广东省2024届中考数学一轮模拟卷（一）（含解析）

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广东省2024届中考数学一轮模拟卷（一）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．如图所示的工件，其俯视图是（　　）
A． B． C． D．
2．中国信息通信研究院测算，2020-2025年，中国商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．关于的一元二次方程的一个根是-1，则的值是（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．3
5．在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，则tanB的值为（）
A． B． C． D．
6．某校篮球队有12名队员，队员的年龄情况统计如下：
年龄/岁 13 14 15 16
人数 2 4 3 3
则这12名队员年龄的中位数和众数分别是（ ）
A．14，15 B．14.5，14 C．14，14 D．14.5，15
7．如图，在中，弦，相交于点，则一定与相等的是（ ）
A． B． C． D．
8．某机械长今年生产零件50万个，计划明后两年共生产零件132万个，设该厂每年的平均增长率为x，那么x满足方程（　　）
A．
B．
C．
D．
9．若关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程有正数解，且符合条件的所有整数a的和为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③QF＝QB；④S四边形ECFG＝S△ABG．正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．单项式的系数为 ．
12．因式分解： ．
13．不等式组的整数解是 ．
14．如图，某地修建高速公路，要从地向地修一条隧道（点在同一水平面上）.为了测量两地之间的距离，一架直升飞机从地出发，垂直上升900米到达处，在处观察地的俯角为30°，则两地之间的距离为 ．
15．如图，正方形的边长为1，点E是上一动点（不与点B，C重合），过点E作交正方形外角的平分线于点F，交于点G，连接．下列结论：①；②；③；④的面积的最大值为．其中正确的是 ．（填写正确结论的序号）
三、解答题
16．计算：．
17．先化简，再求值： ，其中．
18．如图，在中，．

(1)作的垂直平分线，交于点D，交于点E；（用黑色水笔描出作图痕迹，不要求写作法）
(2)连接，求的周长．
19．某中学积极响应上级课后延时服务要求，进一步丰富学生课余生活，拟调整兴趣活动小组，为此进行了一次抽样调查，根据采集到的数据绘制的统计图（不完整）如下：
请你根据图中提供的信息，完成下列问题：
(1)图1中，“编程”部分所对应的圆心角为_________度；
(2)此次调查共抽查了_________名学生；
(3)在图2中，将“篮球”部分的图形补充完整；
(4)若该中学现有学生3200人，请估计现有学生中爱好“书法”的人数．
20．已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于和两点．

(1)求k和n的值；
(2)若点也在反比例函数图象上，求当时，函数值y的取值范围；
(3)直接写出关于x的不等式的解集 ．
21．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．
（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？
22．如图，AB为⊙O的直径，BC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上，BD平分∠ABC，过点D作EF⊥BC，分别交BA、BC的延长线于点E、F．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若BD＝4，tan∠FDB＝2，求AE的长．
23．如图，抛物线与x轴交于点、，且经过点．

(1)求抛物线的表达式；
(2)在x轴上方的抛物线上任取一点N，射线、分别与抛物线的对称轴交于点P、Q，点Q关于x轴的对称点为，求的面积；
(3)点M是y轴上一动点，当最大时，求M的坐标．
参考答案：
1．B
【详解】解：从上边看是一个同心圆，外圆是实线，内圆是虚线，
故选：B．
2．B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：10.6万亿=106000 0000 0000=1.06×1013．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．B
【分析】根据积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式、合并同类项可进行排除选项．
【详解】解：A、，原计算错误，故不符合题意；
B、，原计算正确，故符合题意；
C、，原计算错误，故不符合题意；
D、与不是同类项，原计算错误，故不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式、合并同类项，熟练掌握积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式是解题的关键．
4．C
【分析】将代入原方程即可求出结果．
【详解】解：将代入原方程得，解得．
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程根的定义，解题的关键是掌握一元二次方程根的定义．
5．A
【分析】根据直角三角形锐角三角函数的定义直接求解．
【详解】解：如图，

∵直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，
∴；
故选：A．
【点睛】此题考查的知识点是锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．
6．B
【分析】众数就是出现次数最多的数，而中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义即可求解．
【详解】解：将12个数据按从小到大顺序排列：13，13，14，14，14，14，15，15，15，16，16，16，
∵第6和第7个数据的平均数，
∴中位数是：14.5，
在这12名队员的年龄数据里，14岁出现了4次，次数最多，因而众数是14．
故选：B．
【点睛】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
7．C
【分析】根据圆周角定理得出即可．
【详解】解：根据圆周角定理得：∠A=∠D，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，能熟记圆周角定理是解此题的关键，注意：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等．
8．C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用-增长率问题，设出未知数，分别表示明年、后年生产的零件数量，根据“明后两年共生产零件132万个”即可列出方程．
【详解】解：根据题意得明年生产零件为（万个），后年生产零件为（万个），
由题意得．
故选：C
9．C
【分析】先解不等式组，根据其有解得出；解分式方程求出，由解为正数解得出的范围，从而得出答案．
【详解】解：解关于的不等式组得，
，
不等式组有解，
，
，
关于的分式方程得，
，
，
，
有正数解，
，
，
，，，，
会产生增根，
，
故满足条件的整数的和为：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，以及一元一次不等式，解题的关键是掌握方程和不等式的解法．
10．D
【分析】首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE＝90°，即可得到①AE＝BF；②AE⊥BF；△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系求出QF＝QB；由Rt△ABE≌Rt△BCF得S△ABE＝S△BCF即可判定④正确．
【详解】解：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，
∴CF＝BE，
在△ABE和△BCF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，AE＝BF，故①正确；
又∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CBF+∠BEA＝90°，
∴∠BGE＝90°，
∴AE⊥BF，故②正确；
根据题意得，FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠CFB＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠PFB，
∴QF＝QB，故③正确；
∵Rt△ABE≌Rt△BCF，
∴S△ABE＝S△BCF，
∴S△ABE﹣S△BEG＝S△BCF﹣S△BEG，
即S四边形ECFG＝S△ABG，故④正确．
故选：D．
【点睛】本题主要是考查了三角形全等、正方形的性质，熟练地综合应用全等三角形以及正方形的性质，证明边相等和角相等，是解决本题的关键．
11．3
【分析】此题主要考查了单项式，正确掌握单项式的系数确定方法是解题关键．根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，进而得出答案．
【详解】解：单项式 的系数为3．
故答案为：3
12．
【分析】此题主要考查了提取公因式法与公式法的综合运用，正确运用平方差公式是解题关键．首先提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
13．2
【分析】本题考查求不等式组的解集以及确定解集内的整数解，熟练掌握不等式的性质是解题关键．先根据不等式的性质求出不等式组的解集，再取整数解即可．
【详解】解：，
由不等式①得，
由不等式②得，
其解集是，
所以整数解是2．
故答案为：2．
14．
【分析】根据题意得到∠CAB=90，AC=900米，求出∠ACB=60，即可利用tan∠ACB=求出AB的距离.
【详解】在Rt△ABC中，∠CAB=90，∠ACB=90-30=60，AC=900米，
∴tan∠ACB=,
∴AB==（米），
故答案为：.
【点睛】此题考查三角函数的实际应用，此类问题中确定三角形中的边和角之间的关系是解题的关键.
15．①②④
【分析】在上取点H，使，连接，然后证明和全等，再利用全等三角形的性质即可解答．
【详解】解：在上取点H，使，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是正方形外角的平分线，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即①正确；
∵，
∴，
∴，即②正确；
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即③说法错误；
∵，
∴，
设，则，
∴当时，取最大值为，即④说法正确．
故答案为①②④．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，正确作出作出辅助线、构造出全等的三角形是解答本题的关键．
16．
【分析】根据实数的混合运算，特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键．
17．，
【分析】本题考查了分式混合运算和化简求值．先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【详解】解：原式
当时，
原式．
18．(1)见解析
(2)的周长为
【分析】本题考查了作图-基本作图和线段垂直平分线的性质．
（1）利用基本作图作的垂直平分线；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等线段代换得到的周长．
【详解】（1）如图，为所作；

（2）∵垂直平分，
∴，
∴的周长．
19．(1)126°
(2)80
(3)见解析
(4)320人
【分析】（1）由“编程”部分的百分比乘以360即可得到结果；
（2）由“编程”部分的人数除以占的百分比即可求出调查的学生总数；
（3）由总学生数减去其他的人数求出“篮球”部分的人数，补全统计图即可；
（4）由“书法”部分的学生数除以总人数即可求出“书法”部分的百分比再乘以3200即可得到结果．
【详解】（1）解：根据题意得：360°×35%=126°；
（2）解：根据题意得：28÷35%=80（人）；
（3）解：“篮球“部分的是80-（28+24+8）=20人，补全统计图，
（4）解：根据题意得：3200×（8÷80）×100%=320（人）．
所以爱好“书法”的人数为320人．
【点睛】本题考查了扇形统计图和条形统计图以及用样本估计总体，解题的关键是理解题意．
20．(1)
(2)
(3)或
【分析】此题考查一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求函数解析式，利用图象求函数值的范围，求不等式的解集：
（1）将点的坐标代入一次函数解析式及反比例函数解析式即可求出k和n的值；
（2）根据反比例函数的增减性解答；
（3）即为反比例函数图象在一次函数图象上方，据此解答．
【详解】（1）解：当时，，
∴点B的坐标为．
∵反比例函数的图象过点，
∴．
（2）∵，
∴当时，y随x值增大而减小，
∵时，时，
∴当时，；
（3）由图象可知，不等式的解集是或，
故答案为或．
21．（1）乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元；（2）最多购进87个甲种粽子
【分析】（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，然后根据“购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个”可列方程求解；
（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，然后根据（1）及题意可列不等式进行求解．
【详解】解：（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，由题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的解，
答：乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元．
（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，由（1）及题意得：
，
解得：，
∵m为正整数，
∴m的最大值为87；
答：最多购进87个甲种粽子．
【点睛】本题主要考查分式及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OD，由OB=OD及BD平分∠ABC可得OD∥BF，则由EF⊥BD可得结论；
（2）连接OD、AD，由可得，从而可得，由此在Rt△ABD中，可分别求得AD、AB；由（1）中所证易得△EAD∽△EDB，， 从而得AE=BE，最后可求得AE的长．
【详解】（1）如图，连接OD
则OB=OD
∴∠ABD=∠BDO
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠FBD
∴∠ABD=∠BDO
∴OD∥BF
∵EF⊥BC
∴OD⊥EF
∴EF为⊙O的切线
（2）如图，连接AD、OD
∵在Rt△BFD中，
∴BF=2DF
∴
∴
即
∵
∴
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
∵AB为⊙O的直径
∴∠ADB=90°
由（1）知，OD为⊙O的切线
∴∠ODB=90°
∴∠EDA+∠ADO=∠ADO+∠BDO=90°
∴ ∠EDA=∠BDO
∵∠ABD=∠BDO
∴∠EDA=∠ABD
∵∠E=∠E
∴△EAD∽△EDB
∴
∴AE=DE，DE=BE
∴AE=BE，即BE=4AE
∵AB=BE-AE=3AE
∴
【点睛】本题主要综合考查了圆的切线的判定、相似三角形的判定和性质、三角形函数、勾股定理等知识．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设抛物线的解析式为，代入点C的坐标，确定a值即可．
（2）设，直线的解析式为，直线的解析式为，表示出P，Q，的坐标，进而计算即可．
（3）当M是y轴与经过A，C，M三点的圆的切点是最大计算即可.
【详解】（1）∵抛物线与x轴交于点、，
∴设抛物线的解析式为，
∵经过点，
∴，
解得，
∴，
∴．
（2）如图，当点N在对称轴的右侧时，
∵，
∴对称轴为直线，

设，直线的解析式为，直线的解析式为，
∴
解得，
∴直线的解析式为，直线的解析式为，
当时，，
，
∴，，，
∴，
∴．
如图，当点N在对称轴的左侧时，
∵，
∴对称轴为直线，

设，，，，
∴，
∴．
综上所述，．
（3）当的外接圆与相切，切点为M时， 最大，
设外接圆的圆心为E，Q是异于点M的一点，连接，，交圆于点T，
则，根据三角形外角性质，得，故，
∴最大，
设与圆交于点H，连接，，根据切线性质，
∴，
作直径，连接，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
过点E作，垂足为F，过点C作，垂足为G，交于点P，
根据垂径定理，得，四边形是矩形，
∴，

根据，得，
∴，
∴，
在直角三角形中，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
故，
∴当最大时，．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形的外接圆，相似三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
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