(共23张PPT)
等式性质与不等式性质
学习目标
1.理解不等式的概念.
2.了解不等式（组）的实际背景.
3.掌握不等式的性质.
核心素养：数学抽象、逻辑推理
新知学习
不等关系及其表示
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、
大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过和不
少于等。类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等
式表示不等用不等式表示。
【等式】指的是用等号“=”连接起来的式子
【不等式】指的是用不等号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”
连接起来的式子
不等关系及其表示
【问题1】你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
（3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
设P是直线AB外任意一点，PQ是P到AB的垂
线段，C是直线AB上任意一点，则PC≥PQ
A
B
C
P
Q
不等关系及其表示
【问题2】某种杂志原本以每本2.5元的价格出售，可以售出8万本.据市场调查
发现，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价
才能使涨价后的总收入不低于20万元
所以用不等式表示为：
单价涨了多少元
单价涨了多少个0.1元
销量少了多少个2000元
实数大小的比较
实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质，那么
这些不等式的性质为什么是正确的呢？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题
要用到关于两个实数大小关系的基本事实.
不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变
不等式的两边同乘(或除以)一个正数，不等号的方向不变
不等式的两边同乘(或除以)一个负数，不等号的方向改变
实数大小的比较
A
B
B
A
A(B)
实数大小比较
的基本事实①
【作差法】
实数大小的比较
实数大小比较
的基本事实②
【作商法】
【解】运用作差法：
0是正数与负数的分界线，它为比较实数的大小提供了标杆.
即时巩固
【解】运用作商法：
1是相等与不等的分界线，它也为比较实数的大小提供了标杆.
即时巩固
一个重要不等式
如图是根据第24届国际数学家大会的会标设计的，会标灵感来
源于中国古代数学家赵爽的弦图，图中有什么不等关系？
很显然赵爽弦图是我们在初中研究勾股定理时的模型，我们把
它抽象成如图所示的图形.
一个重要不等式
事实上，利用完全平方公式也可以得到这个不等式：
因此，由两个实数大小关系的基本事实，我们得到：
等式有什么性质？
★【对称性】
★【传递性】
★【加减性】
★【同乘性】
★【同除性】
我成立，你不一定成立！
为什么啊？
c≠0时，你成立；c=0时，你不一定成立！
那可不一定，你是不是成立，得问问c，c=0时，你就不成立！
不等式有什么性质？
★【对称性】
★【传递性】
证明：
不等式有什么性质？
★【可加性】
★【可乘性】
★【同向可加性】
不等式两边同时加上一个数，不变号
不等式两边同时乘上一个正数，不变号；
不等式两边同时乘上一个负数，要变号 .
只有一个等式有等号也是传递不过去的.
不等式有什么性质？
★【同向同正可乘性】
★【同正可乘方性】
我只有同向可加性，同向可乘还必须保证是正数！
我的等号左右能对应加减乘除(除数不为0)，你行吗？
不等式
即时巩固
随堂小测
A.4×2x≥100 B.4×2x≤100
C.4×2x＞100 D.4×2x＜100
解析 当导火索的长度为x厘米时，燃烧的时间为2x秒，人跑开的距离为(4×2x)米，为了保证安全，有4×2x＞100.
答案 C
2.设a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是( )
A.a－b>0 B.a3＋b3>0
C.a2－b2<0 D.a＋b<0
解析 本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，排除A，B，C，故选D.
答案 D
3.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )
A.M＞N B.M＝N
C.M＜N D.与x有关
答案 A
课堂小结
1.比较两个实数的大小，只要考查它们的差就可以了.作差法比较实数的大小一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论.作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式.
2.不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然.(共29张PPT)
基本不等式
1.探索基本不等式的证明过程.
2.掌握基本不等式.
3.能用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.
核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算
学习目标
基本不等式及其推导
新知学习
基本不等式及其推导
【问题】上述均值不等式是如何推导的？
【证法二】当然我们也可以利用倒推法：
基本不等式及其推导
基本不等式链
高中数学需要掌握的几个公式
完全立方公式
完全立方公式
立方和公式
立方差公式
基本不等式的推广
①三元不等式：
②n元基本不等式：
基本不等式的几何意义
A
B
D
C
E
利用基本不等式求最值
题【1】
利用基本不等式求最值
利用基本不等式求最值
【1】利用基本不等式解决最值问题要牢记三个关键词：一正二定三相等.
一正：各项必须为正
二定：各项之和或各项之积为定值
三相等：必须验证取等号时的条件十分具备
【2】利用基本不等式求最值的关键：根据定值求最值，配凑变换不可少.
什么是最值定理？
即时巩固
即时巩固
即时巩固
基本不等式的实际应用
【例题】(1)用篱笆围成一个面积为100平方米的矩形菜园，当这个矩形的边长
为多少时，所用的篱笆最少，最短长度是多少？
基本不等式的实际应用
【例题】(2)用一段长为36米的铁丝网围成一个矩形菜园，当这个矩形的长和
宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
基本不等式的实际应用
【例题】（3）某工厂要建造一个长方体形状的无盖蓄水池，其容积为4800立
方米，深为3米.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方
米的造价为120元，那么怎样设计水池才能使总造价最低？最低
造价是多少？
练习④：已知直角三角形的面积为50，当两条直角边的长度各为多少时，
两条直角边的和最小？最小值是多少？.
即时巩固
随堂小测
C
2.若0＜a＜b且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是( )
答案 B
3.设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是( )
答案 B
4.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )
A.6.5 m B.6.8 m
C.7 m D.7.2 m
答案 C
5.设a＞0，b＞0，给出下列不等式：
答案 ①②③
6.函数f(x)＝x(4－2x)的最大值为________.
答案 2
课堂小结
3.利用基本不等式求最值
(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：
①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.
(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件.
4.求解应用题的方法与步骤：
(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.(共26张PPT)
二次函数与一元二次方程、不等式
1.会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数.
2.了解二次函数零点与一元二次方程根的关系.
3.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.
4.能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
5.借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
核心素养：数学抽象、直观想象、数学运算
学习目标
新知学习
函数、方程、不等式知识回顾
在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程，一元一次不等式，
发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以让我们更简便的解决问题：
对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，
他们的联系又是怎样的呢？
一元二次不等式的概念
【问题】园艺师傅打算在绿地上用栅栏围成一个矩形区域种
植花卉，若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大
于20 m 2，则这个矩形的长和宽应该是多少？
一元二次不等式的概念
二次函数的零点
在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次次方程、一元一次不等式的思想方法.类似的，能否从二次函数的观点来看一元二次不等式，进而得到
一元二次不等式的求解方法呢？
【注意】零点不是点，是交点的横坐标，是数
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法
()
没有实数根
R
一元二次不等式的解法
即时巩固
一元二次不等式的应用
一元二次不等式的应用
【解含参数的一元二次不等式】
即时巩固
【解含参数的一元二次不等式】
所以原不等式的解集为R
即时巩固
【三个“二次”的关系】
即时巩固
【不等式恒成立的问题】
即时巩固
解一元二次不等式的过程
原不等式的解集为
R
随堂小测
课堂小结
1.对字母系数分类讨论时，要注意确定分类的标准，而且分类时要不重不漏.一般方法是：
(1)当二次项系数不确定时，按二次项系数等于零、大于零、小于零三种情况进行分类.
(2)判别式大于零时，还需要讨论两根的大小.
(3)判别式不确定时，按判别式大于零、等于零、小于零三种情况讨论.
2.三个“二次”之间的关系
(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究.
(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：
3.解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解.若不等式含有等号时，分母不为零.
4.对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决.当然这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a>f(x)恒成立 a>f(x)max；(2)a5.解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解.
