第二章 二次函数压轴题特训（含解析）
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2023-2024学年数学九年级下册北师大版第二章二次函数压轴题特训
1．如图，抛物线y=﹣ x2+ x+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．
（1）试求A，B，C的坐标；
（2）将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD．
①求点D的坐标；
②判断四边形ADBC的形状，并说明理由；
（3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线与轴交于点和．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴交轴于点，点是位于轴上方对称轴上一点，轴，与对称轴右侧的抛物线交于点，四边形是平行四边形，求点的坐标；
（3）在的条件下，连接，轴上方的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．自2020年3月开始，我国生猪、猪肉价格持续上涨，某大型菜场在销售过程中发现，从2020年10月1日起到11月9日的40天内，猪肉的每千克售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示：猪肉的进价与上市时间的关系用图2的一段抛物线表示．
（1） ；
（2）求图1表示的售价与时间的函数关系式；
（3）问从10月1日起到11月9日的40天内第几天每千克猪肉利润最低，最低利润为多少？
4． 在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2＋px＋q的图象过点（－1，0），（3，0）．
（1）求这个二次函数的解折式；
（2）求当－2≤x≤6时，y的最大值与最小值的差；
（3）一次函数y＝（2－m）x＋2－m的图象与二次函数y＝x2＋px＋q图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．
5．如图，抛物线与轴相交于两点，其中点的坐标为点坐标为，且点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为抛物线与轴的交点；
①点在抛物线上，且，求点坐标；
②设点是线段上的动点，作轴交拋物线于点，求线段长度的最大值．
6．二次函数y=ax2+bx+3的图象与×轴交于A (2，0)，B (6，0)两点，与y轴交于点C，顶点为E．
（1）求点E的坐标：
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．
7．某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5米.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3米．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足函数关系
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求水流喷出的最大高度．
8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y= ax2+bx+2的图象与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C．若二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点D (-3，2)，E (-1，3)．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当-2≤x≤2时，求二次函数y=ax2+bx+2最大值与最小值的差；
（3）在二次函数y=ax2+bx+2图象上任取一点P，其横坐标为m．点Q在二次函数图象的对称轴上．若以点P，Q，C为顶点三角形是以∠PCQ为直角的等腰三角形．求点Q的坐标．
9．如图，已知二次函数的图象交轴于点，交轴于点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点是直线下方抛物线上的一动点，求面积的最大值；
（3）直线分别交直线和抛物线于点，当是等腰三角形时，求的值．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线.
（1）求直线l的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M.求的最大值及此时P点的坐标.
11．如图，抛物线y=-x2+bx十c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于C(0，3)，点P在抛物线上，横坐标设为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在x轴上方时，直接写出m的取值范围；
（3）当点P到y轴的距离是1时，直接写出△BCP的面积；
（4）若抛物线在点P右侧部分(含点P)的最高点的纵坐标为-1-m，求m的值．
12．如图，抛物线y=ax2+x+c上的点A，C的坐标分别为(0，2)，(4，0)，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且OM=2，连接AC、CM．
（1）点M的坐标为
（2）求此抛物线的解析式．
（3）点P是抛物线位于第一象限图像上的动点， 连接AP、CP，当S△PAC =S△ACM时，点P的横坐标为
（4）将抛物线沿x轴的负方向平移m(m>0)个单位长度，得到新抛物线，点A的对应点为点A'，点C的对应点为点C'，在抛物线平移的过程中，
①当点C'在线段A'M上时，m的值为 ▲
②当MA'+MC的值最小时，直接写出m的值．
13．已知：是方程的两个实数根，且，抛物线的图像经过点，，如图所示.
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与轴的另一交点为，抛物线的顶点为，试求出点的坐标和的面积；
（3）是线段上的一点，过点作轴，与抛物线交于点，若直线把分成面积之比为2：3的两部分，请直接写出点的坐标.
14． 如图，为已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为，顶点为，连结．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点为该抛物线上一动点与点、不重合，设点的横坐标为．
当时，求的值；
该抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
15． 如图，抛物线的顶点为，与轴的交点为和将抛物线绕点逆时针方向旋转，点，为点，旋转后的对应点，旋转后的抛物线与轴相交于，．
（1）若原抛物线过点，求抛物线的解析式；
（2）若，关于点成中心对称，求直线的解析式；
（3）在的条件下，若点是原抛物线上的一动点，点是旋转后的图形的对称轴上一点，为线段的中点，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形；若存在请求出点坐标，若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：当y=0时，0=﹣ x2+ x+2， 解得：x1=﹣1，x2=4， 则A（﹣1，0），B（4，0）， 当x=0时，y=2， 故C（0，2）
（2）解：①过点D作DE⊥x轴于点E， ∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD， ∴DE=2，AO=BE=1，OM=ME=1.5， ∴D（3，﹣2）； ②∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD， ∴AC=BD，AD=BC， ∴四边形ADBC是平行四边形， ∵AC= ，BC= ，AB=5， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ACB是直角三角形， ∴∠ACB=90°， ∴四边形ADBC是矩形
（3）解：由题意可得：BD= ，AD=2 ， 则 ， 当△BMP∽△ADB时， ， 可得：BM=2.5， 则PM=1.25， 故P（1.5，1.25）， 当△BMP1∽△ABD时， P1（1.5，﹣1.25）， 当△BMP2∽△BDA时， 可得：P2（1.5，5）， 当△BMP3∽△BDA时， 可得：P3（1.5，﹣5）， 综上所述：点P的坐标为：（1.5，1.25），（1.5，﹣1.25），（1.5，5），（1.5，﹣5）．
2．【答案】（1）解：抛物线经过点，，
，解得，
抛物线的解析式为
（2）解：，
抛物线的对称轴为直线，，
四边形是平行四边形，
，
点的横坐标为，
抛物线，当时，，
点的坐标是．
（3）解：存在点，使是直角三角形，
当时，设交于点，作轴于点，
，，，
，
轴，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
；
当时，作交的延长线于点，则，
，
∽，
，
设，则，
，，
，
解得，
，
综上所述，存在点，使是直角三角形，点的坐标为或
3．【答案】（1）
（2）解：当0≤x＜30时，设P=kx+b，
∴
解之：
∴p=2x+60；
当30≤x≤40时，设p=mx+n
解之：
∴p=-2x+180
∴
（3）解：设利润为W，
当0≤x＜30时，
，
∵抛物线的开口向上，
∴当x=20时W的最小值为10；
当30≤x≤40时
，
∵抛物线的开口向上，
∴当x=40时W的最小值为10；
∴当20天或40天，最小利润为10元 / 千克
4．【答案】（1）解：由二次函数y＝x2＋px＋q的图象过点（－1，0），（3，0）．
∴y＝（x＋1）（x－3），
∴此二次函数的表达式为y＝x2－2x－3；
（2）解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴在范围内，当x＝6，函数有最大值为：；当x＝1时函数有最小值：，
∴y的最大值与最小值的差为：21－（－4）＝25；
（3）解：y＝（2－m）x＋2－m与二次函数y＝x2－2x－3图象交点的横坐标为a和b，
∴x2－2x－3＝（2－m）x＋2－m，整理得x2＋（m－4）x＋m－5＝0，
解得：，
∵a＜3＜b，
∴a＝－1，b＝5－m＞3，
解得m＜2，即m的取值范围是m＜2 ．
5．【答案】（1）解：∵抛物线与轴相交于，，
∴设解析式为，
将代入中，得，
解得：，
所以抛物线的解析式为：．
（2）解：①二次函数的解析式为，
抛物线与轴的交点的坐标为，．
设点坐标为，
，
，
，．
当时，；
当时，．
点的坐标为或；
②
设直线的解析式为，将，代入，
得，
解得：．
即直线的解析式为．
设点坐标为，，则点坐标为，
，
当时，有最大值．
6．【答案】（1）解：将A (2，0)， B (6， 0)代入y=ax2+ bx+3，
得
解得
∴二次函数的解析式为y=x2-2x+3．
∴y=x2-2x+3=(x-4)2-1，
∴E(4，-1)；
（2）解：如图1，图2，连接CB，CD，由点C在线段BD的垂直平分线CN上，得CB=CD．
设D(4，m)，
∵C(0，3)，由勾股定理可得：
42+ (m-3)2=62+32．
解得m=3±
∴满足条件的点D的坐标为(4，3+)或(4，3-)；
（3）
解：如图3，设CQ交抛物线的对称轴于点M，
设P (n，n2-2n+3)，则Q(n，n2-n+，)
设直线CQ的解析式为y=k×+3，则n2-n+=nk+3．
解得k=n-2-，于是CQ：y= (n-2-)x+3，
当×=4时，y=4 (n-2-)+3=n-5-
M(4，n-5-)， ME=n-4-．
∵S△CQE= S△CEM+S△QEM
=·n·(n-4-)
=12．
∴n2-4n- 60=0，
解得n=10或n=-6，
当n=10时，P (10，8)，当n=-6时，P(-6，24)．
综合以上可得，满足条件的点P的坐标为(10，8)或(-6，24)．
7．【答案】（1）解：由题意可得，
抛物线经过（0，1.5）和（3，0），
解得：a=-0.5，c=1.5，
即函数表达式为y= .
（2）解：
∴当x=1时，y取得最大值，此时y=2.
答：水流喷出的最大高度为2米．
8．【答案】（1）将D (-3， 2)，E (-1， 3)代入y=ax2+bx+2，
∴
解得
∴y=x2x+2
（2）∵y=x2x+2=
∴抛物线的对称轴为直线x=
当-2≤x≤2时，函数的最大值为，最小值为-3，∴函数的最大值与最小值的差为
（3）∵P 点横坐标为m，
∴P (m，m2m+2)
当x=0时，y=2，
∴C (0， 2)，
当P点在y轴左侧时，
过点P作PN⊥y轴交于点N，过点Q作QM⊥y轴交于点M，
∵∠PCQ=90° ，
∴∠QCM+∠PCN=90°，
∵∠CQM+∠QCM= =90° ，
∴∠CQM=∠PCN，
∵CQ=PC，
∴△CQM≌△PCN (AAS)，
∴QM=CN=m2m，CM=PN=-m，
∴m2m=
解得m=
∵m<0，
∴m=
∴n=2+=．
∴Q (，)；
当P点在y轴右侧时，
过点C作GH⊥y轴，过点P作PH⊥GH交于H点，过点2作GQ⊥GH交于G点，
同理可得△CQG≌△PCH (AAS)， ．
∴CG=PH=，GQ=CH=m，
∴m2+m=
解得m=
∵m<0，
∴m=
∴n=2-=．
∴Q (，)；
综上所述： Q点坐标为(，)或(，)
9．【答案】（1）解：将代入函数表达式，得
解得
这个二次函数的表达式是；
（2）解：当时，，即点，
设直线的表达式为，将点，点代入得解得
直线的表达式为，
过点作轴，交直线于点．
设点坐标为，
点坐标为，
，
，
，
当时，最大，最大值为；
（3）解：由题意得，，，
当时，
①，解得，
②，解得，
当时，，点与点重合，
；
当时，，
，解得或（舍），
当是等腰三角形时，的值为．
10．【答案】（1）解：设直线l的解析式为（）
把A，B两点的坐标代入解析式，得，解得
∴直线l的解析式为；
（2）解：设抛物线的解析式为（）
∵抛物线的对称轴为直线
∴
把A，B两点坐标代入解析式，得解得
∴抛物线的解析式为；
（3）解：∵，，
∴
在中
∴
∵轴，
∴
在中
∵，
∴
∴
在中，
∴
∴
∵
∴设点P的坐标为
∴
∴
∵
∴当时，有最大值是，此时最大
当时
∴
∴的最大值是，此时的P点坐标是.
11．【答案】（1）解：将点A(-1，0)，C(0，3)代入抛物线解析式得：
解得：
则抛物线的解析式为y=-x2+2x十3
（2）-1（3）6或3
（4）解：当m≤1时
若抛物线再点P右侧部分（含点P）的最高点的纵坐标为-1-m
则顶点的纵坐标为-1-m，即4=-1-m
解得：m=-5
当m>1时，则抛物线在x=m处取得最大值
即-1-m=-m2+2m+3
解得：m=-1（舍去）或4
故答案为：m=-5或4
12．【答案】（1）(0，-2)
（2）解：根据题意，得
解得
所以抛物线的解析式为y= -x2+x+2．
（3）2
（4）①8
②
13．【答案】（1）解：解方程，得，.
由，有，.
所以点A，B的坐标分别为，.
将，的坐标分别代入，
得解这个方程组，得
所以抛物线的解析式为.
（2）解：由，令，得.
解这个方程，得，.
所以点C的坐标为，由顶点坐标公式计算，得点.
过D作轴的垂线交轴于，如图所示.
则.
，.
所以
（3）或
14．【答案】（1）解：将点、坐标代入二次函数表达式得：，
解得：，
故抛物线的表达式为：，
令，则或，
即点；
（2）解：如图，过点作轴的平行线交于点，
将点、的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线的表达式为：，
设点，则点，
，
或，
解得或或或；
设直线与交于点，
当点在直线下方时，
，
点在的中垂线上，
线段的中点坐标为，
过该点与垂直的直线的值为，
设中垂线的表达式为：，将点代入上式并解得：直线中垂线的表达式为：，
同理直线的表达式为：，
联立并解得：，即点，
同理可得直线的表达式为：，
联立并解得：或舍去，
故点；
当点在直线上方时，
，
，
则直线的表达式为：，将点坐标代入上式并解得：，
即直线的表达式为：，
联立并解得：或舍去，
故点；
故点的坐标为或．
15．【答案】（1）解：由抛物线的顶点为，设抛物线的解析式为，
把代入得：
，
解得，
；
抛物线的解析式为；
（2）解：连接，设抛物线对称轴交轴于，如图：
将抛物线绕点逆时针方向旋转，点，为点，旋转后的对应点，
，，
，
，关于点成中心对称，
是的中点，即在线段上，
，
，
，
，
，
，
，
设直线解析式为，
将，代入得：
，
解得，
直线解析式为；
（3）解：存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由知，
把代入得：，
解得，
原抛物线解析式为；
，关于直线对称，
，
，为线段的中点，
，
把原抛物线的对称轴直线绕逆时针方向旋转得直线，
设，，
而，，
若，为对角线，则，的中点重合，
，
解得或；
或；
若，为对角线，
，
方程组无实数解；
若，为对角线，
，
解得或，
或；
综上所述，的坐标为或或或
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2023-2024学年数学九年级下册北师大版第二章二次函数压轴题特训
1．如图，抛物线y=﹣ x2+ x+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．
（1）试求A，B，C的坐标；
（2）将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD．
①求点D的坐标；
②判断四边形ADBC的形状，并说明理由；
（3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线与轴交于点和．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴交轴于点，点是位于轴上方对称轴上一点，轴，与对称轴右侧的抛物线交于点，四边形是平行四边形，求点的坐标；
（3）在的条件下，连接，轴上方的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．自2020年3月开始，我国生猪、猪肉价格持续上涨，某大型菜场在销售过程中发现，从2020年10月1日起到11月9日的40天内，猪肉的每千克售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示：猪肉的进价与上市时间的关系用图2的一段抛物线表示．
（1） ；
（2）求图1表示的售价与时间的函数关系式；
（3）问从10月1日起到11月9日的40天内第几天每千克猪肉利润最低，最低利润为多少？
4． 在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2＋px＋q的图象过点（－1，0），（3，0）．
（1）求这个二次函数的解折式；
（2）求当－2≤x≤6时，y的最大值与最小值的差；
（3）一次函数y＝（2－m）x＋2－m的图象与二次函数y＝x2＋px＋q图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．
5．如图，抛物线与轴相交于两点，其中点的坐标为点坐标为，且点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为抛物线与轴的交点；
①点在抛物线上，且，求点坐标；
②设点是线段上的动点，作轴交拋物线于点，求线段长度的最大值．
6．二次函数y=ax2+bx+3的图象与×轴交于A (2，0)，B (6，0)两点，与y轴交于点C，顶点为E．
（1）求点E的坐标：
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．
7．某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5米.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3米．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足函数关系
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求水流喷出的最大高度．
8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y= ax2+bx+2的图象与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C．若二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点D (-3，2)，E (-1，3)．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当-2≤x≤2时，求二次函数y=ax2+bx+2最大值与最小值的差；
（3）在二次函数y=ax2+bx+2图象上任取一点P，其横坐标为m．点Q在二次函数图象的对称轴上．若以点P，Q，C为顶点三角形是以∠PCQ为直角的等腰三角形．求点Q的坐标．
9．如图，已知二次函数的图象交轴于点，交轴于点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点是直线下方抛物线上的一动点，求面积的最大值；
（3）直线分别交直线和抛物线于点，当是等腰三角形时，求的值．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线.
（1）求直线l的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M.求的最大值及此时P点的坐标.
11．如图，抛物线y=-x2+bx十c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于C(0，3)，点P在抛物线上，横坐标设为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在x轴上方时，直接写出m的取值范围；
（3）当点P到y轴的距离是1时，直接写出△BCP的面积；
（4）若抛物线在点P右侧部分(含点P)的最高点的纵坐标为-1-m，求m的值．
12．如图，抛物线y=ax2+x+c上的点A，C的坐标分别为(0，2)，(4，0)，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且OM=2，连接AC、CM．
（1）点M的坐标为
（2）求此抛物线的解析式．
（3）点P是抛物线位于第一象限图像上的动点， 连接AP、CP，当S△PAC =S△ACM时，点P的横坐标为
（4）将抛物线沿x轴的负方向平移m(m>0)个单位长度，得到新抛物线，点A的对应点为点A'，点C的对应点为点C'，在抛物线平移的过程中，
①当点C'在线段A'M上时，m的值为 ▲
②当MA'+MC的值最小时，直接写出m的值．
13．已知：是方程的两个实数根，且，抛物线的图像经过点，，如图所示.
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与轴的另一交点为，抛物线的顶点为，试求出点的坐标和的面积；
（3）是线段上的一点，过点作轴，与抛物线交于点，若直线把分成面积之比为2：3的两部分，请直接写出点的坐标.
14． 如图，为已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为，顶点为，连结．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点为该抛物线上一动点与点、不重合，设点的横坐标为．
当时，求的值；
该抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
15． 如图，抛物线的顶点为，与轴的交点为和将抛物线绕点逆时针方向旋转，点，为点，旋转后的对应点，旋转后的抛物线与轴相交于，．
（1）若原抛物线过点，求抛物线的解析式；
（2）若，关于点成中心对称，求直线的解析式；
（3）在的条件下，若点是原抛物线上的一动点，点是旋转后的图形的对称轴上一点，为线段的中点，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形；若存在请求出点坐标，若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：当y=0时，0=﹣ x2+ x+2， 解得：x1=﹣1，x2=4， 则A（﹣1，0），B（4，0）， 当x=0时，y=2， 故C（0，2）
（2）解：①过点D作DE⊥x轴于点E， ∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD， ∴DE=2，AO=BE=1，OM=ME=1.5， ∴D（3，﹣2）； ②∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD， ∴AC=BD，AD=BC， ∴四边形ADBC是平行四边形， ∵AC= ，BC= ，AB=5， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ACB是直角三角形， ∴∠ACB=90°， ∴四边形ADBC是矩形
（3）解：由题意可得：BD= ，AD=2 ， 则 ， 当△BMP∽△ADB时， ， 可得：BM=2.5， 则PM=1.25， 故P（1.5，1.25）， 当△BMP1∽△ABD时， P1（1.5，﹣1.25）， 当△BMP2∽△BDA时， 可得：P2（1.5，5）， 当△BMP3∽△BDA时， 可得：P3（1.5，﹣5）， 综上所述：点P的坐标为：（1.5，1.25），（1.5，﹣1.25），（1.5，5），（1.5，﹣5）．
2．【答案】（1）解：抛物线经过点，，
，解得，
抛物线的解析式为
（2）解：，
抛物线的对称轴为直线，，
四边形是平行四边形，
，
点的横坐标为，
抛物线，当时，，
点的坐标是．
（3）解：存在点，使是直角三角形，
当时，设交于点，作轴于点，
，，，
，
轴，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
；
当时，作交的延长线于点，则，
，
∽，
，
设，则，
，，
，
解得，
，
综上所述，存在点，使是直角三角形，点的坐标为或
3．【答案】（1）
（2）解：当0≤x＜30时，设P=kx+b，
∴
解之：
∴p=2x+60；
当30≤x≤40时，设p=mx+n
解之：
∴p=-2x+180
∴
（3）解：设利润为W，
当0≤x＜30时，
，
∵抛物线的开口向上，
∴当x=20时W的最小值为10；
当30≤x≤40时
，
∵抛物线的开口向上，
∴当x=40时W的最小值为10；
∴当20天或40天，最小利润为10元 / 千克
4．【答案】（1）解：由二次函数y＝x2＋px＋q的图象过点（－1，0），（3，0）．
∴y＝（x＋1）（x－3），
∴此二次函数的表达式为y＝x2－2x－3；
（2）解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴在范围内，当x＝6，函数有最大值为：；当x＝1时函数有最小值：，
∴y的最大值与最小值的差为：21－（－4）＝25；
（3）解：y＝（2－m）x＋2－m与二次函数y＝x2－2x－3图象交点的横坐标为a和b，
∴x2－2x－3＝（2－m）x＋2－m，整理得x2＋（m－4）x＋m－5＝0，
解得：，
∵a＜3＜b，
∴a＝－1，b＝5－m＞3，
解得m＜2，即m的取值范围是m＜2 ．
5．【答案】（1）解：∵抛物线与轴相交于，，
∴设解析式为，
将代入中，得，
解得：，
所以抛物线的解析式为：．
（2）解：①二次函数的解析式为，
抛物线与轴的交点的坐标为，．
设点坐标为，
，
，
，．
当时，；
当时，．
点的坐标为或；
②
设直线的解析式为，将，代入，
得，
解得：．
即直线的解析式为．
设点坐标为，，则点坐标为，
，
当时，有最大值．
6．【答案】（1）解：将A (2，0)， B (6， 0)代入y=ax2+ bx+3，
得
解得
∴二次函数的解析式为y=x2-2x+3．
∴y=x2-2x+3=(x-4)2-1，
∴E(4，-1)；
（2）解：如图1，图2，连接CB，CD，由点C在线段BD的垂直平分线CN上，得CB=CD．
设D(4，m)，
∵C(0，3)，由勾股定理可得：
42+ (m-3)2=62+32．
解得m=3±
∴满足条件的点D的坐标为(4，3+)或(4，3-)；
（3）
解：如图3，设CQ交抛物线的对称轴于点M，
设P (n，n2-2n+3)，则Q(n，n2-n+，)
设直线CQ的解析式为y=k×+3，则n2-n+=nk+3．
解得k=n-2-，于是CQ：y= (n-2-)x+3，
当×=4时，y=4 (n-2-)+3=n-5-
M(4，n-5-)， ME=n-4-．
∵S△CQE= S△CEM+S△QEM
=·n·(n-4-)
=12．
∴n2-4n- 60=0，
解得n=10或n=-6，
当n=10时，P (10，8)，当n=-6时，P(-6，24)．
综合以上可得，满足条件的点P的坐标为(10，8)或(-6，24)．
7．【答案】（1）解：由题意可得，
抛物线经过（0，1.5）和（3，0），
解得：a=-0.5，c=1.5，
即函数表达式为y= .
（2）解：
∴当x=1时，y取得最大值，此时y=2.
答：水流喷出的最大高度为2米．
8．【答案】（1）将D (-3， 2)，E (-1， 3)代入y=ax2+bx+2，
∴
解得
∴y=x2x+2
（2）∵y=x2x+2=
∴抛物线的对称轴为直线x=
当-2≤x≤2时，函数的最大值为，最小值为-3，∴函数的最大值与最小值的差为
（3）∵P 点横坐标为m，
∴P (m，m2m+2)
当x=0时，y=2，
∴C (0， 2)，
当P点在y轴左侧时，
过点P作PN⊥y轴交于点N，过点Q作QM⊥y轴交于点M，
∵∠PCQ=90° ，
∴∠QCM+∠PCN=90°，
∵∠CQM+∠QCM= =90° ，
∴∠CQM=∠PCN，
∵CQ=PC，
∴△CQM≌△PCN (AAS)，
∴QM=CN=m2m，CM=PN=-m，
∴m2m=
解得m=
∵m<0，
∴m=
∴n=2+=．
∴Q (，)；
当P点在y轴右侧时，
过点C作GH⊥y轴，过点P作PH⊥GH交于H点，过点2作GQ⊥GH交于G点，
同理可得△CQG≌△PCH (AAS)， ．
∴CG=PH=，GQ=CH=m，
∴m2+m=
解得m=
∵m<0，
∴m=
∴n=2-=．
∴Q (，)；
综上所述： Q点坐标为(，)或(，)
9．【答案】（1）解：将代入函数表达式，得
解得
这个二次函数的表达式是；
（2）解：当时，，即点，
设直线的表达式为，将点，点代入得解得
直线的表达式为，
过点作轴，交直线于点．
设点坐标为，
点坐标为，
，
，
，
当时，最大，最大值为；
（3）解：由题意得，，，
当时，
①，解得，
②，解得，
当时，，点与点重合，
；
当时，，
，解得或（舍），
当是等腰三角形时，的值为．
10．【答案】（1）解：设直线l的解析式为（）
把A，B两点的坐标代入解析式，得，解得
∴直线l的解析式为；
（2）解：设抛物线的解析式为（）
∵抛物线的对称轴为直线
∴
把A，B两点坐标代入解析式，得解得
∴抛物线的解析式为；
（3）解：∵，，
∴
在中
∴
∵轴，
∴
在中
∵，
∴
∴
在中，
∴
∴
∵
∴设点P的坐标为
∴
∴
∵
∴当时，有最大值是，此时最大
当时
∴
∴的最大值是，此时的P点坐标是.
11．【答案】（1）解：将点A(-1，0)，C(0，3)代入抛物线解析式得：
解得：
则抛物线的解析式为y=-x2+2x十3
（2）-1
（4）解：当m≤1时
若抛物线再点P右侧部分（含点P）的最高点的纵坐标为-1-m
则顶点的纵坐标为-1-m，即4=-1-m
解得：m=-5
当m>1时，则抛物线在x=m处取得最大值
即-1-m=-m2+2m+3
解得：m=-1（舍去）或4
故答案为：m=-5或4
12．【答案】（1）(0，-2)
（2）解：根据题意，得
解得
所以抛物线的解析式为y= -x2+x+2．
（3）2
（4）①8
②
13．【答案】（1）解：解方程，得，.
由，有，.
所以点A，B的坐标分别为，.
将，的坐标分别代入，
得解这个方程组，得
所以抛物线的解析式为.
（2）解：由，令，得.
解这个方程，得，.
所以点C的坐标为，由顶点坐标公式计算，得点.
过D作轴的垂线交轴于，如图所示.
则.
，.
所以
（3）或
14．【答案】（1）解：将点、坐标代入二次函数表达式得：，
解得：，
故抛物线的表达式为：，
令，则或，
即点；
（2）解：如图，过点作轴的平行线交于点，
将点、的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线的表达式为：，
设点，则点，
，
或，
解得或或或；
设直线与交于点，
当点在直线下方时，
，
点在的中垂线上，
线段的中点坐标为，
过该点与垂直的直线的值为，
设中垂线的表达式为：，将点代入上式并解得：直线中垂线的表达式为：，
同理直线的表达式为：，
联立并解得：，即点，
同理可得直线的表达式为：，
联立并解得：或舍去，
故点；
当点在直线上方时，
，
，
则直线的表达式为：，将点坐标代入上式并解得：，
即直线的表达式为：，
联立并解得：或舍去，
故点；
故点的坐标为或．
15．【答案】（1）解：由抛物线的顶点为，设抛物线的解析式为，
把代入得：
，
解得，
；
抛物线的解析式为；
（2）解：连接，设抛物线对称轴交轴于，如图：
将抛物线绕点逆时针方向旋转，点，为点，旋转后的对应点，
，，
，
，关于点成中心对称，
是的中点，即在线段上，
，
，
，
，
，
，
，
设直线解析式为，
将，代入得：
，
解得，
直线解析式为；
（3）解：存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由知，
把代入得：，
解得，
原抛物线解析式为；
，关于直线对称，
，
，为线段的中点，
，
把原抛物线的对称轴直线绕逆时针方向旋转得直线，
设，，
而，，
若，为对角线，则，的中点重合，
，
解得或；
或；
若，为对角线，
，
方程组无实数解；
若，为对角线，
，
解得或，
或；
综上所述，的坐标为或或或
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