(共27张PPT)
集合的概念
学习目标
1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的“属于”关系.
2.能选择自然语言、图形语言、符号语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受符号语言的意义和作用.
核心素养：数学运算、逻辑推理
什么是集合？什么是元素？
看下面的例子：
（1）1~10之间的所有偶数；
（2）卢老师所在初中今年入学的全体高一新生；
（3）所有的正方形；
（4）到直线M的距离等于定长d的所有点；
（5）方程的所有解；
（6）地球上的七大洲
2，4，6，8，10
全部正方形，无数个
点构成了直线
亚洲、欧洲、北美洲、南美洲、南极洲、非洲、大洋洲
全部新生
一般地，我们把研究对象统称为元素，如(1)中的几个偶数2，4等；
把由元素组成的总体叫做集合(简称为集)，如上面左侧的6个集合。
新知学习
什么是集合？什么是元素？
“对象”
集合中的“对象”所指的范围非常广泛，现实生活中我看到的、听到的、想到的、触摸到的事物和抽象的符号等等，都可以看做对象。比如数、点、图形、多项式、方程、函数、人等等、
“总体”
集合是一个整体，已暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成集合，那么这个集合就是全体，而非个别对象了。
集合当中的元素有哪几种性质？
确定性
对于一个给定的集合，它的元素必须是确定的。也就是说，对于一个
已知的集合来说，某个元素在不在这个集合里，是确定的，要么在 ，
要么不在，不能含糊其辞。比如“较小的数”就不能构成集合，因为
组成它的元素是不缺定的。
互异性
一个给定的集合当中的元素是互不相同的，即集合中的元素不会重复
出现
无序性
集合中的元素排列没有顺序之分，只要某两个集合当中的元素相同，
那么它们就是相等的集合。｛1，2，3｝和｛3，2，1｝是同样的集合
一般来说：
用大写拉丁字母A、B、C…等表示集合
用小写拉丁字母…等表示元素
元素与集合的关系：
如果是是集合A的元素，那么就说属于集合A，记作∈A；
如果是不是集合A的元素，那么就说不属于集合A，记作 A；
比如，3∈自然数集；4 奇数集
集合和元素怎么表示？它们之间有什么关系？
常用的数集比如自然数集怎么表示？
【自然数集】
全体自然数组成的集合，包括0，1，2…等，记作N，也叫非负整数集
【正整数集】
全体正整数组成的集合，记作N*或N+；
【整数集】
全体整数组成的集合，记作Z；
【有理数集】
全体有理数组成的集合，记作Q；
【实数集】
全体实数组成的集合，记作R；
以上数集之间的关系如图所示：
N*
N
Z
Q
R
注意写法
从上面的例子可以看
出：我们可以用自然
语言来描述集合，还
可以用什么方法呢？
集合的3种表示方法之列举法
“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为｛大西洋，太平洋，北冰洋，印度洋｝；
“方程的所有实数根”组成的集合可以表示为｛0，2｝
像这样，把集合的元素一一列出来，并用花括号｛｝括起来表示集合的方法
叫做列举法。
【注意】
（1）花括号表示的是“所有”“整体”的含义，如实数集可以写成
｛实数｝，但不能写成｛实数集｝｛全体实数｝｛R｝
（2）列举法表示集合时要注意：
①元素之间用逗号隔开；
②一个集合中的元素书写一般不考虑顺序
集合的3种表示方法之列举法
【问题】哪些集合适合用列举法表示呢？
（1）含有有限个元素且元素个数较少的集合
（2）元素较多，但是元素的排列呈现一定的规律，在不至于发生误解的情况
下，也可以列出几个元素作代表，其他元素用省略号表示，如自然数集
N可以表示为｛0，1，2，…，n…｝
（3）当集合所含元素属性特征不易表述时，用列举法比较方便，如
｛｝
集合的分类
【有限集】含有有限个元素的集合
【无限集】含有无限个元素的集合
用列举法表示下列集合
（1）小于8的所有自然数的集合；
（2）方程的所有实数根组成的集合.
【解】（1）｛0，1，2，3，4，5，6，7｝
（2）｛-1，0｝
注意：
由于集合具有无序性，所以第(1)题的答案可以有多种呈现方式，
如｛1，2，4，5，6，0，7，3｝等
典例剖析
集合的3种表示方法之描述法
一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P()的元素
所组成的集合表示为｛∈A|P()｝
这种表示集合的方法称为描述法。例如，我们可以把奇数集表示为
｛∈Z|=(∈Z)｝，偶数集表示为｛∈Z|=(∈Z)｝；
把不等式的解集表示为｛∈R|＞3｝
温馨提示：有时也用冒号或者分号代替竖线，写成
｛∈A：P()｝或｛∈A；P()｝
集合的3种表示方法之描述法
问题：用描述法表示集合需要注意什么问题？
（1）竖线前面表示的是集合的元素，｛|｝，
｛|｝， ｛|｝分别是三个不同的集合.
（2）竖线后面写清元素满足的条件，一般是方程或者不等式.
（3）不能出现未说明的字母，如｛｝未说明的取值情况，故集合中的
元素不确定.
（4）所有描述内容都要写在花括号里面，如写法｛｝，∈Z不符合
要求，应改为｛，∈Z ｝
（5）多层描述时，要准确适用“或”“且”等表示元素关系的词语，如
{|}
请用描述法表示下列集合：
（1）方程的所有实数根组成的集合A；
（2）由大于10而小于20的所有整数组成的集合B.
【解】（1）A={|}
（2）B={∈Z|}
典例剖析
表示集合的三种方法各有什么特点？
自然语言是最基本的语言形式，使用范围广，但是具有多义性，有时难于表达。
列举法直观地体现了元素的个体，但是有局限性，多适用于元素个数较少的有限集。
描述法具有抽象概括、普遍性的特点，适用于元素共同特征明显的集合，有些集合元素没有明显的共同特征，则不能用描述法。
方程的解集
｛1，-1｝
｛|｝
表示集合的三种方法各有什么特点？
列举法和描述法的转化
列举法表
示的集合
描述法表
示的集合
明确集合中元素的共同特征
找准代表元素，满足什么条件
描述法表
示的集合
列举法表
示的集合
分析集合中的元素及其特征
逐一列出集合中的元素
表示集合的三种方法各有什么特点？
几何语言及其他语言的关系及构成
形象化
具体化
自然语言
(通俗、易懂)
图形语言
(形象、直观)
集合语言
简介、抽象
文字化
抽象化
抽象化
形象化
文字语言
符号语言
图形语言
【①元素与集合关系的判断】
下列选项中是集合A={}中的元素的是（ ）
A. B. C. D.
【解】对于A，当时，，则；，则，不满足题意
对于B，当时，，则；，则，不满足题意
对于C，当时，，则；，则，不满足题意
对于D，当时，，则；，则，满足题意
D
题型训练
（1）若集合A中含有三个元素，且-3∈A，求
【解】①若，则，此时A={-3,-1,-4}，满足题意
（2）若2 {|}，求的取值范围
②若，则，此时，不满足题意
③若，则，时，A={-2,1,-3}，满足题意;
时，由②知不满足题意;
【解】∵ 2 {|}，所以2不满足不等式，即，
即的取值范围为{|≥2}
【②已知元素与集合的关系求参数】
题型训练
含有3个实数的集合既可以表示为{}，又可以表示为{}，则
的值是多少？
【解】由题意{}={}，易知≠0且≠1，
则有=0且=1或=1，
若，则由得，经验证符合题意；
若，则，由得，不符合题意；
综上，
题型训练
【③由集合相等求参数】
随堂小测
1.考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，依此特征(或标准)能确定任何一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合.
2.元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a A.
课堂小结
3.集合中元素的三个特性
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的.要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合.
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合.这个性质通常用来判断两个集合的关系.
4.在用列举法表示集合时应注意：
(1)元素间用分隔号“，”；
(2)元素不重复；
(3)元素无顺序；
(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集.若集合中的元素个数比较少，则用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示.
5.在用描述法表示集合时应注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式；
(2)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真(元素具有怎样的属性)，而不能被表面的字母形式所迷惑.(共20张PPT)
集合间的基本关系
1.理解集合之间的包含与相等的含义.
2.能识别给定集合的子集.
3.能使用Venn图表达集合的关系.
4.了解空集的含义.
核心素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象
学习目标
集合A包含集合B是什么意思？什么是子集？
观察下面的例子，你能发现集合之间有什么关系吗？
（1）A={1，2，3，4}，B={1，2，3}
（2）集合A：高一全体学生，集合B：高一全体男生
（3）集合M：所有等腰三角形，集合N：所有等边三角形
可以发现，在（1）（2）（3）中的两个集合A和B，集合B中的
每一个元素都是集合A中的元素，我们就说集合A包含集合B，或者说
集合B包含于集合A。像这样，对于两个集合A，B，如果集合B中任意
一个元素都是集合A中的元素，就称集合B为集合A的子集，
记作：B A，或者B，读作B包含于A，A包含B
新知学习
集合A包含集合B是什么意思？什么是子集？
【对子集的理解】
（1）若A B，则有任意，
（2）当集合B中存在不属于集合A的元素时，我们就说集合B不是集合A的
子集，记作或，读作“B不包含于A”或“A不包含B”，
（3）集合中的专业术语只有子集，没有母集或父集
举例说明，若A={1,2,3}，B={1,2,3,4}，C={1,2,5},则有
，，
设集合A={0，1，2}，集合B={|,},求A与B的关系。
【解】由题意易知的情况有如下几种：
0+0=0，0+1=1，0+2=2，1+1=2，
1+2=3，2+2=4，即有0，1，2，3，4一共5种结果，则：
B={0，1，2，3，4}，所以A B
即时巩固
什么是Venn图？
【答】在数学中，我们经常用平面上的封闭曲线的内部表示集合，这种图叫做
Venn图。这样，如果，就可以表示如图：
A
B
【注意】①表示集合的Venn图的便捷是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆、
也可以是其他封闭曲线
②Venn图的优点是形象直观，缺点是公共特征不明显，画图时要注意
区分大小关系。
A和B两个集合的大小情况如图所示，则A和B的关系是（ ）
A.
B.
C.
D.
【解】由Venn图易知B是A的子集，即，选D
A
B
D
即时巩固
两个集合相等是什么意思？
【答】一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，且集合B的任何
一个元素都是集合A的元素，那么集合A和集合B相等，记作：
A=B
也就是说，若，且，则A=B
【举例说明】
①若集合A：0~10之间的质数；集合B={2，3，5，7}，则A=B
②若集合A：中国的直辖市组成的集合；B={北京，上海，重庆，天津}
则A=B
两个集合相等是什么意思？
【问题】怎样证明或判定两个集合相等？
(2)判定两个集合相等，可把握两个原则：
①设两个集合A，B均为有限集，若两个集合中元素个数相同，
且对应元素分别相同，则两个集合相等
【答】(1)若，且，则A=B，这就给出了证明两个集合相等的
办法，即要证A=B，只需证明，且
②设两个集合A，B均为无限集，只需看两个集合的代表元素
及其特征是否相同，若相同，则两个集合相等，即A=B
已知集合A和B的关系为A=B，其中A={1,-1},B={}，求
【解】由题意B中的元素也是1和-1，
因为≥0，
所以=1，
则=-1或1(舍)
综上，则=-1
即时巩固
什么是真子集？难道还有假子集？
【答】若集合，但存在元素，但，即B中有不属于A的元素
存在，那么就称集合A是集合B的真子集，记作：
A B 或 B A
如A={1,2,3}，B={1,2,3,4},则A B
【对真子集的理解】
①理解真子集概念时，需明确A B，首先要满足
其次要满足至少有一个元素，但
②注意符号“”“”“ ”的区别，如A={1,2}，
B={1,2,3}，C={1，2，3}，则A B，，
③没有“假子集”这个概念
1.写出集合{1,2,3}的所有子集，并指出哪些是它的真子集
【解】子集有 ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}
其中真子集有 ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}
【分析】可把子集分为三类：
①不含元素的： ②含有一个元素的
③含有两个元素的 ④含有三个元素的
【注意】书写子集的时候千万不要漏掉空集
即时巩固
2.判断下列各组集合A是否是集合B的子集，说明理由。
(1)A={1，2，3}，B={|是8的因数}；
(2)A={|是长方形}，B={|是两条对角线相等的平行四边形}
【解】(1)因为3不是8的因数，所以集合A不是集合B的子集，
(2)因为长方形的一个定义就是“对角线相等的平行四边形”，
所以A=B，当然有
即时巩固
什么是空集
【答】我们知道：方程没有实数根，所以方程的实数根组
成的集合总没有元素。
都表示没有的意思
都是集合
都是集合
是集合，
0是实数
不含任何元素，{0}含有一个元素0
不含任何元素，{ }是一个集合，它是由集合组成的一个集合，含有一个元素，这个元素是
0
{0}
{ } 或 ∈ { }
一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为 ，并规定：
空集是任何集合的子集，并且：空集是任何非空集合的真子集
包含关系{}A与属于关系有什么区别？
【答】① {}表示含有一个元素的集合， {}A表示集合A包含{}，这是
两个集合之间的关系，如{}{ }
② ，表示是集合A中的一个元素，这是元素与集合间的关系，如
∈{ }
由上述集合间的基本关系，我们可以得到如下结论：
（1）任何一个集合是它本身的子集，即；
（2）对于集合A，B，C，如果，且，那么
即：包含关系具有传递性
1.用适当的数学符号填空。
(1) _____ {} (2) 0 _____ {}
(3) _____ {|} (4) {0，1} _____ N
(5) {0} _____ {} (6) {2,1} _____ {}
=
∈
∈
=
即时巩固
如何求某个集合子集的个数？
【答】以集合{1,2,3}为例，它的子集可以这么来分析：对于集合{1，2，3}中的每一
个元素1，2，3，在它的子集中都有两种情况：①在子集中 ②不在子集中，
如下表：
{1}
{2}
{3}
{1,2}
{1,3}
{2,3}
{1,2,3}
随堂小测
1．集合A＝{－1,0,1}，A的子集中，含有元素0的子集共有( )
A．2个 B．4个
C．6个 D．8个
解析 根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0,1}、{0，－1}、{－1,0,1}, 四个；故选B．
答案 B
2．设集合A＝{x|1
A．{a|a≤2} B．{a|a≤1}
C．{a|a≥1} D．{a|a≥2}
D
3．已知M＝{a－3,2a－1，a2＋1}，N＝{－2,4a－3,3a－1}，若M＝N，求实数a的值．
解 因为M＝N，则(a－3)＋(2a－1)＋(a2＋1)＝－2＋(4a－3)＋(3a－1)，即a2－4a＋3＝0，解得a＝1，或a＝3.
当a＝1时，M＝{－2,1,2}，N＝{－2,1,2}，满足M＝N；
当a＝3时，M＝{0,5,10}，N＝{－2,9,8}，不满足M＝N，舍去．
故实数a的值为1.
课堂小结
1．对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A B的常用方法．
(2)不能简单地把“A B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝ 时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．
(3)在真子集的定义中，A、B首先要满足A B，其次至少有一个x∈B，但x A.
2．集合子集的个数
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．
3．涉及字母参数的集合关系问题，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．(共27张PPT)
集合的基本运算
学习目标
1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.
2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.
3.能使用Venn图表示集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算
新知学习
什么是并集？它有什么特点？
可以发现，在（1）（2）中的两个集合A和B和C，都具有这样一种
关系：集合C是由所有属于集合A和所有属于集合B的元素组成的。
A∪B，读作“A并B”
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合
A和集合B的并集，记作：
什么是并集？它有什么特点？
【符号语言表示】
【图形语言表示】
A
B
A∪B
【注意】
集合A∪B中的元素个数不
一定等于集合A和集合B中的元素个数之和，如果集合A和集合B有公共部分的元素，那么这部分元素只出现一次，如：A={1,2}，
B={2,3}，则A∪B={1,2,3}，元素个数并不是2+2=4个，而是3个
1.设集合A={0，1，2，4，5}，集合B={2，4，3，5，7},求A∪B。
【解】由题意易知A∪B={0，1，2，3，4，5，7}
【解】利用数轴可以直观地分析本题两个集合的关系。
-1 0 1 2 3
公共元素在并集里只出现一次
即时巩固
并集有什么性质？
【性质①】A∪A=A 任何集合与其本身的并集都等于自身
【拓展】A，B，A∪B这三者的关系有如下5种情况：
【性质②】A∪ =A 任何集合与空集的并集都等于这个集合本身
A
B
A
B
B
B
A
A
A(B)
①A和B没有公共元素
③B A，则
A∪B=A
④A B，则
A∪B=B
④A=B，则
A∪B=A=B
什么是交集？
可以发现，在(1)(2)中，集合C中的元素既属于集合A，又属于集合B，也
就是说集合C是由集合A和B的公共元素组成的集合。
一般地，由所有属于A集合且属于B集合的元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集。记作：
A∩B，读作“A交B”
什么是交集？
【符号语言表示】
【图形语言表示】
A
B
A∩B
【注意】
如果集合A和集合B没有公共元素，那么也不能说两个集合没有交集，而是它们的交集是空集，即A∩B= .例如A={1,2,3},
B={(1,1),(2,2),(3,3)},则A∩B= ，
原因是A是数集，B是点集，它们不会有公共元素，所以A∩B= 。
【解】平面内的两条直线有三种位置关系：①平行；②相交；③重合
即时巩固
交集有哪些运算性质？
【拓展】A，B，A∩B这三者的关系有如下5种情况：
【性质②】A∪ = 任何集合与空集的交集都等于空集
A
B
A
B
B
B
A
A
A(B)
①A和B没有公共元素，
则A∩B=空
③B A，则
A∩B=B
④A B，则
A∩B=A
④A=B，则
A∩B=A=B
【性质①】A∩A=A 任何集合与其本身的交集都等于自身
1.设A={3,4,5,6}，B={3,5,7,8}，求A∪B，A∩B
【解】A∪B={3，4，5，6，7，8}，A∩B={3，5}
【解】由题意易得A={-1,5},B={-1，1}，则A∪B={-1,1,5},A∩B={-1}
即时巩固
什么是补集
【全集】一般地，如果一个集合中含有我们所研究的问题中涉及的所有元素，
那么就称这个集合为全集。也就是我们讨论的范围。一般记作“U”
什么是补集
【符号语言表示】
【图形语言表示】
U
A
【注意】
(1)全集不是固定不变的，研究不同的问题，涉
及到的全集一般不一样。
(2)补集是相对于全集而言的，如果没有定义全
集，那么就不存在补集的说法；并且，补集
的元素不能超出全集的范围。
(3)补集既是集合间的一种关系，也是集合间的
一种运算，在给定全集U的情况下，求集合A
的补集的前提是A为全集U的子集。
【解】根据三角形的分类可知： A∩B=
即时巩固
补集有哪些性质？
【Venn图】
U
A
B
补集有哪些性质？
【拓展】德·摩根定律(反演律)：设U为全集，A，B为其子集，则有：
=
=
即时巩固
随堂小测
1.已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N等于
A.{－1,0,1} B.{－1,0,1,2}
C.{－1,0,2} D.{0,1}
√
2.已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0,1,2}，则A∩B等于
A.{0} B.{0,1}
C.{0,2} D.{0,1,2}
√
3.已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|0A.{x|x>0} B.{x|x>1}
C.{x|1√
4.设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则 UM等于
A.U B.{1,3,5}
C.{3,5,6} D.{2,4,6}
√
5.设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则( RS)∪T等于
A.{x|－2C.{x|x≤1} D.{x|x≥1}
√
6.设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则A∩( UB)＝___.
{1}
解析 ∵ UB＝{1,5,6}，
∴A∩( UB)＝{1}.
1.对并集、交集概念的理解
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的.“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x B；x∈B但x A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合.
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝ .
课堂小结
2.集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性.
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否.
3.全集与补集的互相依存关系
(1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集.因此，全集因研究问题而异.
(2)补集是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念.
(3) UA的数学意义包括两个方面：首先必须具备A U；其次是定义 UA＝{x|x∈U，且x A}，补集是集合间的运算关系.
4.补集思想
做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求 UA，再由 U( UA)＝A求A.(共22张PPT)
充分条件与必要条件
学习目标
1.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.
2.理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.
3.理解充要条件的意义，理解数学中的定义与充要条件的关系.
核心素养：数学抽象、逻辑推理
新知学习
什么是充分条件？什么是必要条件？
可以发现，在（1）（2）中，如果元素属于集合A，那么一定也属于B。
p
q
我是你的充分条件
我是你的必要条件
什么是充分条件？什么是必要条件？
【对充分与必要条件的理解】
【2】 p是q的充分条件
【3】 q的充分条件是p
【4】 q是p的必要条件
【5】 p的必要条件是q
即时巩固
什么是充要条件？
【逆命题】将命题“若p，则q”中的条件和结论互换，就得到一个新的命题：
“若q，则p”，这个就是原命题的逆命题。
什么是充要条件？
【注意】p是q的充要条件也可以说成：
p是q的充分不必要条件
p是q的必要不充分条件
p是q的充要条件
p是q的既不充分也不必要条件
①p和q是等价的
②p成立当且仅当q成立
③q成立当且仅当p成立
1.用指出下列各组中p是q的什么条件。
①p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
② p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
即时巩固
A
即时巩固
怎么判断充要条件？有哪些方法？
【2】等价法
【1】定义法：
将命题转化成为另一个与之等价的且便于判断真假的命题
【3】赋值法
对于选择题，可以取一些特殊值或者特殊情况，用来说明
结论或者推导不成立，但不可用于证明题。
怎么判断充要条件？有哪些方法？
【3】集合法：
A
B
A
B
B
B
A
A
A(B)
A B
p是q的充分不必要条件
B A
p是q的必要不充分条件
A=B
p是q的充要条件
②p:四边形的对角线相等；q:四边形是平行四边形
即时巩固
充分条件与必要条件的传递性
（1）充分条件与必要条件都有传递性，具体如下：
（2）给定命题“若p，则q”，对于p是q的什么条件的证明：
充分条件与必要条件的传递性
【问题】已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么：
①s是q的什么条件？ ②r是q的什么条件？ ③p是q的什么条件？
【解】利用图示，表示出p，q，s，r之间的关系如下：
1.下列各组题中， 哪些p是q的充要条件？为什么？
①p:三角形为等腰三角形，q:三角形存在两角相等；
②p:圆O内两条弦相等，q:圆O内两条弦所对的圆周角相等；
即时巩固
本节考试常考什么？
【充分条件，必要条件，充要条件的判断】
②p:两个三角形相似，q:两个三角形全等；
本节考试常考什么？
【充分条件，必要条件，充要条件的判断】
【题2·集合法】判断下列各图中A是B的什么条件？
①
【解】因为B A，所以A是B的充分不必要条件
②
③
B
A
A(B)
A
B
【解】因为A=B，所以A是B的充要条件
本节考试常考什么？
【充分条件，必要条件，充要条件的判断】
【题3·传递法】已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s
的必要条件，则p是q的什么条件？
【注意】本题也可以用图形法，列出p，q，r，s的关系图：
随堂小测
1.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的( )
A.充要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 解x2－2x＋1＝0得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件.
答案 A
2.求证：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根均大于1的充要条件是k<－2.
②充分性：当k<－2时，Δ＝(2k－1)2－4k2＝1－4k>0.
设方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根为x1，x2，
则(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1
＝k2＋2k－1＋1＝k(k＋2)>0.
又(x1－1)＋(x2－1)＝(x1＋x2)－2
＝－(2k－1)－2＝－2k－1>0，
∴x1－1>0，x2－1>0.
∴x1>1，x2>1.
综上可知，方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根的充要条件为k<－2.
课堂小结
1.充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法.
2.充要条件的证明与探求
(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别：
①p是q的充要条件，则由p q证的是充分性，由q p证的是必要性；
②p的充要条件是q，则由p q证的是必要性，由q p证的是充分性.
(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.(共23张PPT)
全称量词与存在量词
学习目标
1.通过生活和数学中的实例，理解全称量词与存在量词的意义.
2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
核心素养：数学抽象、逻辑推理
新知学习
全称量词与全称量词命题
全称量词与全称量词命题
常见的全称量词有“一切”“每一个”“任给”“所有的”“全部的”“只要是”“任意的”“凡是”等等
我不能判断真
假，不是命题
我能判断真假，而且是假命题！
全称量词与全称量词命题
【1】从集合的观点来看，全称量词命题是陈述某个集合中的所有元素都具
有某种相同的性质。因此，全称量词表示的数量可以是无限的，也可
以是有限的。这取决于所描述的这个集合中的元素的个数。
【3】全称量词命题中一般含有全称量词，但是有些全称量词命题中的全称
量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如“平行四边形的对角
线互相平分”应理解为“所有的平行四边形对角线都互相平分”
即时巩固
全称量词命题怎么判断真假？
★ 要判断全称量词命题是真命
题，需要从左往右地推导；
也就是说，
★ 要判断全称量词命题是假命
题，只需找一个反例即可.
全称
量词
命题
它为真，我要好好说明下；它为假，我一个反例就说明了！
怎么判断它
的真假呢？
全称量词命题怎么判断真假？
【例题】判断下列全称量词命题的真假
【解】2是素数，但是2不是奇数，所以命题为假.
（1）所有的素数都是奇数；
素数，即质数，一个正整数，除了1和自身之外没有其他整数的因数，则成为素数(质数).
判断下列全称量词命题的真假：
①每个四边形的对角线都互相垂直
【解】右图所示的四边形对角线就不垂直，所以命题为假.
③任何实数都有算术平方根
【解】-4是实数，但是-4没有算术平方根，
所以命题为假；
非负数才有平方根和算术平方根；负数没有平方根，更没有算术平方根.
即时巩固
存在量词与存在量词命题
常见的存在量词有“存在”“某一个”“任给”“对部分”“对某个”“对某些”“有一个”“有的”等等
我不能判断真
假，不是命题
我能判断真假，而且是真命题！
存在量词与存在量词命题
存在量词与存在量词命题
【1】从集合的观点来看，存在量词命题是陈述某个集合中的某些(个)元素
所具有的某种性质。
【3】含有存在量词“存在”“有一个”等的命题，或虽没有写出存在量
词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在性命题.
即时巩固
也就是说，
★ 要判断全称量词命题是假命
题，需要推导证明.
存在
量词
命题
它为真，我只要找出一个例子就可以；它为假，我得证明！
怎么判断它
的真假呢？
存在量词命题怎么判断真假？
【例题】判断下列存在量词命题的真假
【解】所有四边形内角和为360°，所以命题为假.
（1）存在一个四边形的内角和是180°；
存在量词命题怎么判断真假？
判断下列存在量词命题的真假：
②平面内存在一对有交点的平行线
【解】右平面内两条直线平行则没有交点，
所以命题为假.
③有些平行四边形是菱形
【解】菱形是特殊的平行四边形，所以
命题为真
平面内两条直线的位置关系有三种：①平行，没有交点；②相交，有一个交点；③重合，有无数个交点.
即时巩固
本节考试常考什么？
【含有一个量词的命题求参数问题】
随堂小测
课堂小结
1.判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称量词命题不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.
2.要确定一个全称量词命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称量词命题是假命题.
3.要确定一个存在量词命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在量词命题是假命题.