甘肃省2024届中考数学一轮模拟卷（含解析）

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甘肃省2024届中考数学一轮模拟卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．-2的相反数是（　　）
A．2 B．-2 C． D．±2
2．从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是（　　）
A． B． C． D．
3．不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
4．解方程，以下去括号正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．高尔基说：“书，是人类进步的阶梯”．阅读可以丰富知识，拓展视野，充实生活，给我们带来愉快．英才中学计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型（A．科普，B．文学，C．体育，D．其他）数据后，绘制出两幅不完整的统计图，则下列说法错误的是（ ）
A．样本容量为400 B．类型D所对应的扇形的圆心角为
C．类型C所占百分比为 D．类型B的人数为120人
7．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（ ）
A．2mm B． C． D．4mm
8．船在静水中的速度为36千米/时，水流速度为4千米/时，从甲码头到乙码头再返回甲码头，共用了9小时（中途不停留），设甲、乙两码头的距离为千米，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（），点是这段弧所在圆的圆心，半径，圆心角，则这段弯路（）的长度为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形中，P是边上的一个动点，连接，，过点B作射线，交线段的延长线于点E，交边于点M，且使得，如果，，，，其中．则下列结论中，正确的个数为（ ）
（1）y与x的关系式为；（2）当时，；（3）当时，．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
11．计算的结果是 ．
12．分解因式： ．
13．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时， ．
14．某公司10名职工的3月份工资统计如下，该公司10名职工3月份工资的中位数是 元．
工资/元 5000 5200 5400 5600
人数/人 1 3 4 2
15．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ．
16．已知点，，都在反比例函数（为常数，且）的图象上，则的大小关系是 ．
17．如图是某风景区的一个圆拱形门，路面宽为，净高，则圆形拱门所在圆的半径为 ．
18．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，，则线段的长为 ．
三、解答题
19．计算：．
20．化简：．
21．如图，在ABCD在中，AB(1)使用尺规完成基本作图：作∠BAD的角平分线交BC于点F，连接EF（保留作图痕迹，不写做法，不下结论）：
(2)根据（1）中作图，求证：四边形ABFE为菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：
∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAD
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAF＝∠DAF
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∴∠AEB＝ ①
∴ ② ，
∴AB＝AE．
∵，
∴∠DAF＝∠AFB，
∴∠BAF＝∠AFB，
∴AB＝BF，
∴ ③
∵，
∴四边形ABFE是 ④
∵AB＝BE，
∴四边形ABFC是菱形．
22．如图，公路为东西方向，在点北偏东方向上，距离 处是村庄；在点北偏东方向上，距离处是村庄．求，两村之间的距离．（参考数据：，，）
23．在四张背面完全相同的卡片上分别印有等腰三角形、平行四边形、菱形、圆的图案，现将印有图案的一面朝下并混合．
(1)从中随机抽取一张，则抽到的卡片上印有的图案是轴对称图形的概率是多少？
(2)从中随机抽取两张，则抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率是多少？
24．为了解我市初二年级数学学科期末质量监测情况，进行了抽样调查，过程如下，请将有关问题补充完整．
收集数据：随机抽取甲、乙两所学校的20名学生的数学成绩进行分析．
甲：91 89 77 86 71 31 97 93 72 91 81 92 85 85 95 88 88 90 44 91
乙：84 93 66 69 76 87 77 82 85 88 90 88 67 88 91 96 68 97 59 88
整理、描述数据：按如下数据段整理、描述这两组数据，分析数据：
分段 学校
甲 1 1 0 0 3 7 8
乙 0 0 1 4 2 a 5
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
统计量 学校 平均数 中位数 众数 方差
甲 81.85 b 91 268.43
乙 81.95 86 88 115.25
(1)填表：a的值是______，b的值是______．
(2)得出结论：
①若甲学校有600名初二学生，估计这次考试成绩在80分及以上的人数为______．
②可以推断出______学校学生的数学水平较高，并说明理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
25．如图，在平面直角坐标系x0y中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数（m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（6，n）．线段OA=5，E为x轴上一点，且sin∠AOE=．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOC的面积．
26．如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连接CD，DE，
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若BD＝4，CD＝3，求AC的长．
27．模型探究：（1）如图1，在四边形中，，，于点E，若，求四边形的面积．
拓展应用：（2）如图2，在四边形ABCD中，，，于点E，若，，，求四边形的面积．

28．如图1，抛物线经过，两点，与y轴相交于点C，连接，点P为线段上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交于点G，交x轴于点E．
(1)求抛物线的表达式．
(2)过点C作直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与相似？并求出此时点P的坐标．
(3)如图2，连接，请问的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．
参考答案：
1．A
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【详解】-2的相反数是：
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数，关键是在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．C
【详解】时针1小时走1大格，1大格为30°．
解答：解：从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是（6-3）×30°=90°，故选C．
3．C
【分析】按照解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1即可得出答案．
【详解】解：3x-2＞4，
移项得：3x＞4+2，
合并同类项得：3x＞6，
系数化为1得：x＞2．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1是解题的关键．
4．D
【分析】去括号得法则：括号前面是正因数，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号；括号前面是负因数，去掉括号和负号，括号里的每一项都变号．
【详解】解：
，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．去括号注意几点：①不要漏乘括号里的每一项；②括号前面是负因数，去掉括号和负号，括号里的每一项一定都变号．
5．D
【分析】根据△ABC∽△DEF，可以得到然后根据BC=6，EF=4，即可求解．
【详解】解：∵
∴
，，
故选D
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
6．C
【分析】根据类型的条形统计图和扇形统计图信息可判断选项；利用乘以可判断选项；利用类型的人数除以样本总人数可判断选项；利用类型所在百分比乘以样本总人数即可判断选项．
【详解】解：，则样本容量为400，选项A说法正确；
，则选项B说法正确；
，则选项C说法错误；
（人），则选项D说法正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键．
7．D
【分析】如图，连接CF与AD交于点O，易证△COD为等边三角形，从而CD=OC=OD=AD，即可得到答案．
【详解】连接CF与AD交于点O，
∵为正六边形，
∴∠COD= =60°，CO=DO，AO=DO=AD=4mm，
∴△COD为等边三角形，
∴CD=CO=DO=4mm，
即正六边形的边长为4mm，
故选：D．
【点睛】本题考查了正多边形与圆的性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键．
8．D
【分析】由题意可得顺水中的速度为（36+4）km/h，逆水中的速度为（36-4）km/h，根据“从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头共用9h”可得顺水行驶x千米的时间+逆水行驶x千米的时间=9h，根据等量关系代入相应数据列出方程即可.
【详解】设甲、乙两码头的距离为千米，
由题意得：，
故选D.
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用的航行问题，顺水中的速度=船在静水中的速度+水流速度，逆水中的速度=船在静水中的速度-水流速度，关键是正确理解题意，抓住题目中的关键语句找等量关系，列出方程.
9．C
【分析】根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出这段弯路（）的长度．
【详解】解：∵半径OA=90m，圆心角∠AOB=80°，
这段弯路（）的长度为：，
故选C
【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是明确弧长计算公式
10．C
【分析】（1）证明，得，将，，代入，即可得y与x的关系式；
（2）利用两组对应边成比例且夹角相等，判定；
（3）过点M作垂足为F，在中，由勾股定理得BP的长，证明，求出，，BF的长，在中，求出的值即可．
【详解】解：（1）∵在矩形中，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
故（1）正确；
（2）当时，，
∴，
又∵，
∴，
故（2）正确；
（3）过点M作垂足为F，
∴，
∵当时，此时，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴
故（3）不正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，矩形的性质，正确找出相似三角形是解答本题的关键．
11．2
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，注意：．
12．
【分析】先提公因式a，然后利用平方差公式分解即可．
【详解】
【点睛】本题考查了提公因式法与平方差公式因式分解，解题的关键是先提公因式．
13．/50度
【分析】根据平行线的性质，可以得到和的关系，从而可以得到的度数，然后根据，即可得到的度数．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．
14．5400
【分析】根据中位数的概念求解．
【详解】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：5000，5200，5200，5200，5400，5400，5400，5400，5600，5600，
则中位数为：．
故答案为：5400．
【点睛】本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
15．
【分析】根据根的判别式大于或等于零求解即可．
【详解】解：由题意得
1+4m≥0，
解得
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式 =b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当 >0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当 =0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当 <0时，一元二次方程没有实数根．
16．
【分析】根据得到图象在第二、四象限并且函数值随自变量的增大而减小即可解答．
【详解】解：∵比例函数，
∴，
∴图象在第一、三象限，
当时，图象在第三象限，函数值随自变量的增大而减小，
∴在点，中，，
∴,
当时，图象在第一象限，函数值随自变量的增大而减小，
∴在点中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
17．
【分析】如图所示，连接，设⊙O的半径为r，则，利用垂径定理得到，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，设⊙O的半径为r，则，
∵，
∴，
由勾股定理，得：，即：，
解得，
∴圆拱形门所在圆的半径为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
18．5
【分析】根据菱形的性质得出，求出，解直角三角形求出，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键．
19．
【分析】根据绝对值的意义，零指数幂化简，再根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了实数的综合运算能力，熟练掌握绝对值，零指数幂是解题的关键．
20．
【分析】先根据分式的加减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
21．(1)作图见解析
(2)①∠CBE；②∠ABE＝∠AEB；③AE＝BF；④平行四边形
【分析】（1）根据角平分线的作法来作出作∠BAD的角平分线交BC于点F，连接EF即可；
（2）由角平分线的性质和平行四边形的性质易得AB＝AE，结合平行线的性质易得AB＝BF，进而得到四边形ABFE是平行四边形，再利用AB＝BE，求出四边形ABFC是菱形．
【详解】（1）解：根据题意作图如下，则AF是∠BAD的角平分线．
（2）证明：∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAD，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAF＝∠DAF．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE．
∵，
∴∠DAF＝∠AFB，
∴∠BAF＝∠AFB，
∴AB＝BF，
∴AE＝BF．
∵，
∴四边形ABFE是平行四边形．
∵AB＝BE，
∴四边形ABFC是菱形．
故答案为：①∠CBE；②∠ABE＝∠AEB；③AE＝BF；④平行四边形．
【点睛】本题主要考查了角平分线的作法，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，角平分线的性质，理解相关知识是解答关键．
22．
【分析】过点作，过点作，解，得出，，解，得出，，在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过点作，过点作．
在中，，，
∴，
∴，．
在中，，，
∴，
∴，．
∴在中，，．
∴．
答：，两村之间的距离为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．
23．(1)
(2)
【分析】（1）四个图形中，为轴对称图形的是等腰三角形、菱形和圆，直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）四个图案中，等腰三角形、菱形和圆都是轴对称图形，则从中随机抽取一张，抽到的卡片上印有的图案是轴对称图形的概率是．
（2）用树形图表示所有可能的结果：
共有12种可能的结果，而且它们出现的可能性相等．其中两张卡片上印有的图案都是轴对称图形的可能结果有6种，
∴（两张卡片上印有的图案都是轴对称图形）．
【点睛】本题考查列表法与树状图法求概率、轴对称图形，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
24．(1)8，88
(2)①450；②答案不唯一，如：甲；甲学校学生成绩的中位数及众数均高于乙校，说明甲校学生的数学水平较高
【分析】（1）根据乙学校的20名学生的数学成绩可得，的值有8个，即；根据中位数的定义，结合甲学校的20名学生的数学成绩可得；
（2）①用样本中80分以上的人数除以样本总人数再乘以全校的人数600即可得到答案；
②根据统计表分析即可得到答案，答案不唯一．
【详解】（1）解：（1），
按大小排列后，甲的中位数位于分段中，是第10、11两个数的平均数，这两个数均是88，则百分数为88；
故答案为：8，88．
（2）解：①，
故答案为450．
②答案不唯一，理由须支撑推断结论．如：甲；甲学校学生成绩的中位数及众数均高于乙校，说明甲校学生的数学水平较高．
【点睛】本题主要考查了统计表，众数，中位数以及方差的综合运用，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
25．（1）反比例函数的解析式为y=﹣；所求的一次函数的解析式为y=﹣x+2；（2）6．
【分析】（1）过点A作AD⊥x轴于D点，根据正弦求出AD=4，根据勾股定理求出DO=3，再求出点A的坐标为（﹣3，4），再求反比例函数的解析式，从而求出B的坐标，再用待定系数法求一次函数的解析式；（2）令y=0，即-x+2=0，解得x=3，得C点坐标为（0，3），即OC=3，S△AOC= AD OC．
【详解】解：（1）过点A作AD⊥x轴于D点，如图
∵sin∠AOE=，OA=5，
∴sin∠AOE===，
∴AD=4，
∴DO==3，
而点A在第二象限，
∴点A的坐标为（﹣3，4），
将A（﹣3，4）代入y=，得m=﹣12，
∴反比例函数的解析式为y=﹣；
将B（6，n）代入y=﹣，得n=﹣2；
将A（﹣3，4）和B（6，﹣2）分别代入y=kx+b（k≠0），得
，
解得，
∴所求的一次函数的解析式为y=﹣x+2；
（2）在y=﹣x+2中，令y=0，
即﹣x+2=0，
解得x=3，
∴C点坐标为（0，3），即OC=3，
∴S△AOC= AD OC= 4 3=6．
【点睛】反比例函数和一次函数的综合.
26．（1）证明见解析（2）
【分析】(1)连接OD，根据题意得出∠BDC和∠ADC为直角，根据直角三角形的性质得出∠EDC=∠ECD，根据等腰三角形的性质∠ODC=∠OCD，根据AC为切线得出答案；
(2)根据勾股定理得出BC的长度，根据△BCD和△ABC相似得出AC的长度．
【详解】解：(1)连接OD.∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°．
∵E为AC的中点，∴DE＝EC＝AC，
∴∠EDC＝∠ECD．
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD．
∵AC切⊙O于点C，
∴AC⊥OC．
∴∠EDC＋∠ODC＝∠ECD＋∠OCD＝90°，
∴DE⊥OD．
∴DE是⊙O的切线；
(2)在Rt△BCD中，
∵BD＝4，CD＝3，
∴BC＝＝5．
∵∠BDC＝∠BCA＝90°，∠B＝∠B.
∴△BCD∽△BAC，
∴＝，
即＝，
∴AC＝．
【点睛】本题主要考查的是切线的性质与判定以及三角形相似的应用，属于基础题型．理解切线的性质是解决这个问题的关键．
27．（1）；（2）
【分析】（1）过作，交的延长线于，求出四边形是矩形，根据矩形的性质得出，求出，根据得出，根据全等得出，，求出，求出，代入求出即可；
（2）过作，交的延长线于，求出，根据推出，根据全等得出，，设，由勾股定理得出，推出，求出 ，求出， ，代入计算即可．
【详解】解：如图1，过作，交的延长线于，

，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
在和中，
，
，，
.四边形是矩形，
四边形是正方形，
（2）如图2，过作，交的延长线于，，

，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，，
设，，，
，，
由勾股定理得；，
，
，即，
解得：，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，勾股定理，正方形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键．
28．(1)
(2)
(3)能，，的面积的最大值为8
【分析】（1）将点，的坐标代入函数表达式，即可求解；
（2）先由函数解析式求得点C的坐标，从而得到为等腰直角三角形，可得此当时，以P，C，F为顶点的三角形与相似．
设设点P的坐标为，则，可得，
可列出列出关于m的方程，从而可求得m的值，于是可求得点P的坐标；
（3）连接．设点P的坐标为，则，，．然后依据列出的面积与a的函数关系式，从而可求得三角形的最大面积．
【详解】（1）解：将点，的坐标代入函数表达式，得：
，
解得，，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：令得：，
∴点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴当时，以P，C，F为顶点的三角形与相似．
设点P的坐标为，则，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴点P的坐标为．
（3）解：S能取得最大值
如图2所示，连接．
设点P的坐标为，则，，
∴．
∴，，
∴．
∵，
∴当时，的面积S有最大值．
∴此时，的面积的最大值为8．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定，（3）问中用含a的式子表示相关线段的长度，然后列出的面积与a的函数关系式是解题的关键．
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