2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程重难点检测卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程重难点检测卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 315.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-04 21:17:24 | ||
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文档简介
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2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程重难点检测卷
一、选择题
1．设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ）.
A．6 B．7 C．8 D．9
3．点A、B分别为椭圆 的左、右顶点，F为右焦点，C为短轴上不同于原点O的一点，D为OC的中点，直线AD与BC交于点M，且MF⊥AB，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．若焦点在 轴上的椭圆 的离心率为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．若双曲线的渐近线方程为，实轴长为 ，且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．或 B．
C． D．
6．已知双曲线的离心率为2，则它的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆，椭圆，过C上任意一点P作圆C的切线l，交于A，B两点，过A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点Q，则（O为坐标原点）的最大值为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
二、多项选择题
9．已知曲线，，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C可能是圆，也可能是直线
B．曲线C可能是焦点在轴上的椭圆
C．当曲线C表示椭圆时，则越大，椭圆越圆
D．当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为
10．设双曲线，直线与双曲线的右支交于点，，则下列说法中正确的是 （ ）
A．双曲线离心率的最小值为
B．离心率最小时双曲线的渐近线方程为
C．若直线同时与两条渐近线交于点，，则
D．若，点处的切线与两条渐近线交于点，，则为定值
11．已知双曲线的上焦点为，过焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，并与另一条渐近线交于点，若，则的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ．
13．设为双曲线：左、右焦点，且的离心率为，若点M在的右支上，直线与的左支相交于点N，且，则 ．
14．设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积等于 .
四、解答题
15．已知椭圆，抛物线，且的公共弦过椭圆的右焦点.
（1）当轴时，求的值，并判断抛物线的焦点是否在直线上；
（2）求的值，使得抛物线的焦点在直线上.
16．已知两定点，，动点满足，线段的垂直平分线与线段相交于点，设点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆相交于A，B两点，且，判断△AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．
17．若椭圆的离心率为，且经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点（均与不重合），证明：直线的斜率之和为定值．
18．已知双曲线，斜率为1的直线过双曲线C上一点交该曲线于另一点B，且线段中点的横坐标为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知点为双曲线C上一点且位于第一象限，过M作两条直线，且直线均与圆相切．设与双曲线C的另一个交点为P，与双曲线C的另一个交点为Q，则当时，求点M的坐标．
19．已知双曲线：的左、右焦点分别为、，直线过右焦点且与双曲线交于、两点.
（1）若双曲线的离心率为，虚轴长为，求双曲线的焦点坐标；
（2）设，，若的斜率存在，且，求的斜率；
（3）设的斜率为，且，求双曲线的离心率.
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】D
3．【答案】B
4．【答案】B
5．【答案】C
6．【答案】A
7．【答案】D
8．【答案】C
9．【答案】A,B,D
10．【答案】B,C,D
11．【答案】A,C
12．【答案】
13．【答案】3
14．【答案】
15．【答案】（1）解：当轴时，点关于轴对称，所以，直线的方程为：
，从而点的坐标为或.因为点在抛物线上，所以，即.此时的焦点坐标为，该焦点不在直线上.
（2）解：解法一：由（1）知直线的斜率存在，
故可设直线的方程为.
由消去得①
设的坐标分别为，
则是方程①的两根，.
由消去得.②
因为的焦点在直线上，
所以，即.代入②有.
即.③
由于也是方程③的两根，所以.
从而.解得④
又过的焦点，
所以，
则.⑤
由④⑤式得，即.解得.
于是.因为的焦点在直线上，
所以，即或.
由上知：或.
解法二：设的坐标分别为.因为既过的右焦点，又过的焦点，所以.
即.①
由（1）知，于是直线的斜率，②
且直线的方程是，所以.③
又因为，所以.④
将①②③代入④得.⑤
因为，所以.
将②③代入⑥得.⑦
由⑤⑦得.即，
解得或（舍去）.将代入⑤得或.
由上知：或.
16．【答案】（1）解：∵点在线段的垂直平分线上
∴
∴
∴点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆
设此椭圆方程为，则 解得.
∴曲线的方程为
（2）解：设，
由得：
∴
∴，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
又点O到直线AB的距离
∴
17．【答案】（1）解：由题意得离心率为，点在椭圆上，
所以，解得，所以椭圆方程为
（2）证明：当直线的斜率不存在时，为椭圆的上下顶点，即为，则．
当直线的斜率存在时，设的方程为，联立消去并整理得，，则，得，
设，则，
所以
综上可得，直线的斜率之和为3．
18．【答案】（1）解：因为，且AB中点的横坐标为，所以，
又因为直线AB的斜率为1，即，所以点，
点坐标代入双曲线方程，得，解得，
所以双曲线方程为．
另解：设，由已知条件可得直线，
即，代入得，
需满足，所以，
由于线段中点的横坐标为，令，得，①
又双曲线C过，得，②
由①②得，满足，所以双曲线方程为．
（2）解：由题意可知的斜率存在，且互为相反数，
点为双曲线C上一点且位于第一象限，故，
设直线的斜率为k，则的斜率为，则．
与圆相切，于是圆心到的距离为，
得．
联立，得，
当时，直线将与双曲线渐近线平行，此时与双曲线不会有两个交点，不合题意，
故，即，则此时与双曲线有两个交点；
设，
于是，得，
，
所以，
同理，
所以，
又．
，
令，解得或．
所以点M的坐标为或．
19．【答案】（1）解：由题意得，
解得，
故双曲线的焦点坐标为．
（2）解：双曲线，可得，
设，直线的斜率为：，
设直线的方程为，
联立直线与双曲线的方程，
消去得，
由直线与双曲线有两个交点，则且，即，
可得，则，
又，
，可得，
即，
将代入上式，可得，
得，可得，
解得，即的斜率为．
（3）解：右焦点为，设直线的方程为，，
联立直线与双曲线的方程，
消去得：，
，
，
则，
由，得，
整理得，则，
即，
则，
整理得，
因为的斜率，所以，整理得，
则，，，
所以离心率.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程重难点检测卷
一、选择题
1．设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ）.
A．6 B．7 C．8 D．9
3．点A、B分别为椭圆 的左、右顶点，F为右焦点，C为短轴上不同于原点O的一点，D为OC的中点，直线AD与BC交于点M，且MF⊥AB，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．若焦点在 轴上的椭圆 的离心率为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．若双曲线的渐近线方程为，实轴长为 ，且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．或 B．
C． D．
6．已知双曲线的离心率为2，则它的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆，椭圆，过C上任意一点P作圆C的切线l，交于A，B两点，过A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点Q，则（O为坐标原点）的最大值为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
二、多项选择题
9．已知曲线，，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C可能是圆，也可能是直线
B．曲线C可能是焦点在轴上的椭圆
C．当曲线C表示椭圆时，则越大，椭圆越圆
D．当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为
10．设双曲线，直线与双曲线的右支交于点，，则下列说法中正确的是 （ ）
A．双曲线离心率的最小值为
B．离心率最小时双曲线的渐近线方程为
C．若直线同时与两条渐近线交于点，，则
D．若，点处的切线与两条渐近线交于点，，则为定值
11．已知双曲线的上焦点为，过焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，并与另一条渐近线交于点，若，则的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ．
13．设为双曲线：左、右焦点，且的离心率为，若点M在的右支上，直线与的左支相交于点N，且，则 ．
14．设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积等于 .
四、解答题
15．已知椭圆，抛物线，且的公共弦过椭圆的右焦点.
（1）当轴时，求的值，并判断抛物线的焦点是否在直线上；
（2）求的值，使得抛物线的焦点在直线上.
16．已知两定点，，动点满足，线段的垂直平分线与线段相交于点，设点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆相交于A，B两点，且，判断△AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．
17．若椭圆的离心率为，且经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点（均与不重合），证明：直线的斜率之和为定值．
18．已知双曲线，斜率为1的直线过双曲线C上一点交该曲线于另一点B，且线段中点的横坐标为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知点为双曲线C上一点且位于第一象限，过M作两条直线，且直线均与圆相切．设与双曲线C的另一个交点为P，与双曲线C的另一个交点为Q，则当时，求点M的坐标．
19．已知双曲线：的左、右焦点分别为、，直线过右焦点且与双曲线交于、两点.
（1）若双曲线的离心率为，虚轴长为，求双曲线的焦点坐标；
（2）设，，若的斜率存在，且，求的斜率；
（3）设的斜率为，且，求双曲线的离心率.
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】D
3．【答案】B
4．【答案】B
5．【答案】C
6．【答案】A
7．【答案】D
8．【答案】C
9．【答案】A,B,D
10．【答案】B,C,D
11．【答案】A,C
12．【答案】
13．【答案】3
14．【答案】
15．【答案】（1）解：当轴时，点关于轴对称，所以，直线的方程为：
，从而点的坐标为或.因为点在抛物线上，所以，即.此时的焦点坐标为，该焦点不在直线上.
（2）解：解法一：由（1）知直线的斜率存在，
故可设直线的方程为.
由消去得①
设的坐标分别为，
则是方程①的两根，.
由消去得.②
因为的焦点在直线上，
所以，即.代入②有.
即.③
由于也是方程③的两根，所以.
从而.解得④
又过的焦点，
所以，
则.⑤
由④⑤式得，即.解得.
于是.因为的焦点在直线上，
所以，即或.
由上知：或.
解法二：设的坐标分别为.因为既过的右焦点，又过的焦点，所以.
即.①
由（1）知，于是直线的斜率，②
且直线的方程是，所以.③
又因为，所以.④
将①②③代入④得.⑤
因为，所以.
将②③代入⑥得.⑦
由⑤⑦得.即，
解得或（舍去）.将代入⑤得或.
由上知：或.
16．【答案】（1）解：∵点在线段的垂直平分线上
∴
∴
∴点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆
设此椭圆方程为，则 解得.
∴曲线的方程为
（2）解：设，
由得：
∴
∴，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
又点O到直线AB的距离
∴
17．【答案】（1）解：由题意得离心率为，点在椭圆上，
所以，解得，所以椭圆方程为
（2）证明：当直线的斜率不存在时，为椭圆的上下顶点，即为，则．
当直线的斜率存在时，设的方程为，联立消去并整理得，，则，得，
设，则，
所以
综上可得，直线的斜率之和为3．
18．【答案】（1）解：因为，且AB中点的横坐标为，所以，
又因为直线AB的斜率为1，即，所以点，
点坐标代入双曲线方程，得，解得，
所以双曲线方程为．
另解：设，由已知条件可得直线，
即，代入得，
需满足，所以，
由于线段中点的横坐标为，令，得，①
又双曲线C过，得，②
由①②得，满足，所以双曲线方程为．
（2）解：由题意可知的斜率存在，且互为相反数，
点为双曲线C上一点且位于第一象限，故，
设直线的斜率为k，则的斜率为，则．
与圆相切，于是圆心到的距离为，
得．
联立，得，
当时，直线将与双曲线渐近线平行，此时与双曲线不会有两个交点，不合题意，
故，即，则此时与双曲线有两个交点；
设，
于是，得，
，
所以，
同理，
所以，
又．
，
令，解得或．
所以点M的坐标为或．
19．【答案】（1）解：由题意得，
解得，
故双曲线的焦点坐标为．
（2）解：双曲线，可得，
设，直线的斜率为：，
设直线的方程为，
联立直线与双曲线的方程，
消去得，
由直线与双曲线有两个交点，则且，即，
可得，则，
又，
，可得，
即，
将代入上式，可得，
得，可得，
解得，即的斜率为．
（3）解：右焦点为，设直线的方程为，，
联立直线与双曲线的方程，
消去得：，
，
，
则，
由，得，
整理得，则，
即，
则，
整理得，
因为的斜率，所以，整理得，
则，，，
所以离心率.
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