2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册第八章立体几何初步重难点检测卷（含答案）

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2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册第八章立体几何初步重难点检测卷
一、选择题
1．直线与直线相交，直线也与直线相交，则直线与直线的位置关系是（　　）
A．相交 B．平行
C．异面 D．以上都有可能
2．下列说法不正确的是（　　）
A．直四棱柱是长方体 B．正方体是平行六面体
C．长方体是平行六面体 D．平行六面体是四棱柱
3．已知，是平面，，是直线．下列命题中不正确的是（　　）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
4．庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①）（如图②），若四边形ABCD是矩形，AB∥EF，且AB=CD=2EF=2BC=4，EA＝ED＝FB＝FC＝3，则五面体FE﹣ABCD的表面积为（　　）
A．48 B． C． D．
5．在矩形中，，，现将沿折起成，折起过程中，当时，四面体体积为（　　）
A．2 B． C． D．
6．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出 平面 的图形的序号是（　　）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
7．如图，一个水平放置的四边形的斜二测画法的直观图是矩形，，是的中点，则原四边形的面积是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在正四棱台中，，则与平面所成角的大小为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是（　　）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则
10．在菱形中，，，将沿对角线BD折起，使点A至点（在平面外）的位置，则（　　）
A．在折叠过程中，总有BD⊥PC
B．存在点P，使得
C．当时，三棱锥的外接球的表面积为
D．当三棱锥的体积最大时，
11．如图，以等腰直角三角形的斜边上的高为折痕，翻折和，使得平面平面.下列结论正确的是（　　）
A． B．是等边三角形
C．三棱锥是正三棱锥 D．平面平面
三、填空题
12．已知正四棱锥，底面边长为2，体积为，则这个四棱锥的侧棱长为　 　.
13．已知三个互不重合的平面α，β，γ，且直线m，n不重合，由下列条件：
①m⊥n，m⊥β；②n α，α∥β；③α⊥γ，β⊥γ，n α；
能推得n∥β的条件是　 　．
14．如图，直三棱柱中，，，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为　 　.
四、解答题
15．如图，在四棱锥中，四边形BCDE为梯形，，，平面平面BCDE，．
（1）求证：平面BCDE；
（2）若，求平面CAB与平面DAB夹角的余弦值．
16．如图，已知平面平面，四边形是矩形，，点，分别是，的中点.
（1）若点为线段中点，求证：平面；
（2）求证：平面.
17．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为4的菱形，，，，，点M、N分别是AB、CD的中点．
（1）求证：平面PAB；
（2）求四面体PMND的体积．
18．如图，四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，，平面平面ABCD，平面平面ABCD，E为PD中点.
（1）证明：；
（2）若F为棱PB上的点，求点F到平面ACE的距离.
19．如图，四棱锥中，四边形是矩形，平面，E是的中点．
（1）若的中点是M，求证：平面；
（2）若，求平面与平面所成二面角的正弦值．
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】A
3．【答案】B
4．【答案】D
5．【答案】B
6．【答案】C
7．【答案】A
8．【答案】B
9．【答案】B,D
10．【答案】A,C
11．【答案】A,B,C
12．【答案】
13．【答案】②
14．【答案】
15．【答案】（1）证明：因为平面平面BCDE，平面平面，
，平面BCDE，所以平面AED，
因为平面AED，所以，
因为，，平面BCDE，所以平面BCDE．
（2）解：因为平面BCDE，，所以BE，DE，AE两两互相垂直，以E点为原点，EB，ED，EA所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
得各点坐标分别为：、、、，
得，，．
设平面CAB的一个法向量为，由，，
得，令得，，从而．
设平面ABD的一个法向量为，由，，
得，令得，，从而．
，
所以平面CAB与平面DAB夹角的余弦值为．
16．【答案】（1）证明：连结交于，连结，.
因为四边形是矩形，所以，且，
又，分别为，的中点，
所以四边形是平行四边形，所以为的中点，
又因为是的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）证明：在矩形中，
，∴平面
因为平面，所以.
因为，点是的中点，
所以
又因为，所以平面.
17．【答案】（1）解：证明：连接PM，在中，，，所以．
因为点M是AB的中点，所以．
在中，，，，由余弦定理，有，
所以，所以．
在中，，，满足，所以．
又，AB、平面PAB，所以平面PAB．
（2）解：四面体PMND的体积即二棱锥的体积．
因为平面PAB．且平面ABCD，所以平面平面ABCD．
作交AB于H，且平面平面．又平面PAB﹐
所以平面ABCD．
在中，，即三棱锥的高为．
因为，所以在中，．
所以，
即四面体PMND的体积为2．
18．【答案】（1）解：因为，E为PD中点，所以.
又，平面平面ABCD，平面平面，
所以平面PAD.又平面PAD，所以.
因为、平面PCD，，所以平面PCD，
又平面PCD，所以.
（2）解：因为ABCD是边长为2的正方形，所以，
因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，
所以平面PAB，故，同理可得.
因为AB、平面ABCD，，所以平面ABCD.
连接BD与AC交于点O，连接OE，则O为BD的中点，
因为E为PD的中点，所以.
因为平面ACE，平面ACE，所以平面ACE，
所以点F和点B到平面ACE的距离相等.
又，由（1）知，易得，，
所以.设点B到平面ACE的距离为d，
则，解得，所以点F到平面ACE的距离为.
19．【答案】（1）证明：如图所示：
取PC的中点F，连接EM，DF，FM，
因为四边形为矩形，E是的中点，
所以，，
所以，
所以四边形DEMF是平行四边形，
所以，又平面PCD，平面PCD，
所以平面PCD.
（2）解：由平面，，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以 ，
设平面PCE的一个法向量为 ，
则，即 ，
令 ，得，
易知平面PAB的一个法向量为 ，
则 ，
设平面与平面所成二面角为，
所以.
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