江苏省2024届中考数学易错模拟卷（一）（含解析）

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江苏省2024届中考数学易错模拟卷（一）
一、单选题
1．下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各式正确的是(　 )
A．＝±4 B．＝－3
C．±＝±9 D．＝2
3．灿灿妈妈在网上销售装饰品．最近五天，每天销售某种装饰品的个数为：9，12，13，12，14．灿灿对这组数据的分析，其中错误的是（ ）
A．众数是12 B．平均数是12 C．方差是 D．中位数是13
4．化简的结果是（ ）．
A． B． C． D．
5．有一个摊位游戏，先旋转一个转盘的指针，如果指针箭头停在奇数的位置，玩的人可以从袋子里抽出一个弹珠，当摸到黑色的弹珠就能得到奖品，转盘和弹珠如下图所示，小明玩了一次这个游戏，则小明得奖的可能性为（　　）
A．不可能 B．不太可能 C．非常有可能 D．一定可以
6．如图，在中，，.分别以点C，A为圆心，以2和3为半径作弧，两弧交于点D（点D在的左侧），连接，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．9的平方根是 ．
8．若分式在实数范围内有意义，则 x的取值范围是 ．
9．因式分解：= ．
10．一元二次方程x2＝2x的解为 ．
11．如图，点A、B、C、D、E是圆O上的五等分点，该图形绕点O至少旋转 度后与自身重合．
12．如图，直线，将一个含有角的直角三角板按如图所示的位置摆放，若，则的度数是 ．
13．已知3、2、n的平均数与、3、n、3、5的唯一众数相同，则这8个数的中位数是 ．
14．圆锥的底面直径是8，母线长是5，则这个圆锥的侧面积是 ．
15．如图，点D在的边上，且，过点D作，交于点E，连接，则与的面积之比为 ．
16．在九年级《数学实验手册》中，我们探究了最小覆盖圆与图形之间的关系．现有如图所示的等边三角形，边长为，若分别以顶点为圆心作三个等圆，这三个等圆能完全覆盖，则所作等圆的最小半径是 ．
17．已知点在双曲线上，则的最小值为 ．
18．如图，在矩形中，，，的顶点E在对角线上运动，且，，连接，则的最小值为 ．
三、解答题
19．计算：
(1)计算：；
(2)化简：．
20．（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
21．如图，在中，对角线、相交于点，分别过点A、作，，垂足分别为、.
求证：
(1)；
(2).
22．2023年3月19日，全国马拉松锦标赛（无锡站）正式鸣枪开跑．某校5名学生幸运成为该活动志愿者，负责某区域运动员的物资发放，其中男性3人，女性2人．
(1)若从这5人中选1人进行物资发放，恰好选中女性的概率是_________；
(2)若从这5人中选2人进行物资发放，请用树状图或列表法求恰好选中一男一女的概率．
23．随着科技进步发展，在线学习已经成为部分人自主学习的选择、某校计划为学生提供以下四类学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论.为了解学生的需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣的调查”，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
(1)这次抽样调查的样本容量是________，在扇形统计图中“在线阅读”所在扇形圆心角的度数为________°；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)若该校共有学生1500人，请你估计该校对“在线讨论”最感兴趣的学生人数.
24．某学校准备到文化用品商店购买数学实验器材A和B，若购买3件器材A和2件器材B共需要550元，若购买2件器材A和3件器材B共需要450元.
(1)求每件器材A、B的销售价格；
(2)学校准备用不多于3000元的金额购买这两种器材共25件，求最多购买器材A的件数；
(3)在（2）的条件下，学校还要求购买器材A不少于15件，则学校购买费用最少多少元？
25．如图，以为直径的经过的顶点，是的中点，连接、分别交于点、．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积.
26．如图，已知．
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作的内切圆；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，，，则__________．（如需画草图，请使用图2）
27．如图，在矩形中，为边上一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处，作的角平分线交的延长线于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，时，求的长；
(3)若时，求的值．
28．如图，已知二次函数的图像交轴于点、，交轴于点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点在轴上，过点作轴的垂线，分别交直线和抛物线于点、．
①若点在线段上，求的最大值；
②以为斜边作等腰直角，当点落在抛物线上时，求此时点的坐标．
参考答案：
1．C
【分析】直接根据轴对称图形的概念求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．解题的关键是熟练掌握轴对称图形的概念．
2．C
【分析】根据平方根与算术平方根的意义逐项求解即可.
【详解】A. ＝4，故不正确；
B. ＝＝3，故不正确；
C. ±＝±9，故正确；
D. 无意义，不能计算，故不正确；
故选C.
【点睛】本题考查了平方根的意义，如果个一个数x的平方等于a，即x2=a,那么这个数x叫做a的平方根，正数a的平方根记作.正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
3．D
【分析】根据平均数、众数、中位数、方差的计算方法分别计算这组数据的平均数、众数、中位数、方差，最后做出选择．
【详解】数据9，12，13，12，14中，
12出现的次数最多是2次，因此众数是12，于是A选项正确；
将这5个数据从小到大排列后，处在中间位置的一个数是12，因此中位数是12，于是D选项错误；
平均数=（9+12+13+12+14）÷5=12，即平均数是12，于是选项B选项正确；
，因此方差为，于是选项C选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查平均数、中位数、众数、方差的意义和计算方法，掌握计算方法是得出正确答案的前提．
4．D
【分析】先通分，再计算，然后化简，即可求解．
【详解】解：
故选：D
【点睛】本题主要考查了异分母分式相加减，熟练掌握异分母分式相加减法则是解题的关键．
5．B
【分析】根据转盘知只有1个奇数，而且袋子中20个里只有6个黑球，据此得出这个游戏得到奖品的可能性很小．
【详解】解：先旋转转盘的指针，指针箭头停在奇数的位置就可以获得一次摸球机会，而只有摸到黑弹珠才能获得奖品，这个游戏得到奖品的可能性很小，属于不确定事件中的可能事件，
故选：B．
【点睛】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
6．C
【分析】作，且，连接，，，证明，求出，再根据三角形三边关系，当、、在同一直线上时取最大值，进而可以解决问题．
【详解】解：，则，设，，
由，可得，则，
作，且，连接，，，
由可知，，
∵，即，
∴，
∴，即，
则：，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由题意可知，，当、、在同一直线上时取等号，
即：的最大值为：，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是做辅助线构造．
7．±3
【分析】根据平方根的定义解答即可．
【详解】解：∵（±3）2=9，
∴9的平方根是±3．
故答案为±3．
【点睛】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
8．x≠2
【详解】试题解析：根据分式有意义的条件得：x-2≠0
即：x≠2
9．(a+1)(a-1)
【分析】直接应用平方差公式即可求解．
【详解】．
故答案为：(a+1)(a-1)
10．x1＝0，x2＝2
【分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】移项得x2－2x=0，即x（x－2）=0，
解得x=0或x=2．
故答案为：
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
11．360
【分析】分别找出外围五等分所得圆弧、、各自至少旋转至少度后与自身重合，综合即可求解．
【详解】解：外围五等分所得圆弧旋转至少后与自身重合，旋转任意角度后与自身重合，至少旋转后与自身重合，
整个图形至少旋转后与自身重合．
故答案：．
【点睛】本题考查了旋转对称图形的定义，理解定义是解题的关键．
12．/77度
【分析】过点C作，由得到，则由得到，由三角形外角的性质得到,即可得答案．
【详解】解：过点C作，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴,
∴，
故答案为：
【点睛】此题考查了平行线的性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
13．3.5
【分析】先求出n的值，再求出中位数，求一组数据的中位数是将这组数据从小到大排列，再求这组数据中间的数，即为中位数．
【详解】∵、3、n、3、5有唯一众数
∴、3、n、3、5这组数中的众数为3
∵3、2、n的平均数与、3、n、3、5的唯一众数相同
∴3、2、n的平均数为3
∴
∴这8个数从小到大排列一次是：2、3、3、3、4、4、5、8
∴这8个数的中位数是．
故答案为：3.5．
【点睛】本题考查中位数、众数和平均数的求解方法，解题的关键是掌握相关概念，进行数据分析．
14．20π
【分析】首先求得圆锥的底面周长，即侧面的弧长，然后根据扇形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵圆锥的底面直径是8，
∴底面周长=8π，
∴这个圆锥的侧面积=×8π×5=20π．
故答案为20π．
【点睛】本题考查的是圆锥的计算，熟知正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解答此题的关键．
15．
【分析】根据得出，进而得出，即可进行解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，则 ，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例，等高的三角形，面积比等于底的比．
16．
【分析】根据等边三角形的性质及全等三角形的判定得到，再利用全等三角形的性质及等边三角形的性质得到，最后利用直角三角形的性质及勾股定理即可解答．
【详解】解：当三个等圆相交与一点时，此时恰好能完全覆盖，
设这个点为，连接，此时或或是所作等圆的最小半径，
∵为等边三角形，
∴，，
由题意可知：，
在和中，
，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
延长交于点，
∵，平分，
∴，，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴所作等圆的最小半径为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
17．5
【分析】将点代入双曲线得到，由得出，从而求出的最小值．
【详解】将点代入双曲线，得：
∴
∵
∴
∴
∴的最小值为5
故答案为：5．
【点睛】本题考查反比例函数的坐标与完全平方式，解题的关键是掌握由得出．
18．
【分析】过点B作于点H，连接．由推出四点共圆，证明定值，推出点F在射线上运动，当时，的值最小，求出，，可得结论．
【详解】解：过点B作于点H，连接，如图，
∵，
∴四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∵
∴，
∴定值，
∴点F在射线上运动，当时，的值最小，
∵四边形是矩形，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值．
故答案为：
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质、锐角三角函数的定义、勾股定理、四点共圆、圆周角定理、轨迹、三角形面积以及最小值问题等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质，利用垂线段最短解决最值问题是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用特殊角的三角函数值，绝对值和负指数幂的运算法则进行计算即可；
（2）先利用完全平方公式计算，再合并同类项即可．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练运用特殊角的三角函数值，绝对值，负指数幂的运算法则和完全平方公式是解题的关键．
20．（1）；（2）
【分析】（1）先去分母化成整式方程求解，再检验即可；
（2）先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据“大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找”的原则确定出不等式组解集即可．
【详解】解：（1）两边同时乘，得，
解得，
检验，当时，，
∴是原分式方程的解；
（2），
由得，，
由得，，
∴原不等式组的解集．
【点睛】本题考查解分式方程，解不等式组，熟练掌握解分式方程的基本方法是将分式方程转化成整方程求解，然后检验，以及确定不等式解集的原则是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质及垂直的定义，由，即可证得结论；
（2）根据平行四边形的性质及全等三角形的性质，即可证得结论．
【详解】（1）证：∵四边形是平行四边形，
，，
，，
，
又.
；
（2）证明： ，
，
又，
，
即．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定；证明是解决问题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵有男性3人，女性2人，每名学生被选中的概率相同，
∴从这5人中选1人进行物资发放，恰好选中女性的概率是，
故答案为：
（2）解：3名男性分别用A、B、C表示，两名女性分别用D、E表示，列表如下：
A B C D E
A （B，A） （C，A） （D，A） （E，A）
B （A，B） （C，B） （D，B） （E，B）
C （A，C） （B，C） （D，C） （E，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） （E，D）
E （A，E） （B，E） （C，E） （D，E）
共有20种等可能的结果，其中符合题意的结果共有12种，
∴恰好选中一男一女的概率为．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，正确列出表格或画出树状图是解题的关键．
23．(1)90，96；
(2)见解析
(3)200人
【分析】（1）根据在线答题的人数和所占的百分比即可求得本次调查的人数，根据统计图中的数据可以求得扇形统计图中“在线阅读”对应的扇形圆心角的度数；
（2）用样本总人数减去其他在线学习方式的人数即可求出在线听课的人数，然后补全条形统计图即可；
（3）用该校的总人数乘以“在线阅读”所占的百分比即可得出答案．
【详解】（1）本次调查的学生总人数为：（人），
∴样本容量为90，
扇形统计图中“在线阅读”对应的扇形圆心角的度数为：，
故答案为：90，96；
（2）在线听课的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（3）（人），
答：对“在线讨论”最感兴趣的学生大约200人．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24．(1)每件器材A的销售价格150元，每件器材B的销售价格50元
(2)最多购买器材A的件数是17件
(3)学校购买费用最少为2750元
【分析】（1）设每件器材A的销售价格为x元，每件器材B的销售价格为y元，根据题意列出方程求解即可；
（2）设购买器材A件数为，则购买器材A件数为，根据题意列出不等式求解即可；
（3）设购买费用为元，列出购买费用和购买器材A件数的一次函数，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）设每件器材A的销售价格为x元，每件器材B的销售价格为y元，
根据题意得，
解得，
∴每件器材A的销售价格为150元，每件器材B的销售价格为50元；
（2）设购买器材A件数为，则购买器材A件数为，
由题意可得，
∴，
又∵为整数，
∴最大是17，即最多购买器材A的件数是17件；
（3）设购买费用为元，
根据题意得，
∵，，为整数，
∴当时，（元），
∴学校购买费用最少为2750元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组与实际问题，读懂题意，列出方程是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据圆周角定理求出，根据等腰三角形性质求出，得出，根据，即可得出结论；
（2）证明，得出，求出，根据勾股定理求出，根据圆的面积公式求出结果即可．
【详解】（1）证明：∵是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：连接，如图所示：
∵，
∴，又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：，负值舍去，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆的面积公式，解题的关键是作出相应辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．
26．(1)见解析
(2)
【分析】（1）作的角平分线，交于点，过点作的垂线，交于点，以点为圆心，为半径画圆，即为所求；
（2）如图，切线长定理求出的长，等积法求出的长，再利用，进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）设分别切于点，连接，则：，，
由题意，得：，，
设，
∴，，
∴，
∴，
过点作于点，则：，
设，则：，
∵
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，即：，
∴；
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的内切圆，切线长定理，解直角三角形．熟练掌握等积法求三角形的内切圆的半径，是解题的关键．
27．(1)见解析；
(2)；
(3)．
【分析】（1）由角平分线的定义及翻折易得及，从而得到，结合对顶角相等可得即可得证；
（2）设，则，易证，得，代入求解即可；
（3）如图，过点作，垂足为，设，，则，可得，易证得，即，解得，，结合，得，代入即可求解．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
在矩形中，
由翻折可知
∵点在的延长线上
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴；
（2）∵，
由翻折可知
，
在中，，
∴，
设，
则，
由（1）可知，，
∴，
得，
∴，
解得：，
即；
（3）如图，过点作，垂足为，
设，，则，
，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
故，，
又∵，即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质的应用，角平分线的性质定理；解题的关键是熟练掌握折叠的性质及相似三角形的判定和性质．
28．(1)
(2)①；②或
【分析】（1）将，代入求解即可得出函数表达式；
（2）①先求出，再求出直线的表达式，设的坐标为，则、，根据题意列出二次函数求解即可；
②分两种情况：若点在的右侧；若点在的左侧；分别求解即可．
【详解】（1）将，代入中，
得，
解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）①令代入，得，
∴，
设直线的函数表达式为，
将，代入并求得，
∴直线的函数表达式为，
设的坐标为，则、，
∴，
∴当时，最大值为；
②若点在的右侧，设，，
则由等腰直角三角形的性质得：，，
则，
把点坐标代入中，得，
解得，（舍去），
故；
若点在的左侧，设，同理得：，
把点坐标代入中，得，
解得，（舍去），
故；
综上，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，熟练掌握待定系数法求二次函数，一次函数的求法，二次函数的图像与性质，会根据等腰直角三角形的性质确定出点的横、纵坐标是解答本题的关键与难点．
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