湖南省2024届中考数学一轮模拟卷（含解析）

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湖南省2024届中考数学一轮模拟卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．如图，将折叠，使点边落在边上，展开得到折痕，则是的（ ）
A．中线 B．中位线 C．角平分线 D．高线
2．下列式子的计算结果与的结果相等的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，五边形中， ，、、是外角，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．如果，那么代数式的值为（ ）
A． B． C．12 D．8
5．如图，边长为的正六边形螺帽，中心为点O，垂直平分边，垂足为B，，用扳手拧动螺帽旋转，则点A在该过程中所经过的路径长为（ ）．

A．7.5 B． C．15 D．
6．某商城推出免利息分期付款购买电脑的活动，在活动期间王先生要购买一款标价为7999元的电脑，前期付款1999元，后期每个月付相同的金额，设后期每个月付款金额为（千元），付款月数（为正整数），选取5组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．某工程队在合作路改造一条长3000米的人行道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“×××”，设实际每天改造人行道x米，则可得方程，根据已有信息，题中用“×××”表示的缺失的条件应补充为（ ）
A．实际每天比原计划多铺设20米，结果延迟15天完成
B．实际每天比原计划多铺设20米，结果提前15天完成
C．实际每天比原计划少铺设20米，结果提前15天完成
D．实际每天比原计划少铺设20米，结果延迟15天完成
8．如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，同时闭合开关A，B或同时闭合开关C，D都可以使小灯泡发光．同时闭合两个开关小灯泡发光的概率是（ ）

A． B． C． D．
9．如图，动点P在线段上（不与点A，B重合），．分别以为直径作半圆，记图中所示的阴影部分面积为y，线段的长为x．当点P从点A移动到点B时，y随x的变化而变化，则阴影面积的最大值是（ ）

A． B． C． D．
10．平行四边形的对角线分别为a和b，一边长为12，则a和b的值可能是下面各组的数据中的（ ）
A．8和7 B．9和15 C．13和14 D．10和38
二、填空题
11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．如图．在平面直角坐标系中的项点分别为．
（1）点的坐标为 ．
（2）当正比例函数的图像平分面积时，的值为 ．
13．如图．中，，，，顶点、分别在轴、轴的正半轴上滑动．

（1） ；
（2）若点是的中点．则点在运动过程中经过的路径长为 ；
（3）点到原点的最大的距离是 ．
14．在甲、乙两位同学的10次数学模拟竞赛成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为，，则应选拔 同学参加数学竞赛．（填“甲”、“乙”中的一个）
15．如图，已知反比例函数的图象经过点A，且．的面积为2，则k的值为

16．如图，已知菱形的边长为2，，点E是边的中点，F为的中点，与相交于点G，则的长等于 ．

三、解答题
17．先化简，再求值：，其中x是方程的解．
18．在甲口袋中有三个球分别标有数码1，-2，3；在乙口袋中也有三个球分别标有数码4，-5，6；已知口袋均不透明，六个球除标码不同外其他均相同，小明从甲口袋中任取一个球，并记下数码，小林从乙口袋中任取一个球，并记下数码．
（1）用树状图或列表法表示所有可能的结果；
（2）求所抽取的两个球数码的乘积为负数的概率．
19．如图，在平行四边形ABCD中，AB≠BC，连接AC，AE是∠BAD的平分线，交边DC的延长线于点F．
(1)证明：CE=CF；
(2)如图（2），连接BF，若∠ABC=60°，BC=2AB，试判断四边形ABFC的形状，并说明理由．
20．比萨斜塔是意大利有名的建筑，资料显示：斜塔的倾斜角度为4°，观测者在距离塔底部100米处，测得塔顶部的仰角为30°，你能帮他计算出斜塔顶端离地面的距离吗？(结果精确到，参考数据：，，，)
21．一名跳水运动员从高的跳台上跳下，设他在起跳后第离水面，y与x具有如下关系：．求运动员从起跳到入水的时间．
22．如图，已知在中，弦垂直平分半径的延长线交于P，连接，过点A，B的切线相交于点M．

(1)求证：是等边三角形；
(2)若的半径为2，求的长．
23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点．
(1)根据图象，分别写出点A、B的坐标；
(2)求出这两个函数的解析式．
24．在平面直角坐标系中，点B从原点出发以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动．是等腰直角三角形，其中，，点C在第一象限，过C作轴，垂足为D，连接交于E，设运动时间为秒．

(1)证明：≌；
(2)当与相似时，求t的值；
(3)在（2）条件下，抛物线m经过A，B，D三点，请问在抛物线m上否存在点P，使得面积与的面积相等？若存在，请求出．
参考答案：
1．D
【分析】根据折叠后使点边落在边上，，,根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，
折叠后使点边落在边上点处，
∵三点共线，，
∴，
即是的高线，
故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三线合一，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
2．C
【分析】原式变形得到结果，即可作出判断．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．B
【分析】根据平行线的性质可得，再利用多边形的内角和即可求解．
【详解】解：，，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的内角和和平行线的性质，熟记多边形的内角公式为是解题的关键．
4．C
【分析】先将所求式子去括号、合并同类项，将变成，再整体代入计算即可求解．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴原式 ，
故选：C．
【点睛】本题考查整式的混合运算－化简求值，解题的关键是把所求式子化简，变形后整体代入．
5．D
【分析】利用正六边形的性质求出的长度，进而得到的长度，根据弧长公式进行计算即可．
【详解】解：连接．

∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点A在该过程中所经过的路径长．
故选：D．
【点睛】本题考查了正六边形的性质及计算，扇形弧长的计算，熟知以上计算是解题的关键．
6．D
【分析】直接利用后期每个月分别付相同的数额，进而得出y与x的函数关系式．
【详解】解：由题意得，即，
故y是x的反比例函数，观察四个选项，只有选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，正确理解题意是解题关键．
7．B
【分析】根据题意和题目中的方程，可以写出“×××”表示的缺失的条件．
【详解】解：根据已有信息，题中用“×××”表示的缺失的条件应补充为
实际每天比原计划多铺设20米，结果提前15天完成．
故选：B
【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，由已知分式方程可以得到需要补充的内容．
8．B
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有4种情况，
∴小灯泡发光的概率为：，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
9．D
【分析】，则，然后根据求出y关于x的函数关系式即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
，
∵，
∴当时，最大，最大值为，
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数在几何图形中的应用，正确求出y关于x的函数关系式是解题的关键．
10．C
【分析】结合题意，根据平行四边形的性质和三角形三边关系解答即可；
【详解】解：如图，设，，，

∵四边形是平行四边形，
∴，，，
根据三角形三边关系可得：，，
即：，，
A：，不符合题意；
B：，不符合题意；
C：，符合题意；
D：，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查对平行四边形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键．
11．x＞2
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不等于零列式计算可求解．
【详解】∵在实数范围内有意义
∴由题意得＞0，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键．
12． /
【分析】（1）根据平行线的性质求解即可；
（2）根据平分面积必过对角线交点求解即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
故答案为：；
（2）设对角线交点为，则为对角线中点
∵，，
∴，
∵正比例函数的图像平分面积，
∴正比例函数的图像过，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，求正比例函数解析式，解题的关键是根据平分平分面积必过对角线交点，再利用中点坐标公式求出．
13．
【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可；
（2）连接，根据直角三角形的性质可得，可得点的运动路径，利用弧长公式求解即可；
（3）连接，可知当。。三点共线时，最大，由勾股定理求得，即可得到答案．
【详解】（1）解：中，，，，
，
故答案为：；
（2）解：连接，

点是的中点．
，
顶点、分别在轴、轴的正半轴上滑动，
点的运动轨迹是以为圆心，半径为1的在第一象限的圆弧，
点在运动过程中经过的路径长为，
故答案为：；
（3）解：连接，

，
，，三点共线时，最大，
，
，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，弧长公式，解题的关键是熟练掌握知识点，理解点到的距离不变．
14．乙
【分析】根据方差所代表的数据特性处理．
【详解】两组数据，平均数相同的情况下，方差小的稳定性强，应选乙；
故答案为：乙．
【点睛】本题考查方差所代表的数据特征；理解方差代表的统计数据特征是解题的关键．
15．4
【分析】根据反比例函数的性质可以得到的面积等于的一半，由此可以得到它们的关系．
【详解】解：依据比例系数k的几何意义可得面积等于，
解得：，
∵反比例函数（k为常数，）的图象在第一和第三象限，
．
故答案为：4．
【点睛】本题考查反比例系数k的几何意义，熟练掌握过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于是解题的关键．
16．/
【分析】取的中点H，连接，过点B作交的延长线于M，连接，证明，得出，然后证明是的中位线，求出，再在中，利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，取的中点H，连接，过点B作交的延长线于M，连接，

∵点F是的中点H，F为的中点，
∴是的中位线，，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∵是的中位线，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，，
∴，
∵F是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，作出合适的辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
17．，
【分析】分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
【详解】解：原式
，
解方程得
或舍去，
当时，
原式．
【点睛】本题考查了分式的化简，熟练分解因式是解题的关键．
18．（1）详见解析；（2）
【分析】利用列表法展示所有可能的结果，再找出两次摸出的小球数字之积是负数的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解（1）列表法如下表示：
1 2 3
4
-5
6
（2）由（1）可知，共有9种可能的乘积，其中乘积为负数的有4个，则抽取的两个球数码的乘积为负数的概率.
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
19．（1）见解析（2）矩形，理由见解析
【分析】（1）利用角平分线的性质结合平行四边形的性质得出∠BAF＝∠F，∠DAF＝∠CEF，进而得出答案；
（2）利用等边三角形的判定方法得出△ABE是等边三角形，进而得出△ABE≌△FCE（ASA），即可得出AB＝FC，进而结合矩形的判定方法求出即可．
【详解】（1）∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵在平行四边形ABCD中，
∴AB∥DF，AD∥BC，
∴∠BAF＝∠F，∠DAF＝∠CEF，
∴∠F＝∠DAF＝∠CEF，
∴CE＝FC；
（2）解：四边形ABFC是矩形，
理由：如图（2），∵∠ABC=60°，AD∥BC，
∴∠BAD＝120°，
∵∠BAF＝∠DAF，
∴∠BAF＝60°，
则△ABE是等边三角形，
可得AB＝BE＝AE，∠BEA＝∠AFC＝60°，
∵BC＝2AB，
∴AE＝BE＝EC，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
在△ABE和△FCE中
∵，
∴△ABE≌△FCE（ASA），
∴AB＝FC，
又∵AB∥FC，
∴四边形ABFC是平行四边形，
再由∠BAC＝90°，
故四边形ABFC是矩形．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，得出AB＝FC是得出四边形ABFC是平行四边形的关键．
20．斜塔顶端离地面的距离约为.
【分析】作于点D，构成两个直角三角形．运用三角函数定义分别求出AG和BG，即可解答．
【详解】如图，过点作于点.
根据题意得，，，设，
在中，，
∴.
在中，，
∴.
∵，
∴，
∴
答：斜塔顶端离地面的距离约为.
【点睛】此题主要考查了仰角与俯角问题，根据已知构造直角三角形求出BDt和CD的长是解题关键．
21．运动员从起跳到入水的时间为
【分析】根据条件当时代入解析式求出x的值就是运动员从起跳到入水的时间．
【详解】解：由题意，得
，
解得：舍去，．
答：运动员从起跳到入水的时间为
【点睛】本题考查了二次函数的解析式的运用，一元二次方程与二次函数的关系的运用，解答时根据求出x的值即可．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，利用圆的切线性质得到，根据直角三角形的性质得到，根据等边三角形的判定即可证明；
（2）先根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】（1）证明：连接，设与的交点为D，

，分别切于A，B，
，，
弦垂直平分半径，
，
，
，
又，
是等边三角形；
（2）解：由题意得，，由（1）可知，
，，
在中，．
【点睛】本题考查的是切线的性质、等边三角形的判定、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
23．(1)B的坐标为；点A的坐标为
(2)一次函数解析式为；反比例函数解析式为
【分析】（1）观察图象即可得出点的坐标，观察图象易得点A的坐标为，点B的坐标为；
（2）根据点在函数图象上，利用待定系数法求函数解析式．
【详解】（1）解：观察图象得点A的坐标为，点B的坐标为；
（2）解：∵A、B两点在一次函数图象上，
∴把A、B两点的坐标代入得：
，
解得：，
∴一次函数解析式为：；
∵点A和点B都在反比例函数的图象上，
∴将其中一个点的坐标代入函数解析式得：，
∴反比例函数解析式为．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，准确计算．
24．(1)见解析
(2)t的值为2
(3)存在，点P坐标为或
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质及同角的余角相等可证明，，再加上，利用全等三角形的判定方法证明即可；
（2）与有一组对顶角相等，分和，分别把这两种相似作为已知条件，求出t的值，其中一种不合题意，需舍去；求解即可；
（3）将A，B，D的坐标分别代入二次函数解析式，先求出抛物线解析式，再求出直线的解析式，过点B作直线的平行线，构造与同底等高的三角形，平行线与抛物线的交点为P，求出该直线与抛物线的交点即可．
【详解】（1）解：是等腰直角三角形，
，
，
，
由题意知，，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
当时，
，
，
与为等腰直角三角形，
由（1）知，，
，
的值为2；
当时，
，
为等腰直角三角形，
，
由（1）知，，∴，
故不合题意，舍去，
综上所述，t的值为2；
（3）解：由知，，，
将，，分别代入，
得，，
解得：，，，
，
将点代入，
得，，
，
如右图，当点P在直线下方的抛物线上时，
过点B作的平行线，交抛物线于点P，交y轴于点M，连接，

此时与同底等高，面积相等，
将点代入，
得，，
，
联立与，
得，，
解得，，
与点重合，舍去；
当点P在上方的抛物线上时，
直线是直线向下平移1个单位得到的，
将直线向上平移1个单位得到直线，
可得到与同底等高，面积相等，
联立与，
得，
解得，，，
点P坐标为或
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、一次函数图象的平移及平行线的性质、等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，面积法、解一元二次方程等知识，解题的关键是要能够熟练运用相似的判定与性质，借助图象平移国，利用等面积法解决问题．
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