；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．
【答案】D
【点拨】根据非负数的性质列式求出a、b，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求解即可．
【解析】解：由题意得，a﹣1＝0，b﹣2＝0，
解得a＝1，b＝2，
∵2﹣1＝1，1+2＝3，
∴1＜c＜3．
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是三角形三边关系，非负数的性质，解题的关键是熟练的掌握三角形三边关系．
■考点二 三角形的内角与外角
◇典例2：（2023 通州区一模）如图，一副三角板拼成如图所示图形，则∠BAC的度数为（ ）
A．75° B．60° C．105° D．120°
【考点】三角形内角和定理．
【答案】A
【点拨】根据三角形内角和定理计算即可．
【解析】解：∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟记三角形内角和等于180°是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023 漳州模拟）如图，∠CBD是△ABC的外角，∠A＝38°，∠CBD＝68°，则∠C的度数是（ ）
A．68° B．40° C．38° D．30°
【考点】三角形的外角性质．
【答案】D
【点拨】由∠CBD是△ABC的外角，利用三角形的外角性质，可得出∠CBD＝∠A+∠C，再代入各角的度数，即可求出∠C的度数．
【解析】解：∵∠CBD是△ABC的外角，
∴∠CBD＝∠A+∠C，即68°＝38°+∠C，
∴∠C＝68°﹣38°＝30°．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
2．（2020 富阳区一模）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A的对称点A'落在边BC上，若∠A＝50°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ 230° ．
【考点】三角形内角和定理．
【答案】见试题解答内容
【点拨】依据三角形内角和定理，可得△ABC中，∠B+∠C＝130°，再根据∠1+∠2+∠B＝180°，∠3+∠4+∠C＝180°，即可得出∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣（∠B+∠C）＝230°．
【解析】解：∵∠A＝50°，
∴△ABC中，∠B+∠C＝130°，
又∵∠1+∠2+∠B＝180°，∠3+∠4+∠C＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣（∠B+∠C）＝360°﹣130°＝230°，
故答案为：230°．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，综合运用各定理是解答此题的关键．
3．（2021 西湖区校级二模）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A．∠A＝∠1﹣∠2 B．2∠A＝∠1﹣∠2 C．3∠A＝2∠1﹣∠2 D．3∠A＝2（∠1﹣∠2）
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【答案】B
【点拨】此题求的是∠A、∠1、∠2之间的数量关系，首先画出折叠前的三角形，设为△BCF，可根据三角形的外角性质，首先表示出∠DEF的度数，进而根据三角形内角和定理，得到所求的结论．
【解析】解：如图，设翻折前A点的对应点为F；
根据折叠的性质知：∠3＝∠4，∠F＝∠A；
由三角形的外角性质知：∠DEF＝∠5+∠3＝∠A+∠2+∠3；
△DEF中，∠DEF＝180°﹣∠4﹣∠F；
故180°﹣∠4﹣∠F＝∠A+∠2+∠3，即：
180°﹣∠4﹣∠A＝∠A+∠2+∠3，
180°﹣∠4﹣∠3＝2∠A+∠2，即∠1＝2∠A+∠2，2∠A＝∠1﹣∠2，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换、三角形内角和定理以及三角形的外角性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．
■考点三 三角形的中线、高线、角平分线
◇典例3：（2023 梁山县二模）如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A．AB＝2BF B．∠ACE＝∠ACB C．AE＝BE D．CD⊥BE
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【答案】C
【点拨】从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．依此即可求解．
【解析】解：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，
∴CD⊥BE，∠ACE＝∠ACB，AB＝2BF，无法确定AE＝BE．
故选：C．
【点睛】考查了三角形的角平分线、中线和高，根据是熟悉它们的定义和性质．
◆变式训练
1．（2023 拱墅区校级三模）若AM、AN分别是△ABC的高线和中线，AG是△ABC的角平分线，则（ ）
A．AM＜AG B．AG＜AN C．AN≤AG D．AM≤AN
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【答案】D
【点拨】根据垂线段最短解答即可．
【解析】解：∵线段AM，AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线，AG是△ABC的角平分线，
根据垂线段最短可知：AM≤AN，AM≤AG，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线、高线和中线，根据垂线段最短判断高线小于等于中线和角平分线是解题的关键．
2．（2022 陕西）如图，AD是△ABC的中线，AB＝4，AC＝3．若△ACD的周长为8，则△ABD的周长为 9 ．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【答案】9．
【点拨】由AD是△ABC的中线，得BD＝CD，又△ACD的周长为8，AC＝3，可得BD+AD＝5，而AB＝4，即得AB+BD+AD＝9．
【解析】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵△ACD的周长为8，
∴AC+CD+AD＝8，
∵AC＝3，
∴BD+AD＝5，
∵AB＝4，
∴AB+BD+AD＝9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查三角形的中线，解题的关键是掌握三角形中线的概念和周长的求法．
■考点四 三角形的面积问题
◇典例4：（2023 德兴市一模）如图，BD是△ABC的中线，点E、F分别为BD、CE的中点，若△AEF的面积为3cm2，则△ABC的面积是 12 cm2．
【考点】三角形的面积．
【答案】12．
【点拨】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
【解析】解：∵F是CE的中点，，
∴，
∵E是BD的中点，
∴S△ADE＝S△ABE，S△CDE＝S△BCE，
∴，
∴△ABC的面积＝12cm2．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
◆变式训练
1．（2023 鄞州区校级模拟）如图，AC，AD分别为△ABE的中线和高，AC＝AE，已知AD＝5，DE＝2，则△ABD面积为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【考点】三角形的面积．
【答案】C
【点拨】由等腰三角形的性质可求出CE的长，进而可求出△ACE的面积，再根据等底同高的三角形面积相等即可求出△ABD的面积，继而可求出△ABD的面积．
【解析】解：∵AC＝AE，AD⊥CE，
∴CD＝DE＝2，
∴CE＝4，
∵AD＝5，
∴△ACE的面积＝×4×5＝10，
∵AC是△ABE的中线，
∴BC＝CE，
∴S△ABD＝S△ACE＝10，
∴△ABD的面积＝10+×2×5＝15．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的中线，高的概念和性质，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解答此题的关键．
2．（2023 梅州一模）如图，△ABC的面积为30，BD＝2CD，E为AB的中点，则△ADE的面积等于（ ）
A．15 B．12 C．10 D．9
【考点】三角形的面积．
【答案】C
【点拨】根据三角形面积公式，两三角形同高，则它们的面积比等于对应底边比，进而求得答案．
【解析】解：∵在△ABD和△ACD中，边BD与CD上的高相同，BD＝2CD，
∴根据三角形的面积公式，S△ABD＝S△ABC＝×30＝20．
同理，∵在△ADE和△BDE中，边AE与BE上的高相同，E为AB的中点，
∴AE＝BE，根据三角形的面积公式，S△ADE＝S△ABD＝×20＝10．
故选：C．
【点睛】本题比较容易，主要考查三角形面积公式的运用．
■考点五 三角形的中位线
◇典例5：（2023 鹿城区校级三模）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点F．若AD＝7，DE＝5，则BF的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【考点】三角形中位线定理．
【答案】C
【点拨】由三角形中位线定理知：AB＝2DE＝10．结合已知条件可以推知AF＝AD＝7，所以由图形得到BF＝AB﹣AD．
【解析】解：∵以点A为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点F，AD＝7，
∴AF＝AD＝7．
在△ABC中，
∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE＝10．
∴BF＝AB﹣AF，即BF＝AB﹣AD＝10﹣7＝3．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，根据已知条件“以点A为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点F”得到AF＝AD＝7是解题的突破口．
◆变式训练
1．（2023 金华）如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点，若CD＝4cm，则该工件内槽宽AB的长为 8 cm．
【考点】三角形中位线定理．
【答案】8．
【点拨】根据三角形中位线定理即可得到结论．
【解析】解：∵点C，D分别是OA，OB的中点，
∴CD是△AOB的中位线，
∴AB＝2CD，
∵CD＝4cm，
∴AB＝2CD＝8（cm），
故答案为：8．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
2．（2022 宁波模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为CA，CB的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若，则DF的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
【考点】三角形中位线定理．
【答案】B
【点拨】根据勾股定理求出AB，根据三角形中位线定理得到DE∥AB，DE＝AB＝3，BE＝BC＝2，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理求出EF＝BE＝2，计算即可．
【解析】解：在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝4，
由勾股定理得：AB＝＝6，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠EBF，
∵D，E分别为CA，CB的中点，
∴DE∥AB，DE＝AB＝3，BE＝BC＝2，
∴∠ABF＝∠EFB，
∴∠EFB＝∠EBF，
∴EF＝BE＝2，
∴DF＝DE﹣EF＝1，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
1．（2022 杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（ ）
A．线段CD是△ABC的AC边上的高线 B．线段CD是△ABC的AB边上的高线
C．线段AD是△ABC的BC边上的高线 D．线段AD是△ABC的AC边上的高线
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【答案】B
【点拨】根据三角形的高的概念判断即可．
【解析】解：A、线段CD是△ABC的AB边上的高线，故本选项说法错误，不符合题意；
B、线段CD是△ABC的AB边上的高线，本选项说法正确，符合题意；
C、线段AD不是△ABC的BC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；
D、线段AD不是△ABC的AC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
2．（2023 临平区校级二模）如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（ ）
A．AB＝AC B．BD＝CD C．BD＝AD D．AC＝AD
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【答案】B
【点拨】根据三角形的中线的定义即可判断．
【解析】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的中线的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
3．（2023 上城区二模）如图，∠BCD为△ABC的外角，∠A＝64°，∠BCD＝142°，那么∠B＝（ ）
A．60° B．82° C．78° D．80°
【考点】三角形的外角性质．
【答案】C
【点拨】利用三角形的外角性质即可求解．
【解析】解：∵∠A＝64°，∠BCD＝142°，∠BCD是△ABC的外角，
∴∠B＝∠BCD﹣∠A＝78°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
4．（2023 金华）在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是（ ）
A．1cm B．2cm C．13cm D．14cm
【考点】三角形三边关系．
【答案】C
【点拨】首先设第三条线段长为x cm，再利用三角形的三边关系可得x的范围，然后可得答案．
【解析】解：设第三条线段长为x cm，由题意得：
8﹣6＜x＜8+6，
解得：2＜x＜14，
只有13cm适合，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
5．（2020 绍兴）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】三角形三边关系．
【答案】B
【点拨】利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论．
【解析】解：①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；
②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；
③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；
④长度分别为6、3、3，不能构成三角形；
综上所述，得到三角形的最长边长为5．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，利用了三角形中三边的关系求解．注意分类讨论，不重不漏．
6．（2021 下城区校级四模）若△ABC的一个外角等于其中一个内角，则（ ）
A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45°
C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90°
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【答案】D
【点拨】根据三角形的外角性质、邻补角的概念计算即可．
【解析】解：∵三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角，
∴△ABC的一个外角等于其中一个内角时，这个外角等于它的邻补角，
∴这个三角形必有一个内角等于90°，
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角是解题的关键．
7．（2023 东阳市三模）在△ABC中，BC与BC边上的中线长分别为8cm，4cm，则△ABC的面积不可能为（ ）
A．4cm2 B．8cm2 C．16cm2 D．32cm2
【考点】三角形的面积；垂线段最短．
【答案】D
【点拨】根据题意，画出图形，作出辅助线，由垂线段最短即可解答．
【解析】
解：如图，根据题意，AN为BC边上的中线，过A作AM⊥BC于M，
由垂线段最短知，AM≤AN＝4cm，
∴
＝
＝4AM≤16cm2．
∴△ABC的面积不可能为32cm2．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的面积，垂线段最短，解题的关键是利用数形结合方法解答．
8．（2022 丽水）如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．若AB＝6，BC＝8，则四边形BDEF的周长是（ ）
A．28 B．14 C．10 D．7
【考点】三角形中位线定理．
【答案】B
【点拨】根据三角形中位线定理解答即可．
【解析】解：∵D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，
∴DE＝BF＝AB＝3，
∵E、F分别为AC、AB中点，
∴EF＝BD＝BC＝4，
∴四边形BDEF的周长为：2×（3+4）＝14，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
9．（2023 临平区校级二模）如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，连接AE，AD．设∠EAD＝α，∠ACB＝β，则∠B的度数为（ ）
A．α﹣ B．2α﹣β C．α+ D．3α﹣β
【考点】三角形内角和定理．
【答案】B
【点拨】先根据等腰三角形的性质，用β的代数式表示∠AEC．在三角形AED中，用α和β的代数式表示∠ADE，最后在等腰三角形ABD中根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°，即可表示出∠B的度数．
【解析】解：由题意得：BA＝BD，CA＝CE，
∵CA＝CE，∠ACB＝β，
∴＝，
在△AED中，∠ADE＝180°﹣∠AED﹣∠EAD
＝180°﹣
＝90°+，
∵BA＝BD，
∴，
在△BAD中，
＝2α﹣β．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点．解决本题的关键是熟练掌握和运用等腰三角形的性质．
10．（2021 浙江）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，点D在AC上，且AD＝2，点E是AB上的动点，连结DE，点F，G分别是BC和DE的中点，连结AG，FG，当AG＝FG时，线段DE长为（ ）
A． B． C． D．4
【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；等腰直角三角形．
【答案】A
【点拨】法一：分别过点G，F作AB的垂线，垂足为M，N，过点G作GP⊥FN于点P，由中位线定理及勾股定理可分别表示出线段AG和FG的长，建立等式可求出结论．
法二：连接DF，AF，EF，利用中位线定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得△DFG是直角三角形，然后再结合全等三角形的判定和性质求勾股定理求解．
【解析】解：如图，分别过点G，F作AB的垂线，垂足为M，N，过点G作GP⊥FN于点P，
∴四边形GMNP是矩形，
∴GM＝PN，GP＝MN，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，
∴CA⊥AB，
又∵点G和点F分别是线段DE和BC的中点，
∴GM和FN分别是△ADE和△ABC的中位线，
∴GM＝＝1，AM＝AE，
FN＝AC＝，AN＝AB＝，
∴MN＝AN﹣AM＝﹣AE，
∴PN＝1，FP＝，
设AE＝m，
∴AM＝m，GP＝MN＝﹣m，
在Rt△AGM中，AG2＝（m）2+12，
在Rt△GPF中，GF2＝（﹣m）2+（）2，
∵AG＝GF，
∴（m）2+12＝（﹣m）2+（）2，
解得m＝3，即AE＝3，
在Rt△ADE中，DE＝＝．
故选：A．
【点睛】本题主要考查中位线定理，勾股定理，矩形的性质与判定，构造中位线是解题过程中常见思路．
11．（2023 桐乡市一模）若一个三角形的三边长分别为3，4，x，且x是正整数，则x的值可以是 6（答案不唯一） （写出一个即可）．
【考点】三角形三边关系．
【答案】6（答案不唯一）．
【点拨】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得x的取值范围．
【解析】解：根据三角形的三边关系可得：4﹣3＜x＜4+3，
即：1＜x＜7，
而x是正整数，
则x的值可以是6，
故答案为：6（答案不唯一）．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围：大于已知两边的差，而小于两边的和．
12．（2023 柯城区校级一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，∠B＝40°，∠C＝60°，若DE∥AB，则∠AED＝ 100 °．
【考点】三角形内角和定理；平行线的性质．
【答案】100．
【点拨】利用平行线的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可．
【解析】解：在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵DE∥AB，
∴∠A+∠AED＝180°，
∴∠AED＝180°﹣80°＝100°．
故答案为：100．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握三角形的内角和为180°和两直线平行，同旁内角互补．
13．（2022 台州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点．若EF的长为10，则CD的长为 10 ．
【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．
【答案】10．
【点拨】根据三角形中位线定理求出AB，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求出CD．
【解析】解：∵E，F分别为BC，CA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AB，
∴AB＝2EF＝20，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，AB＝20，
∴CD＝AB＝10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及三角形的中位线定理，求得AB的长是解本题的关键．
14．（2023 临海市一模）如图，△ABC中，AB＝AC＝4，AD平分∠BAC，点E为AC中点，则DE的长为 2 ．
【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线．
【答案】2．
【点拨】根据等腰三角形三线合一的性质可知点D是BC的中点，DE是△ABC的中位线，根据中位线性质即可求出DE的长．
【解析】解：∵AB＝AC＝4，
∴△ABC是等边三角形，
∵AD平分∠BAC，
∴点D是BC的中点，
∵点E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AB＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质、三角形中位线的性质，正确应用这些性质是解题的关键．
15．（2023 海曙区模拟）如图，∠DCB＝∠A，CD＝4，BD＝2，∠CDB＝120°，则△ABC的面积为 ．
【考点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质．
【答案】．
【点拨】过点C作CE⊥AB于点E，根据∠CDB＝120°求出∠CDE＝60°，然后在Rt△CDE中求出ED，CE的长，再在Rt△CEB中求出BC的长，利用已知条件证得△DBC∽△CBA，根据相似三角形对应边成比例即可求出AB的长，最后根据三角形面积公式计算即可．
【解析】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，
∴∠CED＝90°，
∵∠CDB＝120°，
∴∠CDE＝60°，
∴∠ECD＝30°，
∴，
由勾股定理得：，
∴BE＝BD+ED＝2+2＝4，
在Rt△CEB中，由勾股定理得：，
∵∠DCB＝∠A，
又∵∠DBC＝∠CBA，
∴△DBC∽△CBA，
∴，
即，
解得：BA＝14，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形面积的计算方法，解直角三角形以及相似三角形的性质与判定，熟练掌握这些性质是解题的关键．
16．（2023 台州）如图，点C，D在线段AB上（点C在点A，D之间），分别以AD，BC为边向同侧作等边三角形ADE与等边三角形CBF，边长分别为a，b，CF与DE交于点H，延长AE，BF交于点G，AG长为c．
（1）若四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，则a，b，c之间的等量关系为 5a+5b＝7c ；
（2）若四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为 a2+b2＝c2 ．
【考点】三角形的面积．
【答案】（1）5a+5b＝7c；
（2）a2+b2＝c2．
【点拨】（1）由△ADE和△CBF是等边三角形，可得△CDH和△ABG是等边三角形，DE∥BG，CF∥AG，即知EG＝AG﹣AE＝c﹣a，GF＝BG﹣BF＝c﹣b，根据四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，有2[（c﹣a）+（c﹣b）]＝3（a+b﹣c），故5a+5b＝7c；
（2）由S四边形EHFG＝S△ABG﹣S△BCF﹣S△ADE+S△CDH，四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，可得S△ABG＝S△BCF+S△ADE，即c2＝a2+b2，从而可得a2+b2＝c2．
【解析】解：（1）∵△ADE和△CBF是等边三角形，
∴∠A＝∠ADE＝∠B＝∠BCF＝60°，
∴△CDH和△ABG是等边三角形，DE∥BG，CF∥AG，
∴四边形EHFG是平行四边形，AB＝AG＝BG＝c，CH＝DH＝CD＝AD+BC﹣AB＝a+b﹣c，
∴EG＝AG﹣AE＝c﹣a，GF＝BG﹣BF＝c﹣b，
∵四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，
∴2[（c﹣a）+（c﹣b）]＝3（a+b﹣c），
整理得：5a+5b＝7c，
故答案为：5a+5b＝7c；
（2）∵S四边形EHFG＝S△ABG﹣S△BCF﹣S△ADE+S△CDH，四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，
∴S△ABG﹣S△BCF﹣S△ADE+S△CDH＝S△CDH，
∴S△ABG＝S△BCF+S△ADE，
∵△ABG，△ADE和△CBF是等边三角形，
∴c2＝a2+b2，
∴c2＝a2+b2，
故答案为：a2+b2＝c2．
【点睛】本题考查等边三角形的性质及应用，解题的关键是用含a，b，c的代数式表示相关线段的长度．
17．（2021 富阳区二模）已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积，古希腊的几何学家海伦给出海伦公式S＝（其中p＝），我国南宋时期数学家秦九韶提出了秦九韶公式S＝，若一个三角形的三边长分别为2，2，3，请你选择自己喜欢的公式计算这个三角形的面积．
【考点】三角形的面积．
【答案】．
【点拨】直接利用三角形面积公式，再把已知数据代入得出答案．
【解析】解：方法一：
∵一个三角形的三边长分别为2，2，3，
∴S＝2
＝2
＝
＝．
方法二：
∵一个三角形的三边长分别为2，2，3，
∴p＝＝，
∴S＝
＝
＝
＝．
【点睛】此题主要考查了三角形面积求法，正确运用已知公式是解题关键．
18．（2023 永嘉县校级二模）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交边AB于点E，在边AE上取点F，连结DF，使∠1＝∠D．
（1）求证：DF∥BC；
（2）当∠A＝40°，∠DFE＝36°时，求∠2的度数．
【考点】三角形内角和定理；平行线的判定与性质．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）88°．
【点拨】（1）根据CD平分∠ACB得到∠DCB＝∠1，再由∠1＝∠D等量代换推出∠DCB＝∠D，根据“内错角相等，两直线平行．”即可得证；
（2）先根据平行线的性质求出∠B的度数，然后根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数，由CD平分∠ACB推出∠1的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出∠2的度数．
【解析】（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝∠1，
又∠1＝∠D，
∴∠DCB＝∠D，
∴DF∥BC．
（2）∵DF∥BC，∠DFE＝36°，
∴∠B＝∠DFE＝36°，
在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝36°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣36°＝104°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠1＝∠ACB＝52°，
∴∠2＝180°﹣40°﹣52°＝88°．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和平行线的性质与判定，灵活运用三角形内角和等于180°和平行线的判定和性质定理是解决问题的关键．
19．（2023 湖州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知BC＝10，AD＝12，求BD，DE的长．
【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．
【答案】BD＝5，DE＝．
【点拨】根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出AB＝13，
【解析】解∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴，
∵BC＝10，
∴BD＝5，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，
∵AD＝12，
∴，
∵E为AB的中点，D点为BC的中点，
∴．
【点睛】此题考查了三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的性质，熟记三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
20．（2022 滨江区二模）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E为BC上一点，AE交CD于F，且∠AFD＝∠B．
（1）求证：AE⊥BC．
（2）若∠AFD＝45°，∠BAC＝75°，，求△ABC的面积．
【考点】三角形内角和定理；三角形的面积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【点拨】（1）根据CD⊥AB，可得∠B+∠BCD＝90°，根据对顶角相等可得∠B＝∠CFE，进一步即可得证；
（2）先判定△ABE是等腰直角三角形，可得AE＝BE＝6，再解直角三角形可得CE的长，再求△ABC的面积即可．
【解析】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∵∠AFD＝∠CFE，
又∵∠AFD＝∠B，
∴∠B＝∠CFE，
∴∠CFE+∠BCD＝90°，
∴∠CEF＝90°，
∴AE⊥BC；
（2）解：∵∠AFD＝45°，
∴∠B＝45°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵，
∴AE＝BE＝6，
∵∠BAC＝75°，
∴∠EAC＝30°，
∴EC＝AE tan30°＝，
∴BC＝6+，
∴△ABC的面积＝＝．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的面积等，熟练掌握三角形的内角和定理以及直角三角形的性质是解题的关键．
1．（2022 衢州）线段a，b，c首尾顺次相接组成三角形，若a＝1，b＝3，则c的长度可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】三角形三边关系．
【答案】A
【点拨】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边直接列式计算即可．
【解析】解：∵线段a＝1，b＝3，
∴3﹣1＜c＜3+1，即2＜c＜4．
观察选项，只有选项A符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系定理，掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
2．（2023 路北区二模）如图所示在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【答案】B
【点拨】直接利用高线的概念得出答案．
【解析】解：在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是B，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形高线的作法，正确把握相关定义是解题关键．
3．（2022 金东区一模）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【考点】三角形的外角性质；平行线的性质．
【答案】B
【点拨】利用三角形内角和定理和平行线的性质解题即可．
【解析】解：如图，
∵∠2＝90°﹣30°＝60°，
∴∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝75°，
故选：B．
【点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
4．（2021 诸暨市模拟）在学完八上《三角形》一章后，某班组织了一次数学活动课，老师让同学们自己谈谈对三角形相关知识的理解．
小峰说：“存在这样的三角形，他的三条高的比为1：2：3．”
小慧说：“存在这样的三角形，其一边上的中线不小于其他两边和的一半．”
对以上两位同学的说法，你认为（ ）
A．两人都不正确 B．小慧正确，小峰不正确
C．小峰正确，小慧不正确 D．两人都正确
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【答案】A
【点拨】要判断是否存在这样的三角形，可以利用反证法，从各自的已知条件入手进行推理，看能否推出矛盾，得出矛盾的说明不存在这样的三角形，不出现矛盾的说明存在这样的三角形．
【解析】解：假设存在这样的三角形，它的三条高的比是1：2：3，根据等积法，得到此三角形三边比为6：3：2，这与三角形三边关系相矛盾，故假设错误，所以这样的三角形不存在；
假设存在这样的三角形，其一边上的中线不小于其他两边和的一半，延长中线成2倍，利用三角形全等，可得到三角形中中线的2倍不小于其它两边和，这与三角形三边关系矛盾，故假设错误，所以这样的三角形不存在．
故两人都不正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高；反证法是一种很重要的方法，在解决一些特殊问题时非常有用，注意学习掌握．
5．（2021 衢州）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连结DE，EF，则四边形ADEF的周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【考点】三角形中位线定理．
【答案】B
【点拨】根据三角形中位线定理、线段中点的概念分别求出AD、DE、EF、AF，根据四边形的周长公式计算即可．
【解析】解：∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴DE＝AC＝2.5，AF＝AC＝2.5，EF＝AB＝2，AD＝AB＝2，
∴四边形ADEF的周长＝AD+DE+EF+AF＝9，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
6．（2023 政和县模拟）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B＝3∠C B．∠A+∠B＝∠C C． D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
【考点】三角形内角和定理．
【答案】A
【点拨】根据三角形内角和以及直角三角形的定义可进行求解．
【解析】解：A、由∠A＝∠B＝3∠C及∠A+∠B+∠C＝180°可得，不是直角三角形，故符合题意；
B、由∠A+∠B＝∠C及∠A+∠B+∠C＝180°可得∠C＝90°，是直角三角形，
故不符合题意；
C、由及∠A+∠B+∠C＝180°可得∠C＝90°，∠A＝∠B＝45°，是直角三角形，
故不符合题意；
D、由∠A：∠B：∠C＝1：2：3及∠A+∠B+∠C＝180°可得∠C＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°，是直角三角形，
故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查三角形内角和，熟练掌握三角形内角和是解题的关键．
7．（2021 河北）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B．
证法1：如图， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形内角和定理）， 又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定义）， ∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代换）． ∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性质）．
证法2：如图， ∵∠A＝76°，∠B＝59°， 且∠ACD＝135°（量角器测量所得） 又∵135°＝76°+59°（计算所得） ∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）．
下列说法正确的是（ ）
A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B．证法1用严谨的推理证明了该定理
C．证法2用特殊到一般法证明了该定理
D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【答案】B
【点拨】依据定理证明的一般步骤进行分析判断即可得出结论．
【解析】解：∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确，具有一般性，无需再证明其他形状的三角形，
∴A的说法不正确，不符合题意；
∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确，
∴B的说法正确，符合题意；
∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，不能用特殊情形来说明，
∴C的说法不正确，不符合题意；
∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，与测量次数的多少无关，
∴D的说法不正确，不符合题意；
综上，B的说法正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的外角的性质，定理的证明的一般步骤．依据定理的证明的一般步骤分析解答是解题的关键．
8．（2023 灌云县校级模拟）如图，AD，BE分别为△ABC的中线和高线，△ABD的面积为5，AC＝4，则BE的长为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．6
【考点】三角形的面积．
【答案】A
【点拨】首先利用中线的性质可以求出△ABC的面积，然后利用三角形的面积公式即可求解．
【解析】解：∵AD为△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ACD，
∵△ABD的面积为5，
∴S△ABC＝2S△ABD＝10，
∵BE为△ABC的高线，AC＝4，
∴S△ABC＝×AC×BE＝×4×BE＝10，
∴BE＝5．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了三角形的面积，同时也利用了三角形的中线的性质，有一定的综合性．
9．（2023 陇县一模）在四边形ABCD中，连接AC与BD，若AC⊥BD，且AC＝4，BD＝6，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．24 B．18 C．15 D．12
【考点】三角形的面积．
【答案】D
【点拨】根据三角形的面积公式求出四边形ABCD的面积＝BD AC，再代入求出答案即可．
【解析】解：设AC交BD于O，
∵AC⊥BD，AC＝4，BD＝6，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△CBD
＝BD AO+BD CO
＝BD （AO+CO）
＝BD AC
＝
＝12．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的面积，能求出对角线互相垂直的四边形ABCD的面积＝BD AC是解此题的关键．
10．（2023 缙云县二模）如图，在△ABC中，D为AB的中点，E为AC的中点，F是DE上一点，且AF⊥BF，若AB＝12，BC＝20，则线段EF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】三角形中位线定理．
【答案】C
【点拨】先由直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出DF长，再证明DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理计算DE＝10，即可由EF＝DE﹣DF求解．
【解析】解：∵AF⊥BF，
∴△BFA是直角三角形，
∵D为AB的中点，
∴DF＝AB＝×12＝6，
∵D为AB的中点，E为AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝×20＝10，
∴EF＝DE﹣DF＝10﹣6＝4，
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半、直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键．
11．（2023 任丘市三模）有四根长度分别为2，4，5，x（x为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能围成一个三角形，则围成的三角形的周长（ ）
A．最小值是8 B．最小值是9 C．最大值是13 D．最大值是14
【考点】三角形三边关系．
【答案】D
【点拨】首先写出所有的组合情况，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析即可得到答案．
【解析】解：根据题意可得：2、4、x，4、5、x，2、4、5，2、5、x都能组成三角形，
∴4﹣2＜x＜4+2，5﹣4＜x＜5+4，5﹣2＜x＜5+2，
即2＜x＜6，1＜x＜9，3＜x＜7，
∴3＜x＜6，
∵x为正整数，
∴x取4或5，
要组成的三角形的周长最小，即x＝4时，三边为2，4，4，其最小周长为2+4+4＝10，
要组成的三角形周长最大，即x＝5时，三边为4，5，5，其最大周长为4+5+5＝14，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，利用分类讨论的思想，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，是解答本题的关键．
12．（2023 西安一模）如图，△ABC内有一点O到△ABC三个顶点的距离相等，连接OA、OB、OC，若∠BAO＝35°，∠ACO＝15°，则∠BOC＝（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
【考点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质．
【答案】B
【点拨】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．
【解析】解：∵点O到△ABC三个顶点的距离相等，
∴OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO＝15°，
∴∠OAB＝∠OBA＝20°，∠OAC＝∠OCA＝30°，
在△ABC中，∠OCB+∠OBC＝180°﹣15°×2﹣35°×2＝80°，
∴∠BOC＝180°﹣80°＝100°．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的计算和推理能力．
13．（2023 长阳县一模）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
【考点】三角形的外角性质．
【答案】C
【点拨】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC＝90°+∠1，∠BOC＝90°+∠2．
【解析】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，
∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC，
又∵∠DCE是△BCE的外角，
∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，
＝（∠ACD﹣∠ABC）
＝∠1，故①正确；
∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠1）
＝90°+∠1，故②、③错误；
∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，
∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝ACD，
∴∠OCE＝（∠ACB+∠ACD）＝×180°＝90°，
∵∠BOC是△COE的外角，
∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义．
14．（2021 新昌县模拟）如图，在△ABC中，若E是AB的中点，F是AC的中点，∠B＝50°，则∠BEF＝ 130 度．
【考点】三角形中位线定理．
【答案】130．
【点拨】根据三角形中位线定理得到EF∥BC，根据平行线的性质解答即可．
【解析】解：∵E是AB的中点，F是AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，
∴∠BEF＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°，
故答案为：130．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
15．（2022 宝应县一模）如果三角形的两边长分别是3和5，那么它的第三边x的取值范围是 2＜x＜8 ．
【考点】三角形三边关系．
【答案】2＜x＜8
【点拨】根据三角形的三边关系定理可得5﹣3＜x＜5+3，再解即可．
【解析】解：由题意得：5﹣3＜x＜5+3，
即：2＜x＜8，
故答案为：2＜x＜8．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
16．（2022 拱墅区模拟）如图，△ABC中，AB＝AC＝6，AD平分∠BAC，点E为AC中点，则DE的长为 3 ．
【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线．
【答案】3．
【点拨】根据等腰三角形三线合一的性质可知点D是BC的中点，DE是△ABC的中位线，根据中位线性质即可求出DE的长．
【解析】解：∵AB＝AC＝4，
∴△ABC是等边三角形，
∵AD平分∠BAC，
∴点D是BC的中点，
∵点E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AB＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质、三角形中位线的性质，正确应用这些性质是解题的关键．
17．（2022 台山市模拟）如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为22，AB比AC长3，则△ACD的周长为 19 ．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【答案】19．
【点拨】根据三角形的中线的概念得到BD＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解析】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∵AB比AC长3，
∴AB＝AC+3，
∵△ABD的周长为22，
∴AB+AD+BD＝22，
∴AC+3+AD+DC＝22，
∴AC+AD+DC＝19，
∴△ACD的周长＝AC+AD+DC＝19，
故答案为：19．
【点睛】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
18．（2023 大丰区校级模拟）已知a、b、c为△ABC的三边长，且a、b满足|3﹣b|+a2﹣12a+36＝0，c为奇数，则c的取值为 5或7 ．
【考点】三角形三边关系；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【答案】5或7．
【点拨】先求出a，b，再结合三角形成立的条件，即可求解．
【解析】解：a，b满足|3﹣b|+a2﹣12a+36＝|3﹣b|+（a﹣6）2＝0，
则a＝6，b＝3，
∵a，b，c是△ABC的三边长，
则a﹣b＜c＜a+b，即3＜c＜9，
∵c为奇数，
∴c＝5或7．
故答案为：5或7．
【点睛】本题考查了三角形的三边的关系，非负数的性质，正确理解三角形三边关系定理是解题的关键．
19．（2023 徐汇区模拟）如图，在△ABC中，已知AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD，若E是AD的中点，则＝ 6 ．
【考点】三角形的面积．
【答案】6．
【点拨】设△ECD的面积为S，根据三角形面积公式，利用E是AD的中点得到S△ACD＝2S，再利用BD＝2CD得到S△ABD＝4S，所以S△ABC＝6S，从而得到的值．
【解析】解：设△ECD的面积为S，
∵E是AD的中点，
∴S△ACD＝2S△ECD＝2S，
∵BD＝2CD，
∴S△ABD＝2S△ACD＝2×2S＝4S，
∴S△ABC＝2S+4S＝6S，
∴＝＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S＝×底×高，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是关键．
20．（2023 宿城区一模）锐角△ABC中，∠A＝30°，AB＝1，则△ABC面积S的取值范围是 ＜s＜ ．
【考点】三角形的面积．
【答案】＜s＜．
【点拨】由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案．
【解析】解：若∠B＝90°，
∵∠A＝30°，AB＝1，
∴BC＝，
∴S△ABC＝BA BC＝×1×1＝，
若∠C＝90°，
∵∠A＝30°，AB＝1，
∴AC＝×1＝，BC＝，
∴S△ABC＝AC BC＝××1×＝，
∵△ABC是锐角三角形，
∴△ABC面积S的取值范围是＜s＜．
故答案为：＜s＜．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
21．（2023 鹿城区校级三模）如图，在△ABC中，点E，F分别为AC，BC的中点，点D为BC上一点，连结AD交EF于点G，已知AE＝EG．
（1）求证：∠CAD＝∠BAD；
（2）已知DG＝DF，若∠B＝32°，求∠C的度数．
【考点】三角形中位线定理．
【答案】（1）证明见解析；
（2）84°．
【点拨】（1）根据三角形中位线定理得出EF∥AB，进而利用平行线的性质和等腰三角形的性质解答即可；
（2）根据平行线的性质和三角形的外角性质得出∠C即可．
【解析】（1）证明：∵点E，F分别为AC，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，
∴∠EGA＝∠DAB，
∵AE＝EG，
∴∠EGA＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠BAD；
（2）解：∵EF∥AB，∠B＝32°，
∴∠DFG＝32°，
∵DG＝DF，
∴∠DGF＝32°，∠GDF＝180°﹣32°﹣32°＝116°，
∴∠EGA＝∠DGF＝32°，
∵AE＝EG，
∴∠EAG＝∠EGA＝32°，
∴∠C＝∠GDF﹣∠EAG＝116°﹣32°＝84°．
【点睛】此题考查三角形中位线定理，关键是根据三角形中位线定理得出EF∥AB解答．
22．（2023 杭州二模）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点，若AE＝AD，DF＝2．
（1）求证：DE为∠ADF的角平分线；
（2）求BD的长．
【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．
【答案】见解析
【点拨】（1）根据等腰三角形的性质得到∠AED＝∠ADE，根据三角形中位线定理得到DF∥AE，根据平行线的性质得到∠AED＝∠FDE，根据角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据三角形中位线定理得到AE＝2DF＝4，求得AD＝4，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）证明：∵AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE，
∵D为斜边AC的中点，F为CE中点，
∴DF是△ACE的中位线，
∴DF∥AE，
∴∠AED＝∠FDE，
∴∠ADE＝∠FDE，
∴DE为∠ADF的角平分线；
（2）解：∵D为斜边AC的中点，F为CE中点，DF＝2，
∴AE＝2DF＝4，
∵AE＝AD，
∴AD＝4，
在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，
∴BD＝AC＝AD＝4．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理，直角三角线斜边上的中线和斜边的关系，解答本题的关键是求出AD的长．
23．（2023 诸暨市模拟）在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，点E是射线AB上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交直线CD于点F，∠BEF的角平分线所在的直线与射线CD交于点G．
（1）如图1，点E在线段AD上运动．
①若∠B＝60°，∠ACB＝40°，则∠EGC＝ 50 °；
②若∠A＝90°，求∠EGC的度数；
（2）若点E在射线DB上运动时，探究∠EGC与∠A之间的数量关系．
【考点】三角形内角和定理；平行线的性质．
【答案】（1）①50°；②45°；
（2）∠EGC＝∠A或∠EGC＝90°+∠A．
【点拨】（1）根据平行线的性质，易得∠B＝∠DEF，∠BCD＝∠DFE，根据角平分线的定义，得∠BCD＝∠ACB，∠FEG＝∠DEF＝∠B，根据三角形外角的性质，得∠EGC＝∠DFE+∠FEG＝∠ACB+∠B．①将∠B＝60°，∠ACB＝40°代入∠EGC＝∠ACB+∠B，即可求解；②∠EGC＝∠ACB+∠B＝（∠ACB+∠B）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，将∠A＝90°代入即可求解；
（2）点E在射线DB上运动时，分两种情况讨论：①当点E在线段DB上时，根据平行线的性质，得∠BEF＝180°﹣∠B，∠EFG＝∠BCF，根据角平分线的定义，得∠HEF＝∠BEF＝（180°﹣∠B）＝90°﹣∠B，∠BCF＝∠ACB，根据外角的性质，得∠EGC＝∠HEF﹣∠EFG＝90°﹣∠B﹣∠ACB＝90°﹣（∠ACB+∠B）＝90°﹣（180°﹣∠A）＝90°﹣90°+∠A＝∠A；②当点E在线段DB延长线上时，根据平行线的性质，易得∠ABC＝∠BEF，∠BCD＝∠F，根据角平分线的定义，得∠BCD＝∠ACB，∠FEG＝∠BEF＝∠ABC，根据三角形内角和定理，得∠EGC＝180°﹣（∠FEG+∠F）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A．
【解析】解：（1）∵EF∥BC，
∴∠B＝∠DEF，∠BCD＝∠DFE，
∵CD平分∠ACB，EG平分∠BEF，
∴∠BCD＝∠ACB，∠FEG＝∠DEF＝∠B，
∵∠EGC是△EFG的外角，
∴∠EGC＝∠DFE+∠FEG＝∠ACB+∠B．
①将∠B＝60°，∠ACB＝40°代入∠EGC＝∠ACB+∠B，
得∠EGC＝×40°+×60°＝50°．
故答案为：50°；
②∠EGC＝∠ACB+∠B＝（∠ACB+∠B）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，
将∠A＝90°代入，得∠EGC＝90°﹣×90°＝45°；
（2）①如图2，当点E在线段DB上时，
∵EF∥BC，
∴∠BEF＝180°﹣∠B，∠EFG＝∠BCF，
∵CD平分∠ACB，EH平分∠BEF，
∴∠HEF＝∠BEF＝（180°﹣∠B）＝90°﹣∠B，∠BCF＝∠ACB，
∵∠HEF是△EFG的外角，
∴∠EGC＝∠HEF﹣∠EFG＝90°﹣∠B﹣∠ACB＝90°﹣（∠ACB+∠B）＝90°﹣（180°﹣∠A）＝90°﹣90°+∠A＝∠A；
②如图3，当点E在线段DB延长线上时，
∵EF∥BC，
∴∠ABC＝∠BEF，∠BCD＝∠F，
∵CD平分∠ACB，EG平分∠BEF，
∴∠BCD＝∠ACB，∠FEG＝∠BEF＝∠ABC，
∴∠EGC＝180°﹣（∠FEG+∠F）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A．
综上所述，点E在射线DB上运动时，∠EGC与∠A之间的数量关系为：∠EGC＝∠A或∠EGC＝90°+∠A．
【点睛】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，及三角形内角和定理，三角形外角的性质，利用角平分线定义，平行线的性质结合转化思想，理清∠EGC与∠ABC和∠ACB之间的关系是解题的关键．
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