第二十六章 反比例函数压轴题特训（含解析）

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2023-2024学年数学九年级下册人教版第二十六章反比例函数压轴题特训
1．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点．（，，为常数）
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）将一次函数向下平移个单位后与反比例函数的图像有且只有一个公共点，求的值；
（3）为轴上一点，若的面积为，求点的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，点 ，把线段绕点逆时针旋转到，交轴于点，反比例函数的图象经过点．
（1）求的值；
（2）连接，若点在反比例函数的图象上，求点的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝x﹣3与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，已知点A，B的坐标分别为（4，1）和（m，﹣4）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点P为y轴正半轴上一点，若S△POC＝2S△AOC，求点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中是否存在一点E，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
4．如图，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y= （k≠0）的图象相交于A（﹣1，4）、B（4，﹣1）两点，直线l⊥x轴于点E（﹣4，0），与反比例函数和一次函数的图象分别相交于点C、D，连接AC、BC
（1）求出b和k；
（2）求证：△ACD是等腰直角三角形；
（3）在y轴上是否存在点P，使S△PBC=S△ABC？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且一次函数的图象交轴于点，交轴于点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）在第四象限的反比例图象上有一点，使得，请求出点的坐标．
6．“数形结合”是一种重要的数学思想，八上教材中，我们曾用函数观点看方程，也就是利用一次函数的图象求解二元一次方程组．类似的，学习了一次函数和反比例函数之后，我们也可以将方程的解的研究转化为已学函数图象交点的问题……
（1）方程的解可以转化为一次函数和反比例函数的图像交点问题．请直接写出一对符合要求的和的表达式；
（2）利用“数形结合”，不解方程，借助下面平面直角坐标系，判断方程的解的个数．
7．科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．
（1）求h关于的函数解析式．
（2）当密度计悬浮在另一种液体中时，，求该液体的密度．
8．如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象有一个交点为 .
（1）求反比例函数 函数表达式；
（2）根据图象，直接写出当 时， 的取值范围.
9．一次函数与反比例函数的图象交于，两点，点的坐标为．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）过动点作轴的垂线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于，两点，当在的上方时，请直接写出的取值范围．
10．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为的正方形．点，在坐标轴上．反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点D在反比例函数图象上，且横坐标大于2，．求直线的函数表达式．
11．如图，点A在反比例函数的图象上，点C是点A关于y轴的对称点，的面积是8．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当点A的横坐标为2时，过点C的直线与反比例函数的图象相交于点P，求交点P的坐标．
12．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，的横坐标为，的纵坐标为．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）观察图象，直接写出不等式的解集．
（3）将直线向上平移个单位，交双曲线于、两点，交坐标轴于点、，连接、，若的面积为，求直线的表达式．
13．如图，在平面直角坐标系中，点 为二次函数 与反比例函数 在第一象限的交点，已知该抛物线 与 轴正、负半轴分别交于点 、点 ，交 轴负半轴于点 ，且 ．
（1）求二次函数和反比例函数的表达式；
（2）已知点 为抛物线上一点，且在第三象限，顺次连接点 ，求四边形 面积的最大值．
14．如图，一次函数与函数为的图象交于两点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围；
（3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数在第二象限内的图象相交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）将直线向下平移个单位后与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，求的面积；
（3）设直线的解析式为，根据图象直接写出不等式的解集．
16．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，反比例函数的图象分别与交于点和点，且点为的中点．
（1）求反比例函数的表达式和点的坐标；
（2）若一次函数与反比例函数的图象相交于点，当点在反比例函数图象上之间的部分时（点可与点重合），直接写出的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：将代入，得：，
解得：，
∴反比例函数的解析式为；
将代入，得，
解得：，
∴．
∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：将一次函数向下平移个单位后的解析式为，
联立，
整理，得：．
∵平移后的一次函数与反比例函数的图象有且只有一个公共点，
∴一元二次方程有2个相等的实数根，
∴，
解得：，
∴的值为1或9；
（3）解：过点A作轴于点D，过点B作轴于点C，
∵，，
∴，
∴．
设．
分类讨论：①当点P位于上时，如图点，
则，，
∴，．
∴，即，
解得：，
所以此时点P坐标为；
②当点P位于延长线上时，如图点，
则，，
∴，．
∴，即，
解得：，
所以此时点P坐标为．
2．【答案】（1）解：作轴，垂足为点，
把线段绕点逆时针旋转到，
，，
，
即，
在和中，
，
（），
，，
点，
，，
点的坐标为，，
反比例函数的图象经过点，
；
（2）解：设的解析式为，
点，
，
解得，
的解析式为，
令，则，
点的坐标为，
，
，
，
设点坐标为，
，
，
解得，
点坐标为．
3．【答案】（1）解：把点A（4，1）代入得，
∴k＝4×1＝4，
即反比例函数的解析式为y＝；
（2）解：在y＝x﹣3中，令y＝0，则x＝3，
∴C（3，0），
∴OC＝3，
设P（0，a），
∵S△POC＝2S△AOC，
∴，
∴a＝2，
∴P（0，2）；
（3）解：设E（c，d），
把（m，﹣4）代入y＝x﹣3得﹣4＝x﹣3，
∴x＝﹣1，
∴B（﹣1，﹣4），
∵A（4，1），P（0，2），以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，
∴或或，
∴或或，
∴E（3，﹣5）或（﹣5，﹣3）或（﹣5，7）．
4．【答案】（1）解：∵一次函数y=﹣x+b的图象经过点A（﹣1，4）
∴﹣（﹣1）+b=4，
即b=3，
又∵反比例函数y= （k≠0）的图象经过点A（﹣1，4）
∴k=xy=（﹣1）×4=﹣4；
（2）证明：∵直线l⊥x轴于点E（﹣4，0）则直线l解析式为x=﹣4，∴直线x=﹣4与一次函数y=﹣x+3交于点D，则D（﹣4，7）直线x=﹣4与反比例函数y=﹣ 交于点C，则C（﹣4，1）
过点A作AF⊥直线l于点F，
∵A（﹣1，4），C（﹣4，1），D（﹣4，7）
∴CD=6，AF=3，DF=3，FC=3
又∵∠AFD=∠AFC=90°，
由勾股定理得：AC=AD=3
又∵AD2+AC2= =36
CD2=62=36
∴AD2+AC2=CD2
∴由勾股定理逆定理得：△ACD是直角三角形，
又∵AD=AC
∴△ACD是等腰直角三角形；
（3）解：过点A作AP1∥BC，交y轴于P1，
则S△PBC=S△ABC
∵B（4，﹣1），C（﹣4，1）
∴直线BC的解析式为y=﹣ x
∵设直线AP1的解析式为y=﹣ x+b1，把A（﹣1，4）代入可求b1= ，
∴P1（0， ），
∴作P1关于x轴的对称点P2，则 =S△ABC，
故P2（0，﹣ ）；
即存在P1（0， ），P2（0，﹣ ）；
5．【答案】（1）解：比例函数的图象过点，
，
在双曲线上，
，
，
∴（3，-1）
一次函数的图象经过、两点，
解得：
一次函数的解析式；
（2）解：在中，当时，；当时，则，
，，
∴，
，
，
，
，
由题意得：，
又点P在反比例函数图象上，
的坐标为．
6．【答案】（1）解：方程两边除以x，得：，
即，
∴令，，
则方程的解转化为一次函数和反比例函数的图像交点问题．
（2）解：把变形为：，
设，，
方程的解的个数可转化为两个函数，的图象的交点个数问题，
画出两个函数的图象如下：
观察图象知，两个函数，的图象的交点只有一个，表明方程只有一个解．
7．【答案】（1）解：设h关于的函数解析式为，
把，代入解析式，得．
∴h关于的函数解析式为；
（2）解：把代入，得．
解得：．
答：该液体的密度为.
8．【答案】（1）解：将点P（2，m）代入y＝2x，得m＝4，
∴P（2，4），
将点P（2，4）代入 ，
∴k＝2×4＝8，
∴反比例函数表达式为 ；
（2）∵x＝ 4时， ，x＝ 1时， ，
∴当 4＜x＜ 1时，y的取值范围是 8＜y＜ 2.
9．【答案】（1）解：把代入一次函数，
得，
解得：，
一次函数的解析式为：，
把代入反比例函数，
得，
解得：，
反比例函数的解析式为：；
（2）解：联立，
解得：或，
，
令直线与交于点，如图，
，
当时，，
解得：，
，
（3）解：由图象可得：
，
当在的上方时，的取值范围为：或．
10．【答案】（1）解：四边形是边长为的正方形，
，
；
即反比例函数的表达式为．
（2）解：设，过点D作轴，
点，，，
∴
，
，
解得：，，经检验，是符合题意的根，
即点，
设直线的函数解析式为，得∶
，解得：，
即：直线的函数解析式为．
11．【答案】（1）解：∵点A在反比例函数的图象上，
∴设，
∵点C是点A关于y轴的对称点，
∴，
∵的面积是8．
∴，
解得：；
∴反比例函数解析式为：；
（2）解：∵点A的横坐标为2时，
∴，即，
则，
∵直线过点C，
∴，
∴，
∴直线为，
∴，
解得：或，经检验，符合题意；
∴或．
12．【答案】（1）解：正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，
、关于原点对称，
的横坐标为，的纵坐标为，
，，
点在反比例函数的图象上，
，
，
反比例函数的表达式为；
（2）解：不等式的解集为或
（3）解：方法一：连接，作轴于点，
在直线上，
，解得，
直线的表达式为，
，
，
，
，
，
，
，
直线为．
方法二：
连接，作轴于，
在直线上，
，
直线的表达式为，
，
，
，
，
，
，
设直线的表达式为，
代入点的坐标得，
解得，
直线为．
13．【答案】（1）解：如图，过A点作 轴且与 轴交于点 ；
将 代入 中，解得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
将A，D代入 中得：
解得 ，
∴二次函数表达式为：
（2）解：如图，过 作 轴于 ，并设点 的坐标为 ，
∵M点在第三象限
∴
则 ，
∴当 时四边形 的面积最大，最大面积为9．
14．【答案】（1）解：将代入，可得，
解得，
反比例函数解析式为；
在图象上，
，
，
将，代入，得：
，
解得，
一次函数解析式为；
（2）解：，理由如下：
由（1）可知，
当时，，
此时直线在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为，
即满足时，x的取值范围为；
（3）解：设点P的横坐标为，
将代入，可得，
．
将代入，可得，
．
，
，
整理得，
解得，，
当时，，
当时，，
点P的坐标为或．
15．【答案】（1）解：点在反比例函数的图象上，
，
，
点，
设直线的解析式为，
直线过点，
，解得，
直线的解析式为；
（2）将直线向下平移个单位后得到直线的解析式为，
，
，
联立，解得或，
，，
连接，则的面积，
由平行线间的距离处处相等可得与面积相等，
的面积为．
（3），，
不等式的解集是：或．
16．【答案】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴点E的纵坐标为2，
∵反比例函数的图象分别与交于点和点，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为，
在中，当时，，
∴；
（2）
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