(共26张PPT)
函数的概念及其表示
3.1.1 函数的概念
1. 体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.
2.了解构成函数的要素.
3.能求简单函数的定义域.
核心素养：数学抽象、数学运算、数学建模.
学习目标
情境导学
函数知识回顾与更新
函数的传统定义：
本节我们将在集合的基础上，用新的观点进一步学习函数的概念.
函数知识回顾与更新
【例题观察②】某电器维修公司要求工人每周至少工作1天，至多不超过6天.如果工资确定的
工资标准是每人每天300元，而且每周付一次工资，那么一个工人每周的
工资W和他每周工作的天数d就是函数关系：W=300d.
其中，d的变化范围是数集A={1,2,3,4,5,6},W的变化范围是数集
B={300,600,900,1200,1500,1800}.对于数集A中的任何一个天数d，
按照对应关系W=300d，在数集B中都有唯一确定的W与之对应.
函数知识回顾与更新
上述两个问题中的函数有哪些共同特征？由此你能概括
出函数概念的本质特征吗？
上述问题的共同特征有：
①都包含两个非空数集A和B
②都有一个对应关系(S=350t;W=300d)
函数的概念
显然，值域是集合B的子集.在例题①和例题②中，定义域就是A，值域就是B.
函数的概念
【说明】通常一个函数的定义域和对应关系确定后，值域就确定了.所以有
时候也称定义域和对应关系为函数的二要素.
函数的四个特性
②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.
③唯一性：每一个自变量都有唯一的函数值与之对应.
④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系.但是，从值域到定义域的话，新的对应关系就不一定是函数关系.
一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、对应关系和值域
函数的应用
应用题出题的过程就是构建出一个情景，使它和我们已知的数学模型和数学规律对应上.
函数的应用
【练习】一枚炮弹发射后，经过26秒落到地面击中目标.炮弹的射高为845米，
且炮弹距地面的高度h(米)与发射时间t(秒)的关系为：
求上式所表示的函数的定义域和值域，并用函数的定义
描述这个函数.
即时巩固
什么是区间？
③和④都可以称作半开半闭区间
什么是区间？
各个区间的含义及表示方法如下表所示：
闭区间
开区间
左开右闭区间
左闭右开区间
什么是区间？
常见区间的含义及表示方法如下表所示：
求函数的定义域和函数值
（1）求函数的定义域
由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域.因为
值域是由定义域和对应关系决定的，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系
完全一致，那么这两个函数就是同一个函数.
什么是相同函数？
如果两个函数仅仅是对应关系相同，但定义域不同，那么它们肯定不是同一
个函数.
两个函数只要定义域和对应关系任何一个不同，那么它们都不是相同函数.
即时巩固
随堂小测
1.对于函数y＝f (x)，以下说法正确的有
①y是x的函数；
②对于不同的x，y的值也不同；
③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；
④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
√
2.区间(0,1)等于
A.{0,1} B.{(0,1)}
C.{x|0√
3.对于函数f：A→B，若a∈A，则下列说法错误的是
A.f (a)∈B
B.f (a)有且只有一个
C.若f (a)＝f (b)，则a＝b
D.若a＝b，则f (a)＝f (b)
√
－1
5.下列各组函数是同一函数的是_____.(填序号)
③④
课堂小结
1.函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.由于函数的定义域和对应关系一旦确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等只需两个函数的定义域和对应关系分别相同即可.
2.定义域是一个集合，所以需要写成集合的形式，在已知函数解析式又对x没有其他限制时，定义域就是使函数式有意义的x的集合.
3.在y＝f(x)中，x是自变量，f代表对应关系，不要因为函数的定义而认为自变量只能用x表示，其实用什么字母表示自变量都可以，关键是符合定义，x只是一个较为常用的习惯性符号，也可以用t等表示自变量.关于对应关系f，它是函数的本质特征，好比是计算机中的某个“程序”，当在f( )中的括号内输入一个值时，在此“程序”作用下便可输出某个数据，即函数值.如f(x)＝3x＋5，f表示“自变量的3倍加上5”，如f(4)＝3×4＋5＝17.我们也可以将“f”比喻为一个“数值加工器”，当投入x的一个值后，经过“数值加工器f”的“加工”就得到一个对应值.(共26张PPT)
函数的概念及其表示
3.1.2 函数的表示法
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.
2.理解函数图象的作用.
3.了解简单的分段函数，并能简单应用.
核心素养：直观想象、数学建模
学习目标
情境导学
函数的表示法
在初中我们已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图像法.
【1】解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如y=2x+3
【2】列表法，就是列出表格表示两个变量之间的对应关系.
【3】图像法，就是画出函数图像来表示两个变量之间的对应关系.
用什么方法来表示函数呢？
用列表法，不用计算，看表就知道函数值
用解析法，便于研究函数性质
用图像法，容易表示出函数的变化情况
函数的表示法
【例题】某种笔记本的单价是5元，买m(m∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元.试用
函数的三种表示法来表示函数y=f(m).
【解析法】y=5m,m∈{1,2,3,4,5}
【列表法】函数可以表示如下表：
笔记本数m 1 2 3 4 5
钱数y 5 10 15 20 25
【图像法】函数图像可以表示如图：
25
20
15
10
5
0 1 2 3 4 5
m
y
【1】解析法必须标明函数的定义域
函数的表示法
在用三种方法表示函数时要注意：
【2】列表法必须罗列出所有的自变量与函数值之间的对应关系
【3】图像法必须搞清楚函数图像是“点”还是“线”
并不是所有函数都能用解析法表示，如某地一年中每天的最高气温是日期的函数，该函数就不能用解析法表示；也不是所有函数都可以用列表法表示，如函数f(x)=x.
分段函数
【题】画出函数y=|x|的图像
【解】由绝对值的概念，有y=
-x，x＜0，
x，x≥0.
画出图像如图：
像这样的函数，叫做分段函数.分段函数一般在实际问题中出现的比较多，例如出租车的计费，个人所得税的计算等等.
在自变量的不同取值区间，有不同对应关系的函数叫做分段函数.
（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数，处理分段函数的问题时，首
先要明确自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系.
（2）分段函数在书写的时候左边用大括号把几个对应关系括在一起，在每
段对应关系表达式的后面用小括号写上相应的取值范围.
（3）分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，只能写成一个集合
的形式；值域是各段函数在对应自变量取值范围内值域的并集.
分段函数
分段函数
几种常见的分段函数：
（1）符号函数：
（2）含绝对值符号的函数：
（3）自定义函数：
（3）取整函数：
如图，把直截面半径为25的圆柱形木头锯成直截面为矩形的木料，如果
矩形的一边长为t，面积为W，把W表示成t的函数.
【解】因为圆的直径是25×2=50，矩形的一边长是t，
25
t
所以与它相邻的另一边长就是
矩形的面积
又因为矩形的边长小于圆的直径，所以0＜t＜50
即时巩固
画出函数
【解法一】由绝对值的概念可知，
所以函数的图像如图所示：
的图像.
【解法二】(翻折法)先画出函数
的图像，
然后把图像中位于横轴下方的部分翻转到上方即可.
1 2 3 4
1
2
即时巩固
函数的实际应用
【例题】下表是卢老师所在的初中某班三名同学在初三学年度6次历史测试的成绩
及班级平均分表.请你对这三位同学在初三学年的历史学习情况做一个分析.
【分析】从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学
的成绩变化情况.如果将每位同学的成绩和测试序号之间的函数关系分别用
图像表示出来，就可以直观的看到他们成绩变化的情况.
函数的实际应用
【例题】某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定
(1)5km以内(含5km)，票价2元；
(2)5km以上，每增加5km，票价增加1元(不足5km按5km算)
如果某条线路的总里程为20km，请写出票价与里程之间的函数解析式，
并画出图像.
【解】设票价为W元，里程为t千米，由题意可
写出解析式为：
图像如图：
5 10 15 20
5
4
3
2
1
· · · · ·
复合函数
【概念】设函数 的定义域为A，值域为B，函数 的定义域为C，
值域为D.如果B∩C≠ ，那么对于B∩C内的任意一个 经过 ，有唯一
确定的 与之对应.则变量 和 之间通过变量 形成一种函数关系，
这种函数成为复合函数.记为 .其中 为自变量， 为中间
变量， 为因变量(函数).
例如，如果 ， ，那么就有
即
【1】已知一次函数 满足 ，求 的解析式.
【解】由题意设
则
所以
解得
或
所以
或
【复合待定系数法】
常考题型分析
【1】已知 ，求
【换元法】由题意令 ，则
所以
【换元法和配凑法】
即
【配凑法】
因为
所以
常考题型分析
【1】已知函数 满足 ，求 的解析式.
【解】在已知等式中，将 换成 ，得
与已知方程联立，得
【已知中含有 ,求 】
，消去
常考题型分析
得
【2】已知 ，其中 ，求 的解析式.
【解】在原式中用 替换 ，得
与已知方程联立，得 ，
【已知中含有 ,求 】
常考题型分析
消去 ，得
随堂小测
1.已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于
A.1 B.2 C.3 D.4
√
√
3.如果二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式可以是
A.f(x)＝x2－1
B.f(x)＝－(x－1)2＋1
C.f(x)＝(x－1)2＋1
D.f(x)＝(x－1)2－1
√
√
所以f(5)＝5f(4)＝5×4f(3)＝5×4×3f(2)＝5×4×3×2f(1)
＝5×4×3×2×1×f(0)＝5×4×3×2×1×2＝240.故选C.
5.已知正方形的边长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为
√
6.画出y＝2x2－4x－3，x∈(0,3]的图象，并求出y的最大值、最小值.
解 y＝2x2－4x－3(0由图易知，当x＝3时，ymax＝2×32－4×3－3＝3.
由y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，
∴当x＝1时，ymin＝－5.
课堂小结
1.如何求函数的解析式
求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域.主要方法有：待定系数法、换元法、解方程组法(消元法).
2.如何作函数的图象
一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线.作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出图象，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等.
3.如何用函数图象
常借助函数图象研究定义域、值域、函数变化趋势及两个函数图象交点问题.
4.对分段函数的理解
(1)分段函数是一个函数而非几个函数.
分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集.
(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况.(共22张PPT)
函数的基本性质
3.2.1 单调性与最大（小）值
学习目标
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.
2.理解单调性、最值的作用和实际意义.
核心素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象
新知学习
实例探究
在初中我们利用函数图像探究过函数值随自变量的增大而增大(减小)的性质，
这性质叫做函数的单调性.下面进一步刻画这种性质.
先研究二次函数 的单调性.画出图像，
可以看到，当x＜0时，y随x的增大而减小，也就是说，
任意取 ，得到 ，
有 .这时我们就说函数 在区间
(-∞，0]上是单调递减的.
同理，函数 在[0,+∞)上是单调递增的.
函数在(-∞，0]上为减函数，在[0,+∞)上为增函数，但在(-∞,+∞)上不具有单调性.
因为 ，所以
实例探究
【问题】如何判断本题中 的大小？
【1】观察图像法，从右侧图像中很容易得到
函数在(-∞，0]上为减函数，在[0,+∞)上为增函数，但在(-∞,+∞)上不具有单调性.
【2】做差法：
所以
在区间(-∞，0]单调递减；
在区间[0，+∞)单调递增.
【思考】函数 和函数 各有怎样的单调性？
【解】作出两个函数的图像，由图像可知：
函数 在区间(-∞，0]单调递增；
在区间[0，+∞)单调递减.
即时巩固
单调性的定义
一般地，设函数 的定义域为S，区间 ，如果 ，
当 时，都有 ，那么就称函数 在区间A上单调
递增.特别地，若函数 在它的定义域上单调递增时，我们就称它为
增函数.
如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数 在区间A上单调递减.特别地，若函数 在它的定义域上单调递减时，我们就称它为减函数. 函数具有单调性的的区间叫做单调区间.
单调性的定义
【探究】在函数单调性的定义中，对区间A有什么要求？
（1）区间A可以是整个定义域S.如函数y=x，他在定义域上单调，A=S.
（2）区间A可以是定义域S的真子集，如函数y=|x|，
S=(-∞，+∞)，当A= (-∞，0]时，函数单调递减.
（3）区间A一定是连续的，如果中间有断裂，则无法称
作单调递增或者单调递减.如图示的函数.
单调性的定义
函数单调性定义的等价形式(对于任意的 )：
【1】
在D上为增函数；
【2】
在D上为减函数；
【3】
在D上为增函数；
【4】
在D上为减函数.
即自变量之差与函数值之差的乘积同号，函数为增函数；
自变量之差与函数值之差的乘积同号，函数为减函数；
单调性定义的应用
【1】判断(证明)单调性：
【2】比较函数值大小：
【3】已知函数值大小比较自变量：
并非所有函数都有单调性或者单调区间.如函数
虽然它的定义域为R，但是它不具有单调性.
单调性定义的应用
【问题】书写函数的单调区间端点有何要求？
函数在区间端点处有定义时，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性问题，因此在书写单调区间时，可以包括，也可以不包括.如函数y=t的单调增区间可以写(0，+∞)，也可以写成[0，+无穷大)
反之，函数在区间端点处无定义时，书写单调区间时就不能包括端点.
单调性的应用
【例题1】根据定义，研究函数 的单调性.
【解】函数 的定义域是R，对于任意的 且
，
由 知 ，所以：
①当 时， ，即 ，
这时，函数 是增函数；
①当 时， ，即 ，
这时，函数 是减函数；
且 ，有：
单调性的应用
【例题2】物理学中的玻意耳定律 ( 为正常数)告诉我们，对于一定量的
气体，当其体积V减少时，压强P将增大.试对此用函数的单调性证明.
【分析】根据题意，只要证明函数 是减函数即可.
【证明】
由 得 ；由 得
又 ，所以 即
所以函数 是减函数.问题得证.
【观察】观察函数 的图像可以发现，二次
函数的图像上有一个最低点(0，0)，即：
函数的最值(最大值和最小值)
当一个函数有最低点时，我们就说这个函数有最小值.
【定义】一般地，设函数 的定义域为A，如果当自变量 时，有：
，那么我们就称 是函数的最小值；
反之，设函数 的定义域为A，如果当自变量 时，有：
，那么我们就称 是函数的最大值.
【常用结论与表达方式】
函数的最值(最大值和最小值)
【1】若函数 在区间 上单调递增，那么函数的最小值
，最大值
【2】若函数 在区间 上单调递减，那么函数的最小值
，最大值
【3】函数的最大值和最小值可以有多个，如图：
随堂小测
√
A.有最大值无最小值
B.有最小值无最大值
C.有最大值也有最小值
D.无最大值也无最小值
√
3.函数f(x)＝x2，x∈[－2,1]的最大值、最小值分别为
A.4,1 B.4,0
C.1,0 D.以上都不对
√
A.10,6 B.10,8
C.8,6 D.以上都不对
√
√
6.若函数f(x)＝(4－x)(x－2)在区间(2a,3a－1)上单调递增，则实数a的取值范围是________.
解析 f(x)是开口向下的二次函数，其对称轴x＝3，
课堂小结
1.若f(x)的定义域为D，A D，B D，f(x)在A和B上都单调递减，未必有f(x)在A∪B上单调递减.
2.对增函数的判断，对任意x13.函数的最值与值域、单调性之间的联系
(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y＝ .如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素.
(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得.即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a).
4.二次函数在闭区间上的最值
探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得.(共25张PPT)
函数的基本性质
3.2.2 奇偶性
学习目标
1.结合具体函数，了解奇偶性的概念.
2.了解奇偶性的几何意义.
核心素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象
新知学习
偶函数
画出函数 和函数 的图像并观察，你能发现什么共
同的特征？
可以发现，这两个函数都关于y轴对称.也就是说，当自变量取互为相反数的
两个数时，函数值是相等的，即
对于 ，有
对于 ，有
常见的偶函数有 ， 等等
偶函数
【思考】对于定义在R上的函数 ，若 ，那么这个函数
是偶函数吗？
【答】不一定.因为 并不能保证所有的 ，所
以不一定是偶函数.
【定义】一般地，设函数 的定义域为A，如果对于 ，都有 ，
且 ，即 的图像关于y轴对称，那么就称 为偶函数.
要证明某个函数不是偶函数，只需要列举出一个反例x0，证明f(-x0)≠f(x0)即可
【1】①该函数的定义域关于y轴对称，即任意x∈A(A为定义域)，-x∈A；
②任取一个自变量x，都满足f(-x)=f(x)
偶函数
【总结】一般地，一个函数是偶函数的两个判断方式：
【2】几何法，函数的图像关于y轴对称，那么函数就是偶函数
偶函数
偶函数
图像关于y轴对称
代数特征
几何特征
定义中， 的常见变形有：
画出函数 和函数 的图像并观察，你能发现什么共
同的特征？
奇函数
可以发现，这两个函数都关于原点成中心对称.也就是说，当自变量取互为
相反数的两个数时，函数值也互为相反数，即
对于 ，有
对于 ，有
【定义】一般地，设函数 的定义域为A，如果对于 ，都有 ，
且 ，即 的图像关于原点成中心对称，那么就称
为奇函数.
奇函数
常见的偶函数有 ， , 等等
【思考】对于定义在R上的函数 ，若 ，那么这个
函数是奇函数吗？
【答】不一定.因为 并不能保证所有的 ，
所以不一定是奇函数.
奇函数
要证明某个函数不是奇函数，只需要列举出一个反例x0，证明f(-x0)≠-f(x0)即可
【1】①该函数的定义域关于y轴对称，即任意x∈A(A为定义域)，-x∈A；
②任取一个自变量x，都满足f(-x)=-f(x)
【总结】一般地，一个函数是奇函数的两个判断方式：
【2】几何法，函数的图像关于原点成中心对称，那么函数就是偶函数
奇函数
奇函数
图像关于原点对称
代数特征
几何特征
定义中， 的常见变形有：
如果奇函数在
处有定义，则：
如何证明
这个结论？
函数奇偶性的判断
【例题】判断下列函数的奇偶性.
【解】(1)首先判断定义域为R，关于y轴对称，再判断：
所以此函数是偶函数；
【解】(2)首先判断定义域为R，关于y轴对称，再判断：
所以此函数是奇函数；
【解】(3)首先判断定义域为 ，关于y轴对称，再判断：
所以此函数是奇函数；
【解】(3)首先判断定义域为 ，关于y轴对称，再判断：
所以此函数是偶函数.
判断函数奇偶性，首先要看定义域.
④ 既是奇函数，又是偶函数.
函数奇偶性的判断
利用定义判断函数奇偶性的方法：
【1】一看定义域：奇函数和偶函数的定义域一定关于y轴对称，如果一个函数的定
义域关于y轴对称，那么它才有可能是奇函数或者偶函数，否则就没有探究下
去的必要.
【2】二看等式：满足第一点之后，判断 与 的关系：
函数
既是奇函数，又是偶函数
① 是偶函数；
② 是奇函数；
③ 是非奇非偶函数；
奇(偶)函数的性质及应用
【探究】（1）如何判断函数 的奇偶性？
【解】(1)利用函数奇偶性定义来判断，函数
的定义域为R，且有
所以此
函数是奇函数.
（2）已知函数 图像的一部分，如何画出剩余部分？
(2)由奇函数的图像关于原点成中心对称可以画出函数 在
y轴左侧对的图像，将y轴右侧的图像沿着原点旋转180°即可，画出的
图像如图所示.
奇(偶)函数的性质及应用
【拓展】
（1）奇偶函数的单调性：
①奇函数：奇函数在y轴左右两边的单调性是完全相同的.如果
奇函数在区间[a,b]上的单调增函数，那么在区间[-a,-b]上就
是单调增函数.
②偶函数：奇函数在y轴左右两边的单调性是完全相反的.如果
偶函数在区间[a,b]上的单调增函数，那么在区间[-a,-b]上就
是单调减函数.
奇(偶)函数的性质及应用
【拓展】（2）奇偶函数的运算性质及符合函数的奇偶性：
设 ， 的定义域分别是A和B，在公共定义域上有：
【注】上表中不考虑 和 的情况；
中需 ， .
偶
偶
偶
偶
奇
奇
奇
奇
偶
奇
偶
奇
偶
奇
偶
奇
偶
偶
偶
奇
【1】已知 是偶函数， 是奇函数，将下面的图像补充完整.
【解】根据奇偶函数的对称性，分别将偶函数沿着y轴作对称；
把奇函数沿着原点作中心对称，答案见图上.
即时巩固
随堂小测
1.下列图象表示的函数具有奇偶性的是
√
2.函数f(x)＝x(－1A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
√
3.已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x－1，则当x<0时，f(x)等于
A.x＋1 B.x－1
C.－x－1 D.－x＋1
√
4.定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)A.ab
C.|a|<|b| D.0≤ab≥0
√
5.已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝___.
5
解析 函数y＝f(x)＋x是偶函数，
∴x＝±2时函数值相等.
∴f(－2)－2＝f(2)＋2，∴f(－2)＝5.
6.已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝___.
5
解析 函数y＝f(x)＋x是偶函数，
∴x＝±2时函数值相等.
∴f(－2)－2＝f(2)＋2，∴f(－2)＝5.
7.已知对于函数f(x)＝x2＋ax定义域内任意x，有f(1－x)＝f(1＋x)，则实数a＝___.
－2
8.若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是___.
2
解析 ∵f(x)为偶函数，
∴对于任意x∈R，有f(－x)＝f(x)，
即(m－1)(－x)2＋(m－2)(－x)＋(m2－7m＋12)
＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)，
∴2(m－2)x＝0对任意实数x均成立，∴m＝2.
课堂小结
1.两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)
f(－x)＋f(x)＝0 f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x) f(－x)－f(x)＝0 f(x)为偶函数.
2.两个性质：函数为奇函数 它的图象关于原点对称；函数为偶函数 它的图象关于y轴对称.
3.证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x).而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了.
4.函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用.这种对称推广，就是一般的中心对称或轴对称.
5.(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数.
(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论.
6.具有奇偶性的函数的单调性的特点：
(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性.
(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性.(共20张PPT)
幂函数
学习目标
1.通过具体实例，结合函数 的图象，理解幂函数图象的变化规律.
2.了解幂函数的概念.
核心素养：数学抽象、数学建模、直观想象
幂函数的概念
【探究】(1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付
的钱数P=t元，这里P是t的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；
(4)如果正方形广场的面积为S，那么广场的边长c= ，这里c是S的函数；
(5)如果某人t秒内汽车前进了1km，那么他的平均速度v= km/s，这里
v是t的函数；
【以下各个函数有什么共同的特征？】
可以发现，这些函数的表达式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，
幂的指数都是常数.分别是1，2，3，0.5，-1；它们都是形如 的函数.
一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数.
【1】在函数① ② ③ ④
⑤ ⑥ 中，是幂函数的是（ ） .
【解】根据幂函数的定义，只有①⑤⑥是幂函数.
选项②系数不为1；选项③系数不为1且多了常数项
选项④同理.
①⑤⑥
即时巩固
幂函数的特征
【1】 的系数为1
【2】 的底数为自变量
【3】 的指数为常数
只有同时满足这三个条件的，才是幂函数.形如
等的函数不是幂函数.
判断一个函数是不是幂函数的依据是该函数是否为
( 为常数)的形式.反过来，若一个函数为幂函数，那么它也一定具有这个形式.在我们解决某些问题的时候这个结论有奇效.
【1】已知幂函数 的图像经过点 ，求这个函数的表达式.
【解】由题意设函数的表达式为
把点 代入，得：
即 ，所以
所以这个函数的表达式为
和初中解决一次函数一样，利用待定系数法.因为幂函数只有一个系数，所以只需要一个点的坐标就可以求写出幂函数的表达式.
即时巩固
幂函数的图像
【说明】对于幂函数，我们只研究 时图像的性质.
在同一坐标系中画出函数
的图像：
【总结】①只有 时图像才是直线；
②图像一定会出现在第一象限，
一定不会出现在第四象限；
③图像一定经过 (1,1) 这个定点；
④第一象限内 由上到下递减.
幂函数的图像
【说明】对于幂函数，我们只研究 时图像的性质.
在同一坐标系中画出函数
的图像：
【总结】⑤ 时，图像在定义域内上升；
⑥ 时，图像在第一象限下降；
⑦只有 时，图像才与坐标轴
相交，且交点一定为原点；
⑧ 时，图像是y=1这条直线.
幂函数的性质
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
非奇非偶函数
增函数
增函数
增函数
【1】求幂函数 的定义域并讨论其奇偶性和单调性.
【解】因为 ， ，又 为
两个连续的正整数相乘，其结果必为正偶数，所以
为正奇数，所以函数的定义域为R.
由 为正奇数，得
，所以 为增函数.
因为 ，所以 是正的奇次方根，所以
在定义域内为增函数.
即时巩固
幂函数的性质
和 两种情况下幂函数的图像变化及性质表：
在(0，+∞)上都有定义，定义域与a的取值有关
图像过点(0，0)和点(1，1)
图像过点(1，1)
在(0，+∞)上是增函数
在(0，+∞)上是减函数
在第一象限，当0＜a＜1时，
图像上凸；当a＞1时，图像下凹
在第一象限，图像都下凹
与a的取值有关
【2】利用幂函数的性质，比较下列两个数的大小.
【解】设 ，则 在R上为增函数.
比较大小用作差法.由增减性，根据自变量的大小，比较函数值的大小；或者根据函数值的大小，比较自变量的大小.
∵ -1.5＜-1.4，∴ (-1.5)3＜(-1.4)3
(-1.5)3 和 (-1.4)3
即时巩固
幂函数 奇偶性的判断方法
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
非奇非偶函数
证明幂函数的增减性
【例题】证明幂函数 是增函数.
【证明】函数的定义域是[0，+∞).
因为 ， ，所以
即幂函数 是增函数.
随堂小测
√
2.以下结论正确的是
A.当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线
B.幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点
C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增
大而增大
D.幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限
√
A.1,3 B.－1,1 C.－1,3 D.－1,1,3
√
4.若a<0，则0.5a,5a,5－a的大小关系是
A.5－a<5a<0.5a B.5a<0.5a<5－a
C.0.5a<5－a<5a D.5a<5－a<0.5a
√
所以5a<0.5a<5－a.
5.先分析函数 的性质，再画出其图象.
课堂小结
1.幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准.
2.幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α＞0时，图象过点(0,0)，(1,1)，在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立.(2)曲线在第一象限的凹凸性，α＞1时，曲线下凸；0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0时，曲线下凸.
3.在具体应用时，不一定是y＝xα，α＝－1， ，1,2,3这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质.(共21张PPT)
函数的应用（一）
学习目标
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.
2.在实际情境中会选择一次函数、二次函数、幂函数解决实际问题.
3.体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法.
核心素养：数学抽象、数学建模、 数学运算
新知学习
分段函数之里程表读数
【例】一辆汽车在某段路程中的平均速率v(单位km/h)与时间t(单位h)之间的关系
如图所示.
(1)求图中阴影部分的面积，并说明
所求面积的实际含义；
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40
30
20
10
50
80
90
75
65
【解】阴影部分的面积为：
50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360
这个面积表示的含义是汽车在这5小时内
行驶的路程为360km.
分段函数之里程表读数
【例】一辆汽车在某段路程中的平均速率v(单位km/h)与时间t(单位h)之间的关系
如图所示.
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【解】由题意，根据图表有：
S=
(2)假设开车前里程表读数为2020km，试
求出里程表读数S与时间t的表达式.
滑行距离与汽车是否超速
【例】若用模型 描述汽车紧急刹车后滑行的距离y(m)与刹车时的速度v
(km/h)之间的关系，而某种型号的汽车在速率为60km/h时，紧急刹车后
滑行的距离为20m，在限速为100km/h的高速公路上，这辆车紧急刹车后
滑行的距离为50m，判断这辆车是否超速？
【解】由题意，把(60，20)代入表达式中，得 ，解得
即表达式为
当 时，解得
因为 ，所以这辆车没有超速.
矩形面积最大问题
【例】飞卢广告公司要为客户设计一幅周长为60m的矩形广告牌，如何设计
这个广告牌可以使它的面积最大？
【解】设广告牌的长为t米，则宽为(30-t)米，
面积S为
配方，
所以当长为15米，宽为30-t=15米的时候，
它的面积最大，最大面积为225平方米.
利润问题
【例】某公司生产某种产品的固定成本(房租设备水电等)为150万元，每件产品的
生产成本为2500元，售价为3500元.若该公司生产的产品全部都能卖出去.
（1）设总成本为W万元，平均分摊到每件产品上的单位成本为y万元，销售总
收入为S万元，总利润为P万元，分别求出它们与产量t的函数关系式.
【解】由题意得
【1】[2017山东卷]设 若 ，求
【高考中的函数问题】
【解】若 ，由 得
所以 ，
若 ，由 ，得 ，无解
综上，
即时巩固
【2】[2019江苏卷]函数 的定义域是 _____________.
【高考中的函数问题】
【解】要使得函数有意义，需要根号内非负，即
，即：
解得 ，所以函数的定义域为[-1，7]
即时巩固
【3】[2013全国大纲卷]已知函数 的定义域为(-1，0)，则函数
的定义域为 _____________.
【高考中的函数问题】
【解】由题意有自变量的取值范围是
当自变量变成 时，范围仍然是
所以有 ，解得
所以有函数的定义域为
即时巩固
【4】[江西卷]若函数 的定义域是[0，2]，求函数 的定义域.
【高考中的函数问题】
【解】由题意 的定义域是[0，2]，
则对于 来说有：
解得：
所以 的定义域为[0，1)
即时巩固
【5】[2019全国Ⅱ卷]设 为奇函数，且当 时， ，则当
时，求 的表达式.
【高考中的函数问题】
【解】因为 是奇函数，且定义域为R，
所以当 时，有 ，即此时有
所以此时的
即时巩固
【6】已知 ，且 ，求 的值.
【高考中的函数问题】
【解】因为
所以
即
所以
即时巩固
【7】[2020山西]已知定义在R上的偶函数 在(0，+∞)上单调递减，且
则满足不等式 的 的取值范围是多少？
【高考中的函数问题】
【解】由题意可知 在(-∞，0)上单调递增，且
所以当 时，
当 时，
所以
或
所以 的取值范围为
即时巩固
随堂小测
1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是
A.分段函数 B.二次函数C.指数函数 D.对数函数
√
2.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是
√
3.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是
A.y＝2x－1 B.y＝x2－1
C.y＝2x－1 D.y＝1.5x2－2.5x＋2
√
4.某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是
A.y＝ax＋b B.y＝ax2＋bx＋c
C.y＝aex＋b D.y＝aln x＋b
√
5.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝ －48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨.若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
∵R(x)在[0,210]上是增函数，
∴当x＝210时，
∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元.
课堂小结
解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题.
