数学人教A版（2019）选择性必修第三册6.2.2排列数 课件（共21张ppt）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版（2019）选择性必修第三册6.2.2排列数 课件（共21张ppt） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 611.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-02 07:45:25 | ||
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文档简介
(共21张PPT)
6.2.2 排列数
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
排列的定义中包含两个基本内容：
一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”．“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志．
排列定义:
问题2就是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，
那么，从n个不同元素中任取2个元素的排列数 是多少？
问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？
问题1就是求从3个不同元素中取出2个元素的排列数，
问题2：从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
排列数公式：
求排列数 可以这样考虑：
第1步先填第1个位置的元素,从n个元素任选一个,有n种方法 .
根据分步计数原理，
每一种填法就得到一个排列；
假定有排好顺序的2个空位（如图），
a1，a2，…，an 中任意取2个去填空，
从n个不同元素
一个空位填一个元素，
所有不同填法的种数就是排列数
完成填空这件事可分为2个步骤：
反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到.
第2步确定第2个位置的元素,可从剩下n-1个元素任取1个填空，有 n-1种方法 .
可以按依次填3个空位来考虑得
一般地，从n个不同元素中任取m个不同元素的排列数 可用占位法计算
⒈位 ⒉位 ⒊位 ·········· m位
解：分m个步骤完成：
第一步确定第一个位置上的元素：有n种方法；
第二步确定第二个位置上的元素：有（n-1）种方法；
第三步确定第三个位置上的元素：有（n-2）种方法；
··········
第m步确定第m个位置上的元素：
每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到。
有〔n -（m-1）〕=（n－m＋１）种方法。
由分步计数原理得出：
排列数公式的特点：
⒈ m个连续正整数的连乘积；
⒉ 最大因数为n以下依次减1，最小因数是（n-m+1）.
全排列数：
⑴全排列：从n个不同素中取出n个元素的一个排列称为n个不同元素的一个全排列 .
⑵ 阶乘：正整数1到n的连乘积 1×2×3×······×n称为n的阶乘，记做 n！.
= n！
排列数公式：
全排列数为
因此全排列数为
（m，n∈N* 且 m≤n ）
说明：排列数公式两种不同形式的应用
一般地：连乘形式用于 值的计算；阶乘形式用于有关 的式子化简。
规定: 0！=1 .
排列数公式的阶乘形式：
例题讲评
1.计算: (1)
（2）
巩固练习
=16×15×14 = 3360 .
⑵
= 6！ = 720 .
例1. 计算：⑴ ⑵ ⑶ ⑷
巩固练习
应用探究
1.计算: (1)
（2）
解：
想一想：
17
14
想一想：
分析：
拓展探究
例2.求证：
证明：左式= ————— + m ———————
n！ n！
（n－m）！ （n－m+1）！
= ————————————
n！(n－m+1)+n！· m
(n－m+1)！
= —————
n！(n+1) (n+1－m)！
= —————— =
（n+1）！
（n+1-m）！
=右式
例题讲评
例3. 解方程：
解：
∴(n－3)(4n－23)=0
∴ n=3 .
解排列数方程
解排列数不等式
例5. 5个人站成一排：
（l） 共有多少种不同的排法？
（2）其中甲必须站在中间有多少种不同排法？
（3）其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？
（4）其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？
（5）其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？
（6）其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？
解：（1）由于没有条件限制，5个人可作全排列，
共有 种排法．
（2）由于甲的位置已确定，其余4人可任意排列，
有 种排法．
（3）其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？
（4）其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？
解：（3）因为甲、乙两人必须相邻，可视甲、乙在一起为一个元素与其他3人有 种排法，
而甲、乙又有 种
根据分步计数原理共有 种排法.
（4）甲、乙两人外的其余3人有 种排法，
要使甲、乙不相邻只有排在他们的空档位置，有 种排法，
所以共有 种排法 ；
排法，
(5)其中甲,乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？
(6)其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？
解：（5）甲、乙两人不站排头和排尾，则这两个位置可从其余3人中选2人来站有 种排法，
剩下的人有 种排法，
共有 种排法．
可将问题分为两类：
一类是甲站在排尾，
另一类是甲既不站在排尾也不站排头
其余的人可全排列，
有 种排法；
有 种站法，
乙不站排尾
有 种站法，
其余的人可全排列，
有 种排法,
故这一类有
种排法.
由加法原理知：
共有
种排法.
(6)其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？
解：
解法2：甲站排头有 种排法，
乙站排尾有 种排法，
但两种情况都包含了“甲站排头，且乙站排尾”的情况，
有 种排法，
故共有 种排法．
1排列的概念
任意取出元素
按照一定顺序排列
2排列数公式：
小结反思 升华素养
基础知识
基本技能
排列数公式的应用：计算、解方程、不等式、实际应用
须注意的问题
排列的应用题可分两大类:
①无条件限制的排列问题：
解题关键：⑴确定该题是否是排列问题
⑵正确地找出n、m的值
⑶准确地运用两个原理
②有条件限制的排列问题：
主要表现为：某位置上不能排某元素，或某元
素只能排在某位置上。
小结反思 升华素养
（l）直接计算法
排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个（或某些）位置、某个（或某些）位置只能放某些元素，因此进行算法设计时，常优先处理这些特殊要求．便有了：先处理特殊元素或先处理特殊位置的方法．
（2）间接计算法
先不考虑限制条件，把所有的排列种数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，间接得出符合条件的排列种数．这种方法也称为“排除法”．在排除时，特别注意要不重复，不遗漏（排尽）．
两者的繁简有时相差无几，有时相差很大，这时只要选择比较简捷的一种即可．
对于有限制条件的排列应用题，可有两种不同的计算方法：
课后作业
2. 预习教材6.2.3 组合
1. 习题6.2T1、3、4，5，6，7，8
6.2.2 排列数
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
排列的定义中包含两个基本内容：
一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”．“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志．
排列定义:
问题2就是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，
那么，从n个不同元素中任取2个元素的排列数 是多少？
问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？
问题1就是求从3个不同元素中取出2个元素的排列数，
问题2：从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
排列数公式：
求排列数 可以这样考虑：
第1步先填第1个位置的元素,从n个元素任选一个,有n种方法 .
根据分步计数原理，
每一种填法就得到一个排列；
假定有排好顺序的2个空位（如图），
a1，a2，…，an 中任意取2个去填空，
从n个不同元素
一个空位填一个元素，
所有不同填法的种数就是排列数
完成填空这件事可分为2个步骤：
反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到.
第2步确定第2个位置的元素,可从剩下n-1个元素任取1个填空，有 n-1种方法 .
可以按依次填3个空位来考虑得
一般地，从n个不同元素中任取m个不同元素的排列数 可用占位法计算
⒈位 ⒉位 ⒊位 ·········· m位
解：分m个步骤完成：
第一步确定第一个位置上的元素：有n种方法；
第二步确定第二个位置上的元素：有（n-1）种方法；
第三步确定第三个位置上的元素：有（n-2）种方法；
··········
第m步确定第m个位置上的元素：
每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到。
有〔n -（m-1）〕=（n－m＋１）种方法。
由分步计数原理得出：
排列数公式的特点：
⒈ m个连续正整数的连乘积；
⒉ 最大因数为n以下依次减1，最小因数是（n-m+1）.
全排列数：
⑴全排列：从n个不同素中取出n个元素的一个排列称为n个不同元素的一个全排列 .
⑵ 阶乘：正整数1到n的连乘积 1×2×3×······×n称为n的阶乘，记做 n！.
= n！
排列数公式：
全排列数为
因此全排列数为
（m，n∈N* 且 m≤n ）
说明：排列数公式两种不同形式的应用
一般地：连乘形式用于 值的计算；阶乘形式用于有关 的式子化简。
规定: 0！=1 .
排列数公式的阶乘形式：
例题讲评
1.计算: (1)
（2）
巩固练习
=16×15×14 = 3360 .
⑵
= 6！ = 720 .
例1. 计算：⑴ ⑵ ⑶ ⑷
巩固练习
应用探究
1.计算: (1)
（2）
解：
想一想：
17
14
想一想：
分析：
拓展探究
例2.求证：
证明：左式= ————— + m ———————
n！ n！
（n－m）！ （n－m+1）！
= ————————————
n！(n－m+1)+n！· m
(n－m+1)！
= —————
n！(n+1) (n+1－m)！
= —————— =
（n+1）！
（n+1-m）！
=右式
例题讲评
例3. 解方程：
解：
∴(n－3)(4n－23)=0
∴ n=3 .
解排列数方程
解排列数不等式
例5. 5个人站成一排：
（l） 共有多少种不同的排法？
（2）其中甲必须站在中间有多少种不同排法？
（3）其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？
（4）其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？
（5）其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？
（6）其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？
解：（1）由于没有条件限制，5个人可作全排列，
共有 种排法．
（2）由于甲的位置已确定，其余4人可任意排列，
有 种排法．
（3）其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？
（4）其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？
解：（3）因为甲、乙两人必须相邻，可视甲、乙在一起为一个元素与其他3人有 种排法，
而甲、乙又有 种
根据分步计数原理共有 种排法.
（4）甲、乙两人外的其余3人有 种排法，
要使甲、乙不相邻只有排在他们的空档位置，有 种排法，
所以共有 种排法 ；
排法，
(5)其中甲,乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？
(6)其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？
解：（5）甲、乙两人不站排头和排尾，则这两个位置可从其余3人中选2人来站有 种排法，
剩下的人有 种排法，
共有 种排法．
可将问题分为两类：
一类是甲站在排尾，
另一类是甲既不站在排尾也不站排头
其余的人可全排列，
有 种排法；
有 种站法，
乙不站排尾
有 种站法，
其余的人可全排列，
有 种排法,
故这一类有
种排法.
由加法原理知：
共有
种排法.
(6)其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？
解：
解法2：甲站排头有 种排法，
乙站排尾有 种排法，
但两种情况都包含了“甲站排头，且乙站排尾”的情况，
有 种排法，
故共有 种排法．
1排列的概念
任意取出元素
按照一定顺序排列
2排列数公式：
小结反思 升华素养
基础知识
基本技能
排列数公式的应用：计算、解方程、不等式、实际应用
须注意的问题
排列的应用题可分两大类:
①无条件限制的排列问题：
解题关键：⑴确定该题是否是排列问题
⑵正确地找出n、m的值
⑶准确地运用两个原理
②有条件限制的排列问题：
主要表现为：某位置上不能排某元素，或某元
素只能排在某位置上。
小结反思 升华素养
（l）直接计算法
排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个（或某些）位置、某个（或某些）位置只能放某些元素，因此进行算法设计时，常优先处理这些特殊要求．便有了：先处理特殊元素或先处理特殊位置的方法．
（2）间接计算法
先不考虑限制条件，把所有的排列种数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，间接得出符合条件的排列种数．这种方法也称为“排除法”．在排除时，特别注意要不重复，不遗漏（排尽）．
两者的繁简有时相差无几，有时相差很大，这时只要选择比较简捷的一种即可．
对于有限制条件的排列应用题，可有两种不同的计算方法：
课后作业
2. 预习教材6.2.3 组合
1. 习题6.2T1、3、4，5，6，7，8