第5章 二次函数压轴题特训（含解析）

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2023-2024学年数学九年级下册苏科版第5章二次函数压轴题特训
1．篮球运动员投篮后，球运动的路线为抛物线的一部分（如图），抛物线的对称轴为直线x＝2.5．
（1）求篮球运动路线的抛物线表达式和篮球在运动中离地面的最大高度．
（2）若篮筐离地面3.05m，离运动员投篮处水平距离为4.2m，问：篮球以该运动方式，能否投进篮筐？若能投进篮筐，请说明理由；若不能，则运动员应向前还是往后移动多少米后再投篮，刚好能使篮球投进篮筐？
2．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为m．
（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
3．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．
（3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
4．已知抛物线（，，是常数，）的顶点为，与轴相交于点和点．
（1）若，，
①求点的坐标；
②直线（是常数，）与拋物线相交于点，与相交于点，当取得最大值时，求点，的坐标；
（2）若，直线与抛物线相交于点，是轴的正半轴上的动点，是轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，求点，的坐标．
5．如图，抛物线过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点P的坐标．
6．某农场要建一个饲养场（矩形 ）两面靠现有墙（ 位置的墙最大可用长度为21米， 位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）.建成后木栏总长45米，设饲养场（矩形 ）的一边 长为x米.
（1）饲养场另一边 　 　米（用含x的代数式表示）；
（2）若饲养场 的面积为180平方米，求x的值；
（3）饲养场 的面积能围成面积比 更大的吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由.
7．如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上．点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当时，请在图1中过点作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
（3）如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，求的最小值．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称．
（1）求该抛物线的解析式及点的坐标
（2）点是抛物线上的动点，若，求点的坐标
（3）点是轴上一动点，当最大时，求点的坐标．
9．如图，已知抛物线交x轴于两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一动点，连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接，若，求点P的坐标．
10．在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上，且．
（1）若，求抛物线解析式；
（2）若该抛物线与轴交于点，其对称轴与轴交于点，则命题“对于任意一个，都存在，使得”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举反例；
（3）将该抛物线平移，平移后的抛物线仍经过，点的对应点为，当时，求平移后抛物线的顶点所能达到的最高点的坐标．
11． 如图，抛物线与直线交于，两点（点在点的左侧），该抛物线的对称轴是直线．
（1）若点在该抛物线上，求抛物线的解析式；
（2）当，且时，求抛物线的最大值与最小值的差；
（3）已知是直线上的动点，将点向下平移2个单位长度得到点．若线段与抛物线有公共点，请直接写出点的横坐标的取值范围．
12．如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线y＝﹣（x﹣m）2+m+2的顶点．
（1）直接写出顶点P的坐标；（用m表示）
（2）当m＝0时，判断（1，1）是否在抛物线上，并直接写出该抛物线下方（含边界）的好点个数；
（3）当m＝3时，直接写出该抛物线上的好点坐标；
（4）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（含边界）恰好存在8个好点，直接写出m的取值范围．
13．在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴的交点为，两点，与轴交于点，顶点为，其对称轴与轴交于点．
（1）求二次函数解析式；
（2）连接，，，试判断的形状，并说明理由；
（3）点为第三象限内抛物线上一点，的面积记为，求的最大值及此时点的坐标；
（4）在线段上，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．
（2）如图①，点D是x轴下方抛物线上的动点，且不与点C重合．设点D的横坐标为m，以O、A、C、D为顶点的四边形面积为S，求S与m之间的函数关系式．
（3）如图②，连结，点M为线段上一点，点N为线段上一点，且，直接写出当n为何值时为等腰三角形．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：由图象可知，抛物线经过点（0，2.25）和（3.5，3.3）
∵抛物线的对称轴为直线x＝2.5，
∴设抛物线的解析式为y=a（x-2.5）2+k
∴
解之：
∴抛物线的解析式为（0≤x≤3.5）
当x=2.5时抛物线有最大值为3.5
∴篮球在运动中离地面的最大高度为3.5.
（2）解：不能
当y=3.05时
解之：x1=1，x2=4，
∵离运动员投篮处水平距离为4.2m
∴4.2-4=0.2或4.2-1=3.2
答：运动员应向前移动0.2米.
2．【答案】（1）解：根据题意得B（0，4），C（3，），把B（0，4），C（3，）代入y=x2+bx+c得，解得．
所以抛物线解析式为y=x2+2x+4，
则y=（x﹣6）2+10，
所以D（6，10），
所以拱顶D到地面OA的距离为10m.
（2）解：
由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），
当x=2或x=10时，y=＞6，
所以这辆货车能安全通过
（3）解：令y=8，则（x﹣6）2+10=8，解得x1=6+，x2=6﹣，
则x1﹣x2=，
所以两排灯的水平距离最小是m．
3．【答案】（1）解：将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，
得到
解得 ，
∴y＝x2﹣2x﹣3
（2）解：将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3，得y＝﹣3，∴C（2，﹣3）；
∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1．
设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3）；
∵P点在E点的上方，PE＝（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+x+2，
＝﹣（x ）2 ，
∵﹣1＜0，
∴当x 时，PE的最大值 ，此时P（ ， ）
（3）解：存在．
理由：如图，设抛物线与y的交点为K，由题意K（0，﹣3），
∵C（2，﹣3），
∴CK∥x轴，CK＝2，
当AC是平行四边形ACF1D1的边时，可得D1（﹣3，0）．
当AC是平行四边形AF1CD2的对角线时，AD2＝CK，可得D2（1，0），
当点F在x轴的上方时，令y＝3，3＝x2﹣2x﹣3，
解得x＝1± ，
∴F3（1 ，3），F4（1 ，3），
由平移的性质可知D3（4 ，0），D4（4 ，0）．
综上所述，满足条件的点D的坐标为（﹣3，0）或（1，0）或（4 ，0）或（4 ，0）．
4．【答案】（1）解：①∵抛物线与x轴相交于点，
∴．又，得．
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴点P的坐标为．
②当时，由，
解得．
∴点B的坐标为．
设经过B，P两点的直线的解析式为，
有解得
∴直线的解析式为．
∵直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，如图所示：
∴点M的坐标为，点G的坐标为．
∴．
∴当时，有最大值1．
此时，点M的坐标为，点G的坐标为．
（2）解：由（1）知，又，
∴．
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴顶点P的坐标为．
∵直线与抛物线相交于点N，
∴点N坐标为．
作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，如图所示：
得点的坐标为，点的坐标为．
当满足条件的点E，F落在直线上时，取得最小值，
此时，．
延长与直线相交于点H，则．
在中，．
∴．
解得（舍）．
∴点的坐标为，点的坐标为．
则直线的解析式为．
∴点和点．
5．【答案】（1）解：∵抛物线过点
设抛物线解析式为，
故，
解得，
故抛物线的解析式为．
（2）解：设直线的解析式为：，
将，代入直线的解析式得：，
解得，
直线的解析式为：，
如图，过点作轴的平行线，交于，
设，则，
则，
∴
，由此可得，
当，最大为，
当时，，
∴．
6．【答案】（1）（48-3x）
（2）解：由题意得：x（48-3x）=180
解得：x1=6，x2=10，
∵1＜48-3x≤21，1＜x≤15，
∴9≤x≤15，
∴x=10.
（3）能，理由如下，
设饲养场ABCD的面积为S，则有：
S=x（48-3x）
=-3x2+48x
=-3（x-8）2+192，
∵由（2）可知9≤x≤15，
∴由二次函数的性质可知，当x=9时，S有最大值189m2，
∴饲养场ABCD的面积能围成面积比180m2更大的，其最大面积为189m2.
7．【答案】（1）解：∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：四边形是平行四边形．
理由：如图1，作交抛物线于点，垂足为，连接，．
∵点在上，
∴，，
连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：如图2，由题意得，，连接．
在上方作，使得，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴（当，，三点共线时最短），
∴的最小值为，
∵，
∴，
即的最小值为．
8．【答案】（1）解：抛物线与轴交于两点，
，
解得，
抛物线的解析式为：；
，
，
抛物线的图象关于对称，
点与点关于抛物线的对称轴对称，
设点D的坐标为，
，
，
；
（2）解：设直线的解析式为，
将，，代入，
得，
解得：，
直线的解析式为，
，
，
设点，
，
，
，
如图，过点E作轴交于点F，
，
，
，
，即，
或，
当时，
解得：或，
或；
（3）解：如图，连接，作的内接圆，
设，在中，所对的边为，
当为的内接圆的直径时，
最大，且为直角，
，
，
，即，
解得：或，
点的坐标为或．
9．【答案】（1）解：∵抛物线交x轴于两点，
∴ ，解得： ，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：存在点Q．理由如下：
如图：延长交对称轴于点Q，连接，则最大，
令，则
∴，
∵，
∴运用待定系数法可得直线的解析式为
∵对称轴为，
∴当时，，
∴点Q的坐标为 ． ……
（3）解：如图：过点P作轴交于点F，连接，
∵，
∴运用待定系数法可得直线BC的解析式为，
设点P的坐标为(m，)，则点F的坐标为(m， )
∴，
∵，
∴，即，整理得：，
∴，
由得，
∴此时点P的坐标为(，)，
由得 ，，
∴此时点P的坐标为(，)或(，)，
综上所述，点P的坐标为(，)或(，)或(，)．
10．【答案】（1）解：把代入，可得，
解，可得，，
∴；
（2）解：不正确，
理由：由，得．
对于，
当时，．
抛物线的对称轴为直线．
所以，，
因为，
所以，，
当时，由得，此时不合题意．
所以对于任意的，不一定存在，使得；
（3）由平移前的抛物线，可得
，即．
因为平移后的对应点为
可知，抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度．
则平移后的抛物线解析式为，
即．
把代入，得
．
．
．
所以．
①当时，（不合题意，舍去）；
②当时，，
因为，所以．
所以，
所以平移后的抛物线解析式为．
即顶点为，
设，即．
因为，所以当时，随的增大而增大．
因为，
所以当时，取最大值为，
此时，平移后抛物线的顶点所能达到的最高点坐标为．
11．【答案】（1）解：∵抛物线过点，对称轴为直线，
∴
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当时，．
∵，
∴当时，y有最小值1．
当时，结合函数图象，当时，y有最大值10，
∴抛物线的最大值与最小值的差为；
（3）解：设点N在抛物线上，，
则，即，
解得．
当，
整理得，
解得．
∵点A在点B的左侧，
∴点A的横坐标为，点B的横坐标为2．
结合图象，当线段与抛物线有公共点时，点M的横坐标m的取值范围为或．
12．【答案】（1）（m，m+2）
（2）解：当m＝0时，（1，1）在抛物线上；好点有：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），共5个；
（3）（1，1），（2，4），（4，4）；
（4）≤m＜1．
13．【答案】（1）解：设二次函数表达式为：，
则，解得：，
函数的表达式为：；
（2）解：由（1）知，点，
∴，，，
，
故为直角三角形；
（3）解：过点作轴交于点，
将点、的坐标代入一次函数表达式，
解得：
直线的表达式为：，
设点，则点，
，
当时，最大值为，此时点；
（4）或或
14．【答案】（1）解：把、代入中，
得 ，
解得
∴这条抛物线所对应的函数表达式为．
（2）解：当时，，
，
当时，，
当时，．
（3）解：，，．
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