2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何重难点检测卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何重难点检测卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 737.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-04 20:54:18 | ||
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文档简介
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2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何重难点检测卷
一、选择题
1． 如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，两个平面内以交点为顶点的两个三角形是（ ）
A．相似但不全等的三角形 B．全等三角形
C．面积相等的不全等三角形 D．以上结论都不对
2． 如图所示，下列符号表示错误的是（ ）
A． B． C． D．
3． 在下列条件中，可判断平面与平行的是（ ）
A．，都垂直于平面
B．内存在三点到的距离相等
C．，是内两条直线，且，
D．，是两条异面直线，且，，，
4．已知直线，的方向向量分别为，，则直线，夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在长方体中，，，为棱上一点，且，平面上一动点满足，设是该长方体外接球上一点，则，两点间距离的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，直线平面，垂足为，正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）的棱长为2，在平面内，是直线上的动点，当到的距离最大时，该正四面体在平面上的射影面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知是直线l的方向向量，是平面的法向量．若，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知正方体的棱长为1，点在线段上，有下列四个结论：
①；
②点到平面的距离为；
③二面角的余弦值为；
④若四面体的所有顶点均在球的球面上，则球的体积为.
其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多项选择题
9．如图，正方体中，若分别为棱的中点，分别是四边形，的中心，则下列命题中正确的有（ ）
A．四点共面 B．四点共面
C．四点共面 D．四点共面
10．三棱锥中，已知平面，垂足为，连接，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则为的重心
B．若，则为的垂心
C．若，则为的外心
D．若，，，则为的内心
11．在正方体中，，，则（ ）
A．为钝角
B．
C．平面
D．直线与平面所成角的正弦值为
三、填空题
12．如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，则点C到平面的距离等于 .
13．如图，、、分别是正方体的棱、、的中点，是上的点，平面.若，则 .
14．如图，正方体的棱长为，若空间中的动点满足，，则下列命题正确的是 ．（请用正确命题的序号作答）
①若，则点到平面的距离为；
②若，则二面角的平面角为；
③若，则三棱锥的体积为；
④若，则点的轨迹构成的平面图形的面积为．
四、解答题
15．如图四棱锥，点在圆上，，顶点在底面的射影为圆心，点在线段上.
（1）若，当//平面时，求的值；
（2）若与不平行，四棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.
16．如图，在四棱锥中，平面平面，，，．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求平面与平面的夹角．
17．如图，在矩形中，，，点是边上的动点，沿将翻折至，使二面角为直二面角．
（1）当时，求证：；
（2）当线段的长度最小时，求二面角的正弦值．
18． 如图，正方形是圆柱的轴截面，是圆柱的母线，圆柱的体积为．
（1）求圆柱的表面积；
（2）若，求点到平面的距离．
19．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，Q为的中点.
（1）用，，表示；
（2）若底面是正方形，且，，求.
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】A
3．【答案】D
4．【答案】B
5．【答案】B
6．【答案】D
7．【答案】C
8．【答案】B
9．【答案】A,C,D
10．【答案】B,C
11．【答案】B,C,D
12．【答案】
13．【答案】1
14．【答案】②④
15．【答案】（1）过作//交线段于，连接.
//，平面，平面，//平面，
又//平面，，平面，
平面//平面，
平面平面，
平面平面，根据面面平行的性质定理，//
又//，四边形是平行四边形，
，而，
故，得，得.
（2）
，（为四边形的面积），得.
由，得，
由余弦定理，，则，
根据正弦定理，设该四边形的外接圆半径为，则，
作直径，由圆内接四边形对角互补，则，
故，，故重合，
此时为直径，直径为，以为原点，射线为轴，
过垂直于的方向为轴，如图建立空间直角坐标系.
则，
所以，
设平面的法向量为，则即
令，则，所以，
设直线与平面所成角为，则.
直线与平面所成角的正弦值为.
16．【答案】（1）由已知可得：，，
如图以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
设，则由，，
可得方程组，解得．
可得由于，可得．
所以，
因为，，
设平面的法向量为，
由，即
取，得平面的法向量是，
，
故EF平面．
（2）设点到平面的距离为，
由，．
点到平面的距离是．
（3）由于，，
设平面的法向量为，
由即
取，可得平面的法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，则
故平面与平面的夹角为．
17．【答案】（1）证明：当时，，
又，
在中，，
在中，，
所以，
所以，
因为二面角为直二面角，
所以面面，
又面面，
由上知，面，
所以面，
又因为面，
所以．
（2）解：在图二中过点作，垂足为，连接，
因为二面角为直二面角，
所以面面，
又面面，
由上知，
所以面，
又因为面，
所以，
设，则，
，
所以，
，
所以，
因为，
所以当时，长最短，
在矩形中，过点作，垂足为，再过点作，
因为二面角为直二面角，
所以面面，
又面面，
由上知，
所以面，
由三垂线定理可得，
所以二面角的平面角为，
，
，
，
所以，
由∽得，，即，
所以，
所以，
所以．
18．【答案】（1）解：设圆柱的底面半径为，则，解得．
则圆柱的表面积为．
（2）解：连接，因为，，所以，
设点到平面的距离为，
易知，，，平面，，
所以平面，因为平面，所以，
所以，
，，
因为，所以．
即，解得．
19．【答案】（1）解：
（2）解：
，
所以
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2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何重难点检测卷
一、选择题
1． 如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，两个平面内以交点为顶点的两个三角形是（ ）
A．相似但不全等的三角形 B．全等三角形
C．面积相等的不全等三角形 D．以上结论都不对
2． 如图所示，下列符号表示错误的是（ ）
A． B． C． D．
3． 在下列条件中，可判断平面与平行的是（ ）
A．，都垂直于平面
B．内存在三点到的距离相等
C．，是内两条直线，且，
D．，是两条异面直线，且，，，
4．已知直线，的方向向量分别为，，则直线，夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在长方体中，，，为棱上一点，且，平面上一动点满足，设是该长方体外接球上一点，则，两点间距离的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，直线平面，垂足为，正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）的棱长为2，在平面内，是直线上的动点，当到的距离最大时，该正四面体在平面上的射影面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知是直线l的方向向量，是平面的法向量．若，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知正方体的棱长为1，点在线段上，有下列四个结论：
①；
②点到平面的距离为；
③二面角的余弦值为；
④若四面体的所有顶点均在球的球面上，则球的体积为.
其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多项选择题
9．如图，正方体中，若分别为棱的中点，分别是四边形，的中心，则下列命题中正确的有（ ）
A．四点共面 B．四点共面
C．四点共面 D．四点共面
10．三棱锥中，已知平面，垂足为，连接，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则为的重心
B．若，则为的垂心
C．若，则为的外心
D．若，，，则为的内心
11．在正方体中，，，则（ ）
A．为钝角
B．
C．平面
D．直线与平面所成角的正弦值为
三、填空题
12．如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，则点C到平面的距离等于 .
13．如图，、、分别是正方体的棱、、的中点，是上的点，平面.若，则 .
14．如图，正方体的棱长为，若空间中的动点满足，，则下列命题正确的是 ．（请用正确命题的序号作答）
①若，则点到平面的距离为；
②若，则二面角的平面角为；
③若，则三棱锥的体积为；
④若，则点的轨迹构成的平面图形的面积为．
四、解答题
15．如图四棱锥，点在圆上，，顶点在底面的射影为圆心，点在线段上.
（1）若，当//平面时，求的值；
（2）若与不平行，四棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.
16．如图，在四棱锥中，平面平面，，，．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求平面与平面的夹角．
17．如图，在矩形中，，，点是边上的动点，沿将翻折至，使二面角为直二面角．
（1）当时，求证：；
（2）当线段的长度最小时，求二面角的正弦值．
18． 如图，正方形是圆柱的轴截面，是圆柱的母线，圆柱的体积为．
（1）求圆柱的表面积；
（2）若，求点到平面的距离．
19．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，Q为的中点.
（1）用，，表示；
（2）若底面是正方形，且，，求.
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】A
3．【答案】D
4．【答案】B
5．【答案】B
6．【答案】D
7．【答案】C
8．【答案】B
9．【答案】A,C,D
10．【答案】B,C
11．【答案】B,C,D
12．【答案】
13．【答案】1
14．【答案】②④
15．【答案】（1）过作//交线段于，连接.
//，平面，平面，//平面，
又//平面，，平面，
平面//平面，
平面平面，
平面平面，根据面面平行的性质定理，//
又//，四边形是平行四边形，
，而，
故，得，得.
（2）
，（为四边形的面积），得.
由，得，
由余弦定理，，则，
根据正弦定理，设该四边形的外接圆半径为，则，
作直径，由圆内接四边形对角互补，则，
故，，故重合，
此时为直径，直径为，以为原点，射线为轴，
过垂直于的方向为轴，如图建立空间直角坐标系.
则，
所以，
设平面的法向量为，则即
令，则，所以，
设直线与平面所成角为，则.
直线与平面所成角的正弦值为.
16．【答案】（1）由已知可得：，，
如图以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
设，则由，，
可得方程组，解得．
可得由于，可得．
所以，
因为，，
设平面的法向量为，
由，即
取，得平面的法向量是，
，
故EF平面．
（2）设点到平面的距离为，
由，．
点到平面的距离是．
（3）由于，，
设平面的法向量为，
由即
取，可得平面的法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，则
故平面与平面的夹角为．
17．【答案】（1）证明：当时，，
又，
在中，，
在中，，
所以，
所以，
因为二面角为直二面角，
所以面面，
又面面，
由上知，面，
所以面，
又因为面，
所以．
（2）解：在图二中过点作，垂足为，连接，
因为二面角为直二面角，
所以面面，
又面面，
由上知，
所以面，
又因为面，
所以，
设，则，
，
所以，
，
所以，
因为，
所以当时，长最短，
在矩形中，过点作，垂足为，再过点作，
因为二面角为直二面角，
所以面面，
又面面，
由上知，
所以面，
由三垂线定理可得，
所以二面角的平面角为，
，
，
，
所以，
由∽得，，即，
所以，
所以，
所以．
18．【答案】（1）解：设圆柱的底面半径为，则，解得．
则圆柱的表面积为．
（2）解：连接，因为，，所以，
设点到平面的距离为，
易知，，，平面，，
所以平面，因为平面，所以，
所以，
，，
因为，所以．
即，解得．
19．【答案】（1）解：
（2）解：
，
所以
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