重庆市2024届中考数学一轮模拟卷（含解析）

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重庆市2024届中考数学一轮模拟卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．实数﹣2023的绝对值是（　　）
A．2023 B．﹣2023 C． D．
2．近年来出生人口持续走低，即使国家开放三孩，也缓解不了颓势，2022年我国出生人口是1062万人，数据1062万用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
3．不等式组的解集是( )
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞2 D．x＜2
4．若点（m，n）在函数y=2x+1的图象上，则2m﹣n的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
5．关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≤﹣4 B．k＜﹣4 C．k≤4 D．k＜4
6．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，、是的两条相交弦，，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图1，将边长为a的正方形的一边与直角边分别是2和a的的一边重合．正方形以每秒1个单位长度的速度沿向右匀速运动，当点A和点E重合时正方形停止运动．设正方形的运动时间为t秒，正方形和重叠部分的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．当秒时，重叠部分的面积为（ ）
A．2 B． C．1 D．
二、填空题
9．因式分解： ．
10．若一次函数的图象经过点，则 ．
11．如图，矩形中，，，点E是边上一点，，连接，点F是延长线上一点，连接，且，则 ．
12．如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，则的度数是 ．
13．如图，在四边形中，，，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形成为一个矩形，只需添加的一个条件是 ．
14．如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是 ．
15．如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，，，交于点，若是的中点，则的长为 ．

16．化简： ＝ ．
三、解答题
17．解方程：x(2x﹣5)＝2x﹣5．
18．化简：．
19．如图，在中，．
(1)尺规作图：在边上求一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)求证：．
20．如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在其南偏西方向上，航行2小时后到达N处，观测到灯塔P在其南偏西方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近的位置(由科学计算器得到，，，．

21．为了响应国家开展“中小学生课后服务”的政策，某学校在课后服务活动中开设了A．书法，B．剪纸，C． 足球，D．乒乓球，共四门课程供学生选修，每门课程被选到的机会均等．
(1)小军选修的课程是篮球这一事件是________.（填序号）
①不可能事件 ②必然事件 ③随机事件
(2)若小军和小彬两位同学各计划选修一门课程，请用列表或画树状图的方法求两人恰好同时选修球类课程的概率．
22．为了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果统计表：
组别 分组（单位：元） 人数
A 4
B 16
C a
D b
E 2
请根据以上图表，解答下列问题：
(1)这次被调查的同学共有 　 　人， 　 　， 　 　；
(2)求扇形统计图中扇形C的圆心角的度数；
(3)若该校共有学生1000人，请估计每月零花钱的数额x在范围的人数．
23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与y轴的负半轴交于点B，且．

(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)请直接写出不等式的解集．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O分别与BC、AC相交于点D、E，连接AD．过点D作DF⊥AC，垂足为点F，
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求图中阴影部分的面积．
25．如图，在中，，于点，过点作于点，交于点．点在边上，且，连接，延长到点，使，连接．

(1)求证：；
(2)试判断的形状，并说明理由；
(3)若，，则________．
26．如图，过点的抛物线的对称轴是直线，点B是抛物线与x轴的一个交点，点C在y轴上，点D是抛物线的顶点，设点P在直线下方且在抛物线上，过点P作y轴的平行线交于点Q．
(1)求a、b的值；
(2)求的最大值；
(3)当是直角三角形时，求的面积．
参考答案：
1．A
【分析】根据绝对值的代数意义即可得出答案．
【详解】解：因为负数的绝对值等于它的相反数，
所以，﹣2023的绝对值等于2023．
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值的代数意义，熟练掌握知识点是本题的关键．
2．C
【分析】先把1062万写成10620000，再根据科学记数法的表示方法解答即可.
【详解】1062万=10620000=
故选：C
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，解题的关键是要确定a的值及n的值.
3．C
【分析】先分别求出两个不等式的解集，再求出解集的公共部分即可．
【详解】，
由①得：x＞-3，
由②得：x＞2，
所以不等式组的解集是x＞2．
故选C．
4．D
【详解】试题分析：将点（m，n）代入函数y=2x+1，得到m和n的关系式，再代入2m﹣n即可解答．
解：将点（m，n）代入函数y=2x+1得，
n=2m+1，
整理得，2m﹣n=﹣1．
故选D．
5．C
【分析】根据判别式的意义得 =42﹣4k≥0，然后解不等式即可．
【详解】根据题意得 =42﹣4k≥0，
解得k≤4．
故选C．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与 =b2﹣4ac有如下关系：当 ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当 =0时，方程有两个相等的实数根；当 ＜0时，方程无实数根．
6．A
【分析】根据“这批椽的价钱为6210文”、“每件椽的运费为3文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出方程解答．
【详解】解：由题意得：，
故选A.
【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，准确的找到等量关系并用方程表示出来是解题的关键．
7．B
【分析】圆周角定理和已知得出，证出为等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解．
【详解】解：，，
，
为等边三角形，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
8．A
【分析】根据题意得：当时，点B与点E重合；当时，点A与点E重合，，从而得到，可得当秒时，此时，，可得到，从而求出，再由重叠部分的面积为，即可求解．
【详解】解：根据题意得：当时，点B与点E重合；当时，点A与点E重合，，
∴，
∴，
当秒时，如图，此时，，
∴，
∴，即，
∴，
∴重叠部分的面积为．
故选：A
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，利用数形结合思想解答是解题的关键．
9．
【分析】利用提取公因式法因式分解即可
【详解】解：
故答案为:
【点睛】本题考查提取公因式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键
10．8
【分析】将点代入一次函数的解析式中即可求出m的值．
【详解】解：由题意知，将点代入一次函数的解析式中，
即：，
解得：．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，点在图像上，则将点的坐标代入解析式中即可．
11．6
【分析】过点D作DM⊥AF，可证明∠NDM=∠GDM，从而得，DN=DG，设DN=DG=x，列出比例式，求出x的值，进而即可求解．
【详解】解：过点D作DM⊥AF，则∠MAD+∠ADM=90°，
∵在矩形中，∠ADM+∠CDM=90°，
∴∠MAD=∠CDM，
∵AD∥BF，
∴∠F=∠MAD，
∵，
∴∠MAD=，
∴∠CDM=，
∴∠NDM=∠GDM，
∵∠NMD=∠GMD=90°，DM=DM，
∴，
∴DN=DG，
∵，，
∴，
设DN=DG=x，
∵AB∥CD，
∴，
∴，即：，解得：x=2，
∴DN=DG=2，
∵AD∥BF，
∴，
∴，即：，解得：CF=6，
故答案是：6．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，证明，是解题的关键．
12．25
【分析】先由切线的性质可得∠OAC=90°，再根据三角形的内角和定理可求出∠AOD=50°，最后根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”即可求出∠B的度数．
【详解】解：∵是的切线，
∴∠OAC=90°
∵，
∴∠AOD=50°，
∴∠B=∠AOD=25°
故答案为：25．
【点睛】本题考查了切线的性质和圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
13．（答案不唯一）
【分析】】先证四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论．
【详解】解：需添加的一个条件是∠A=90°，理由如下：
∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠A=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠A=90°（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
14．4
【分析】将代入中可求出x，结合图形可知，即可求出OH．
【详解】解：当时，，解得：或，
结合图形可知：，
故答案为：4
【点睛】本题考查二次函数的实际应用：投球问题，解题的关键是结合函数图形确定x的值．
15．
【分析】根据矩形的性质可得，，，从而可得，然后利用直角三角形斜边上的中线可得，从而可得，进而可得，再证明∽，利用相似三角形的性质可求出的长，最后在中，利用勾股定理求出的长，即可解答．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴∽，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
16．
【分析】根据分式混合运算的顺序，依次计算即可．
【详解】
=
故答案为
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握约分，通分，因式分解的技巧是解题的关键．
17．x1＝，x2＝1
【分析】利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：（2x－5）（x－1）＝0
x1＝，x2＝1
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，解题的关键是移项后利用提公因式进行因式分解．
18．
【分析】根据分式的混合运算进行化简即可．
【详解】解：原式．
【点睛】本题考查分式的化简，解题的关键是注意运算顺序和约分．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作线段的垂直平分线交边即可；
（2）先证，，得，利用两角分别相等的两个三角形全等即可得证．
【详解】（1）解：如图．点P为所求作的点，
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴∽．
【点睛】本题考查了尺规作线段的垂直平分线以及相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
20．41.682海里
【分析】如图所示，过点作于点，即该船继续向南航行至离灯塔最近的位置为点处，根据题意可算出的距离，是等腰三角形，在中根据三角函数的计算即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，即该船继续向南航行至离灯塔最近的位置为点处，（海里），

，，，
，
，
是等腰三角形，即海里，
，
（海里）．
答：此时轮船离灯塔的距离41.682海里．
【点睛】本题主要考查三角函数的应用，掌握方位角的知识，三角函数的计算方法是解题的关键．
21．(1)①
(2)
【分析】（1）直接根据随机事件的概念：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件进行解答即可；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出小明和小刚两人恰好选球类的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）解：小军选修的课程是篮球这一事件是不可能事件，
故答案为：①；
（2）解：
解：画树状图如图：

共有16个等可能的结果数，其中两人恰好同时选修球类的有4种，
则两人恰好同时选修球类的概率是．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了随机事件．
22．(1)50；28；8
(2)
(3)720人
【分析】（1）根据B组频数及其所占百分比可得总人数，总人数减去其他三个组人数即可求得的值，再用A组人数除以总人数可得m的值；
（2）用乘以C组人数所占比例即可求出圆心角；
（3）总人数乘以样本中B、C组人数之和所占比例即可求解．
【详解】（1）解：调查的总人数是（人），
则（人），
，
则，
故答案为：50；28；8．
（2）解：D组的人数有（人），
则C组的人数有（人），
扇形统计图中扇形C的圆心角度数是；
（3）解：每月零花钱的数额x在范围的人数是（人）．
【点睛】本题主要考查了频数统计表和扇形统计图的综合运用，解题关键是读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．(1)，
(2)
【分析】（1）根据点坐标求出反比例函数解析式，和点的坐标，待定系数法求出一次函数的解析式；
（2）图象法解出不等式即可．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数解析式为；
∵，，点B在y轴负半轴上，
∴点．
把点、代入中，
得，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）不等式，即：反比例函数在第一象限内，反比例函数值大于一次函数值，
∵，
令，则，
∴点；
由图象知：反比例函数图象在一次函数图象的上方在点的左侧，直线与x轴交点的右侧，

∴不等式的解集为：．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．解题的关键是正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解．
24．（1）见解析；（2）4π﹣8
【分析】(1)连接AD、OD，则AD⊥BC，D为BC中点．OD为中位线，则OD∥AC，根据DF⊥AC可得OD⊥DF得证；
(2)连接OE，利用(1)的结论得∠ABC＝∠ACB＝67.5°，易得∠BAC＝45°，得出∠AOE＝90°，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论．
【详解】(1)证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
又AB＝AC，
∴D是BC的中点，
连接OD，
由中位线定理，知DO∥AC，
又DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线；
(2)连接OE，
∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°，
∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，
∴∠BAC＝45°，
∵OA＝OE，
∴∠AOE＝90°，
∵⊙O的半径为4，
∴S扇形AOE＝4π，S△AOE＝8，
∴S阴影＝S扇形AOE﹣S△AOE＝4π﹣8，
故答案为4π﹣8．
【点睛】本题考考查了圆的综合知识，圆的切线的证明，等腰三角形的性质和面积计算，扇形的面积计算，平行的性质应用，掌握圆的知识概念是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)是等腰直角三角形，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据等角的余角相等得出，根据等腰直角三角形的性质得出，证明，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）根据平行四边形的性质得出，，进而证明，得出，进而得出是等腰直角三角形；
（3）根据等腰直角三角形的性质可得，则，根据（2）可得，则，进而代入数据即可求解．
【详解】（1）解：证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
（2）是等腰直角三角形．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形．
（3）∵是等腰直角三角形．
∴，
即，
由（2）知，
∴
∴．
即，
解得
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
26．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）用待定系数法即可求得；
（2）求出直线的解析式，设，则，则可得关于x的二次函数，即可求得的最大值；
（3）设D点的坐标为，求出，分三种情况考虑，利用勾股定理建立方程求出m的值，即可求得的面积．
【详解】（1）解：∵过点的抛物线的对称轴是直线，
∴，解得,
故．
（2）解：设直线过点，可得直线．
由（1）可得抛物线，
设，则，
∴，
∴当时，最大，最大值为．
（3）解：设点C的坐标是．由（1）可得抛物线，
∴抛物线的顶点D的坐标是，点B的坐标是．
则，，，
①当时，有．
∴，解得，
∴．
②当时，有．
∴，解得，
∴．
③当时，有．
∴，此方程无解．
综上所述，当为直角三角形时，的面积是或．
【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了二次函数的图象与性质，勾股定理，涉及分类讨论的思想，综合运用这些知识是解题的关键．
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