江苏省2024届中考数学一轮模拟卷（二）（含解析）

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江苏省2024届中考数学一轮模拟卷（二）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．的倒数是（ ）
A．2023 B． C． D．
2．型口罩能过滤空气中95%的粒径约为 m的非油性颗粒．用科学记数法表示是（ ）
A． B． C． D．
3．一组数据：2，4，4，4，6，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是（ ）
A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差
4．下列说法正确的是（　　）
A．“清明时节雨纷纷”是必然事件
B．为了解某灯管的使用寿命，可以采用普查的方式进行
C．两组身高数据的方差分别是0.01，0.02，那么乙组的身高比较整齐
D．一组数据3，5，4，5，6，7的众数、中位数和平均数都是5
5．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点和顶点．若菱形的面积为12，则的值为（　　）．
A．6 B．5 C．4 D．3
6．如图，点A，B，C均在上，当时，的度数是（　　）
A．25° B．30° C．40° D．50°
7．关于x的一元二次方程有实数根，则k的值可以是（　 ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．如图，矩形中， ，动点P从点A出发向终点D运动，连，并过点C作，垂足为H．① ；②的最小值为 ； ③在运动过程中，点H的运动路径的长为 ， 其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
二、填空题
9．我国钓鱼诸岛面积约6344000平方米，数据6344000用科学记数法表示为 ．
10．因式分解： ．
11．关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ．
12．二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
x … ﹣3 ﹣1 1 3 …
y … ﹣4 2 4 2 …
则当﹣3＜x＜3时，y满足的范围是 ．
13．口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.2，摸出白球的概率是0.5，那么摸出黑球的概率是 ．
14．如图，直线，的直角顶点C在直线b上，若，则的度数为 ．
15．已知圆锥的母线长为12，底面圆的半径为6，则圆锥的侧面积是 ．
16．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，
连接CD．若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB ．
17．如图，在正十边形中，连接、，则 °
18．已知二次函数（为常数）．点，，在二次函数的图像上，当时，的取值范围是 ．
三、解答题
19．计算：．
20．解不等式组：
21．为了解学生对校园安全知识的掌握情况，现从九年级随机选取甲、乙两组各20名同学组织一次测试，并对本次测试成绩（满分为分）进行统计学处理：
【收集数据】甲组名同学的成绩统计数据：（单位：分）
乙组名同学中成绩在分之间数据：（满分为分，得分用x表示，单位：分）
【整理数据】（得分用表示）
(1)完成下表
分数/班级
甲班（人数）
乙班（人数）
【分析数据】请回答下列问题：
(2)填空：
平均分 中位数 众数
甲班 　
乙班 　
(3)若成绩不低于分为优秀，请以甲组、乙组共人为样本估计全年级人中优秀人数为多少？
22．如图，A转盘被等分成三份，并分别标有数字1，2，3；B转盘被分成如图所示的三份，分别标有数字1，2，3．
(1)转动一次A盘，指针指向3的概率是 ；
(2)转动一次A盘，记录下指针指向的数字，再转动一次B盘，也记录下指针指向的数字．请用列表或画树状图的方法求两个转盘的指针指向的数字都是3的概率．
23．如图，A，B，C，D依次在同一条直线上，与相交于点M．．
(1)求证：；
(2)求证：．
24．某餐饮公司推出甲、乙两种外卖菜品，已知售出2份甲菜品和1份乙菜品可获利40元，售出3份甲菜品和2份乙菜品可获利65元．
(1)求每份甲、乙菜品的利润各是多少元？
(2)根据营销情况，该餐饮公司每日都可以销售完甲、乙两种外卖菜品600份，且甲菜品的数量不多于乙菜品的一半，应该如何设计两种菜品的数量才能使获得的利润最高？最高利润是多少？
25．在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标，如图，，，，由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区.
(1)求圆形区域的面积；
(2)某时刻海面上出现渔船A，在观测点O测得A位于北偏东45°，同时在观测点B测得A位于北偏东29°，求观测点B到A船的距离（结果精确到0.1，参考数据：，，）.
26．如图，一次函数与反比例函数第一象限交于、两点，点是轴负半轴上一动点，连接，．
(1)求一次函数的表达式；
(2)若的面积为，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点为直线上一点，点为轴上一点，是否存在这样的点和点，使得四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
27．如图，已知抛物线经过点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点为该抛物线上一动点．
①当点在直线下方时，过点作轴，交直线于点，作轴．交直线于点，求的最大值；
②若，求点的横坐标．
28．问题提出：
（1）“弦图”是中国古代数学成就的一个重要标志．小明用边长为的正方形制作了一个“弦图”：如图①，在正方形内取一点，使得，作，，垂足分别为、，延长交于点．若，求的长；
变式应用：
（2）如图②，分别以正方形的边长和为斜边向内作和，连接，若已知，，的面积为，，则正方形的面积为 ．
拓展应用：
（3）如图③，公园中有一块四边形空地，米，米，米，，空地中有一段半径为米的弧形道路（即），现准备在上找一点将弧形道路改造为三条直路（即、、），并要求，三条直路将空地分割为、和四边形三个区域，用来种植不同的花草．
①则的度数为 ；
②求四边形的面积．
参考答案：
1．B
【分析】根据倒数的定义，进行求解即可．
【详解】解：的倒数是
故选B．
【点睛】本题考查了倒数，熟练掌握互为倒数的两数之积为1，是解题的关键．
2．D
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选D．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
3．D
【分析】根据众数、中位数、平均数及方差可直接进行排除选项．
【详解】解：由题意得：
原中位数为4，原众数为4，原平均数为，原方差为；
去掉一个数据4后的中位数为，众数为4，平均数为，方差为；
∴统计量发生变化的是方差；
故选D．
【点睛】本题主要考查平均数、众数、众数及方差，熟练掌握求一组数据的平均数、众数及方差是解题的关键．
4．D
【分析】A.根据生活实际判断事件是否必然发生进行判断即可；
B.当调查具有破坏性或费时费力时一般采用抽样调查；
C.根据方差意义，方差越小，数据越整齐，即可做出判断；
D.分别求出数据的众数，中位数，平均数即可判断．
【详解】A.清明节有可能下雨，也可能不下雨，所以“清明时节雨纷纷”是随机事件，故A错误；
B.调查某灯管的使用寿命，具有破坏性，应采用抽样调查的方式，故B错误；
C.∵＜，
∴甲组的身高比较整齐，故C错误；
D.将数据排序为：3，4，5，5，6，7，中间两个数都是5，因此中位数是5，这组数据中出现次数最多的是5，因此众数是5，这组数据的平均数为，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了必然事件和随机事件、全面调查和抽样调查、方差的意义、平均数、中位数、众数的计算，内容较多，熟知统计调查、众数、中位数的基本概念、方差的意义是解题关键．
5．C
【分析】首先设出A、C点的坐标，再根据菱形的性质可得D点坐标，再根据D点在反比例函数上，再结合面积等于12，解方程即可.
【详解】解：设点的坐标为，点的坐标为，
则，点的坐标为，
∴，
解得，，
故选C．
【点睛】本题主要考查反比例函数和菱形的性质，关键在于菱形的对角线相互平分且垂直.
6．C
【分析】根据等腰三角形的性质，可得，得出，再根据圆周角定理，得，即可得解．
【详解】解：点A，B，C均在上，，
，
，
，
，
；
故选C．
【点睛】此题考查了圆的性质、圆周角定理、三角形内角和定理与等腰三角形判定与性质，熟练掌握并运用相关性质是解此题的关键．
7．A
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴，
∴四个选项中只有A选项符合题意，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
8．A
【分析】根据矩形的性质和垂直的定义得到，再由三角形内角和定理证明，可证△ABP∽△HCB；如图1所示，取的中点O，连接则，可得点H在以O为圆心，以的长为直径的圆上运动，则当在同一直线上时，最短；根据点H的运动路线（轨迹）为，运用弧长公式即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
，故①正确；
如图1所示，取的中点O，连接则，
∵，
∴，
∴点H在以O为圆心，以的长为直径的圆上运动，
∴当在同一直线上时，最短，
此时，
∴的最小值为，故②正确；
如图2所示，在运动过程中，点H的运动轨迹即为，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴
∴点H的运动路线（轨迹）长为，故③正确；
故选A．
【点睛】本题主要考查了圆外一点到圆上一点的最值问题，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，求弧长，等边三角形的性质与判定，勾股定理得到，正确推出点H的运动轨迹是解题的关键．
9．
【分析】根据科学记数法的表示形式即可得出答案．
【详解】解：6344000=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了科学记数法，解题关键熟练掌握科学记数法的表示形式．
10．
【分析】先提公因式，再用平方差公式分解．
【详解】解：
【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键．
11．
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于的不等式，解不等式即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
【详解】解：由题意可知：，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是掌握根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
12．﹣4＜y≤4
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可根据x＝﹣3及x＝3时y的值，结合二次函数图象的顶点坐标，即可找出﹣3＜x＜3时y的取值范围．
【详解】解：从表格看出，函数的对称轴为x＝1，顶点为（1，4），函数有最大值4，
∴抛物线开口向下，
∴当﹣3＜x＜3时，﹣4＜y≤4，
故答案为，﹣4＜y≤4．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是学会看懂表格信息，灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．
13．0.3.
【详解】试题解析：根据概率公式摸出黑球的概率是1-0.2-0.5=0.3．
考点：概率公式．
14．50°/50度
【分析】如图：由平行线的性质可得，然后根据平角的性质可得即可求得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为50°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、平角的定义等知识点，熟记性质并准确识图是解题的关键．
15．
【分析】直接根据圆的周长公式求出圆锥侧面展开图扇形的弧长，然后由扇形面积计算即可．
【详解】由题意可知：圆锥的底面周长为，即圆锥侧面展开扇形的弧长为，
则圆锥的侧面积．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，解决的关键是理解圆锥的母线长是圆锥侧面展开图扇形的半径，圆锥的底面周长是扇形的弧长．
16．105°/105度
【分析】根据作图可知MN垂直平分BC，由垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和180°，进行角度计算即可解答；
【详解】解：由作图步骤可知MN是BC的垂直平分线，
，
，，
，
，
，，
．
故答案为：105°．
【点睛】本题考查了：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；等腰三角形等边对等角；三角形内角和定理；掌握相关性质和定理是解题关键．
17．54
【分析】设正十边形的圆心O，连接A7O、A4O，再求出∠A7OA4,最后运用圆周角定理解答即可．
【详解】解：如图：设正十边形的圆心O，连接A7O、A4O，
∵正十边形的各边都相等
∴∠A7OA4=×360°=108°
∴108°×=54°．
故填54．
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理，根据题意正确作出辅助线、构造出圆周角是解答本题的关键．
18．或0≤m≤2或m≥3
【分析】分别求出y1，y2，y3，利用y1 y2 y3≥0，得出关于m的不等式，求出m的值即可．
【详解】由题意可知，y1=（1-m）（1-m-2）=（m-1）（m+1），
y2=（2-m）（2-m-2）=m（m-2），
y3=（3-m）（3-m-2）=（m-1）（m-3），
∵y1 y2 y30，
∴（m-1）（m+1） m （m-2） （m-1）（m-3）≥0，即m（m+1）（m-2）（m-3）（m-1）20，
∵（m-1）2≥0，
∴m，（m+1），（m-2），（m-3）的负数有偶数个，且m+1＞m＞m-2＞m-3，
当负数有4个时，m+10，
∴m；
当负数有2个时，m-20且m0，
∴，
当负数有0个时，，
∴
∴m的取值范围为：．
故答案为：
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
19．
【分析】利用立方根的意义，零指数幂法则，负整数指数幂运算法则将原式化简，再进行加减运算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查实数的运算．掌握立方根的意义，零指数幂法则，负整数指数幂运算法则是解题的关键．
20．
【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集即可．
【详解】解：解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个一元一次不等式的解集是解题的关键．
21．(1)，
(2)，
(3)人
【分析】（1）根据数据统计的方法以及各组数据之和等于样本容量可得答案；
（2）根据中位数、众数的定义可求出、的值；
（3）求出样本中甲乙两个班“优秀”所占的百分比，进而估计总体中“优秀”所占的百分比，再乘总人数即可．
【详解】（1）解：由题意可知，乙班在的数据有个，在的有，个，
故答案为：，；
（2）甲班人中得分出现次数最多的是分，共出现次，因此甲班学生成绩的众数，
将乙班名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数，
故答案为：，；
（3）（人），
答：甲班、乙班共人为样本估计全年级人中优秀人数约为人．
【点睛】本题考查中位数、众数，频数分布表，掌握中位数、众数以及“频率”是正确解答的前提．
22．(1)
(2)
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两个转盘的指针指向的数字都是3的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：转动一次A盘，指针指向3的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两个转盘的指针指向的数字都是3的结果有2种，
∴两个转盘的指针指向的数字都是3的概率为：．
【点睛】本题考查树状图法求概率，树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先证明，由全等三角形的性质可得，然后根据可得，最后根据等量代换即可证明结论；
（2）直接运用全等三角形对应角相等的性质即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得是解答本题的关键．
24．(1)每份菜品甲的利润为15元，每份菜品乙的利润为10元
(2)购进甲菜品200份，乙菜品400份，所获利润最大，最大利润为7000元
【分析】（1）设每份菜品甲的利润为元，每份菜品乙的利润为元，根据售出2份甲菜品和1份乙菜品可获利40元，售出3份甲菜品和2份乙菜品可获利65元，列二元一次方程组，求解即可；
（2）设销售甲菜品份，总利润为元，根据甲菜品的数量不多于乙菜品的一半，求出的取值范围，再表示出与的函数关系式，根据一次函数的增减性即可确定最大利润时进货方案，进一步求出最大利润即可．
【详解】（1）解：设每份菜品甲的利润为元，每份菜品乙的利润为元，
根据题意，得：，
解得：，
答：每份菜品甲的利润为15元，每份菜品乙的利润为10元；
（2）设销售甲菜品份，总利润为元，
根据题意，得：，
解得：，
，
∵，
∴随着的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为：（元），
此时销售乙菜品：（份），
答：销售甲菜品200份，乙菜品400份，所获利润最大，最大利润为7000元．
【点睛】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键．
25．(1)
(2)15.5
【分析】（1）根据题意可以求得圆心的坐标和圆的半径，从而可以求得圆形区域的面积；
（2）过点A作轴于点D，依题意，得，在中，设，则，由，根据图形得到则，解方程求得x，进而解直角三角形求得
【详解】（1）连接，则轴，
∴，
设为由O、B、C三点所确定圆的圆心，
则为的直径，
由已知得，由勾股定理得，
∴半径，
∴；
（2）过点A作轴于点D，依题意，得，
在中，设，
则，
∴，
∴，
由题意得：，
则，
解得：，
在中，有，即，
∴
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、解直角三角形以及圆的面积计算等知识．熟练掌握圆由半径和圆心确定是解答本题的关键．
26．(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）是平行四边形的边，且点向右平移个单位向下平移个单位得到点，则点向右平移个单位向下平移个单位得到点，进而求解．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数图像上，
∴，
∴反比例函数的表达式为，
当时，，
∴，
∵，在一次函数图像上，
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）设直线交轴于点，
当时，，解得：
∴点，
设点，
∵的面积为，
∴，
∴，
解得：，
∴点的坐标为；
（3）存在，理由：
设直线的解析式为，，，
∴，
解得：，
直线的解析式为，
设点，
∵是平行四边形的边，且点向右平移个单位向下平移个单位得到点，点在轴上，
∴点向右平移个单位向下平移个单位得到点，
∴
∴，
∴点的坐标为．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行四边形性质等，解题关键是运用点坐标平移的规律：左减右加纵不变，上加下减横不变解决问题．
27．(1)
(2)①；②
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）①由直线的表达式知，其和轴负半轴的夹角为，即，则，进而求解；
②作点关于轴的对称点，则，用解直角三角形的方法求出，进而求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）①∵抛物线的解析式为，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点，点，
∴，
∵，
∴当时，的最大值为，
∵，，
∴，
∴，
∵轴，作轴，
∴，，
∴，，
∴，
∴的最大值为；
②作点关于轴的对称点，连接、，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线与轴交于点，
∴，
∴，
当点在轴的正半轴时，，
设直线的解析式为，，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：（此时是钝角，不合题意，舍去），（舍去），
当点在轴的负半轴时，，
设直线的解析式为，，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：，（舍去），
综上所述，点的横坐标为．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了运用待定系数法求函数的解析式，二次函数与一次函数的交点坐标，对称的性质，平行线的性质，等角对等边，三角形内角和，勾股定理，三角函数定义的应用，二次函数的最值等知识点，运用了分类讨论和等积法的思想．解题关键是正确添加辅助线构造等角和等积法的运用．
28．（1）；（2）；（3）①；②平方米
【分析】（1）根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，求得，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论；
（2）如图②，延长交于，延长交于，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据余角的性质得到，同理，，根据全等三角形的性质得到，求得正方形的面积，于是得到结论；
（3）①如图③，连接，根据勾股定理得到，根据勾股定理的逆定理得到，推出是所在圆的直径，是等腰直角三角形，得到点，，，四点共圆，，圆内接四边形的性质得到的度数；
②根据三角形的面积公式得到；根据旋转的想得到，，，延长交于，推出是等腰直角三角形，得到，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或（负值不合题意，舍去），
∴的长为；
（2）解：如图②，延长交于，延长交于，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，，
在和中，
，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴四边形是正方形，
∵的面积为，，
∴正方形的面积为：，
∴正方形的面积为：，
故答案为：；
（3）如图③，连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是所在圆的直径，是等腰直角三角形，
∴点，，，四点共圆，，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵是等腰直角三角形，
∴，
把绕着点逆时针旋转，得到，
∴，，，
∴∠，，
∴，
∴，
延长交于，
∴，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∴（平方米）．
【点睛】本题是圆的综合题，考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，勾股定理的逆定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
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