广东省2024届中考数学一轮模拟卷（二）（含解析）

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广东省2024届中考数学一轮模拟卷（二）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．下列各数中，绝对值最大的数是（ ）
A．3 B．0 C． D．
2．为实现我国2030年前碳达峰、2060年前碳中和的目标，光伏发电等可再生能源将发挥重要作用．去年全国光伏发电量为3259亿千瓦时，数据“3259亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．5月1日至7日，我市每日最高气温如图所示，则下列说法错误的是（）
A．中位数是36℃ B．平均数是32℃
C．众数是33℃ D．7天里的最高气温的极差为7
5．已知x2﹣y2＝2，则（5x﹣y）x+y的值为（　　）
A．5 B．10 C．25 D．125
6．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．有6片形状大小完全一样的正方形，其中每个上面标有数字从中随机抽一张，抽出标有的数字是偶数的概率为（）
A． B． C． D．
8．如图，是半圆的直径，，则的度数是（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
9．如图，△ABC的中线AD、BE相交于点F，过点E作EG∥AD交BC于点G，则EG∶AF的值是（ ）
A． B． C． D．
10．正方形与等边按如图所示方式叠放，顶点重合，点在边上，直线垂直，与直线和折线分别交于、两点，从点出发，运动至点停止，设移动的距离为，，运动过程中与的函数如图所示，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．把多项式分解因式的结果为 ．
12．现在从“，0，1，3”四个数中任选两个数作为一次函数的系数k，b，则一次函数的图象经过一、二、四象限的概率为 ．
13．如图，直线，且，则的度数是 ．

14．抛物线的图象先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，再把抛物线绕顶点旋转180°，得到的新图象的解析式为 ．
15．如图，已知AD是等腰三角形ABC底边BC上的高，AD＝1，DC＝，将△ADC绕着点D旋转，得△DEF，点A、C分别与点E、F对应，当EF与直线AB重合时，设AC与DF相交于点O，那么由线段OC、OF和弧CF围成的阴影部分的面积为 ．
三、解答题
16．计算：．
17．先化简：，再从，，中选取一个合适的数作为的值代入求值．
18．如图，是的对角线．
(1)尺规作图（请用铅笔）：作线段的垂直平分线，交，，分别于E，O，F，连接，（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)试判断四边形的形状并说明理由．
19．2022年3月22日至28日是第三十五届“中国水周”，在此期间，某校举行了主题“为推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛．为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表．
成绩x/分 频数 频率
15 0.1
a 0.2
45 b
60 c
(1)表中___________，___________，___________；
(2)请补全频数分布直方图：
(3)若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为99分，从这4名学生中随机选取2名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率．
20．如图，正比例函数与反比例函数交于点，且与反比例函数交于点，且，
(1)求的点坐标及的值；
(2)点分别为、上两动点，且
①试说明：在运动过程中，始终存在；
②点为的中点，点为的中点，当的面积为时，求点的坐标．
21．随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，体育用品需求增加，某商店决定购进A、B两种羽毛球拍进行销售，已知每副A种球拍的进价比每副B种球拍贵20元，用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同．
(1)求A、B两种羽毛球拍每副的进价；
(2)若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，那么该商店最多可购进A种羽毛球拍多少副？
(3)若销售A种羽毛球拍每副可获利润25元，B种羽毛球拍每副可获利润20元，在第（2）问条件下，如何进货获利最大？最大利润是多少元？
22．如图1，已知⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝∠ACB＝（45°＜＜90°），点D是上一点，连接CD交AB于E．
（1）连接BD，若∠CDB＝40°，求的大小；
（2）如图2，若点B恰好是中点，求证：；
（3）如图3，将CD分别沿BC、AC翻折到CM、CN，连接MN，若CD为直径，请问是否为定值，若是请求出这个值，若不是，请说明理由；
23．小红在学习菱形的概念后，对菱形进一步开展探究活动：如图①，在菱形中，，为对角线．
(1)【问题解决】
如图②，点E为延长线上一点，连接，在线段上取点F使，点G为与的交点，则的度数是 度；
(2)【问题探究】
如图③，点E为延长线上一点，连接，在线段上取点F，使，判断的形状，并说明理由；
(3)【拓展延伸】
如图③，在（2）的条件下，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
参考答案：
1．D
【分析】先根据绝对值的定义求出四个数的绝对值，再根据实数比较大小的方法进行求解即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴的绝对值最大，
故选D．
【点睛】本题主要考查了实数比较大小，求一个数的绝对值，熟知实数比较大小的方法是解题的关键．
2．C
【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．
【详解】解：3259亿．
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键．
3．C
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得．
【详解】解：A、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
4．A
【分析】根据众数、中位数、平均数、极差的定义求解即可．
【详解】A.将这七天的最高气温从小到大排序，排在第4的是32℃，所以中位数是32℃，故A错误，符合题意；
B.这七天最高气温的平均数为：，故B正确，不符合题意；
C.出现次数最多的是33℃，因此众数为33℃，故C正确，不符合题意；
D.7天里的最高气温的极差为，故D正确，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了众数、中位数、算术平均数、极差的定义，熟练掌握求一组数的中位数时，偶数个数为中间两个数的平均数，奇数个数为中间哪个数，是解题的关键．
5．C
【分析】先用幂的乘方进行计算，再将x2﹣y2＝2整体代入求值即可．
【详解】解：
当x2﹣y2＝2时，
原式=
故选 C．
【点睛】本题考查了幂的乘方及平方差公式，解决本题的关键是熟练掌握幂的乘方及平方差公式的运算法则．
6．B
【分析】根据不等式的性质解不等式即可
【详解】
故选B
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，理解不等式的性质是解题的关键．
7．D
【分析】本题考查了概率公式，解题的关键是牢记概率的求法，难度不大．利用概率公式求解即可．
【详解】共6个数，有4个偶数，
从中随机抽一张，抽出标有的数字是偶数的概率为，
故选∶D．
8．C
【分析】根据圆周角定理，得到，从而得到的度数，进而得到即可．
【详解】解：是半圆的直径，，
∴，，
∵对应的是劣弧，对应的是优弧，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查圆周角定理．熟练掌握直径所对的圆周角是直角，是解题的关键．
9．C
【分析】连接DE，根据中位线定理及三角形的相似可以得到AF=2FD，再根据ED∥AD得EG= AD，即可求解.
【详解】连接DE.
AD、BE是三角形的中线
∴DE∥AB，DE=AB
∴△DEF∽△ABF
∴
∴
∵ED∥AD
∴△EGC∽△ADC
∴
∴
∴EG∶AF=
故选：C
【点睛】本题考查的是三角形的相似，关键是找到相似的三角形并找到能代换的线段.
10．C
【分析】根据函数图像可知，当从点出发，运动至点时，取得最大值，即，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得即可求解．
【详解】根据函数图像可知，当从点出发，运动至点时，取得最大值，即，
等边
是正方形，
，，
，则，
．
．
故选C．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，正方形，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，从函数图像上获取信息是解题的关键．
11．
【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．先提公因式x，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，再根据一次函数的图象经过一、二、四象限时，确定结果，最后利用概率公式求解即可求得答案．本题考查了用列表法或树状图法求概率以及一次函数图象与系数的关系．
【详解】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中一次函数的图象经过一、二、四象限（，）的结果有2种，
∴一次函数的图象经过一、二、四象限的概率为，
故答案为：．
13．40度
【分析】根据三角形的外角的性质得到∠4=∠1+∠2=70°，根据等腰三角形的性质得到∠5=180°-2∠4=40°，根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：∵∠4=∠1+∠2=70°，
∵AD=AC，
∴∠5=180°-2∠4=40°，
∵直线a∥b，
∴∠3=∠5=40°，
故答案为：40度．

【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
14．
【分析】易得抛物线的顶点坐标，进而可得到平移后的新坐标，也就得到了平移后的抛物线的解析式，绕抛物线顶点旋转180°得到新抛物线的解析式的二次项系数互为相反数，顶点坐标不变，即可解答．
【详解】解：
所以原抛物线的顶点为，向左平移3个单位，再向上平移4个单位，那么新抛物线的顶点为；
可设新抛物线的解析式为，
代入得：，
把抛物线绕顶点旋转180°，
可得新抛物线的解析式的二次项的系数为，顶点不变，
所以，所求的抛物线解析式为：，
故答案为：．
15．
【分析】由已知可求∠ACD＝30°，当EF与直线AB重合时，可知∠FDC＝60°，∠COD＝90°，阴影部分的面积等于圆心角是60度，半径是CD的扇形面积减去直角三角形COD的面积；
【详解】解：∵AD＝1，DC＝，AD⊥BC，
∴∠ACD＝30°，
∵等腰三角形ABC，
∴∠B＝30°，
当EF与直线AB重合时，
∴∠FDC＝60°，
∴∠COD＝90°，
∴OD＝CD＝，OC＝，
∴阴影部分的面积＝﹣＝；
故答案为；
【点睛】本题考查阴影部分面积的求法；确定阴影部分面积是扇形面积减去直角三角形面积，根据条件求出即可.
16．
【分析】先算绝对值，负整数指数幂，零指数幂，锐角三角函数，再算加减法，即可求解．
【详解】解：原式=
=
=．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂，零指数幂，特殊角锐角三角函数，是解题的关键．
17．，2
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】解：
，
，，
，，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)四边形为菱形，见解析
【分析】（1）利用基本作图，作线段的垂直平分线即可；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得到，，，再证明得到，所以，于是可判断四边形为菱形．
【详解】（1）如图所示，
（2）四边形为菱形．理由如下：
∵垂直平分，
∴，，，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质和菱形的判定．
19．(1)30，0.3，0.4
(2)见解析
(3)选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为
【分析】（1）由总人数减去已知的频数即可求出a的值，再根据频率等于频数除以总数可得b、c的值；
（2）根据a的值补全直方图即可；
（3）根据题意，列表，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1），
，
，
故答案为：30，0.3，0.4；
（2）频数分布直方图如图所示：
（3）用分别表示3名女生，用d表示1名男生，列表如下：
A B C d
A BA CA dA
B AB CB dB
C AC BC dC
d Ad Bd Cd
共有12种等可能结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，
（选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生），
∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为．
【点睛】本题考查了统计表和频数分布直方图，涉及求频率，画频数分布直方图，用列表法或画树状图求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
20．(1)，；
(2)①证明见解析；②或．
【分析】（1）设，，由勾股定理可求得的值，从而即可求得点的坐标，利用待定系数法可以求得的值；
（2）①分别过、作轴，轴于点、，设，证，得，进而求得第四象限内的反比例函数为，设，利用勾股定理求得，，得，利用相似三角形得判定即可证明；②由点为的中点，，，得，设点的纵坐标为，利用面积构造方程得或，进而分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数交于点，
∴设，，
∵
∴
解得，
∴，
∴，
把代入得；
（2）解：分别过、作轴，轴于点、，
∵，
∴第一象限内的反比例函数，
设，
∵，，
∴，，
∵轴，轴，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴第四象限内的反比例函数为
设，
∵设，
∴即
∴（负值舍去）；
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴；
②∵点为的中点，，，
∴，
设点的纵坐标为，则
，
解得，或，
当时，
∵，，点为的中点，
∴，
解得，或（舍去），
∴，
当时，同理可得，
综上可得或．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，反比例函数的图像及性质，相似三角形的判定及性质，坐标与图形，同角的余角相等等，熟练掌握勾股定理，反比例函数的图像及性质及相似三角形的判定及性质是解题的关键．
21．(1)A种羽毛球拍每副的进价为70元，B种羽毛球拍每副的进价为50元
(2)45副
(3)购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍55副时，总获利最大，最大利润为2225元
【分析】（1）设A种羽毛球拍每副的进价为x元，根据用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同，列分式方程，求解即可；
（2）设该商店购进A种羽毛球拍m副，根据购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，列一元一次不等式，求解即可；
（3）设总利润为w元，表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的性质即可确定如何进货总利润最大，并进一步求出最大利润即可．
【详解】（1）解：设A种羽毛球拍每副的进价为x元，
根据题意，得，
解得，经检验是原方程的解，
（元），
答：A种羽毛球拍每副的进价为70元，B种羽毛球拍每副的进价为50元；
（2）设该商店购进A种羽毛球拍m副，
根据题意，得，
解得，m为正整数，
答：该商店最多购进A种羽毛球拍45副；
（3）设总利润为w元，
，
∵，
∴w随着m的增大而增大，
当时，w取得最大值，最大利润为（元），
此时购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍（副），
答：购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍55副时，总获利最大，最大利润为2225元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并根据题意建立相应的关系式是解题的关键．
22．（1）70°；（2）见解析；（3）是定值，
【分析】（1）由圆周角定理求出∠CAB=∠CDB=40°，由三角形内角和定理可得出答案；
（2）证明△BCE∽△BAC，由相似三角形的性质得出，证明CB=CE，则可得出结论；
（3）由折叠的性质可得出∠DCN=2∠DCA，∠DCM=2∠DCB，CN=CD=CM=2r，过点C作CQ⊥MN于点Q，得出MN=2NQ，∠NCQ=∠MCN=α，∠CQN=90°，连接AO并延长交⊙O于点P，连接BP，则∠ABP=90°，证明△ABP≌△NQC（AAS），由全等三角形的性质得出AB=NQ=MN，则可得出答案．
【详解】解：（1）∵，
∴∠CAB=∠CDB=40°，
∵∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°，∠ABC=∠ACB=α，
∴α=×(180° 40°)=70°；
（2）证明：∵点B是的中点，
∴，
∴∠DCB=∠A，
∵∠ABC=∠CBE，
∴△BCE∽△BAC，
∴，
∴BC2=BE BA，
∵∠ACB=∠ACD+∠BCD，∠BEC=∠ACD+∠A，∠BCD=∠A，
∴∠ABC=∠ACB=∠BEC，
∴CB=CE，
∴CE2=BE BA；
（3）是定值，．
∵将CD分别沿BC、AC翻折得到CM、CN，
∴∠DCN=2∠DCA，∠DCM=2∠DCB，CN=CD=CM=2r，
∴∠MCN=2∠ACB=2α，
如图3，过点C作CQ⊥MN于点Q，则MN=2NQ，∠NCQ=∠MCN=α，∠CQN=90°，
连接AO并延长交⊙O于点P，连接BP，则∠ABP=90°，
∵，
∴∠P=∠ACB=∠NCQ=α，
在△ABP和△NQC中
，
∴△ABP≌△NQC（AAS），
∴AB=NQ=MN，
∴，为定值．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，折叠的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
23．(1)60
(2)是等腰三角形，见解析
(3)，见解析
【分析】（1）先证明是等边三角形，利用8字模型即可求解；
（2）根据菱形的性质推出是等边三角形，根据等边三角形的性质及三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的判定定理即可得解；
（3）在上取点，使，连接，利用SAS证明，根据全等三角形的性质得出，根据平角定义及三角形外角性质推出，根据等腰三角形的判定得出，据此即可得解．
此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，熟记菱形的性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】（1）四边形为菱形，，
，
是等边三角形，
∵点G为与的交点，
∴
∵，
∴，
故答案为：60；
（2）四边形为菱形，，
，
是等边三角形，
，
又，
设，
，
又，
，
即，
，
，
，
是等腰三角形．
（3），
如图，在上取点，使，连接，则，
由（1）（2）可得：，
，
又，
，
又，
，
又，
，
，
，
，
，
．
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