(共22张PPT)
指数
学习目标
1.通过对有理数指数幂、实数指数幂含义的认识，了解指数幂的拓展过程.
2.掌握指数幂的运算.
核心素养：逻辑推理、数学运算
新知学习
什么是n次方根？
【温故】我们知道，如果 ，那么 叫做 的平方根.例如，±2就是4的
平方根. 如果 ，那么 叫做 的立方根.如2就是8的立方根.
类似地，由于(±2)4=16，我们把±2叫做16的4次方根.
一般地，如果 ，
其中， n＞1，且n∈N*
正数有两个平方根，一个算术平方根；0有一个平方根，一个算术平方根；负数没有平方根.
那么 叫做 的n次方根，
n次方根的性质
【1】 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 表示.例如
【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方
根用 表示，负的n次方根用 表示.两者也可以合并成 .
例如
【3】 负数没有偶次方根.
【4】 0的任何次方根都是0.记作：
因为在实数的定义里，两个数的偶次方根结果是非负数，即任意实数的偶次方是非负数.
什么是根式？
【定义】式子 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
根指数
被开方数
根据n次方根的定义，
可得： ，
比如：
【1】 一般读作“n次根号a”
【2】 当a＜0且n为偶数时， 在实数范围
内没有意义.
【3】 当 有意义时， 是一个实数，且
它的n次方等于a.
什么是根式？
【探究】 表示 的n次方根， 一定成立吗？
【结论】
①当n为奇数时，
②当n为偶数时，
和
有什么区别？
是实数 的n次方根，恒有意义，不受 的正负限制.
但是受n的奇偶限制.本质算法是先乘方，再开方.结果不一定
等于 ，当n为奇数时， ；当n为偶数时，
是实数 的n次方，在 有意义的前提下，实
数 的取值由n的奇偶决定，其算法是先开方，再乘方，结
果恒等于 .
(1) (2) (3) (4)
【1】求下列各式的值.
【解】(1) (2)
(3) (4)
即时巩固
分数指数幂是什么？
【探究】根据n次方根的定义和运算，我们知道
，也就是说，当根式的被开方数(看
成幂的形式)能被根指数整除时，根式可以表示成分数指数幂的形式.
【思考】当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也能表示为
分数指数幂的形式呢？
【设想】把根式表示为分数指数幂的形式时，例如把 写成下列形式：
,
我们希望整数指数幂的运算性质，如： ，对分数指数幂
同样适用.
分数指数幂是什么？
【定义】由此，我们规定，正数的正分数指数幂的意义是：
于是，在条件 下，根式都可以写成分数
指数幂的形式.正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿.
我们规定，
例如，
我们再规定，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义.
不可以.显然 不是半个 相乘，它的实质是根式的另一种写法，如 .在这样的规定下，根式与分数指数幂就是表示相同意义的量，只是形式不同
分数指数幂是什么？
【问题1】 可以理解为 个 相乘吗？
【问题2】分数指数能约分吗？
不能随意约分.因为约分之后可能会改变根式有意义的条件，如
约分后变成了 ，而 在实数范围内无意义.
分数指数幂的运算性质
时运算
法则不一定成立.
研究的一般性要求：
，此时法则一定成立.
(1) (2)
【1】求下列各式的值.
【解】(1)
(2)
即时巩固
(1) (2)
【2】求用分数指数幂表示下列式子( ).
【解】(1)
(2)
即时巩固
【3】计算下式的值.
【解】
即时巩固
什么是无理数指数幂？
【定义】一般地，无理数指数幂 为无理数 是一个确定的实数.这样，
我们就将指数幂 中的指数 的范围从整数逐步拓展到了
实数，实数的指数幂是一个确定的实数.
【指数幂的拓展顺序】
正整数指数幂
负整数指数幂
零次幂
整数指数幂
分数指数幂
有理数指数幂
无理数指数幂
实数指数幂
无理数指数幂的运算实质
【定义】一整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数 ，
均有下面的运算性质.
【3】计算下列各式的值.
【解】(1)
（1）
（2）
(2)
即时巩固
随堂小测
√
√
√
－2
5.化简： ＝___.
6.计算 的结果是____.
16
课堂小结
3.指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里面的；无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.
4.指数幂的运算一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解.(共23张PPT)
指数函数
学习目标
1.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.
2.能用描点法借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
3.在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型.
核心素养：数学抽象、数学建模、直观想象
新知学习
什么是指数函数？
【指数增长】随着中国经济的高速增长，旅游人数不断增加，A、B两个景区自
2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了门票价格，B地则取消了门票.下
表给了A、B两个景区2001~2015年的游客人次及逐年增加量.
比较一下两地景区旅游人次的变化情况，你发现了怎样的规律？
A地区经营地比较平衡，B地区发展比较快.
什么是指数函数？
【探究】我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的.那么能否通过
对B景区每年的游客人次做其他运算来发现规律呢？
增加量=变后量-变前量
【尝试】从2002年起，将B景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到
2002年游客人次
2001年游客人次
=
2003年游客人次
2002年游客人次
=
2015年游客人次
2014年游客人次
=
增长率=
增加量
变前量
【结论】结果表明，B景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1=0.11，是一个常数.
什么是指数函数？
【总结】像这样，增长率为常数的变化方式，称为指数增长.因此，B景区的游客
人数近似于指数增长.即从2011年起，每一年的游客人次都是上一年的
1.1倍左右，增长量越来越多.
t年后，B景区游客人次是2011年的1.11t倍.即t年后B景区的游客人次:
容易看出这是一个函数，其中指数t是自变量.
【指数衰减】南极冬季的冰架面积大约为1880万平方千米，假设冰川每年融化0.1%，
那么n年后南极的冰川的剩余量W为：
什么是指数函数？
【定义】如果用字母 代替上述两个问题中的底数1.11和0.999，那么函数
一般地，函数 叫做指数函数.
其中 是自变量，定义域是R.
和 就都可以表示为 的形式，
其中， 是自变量，底数 是一个大于0且不等于1的常量.
所以它是指数函数.
指数函数的结构特征.
【1】 解析式中 的系数为1
【2】 底数 是常数，满足
【3】 自变量 是指数，且
因此，指数函数的定义只是一个形式定义.判断一个函数是不是指数函数关键是看这个函数的解析式变形整理之后是不是具备以上三个特征.
例如， 等都是指数函数，这是因为
其中， 称为指数型函数，
称为正整数指数函数.
指数函数的结构特征.
【问题】 指数函数 中为什么规定 ？
【答】 ①若 ，则当 时， ；当 时， 无意义.
②若 ，则对于 的某些数值，可以 无意义.如 ，这
时对于 等情况在实数范围内函数值不存在.
②若 ，则对于任意 ， ，是一个常量，没有研究
的必要.为了避免上述情况的发生，所以规定 ，这样
规定之后，对于任意的实数 ， 都有意义且 .
指数函数的图像和性质
【二】指数函数的性质：在同一坐标系中作出底数不同的指数函数图像.
-3 -2 -1 1 2 3
1
一般地，指数函数的图像和性质如下表所示：
（1）过定点（0，1）
(2)减函数
(3)增函数
指数函数的图像和性质
【1】指数函数既不是奇函数也不是偶函数
【2】指数函数在y轴右侧的图像，底数越大
图像越高.（底大图高）
-3 -2 -1 1 2 3
1
【3】①当
②当
③当
④当
【4】指数函数图像下端与 轴无限接近，
但永不相交.
【5】指数函数都是下凸的函数.
指数函数的应用
【例题】比较下列各题中两个值的大小.
【解】（1）函数 是增函数，且2.5＜3，则1.72.5＜1.73
（2）函数 是减函数，且 ，则
（3）
【1】求下列函数的定义域和值域.
【解】(1)
(2)
即时巩固
【2】不论 为何值，函数 的图像一定经过点P，
则点P的坐标是多少？
【解】(方法一)当
所以函数经过定点（2，2）
(方法二)因为指数函数 经过定点(0,1),
所以当 ，此时
所以函数经过定点（2，2）
即时巩固
【3】求出函数 的单调区间.
【解】设
易知 在 上是增函数，在 上是减函数
当 时， 在R上单调递增，
所以 在 上是增函数，在 上是减函数
即时巩固
随堂小测
1.下列各函数中，是指数函数的是
√
2.函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是
解析 f(x)＝1－e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，
又e|x|≥1，∴f(x)≤0.符合条件的图象只有A.
3.函数 的单调递增区间为
A.(－∞，0] B.[0，＋∞)
C.(－1，＋∞) D.(－∞，－1)
∴f(x)的单调递增区间为u(x)＝x2－1的单调递减区间，即(－∞，0].
4.设0＜a＜1，则关于x的不等式 的解集为_________.
(1，＋∞)
解析 ∵0＜a＜1，∴y＝ax在R上是减函数，
又∵ ，
∴2x2－3x＋2＜2x2＋2x－3，解得x＞1.
解得－3
(－3,0]
解析 f(x)的定义域为R.
f(－x)＝2－x＋2－(－x)＝2x＋2－x＝f(x)，
∴f(x)为偶函数.
6.f(x)＝2x＋2－x的奇偶性是________.
偶函数
课堂小结
1.判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.
2.指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的性质分底数a＞1,0＜a＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的.
3.由于指数函数 y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域为R，即x∈R，所以函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)与函数f(x)的定义域相同.
4.求函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的值域的方法如下：
(1)换元，令t＝f(x)，并求出函数t＝f(x)的定义域；
(2)求t＝f(x)的值域t∈M；
(3)利用y＝at的单调性求y＝at在t∈M上的值域.
5.比较两个指数式值的大小的主要方法
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性.
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn.
6.解简单指数不等式问题的注意点
(1)形如ax>ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解.如果a的值不确定，需分01两种情况进行讨论.
(2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解.
(3)形如ax>bx的不等式，可借助图象求解.
7.(1)研究 y＝af(x)型单调区间时，要注意a>1还是0当a>1时，y＝af(x)与f(x)单调性相同.
当0(2)研究 y＝f(ax)型单调区间时，要注意ax属于f(u)的增区间还是减区间.(共23张PPT)
对数
学习目标
1.理解对数的概念，理解对数的运算性质.
2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
3.了解对数在简化运算中的作用.
核心素养：数学运算、数学建模
新知学习
对数的概念
①对数的定义：通过指数运算，我们能从 中算出经过t年后B景区的人数
是2011年的y倍.反之，如果想知道多少年后游客人次是2001年的2倍、3倍、…
该怎么做？
上述问题就是从 中分别求出t，即已知底数
和幂的值，求指数.
一般地，如果 ，那么 叫做以 为底 的对数.
记作 ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数.
例如，因为42=16，那么2就是以4为底16的对数，记作
因为34=81，所以4就是以3为底81的对数，记作
对数的概念
【问题】为什么规定
【1】如果 ，则会出现N为某些数值时， 不存在的情况，比如，假设
存在，设 ，则 ，无解.
【2】如果 ，且 ，则 不存在；若 ，且 ，则
有无数个值，不能确定.为此，规定 且 .
【3】如果 ，且 ，则 不存在；若 ，且 ，则
有无数个值，不能确定.为了避免 不存在或者不唯一确定的
情况，规定 .
对数的概念
②两种特殊对数
通常，我们把以10为底的对数叫做常用对数，并且赋予它特殊的数学符号，
即 ：
另外，在科技、经济、社会中经常使用以无理数e=2.71828…为底数的对数，
以e为底的对数叫做自然对数，也有它特殊的符号，即 .
对数的基本性质和与指数的关系.
【1】 根据对数的定义，可以得到对数和指数的关系：
当 时，
【2】 对数的基本性质：
① 负数和0没有对数
②
③
证明：① 由 ，得 .当 时，
即负数和0没有对数.
② 设 ， ，则 ，即
设 ， ，则 ，即
【1】把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
【解】(1)
即时巩固
对数的基本性质和与指数的关系.
【规律总结】
（1）指数式和对数式的关系
指数式 和对数式 是同一种数量关系的不同表达形式（如下表）.
（2）对数恒等式
底数
指数
幂
底数
对数
真数
【1】求下列各式的值.
【解】
即时巩固
对数的运算
【探究】设 ，因为 ，所以
根据对数和指数之间的关系可得：
这样，我们就得到了对数的一个运算性质：
同样的，还有：
前提
对数的运算
【对数运算性质的理解】
【1】逆向应用对数运算性质，可以将几个对数式化为一个对数式，有利于化简.
【2】对于每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式
才成立.如 是存在的，但 与 均不存
在， 所以不能写成
【3】对数的运算性质(1)可以推广到若干个正因数积的对数，即以下式子成立：
对数的运算
【对数运算性质的推广】
【1】
【2】
【3】
【1】求下列函数的定义域和值域.
【解】(1)
(2)
即时巩固
【2】利用 表示 .
【解】
即时巩固
对数换底公式
【定义】设 ，则 ，于是有
根据对数运算性质(3)有： ，即：
这个式子叫做对数的换底公式，简称为换底公式.
★ 换底公式的意义：把不同底数问题转化为同底数问题，也可以反过来用
★ 换底公式的条件：公式中每一个对数式都有意义
★ 换底公式换的底：依据具体问题需要而变
【1】求下列各式的值.
【解】
即时巩固
随堂小测
1.logbN＝a(b>0，b≠1，N>0)对应的指数式是
A.ab＝N B.ba＝N
C.aN＝b D.bN＝a
√
2.若logax＝1，则
A.x＝1 B.a＝1
C.x＝a D.x＝10
√
3.下列指数式与对数式互化不正确的一组是
√
4.已知logx16＝2，则x＝___.
4
log23
解析 方法一 设2x＝3y＝t，则x＝log2t，y＝log3t.
方法二 ∵2x＝3y，
则lg 2x＝lg 3y，∴xlg 2＝ylg 3，
7.设10lg x＝100，则x＝_____.
100
8.lg 0.01＋log216的值是____.
2
解析 lg 0.01＋log216＝－2＋4＝2.
课堂小结
1.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N logaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2) ＝N.
2.在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.
3.换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.
4.运用对数的运算性质应注意：
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质.
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用.
(3)在运算过程中避免出现以下错误：
①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，
③logaM±logaN＝loga(M±N).(共21张PPT)
对数函数
学习目标
1.了解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型.
2.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.
3.知道指数函数y＝ax与对数函数y＝logax（a>0，且a≠1）互为反函数.
4.比较几类函数模型增长的差异，并利用函数模型解决简单的实际问题.
核心素养：数学抽象、数学 建模、直观想象
新知学习
什么是对数函数
【定义】根据指数与对数的关系，由 可以得到
也是 的函数.而通常我们用 表示自变量，用
一般地，函数 叫做对数函数，其中 是
自变量，定义域是(0，+∞)
指数式和对
数式的转化
什么是对数函数
【问题】怎样判断一个函数是不是对数函数？
【答】抓住对数函数解析式的三个结构特征：
【1】 的系数为1
【2】 底数 满足 .
【3】 真数是自变量 .
为什么对数函数的
定义域是(0，+∞)？
【答】由函数定义及解析式
可知，对数函数的自
变量 恰好是指数
函数的函数值 ，
所以对数函数的定义
域是(0，+∞)
【1】求下列函数的定义域.
【解】
所以函数 的定义域是
所以函数 的定义域是
即时巩固
对数函数的图像和性质
【1】 的图像
0.5 -1
1 0
2 1
4 2
6 2.585
8 3
12 3.585
1
对数函数的图像和性质
【2】 的图像
0.5 1
1 0
2 -1
4 -2
8 -3
16 -4
1
对数函数的图像和性质
【3】 和 图像
1
利用换底公式，可以得到下式：
即这两个函数关于 轴对称.实际上
对于一般的两个函数 和
它们的图像也是关于
轴对称的.
利用点 和点 的关系即可证明 .
的图像和性质
在同一坐标系中画出不同底数的图像，通过图像我们发现除了
和 的图像关于 轴对称之外，还可以把底数 分成
和 两种情况来讨论:
1
【问题】怎样画出对数函数的图像？
【答】用三点法，描出
三个点之后，
用平滑的曲线连接起来即可.
的图像和性质
过定点（1，0）
减函数
增函数
①图像都在y轴右侧
②都经过点（1，0）
③无限靠近y轴但不相交
④ 时，图像上升
⑤ 时，图像下降
底大图高
底大图低
的图像和性质
【注意】①对数函数值的变化：
②对数函数单调性口诀：
对数函数有两种，底数大小要分清；
底数若是大于1，图像从左往右增.
底数0到1之间1，图像从左往右减；
无论函数增或减，图像都过(1,0)点.
【1】比较下列各式的大小.
【解】
即时巩固
反函数
【探究】观察图像可以发现，指数函数 ，定义域R,值域(0,+∞)和对数函数
，定义域为(0,+∞)，值域为R，他们的定义域和值域恰好相
反，并且它们的图像关于直线
对称，那么我们就称函数
的反函数是 ，函数
的反函数是
这两个函数互为反函数.
【结论】一般地，指数函数
与对数函数
互为反函数，它们的定义域和值域互换.
反函数
【指数函数和对数函数的比较】
两个函数互为反函数，图像关于直线对称
【1】求下面函数的定义域.
【解】
即时巩固
随堂小测
1.下列函数为对数函数的是
A.y＝logax＋1(a＞0且a≠1)
B.y＝loga(2x)(a＞0且a≠1)
C.y＝log(a－1)x(a＞1且a≠2)
D.y＝2logax(a＞0且a≠1)
√
2.函数y＝log2(x－2)的定义域是
A.(0，＋∞) B.(1，＋∞)
C.(2，＋∞) D.[4，＋∞)
√
3.函数y＝2log4(1－x)的图象大致是
解析 函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；
又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除D.故选C.
4.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝_____.
log2x
5.函数f(x)＝ln x2的减区间为_________.
(－∞，0)
课堂小结
1.含有对数符号“log”的函数不一定是对数函数.
判断一个函数是否为对数函数，不仅要含有对数符号“log”，还要符合对数函数的概念，即形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式.如：y＝2log2x，y＝log5 都不是对数函数，可称其为对数型函数.
2.研究y＝logaf(x)的性质如定义域、值域、比较大小，均需依托对数函数的相应性质.
3.研究与对数函数图象有关的问题，以对数函数图象为基础，加以平移、伸缩、对称或截取一部分.
4.与对数函数有关的复合函数的单调区间、奇偶性、不等式问题都要注意定义域的影响.
5.y＝ax与x＝logay图象是相同的，只是为了适应习惯用x表示自变量，y表示因变量，把x＝logay换成y＝logax，y＝logax才与y＝ax关于y＝x对称，因为(a，b)与(b，a)关于y＝x对称.(共21张PPT)
函数的应用（二）
4.5.1 函数的零点与方程的解
4.5.2用二分法求方程的近似解
学习目标
1.了解函数零点的定义.
2.了解函数的零点与函数对应方程的根的关系.
3.能够根据函数零点的判定方法判断函数零点所在的区间.
4.了解二分法求方程近似解的原理，能借助计算器用二分法求函数零点的近似值.
5.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似值.
核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算
新知学习
函数的零点与方程的解
【导学】如何求二次方程 的实数根？
【答】由根的判别式 得：
对于一个一般的函数，也可以这么算吗？它们有什么异同点？
函数的零点与方程的解
【函数零点的定义】与二次函数的零点一样，对于一般函数 ，我们把使得
的实数 叫做函数 的零点.
这样，函数 的零点就是方程 的实数解，也就是函
数 的图像与 轴的交点的横坐标.所以：
方程 有实数解
函数 有零点
函数 的图像与 轴有交点
函数的零点与方程的解
【零点的定义给出了求解函数零点的基本方法】
(1)代数法：
若方程 可解，其实数根就是函数 的零点.
(2)几何法：
若方程 难以直接求解，将其改为 ，
进一步改为 ，在同一坐标系中分别画出两个函数
和 的图像，两图像交点的横坐标就
是函数 的零点. .
零点存在定理
【实例分析】以二次函数 为例，我们知道求函数
的零点，其实就是求方程 的实数解.
可以发现，在零点附近，函数的图像是连续不断的，
并且穿过 轴.函数在端点 和 时的取值
异号，即 ，于是函数在区间(2,4)内有零点；
同样的， ，函数在区间(-2，0)内有零点.
一般地，如果函数 在区间 上的图像是一条连续不断的曲线，
且有 ，那么函数在区间 内至少有一个零点.即存在 ,
使得 ，这个t也就是方程 的解.这就是零点存在定理.
零点存在定理
若 的图像在 上是不连续的，则 在
上没有零点.
那可不一定.下面这个函数在(-1，3)上照样有零点！
函数 的图像在区间
上是连续的，但 则
在 上没有零点.
这也不一定.下面这个函数
，但函数在
上有零点！
零点存在定理
【理解函数零点存在定理需要注意的问题】
【1】① 函数 在区间 上的图像是一条连续不断的曲线.
② ，这两个条件缺一不可，否则结论未必成立.
【2】满足上述条件，则函数 的图像至少穿过 轴一次，即在区间
上函数 至少有一个零点，但是不确定到底有几个.
【3】该定理是一个充分不必要条件.反过来，若函数 在区间
上有零点，则不一定有 成立.
零点存在定理
【常见函数的零点】
一个零点
无零点
两个零点
一个零点
无零点
无零点
一个零点1
一个零点0
无零点
利用二分法求方程的近似解
【二分法的概念】
假设我们知道函数 在区间(2，3)内存在一个零点，那么我们怎么求出这个零点呢？
一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值.为了方便，可以通过取中点的方法，逐步缩小零点的范围.
实际上大多数方程都不能像一元二次方程这样可以直接用公式求出精确解.在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解.
我们知道求解二次函数 零点的方法，当 时，利用求根公式 就可以求出方程的解，也就是函数的零点.
利用二分法求方程的近似解
【二分法的概念】
通过上述步骤，我们把零点的范围从(2,3)缩小到了(2.5,
2.75)，那么重复这个步骤，我们就可以把零点所在的范围缩小
到满足一定精确度的区间，区间的任意一点都可以作为函输零点的近似值.为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值. 像这样，把在区间 上连续且
的函数 ，不断把零点区间一分为二逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法.
一般地，称
为区间
的中点.
函数 在区间(2，3)上有零点，并且 ，取(2，3)的中点2.5，利用计算器求出 .因为 ，所
以零点在区间(2.5，3)之间；再取区间(2.5，3)的中点2.75，算
出 ，则零点在区间(2.5，2.75)之间…
利用二分法求方程的近似解
【问题】二分法的理论依据是什么？
【答】①二分法的理论依据是零点存在定理，
仅适用于函数的变号零点(函数图
像通过零点时函数值的符号改变)
②二分法采用逐步逼近的思想，使函数零点所在的范围逐步缩小，也就是
逐步逼近函数的零点.要根据函数的性质尽可能的找到含有零点的更小
的区间，当区间的长度小到一定程度时，就可以取得可以解决实际问题
近似值.
【步骤口诀】
定区间，找中点，中间计算两边看；
同号去，异号算，零点落在异号间；
周而复始怎么办？精确度上来判断！
利用二分法求方程的近似解
【用二分法求函数零点近似值的步骤】
【1】确定零点 的初始区间 ，验证 .
【2】求区间 的中点c，计算 ，进一步确定零点所在区间：
①如果 ，即c就是函数的零点；
②如果 ，则令 ；
③如果 ，则令 ；
【3】判断是否达到精确度 ：若 ，则得到零点的近似值 ，
否则重复步骤【2】
当 时，区间 任意一个值都可以作为零点近似值.
求函数零点个数的四种方法
【方程法】求方程 的实数根.
【图像法】对于不能用公式法求根的方程或者不易求出实数根的方程，可以将它与
对应的函数图像联系起来，并利用函数的性质找出零点，对于不易画出
图像的函数，可以转化为 ，分别画出 和
的图像，看两图像有几个交点.
【奇偶性】结合函数的奇偶性，因为奇函数和偶函数的图像都有对称性，存在奇偶
性的函数的零点是成对出现的(0除外).
【存在定理】若 ，函数 的图像在 上是一条连续不断的曲线
且单调，则函数在 内只有一个零点；如果函数连续不断但不单调，
那么在 内至少有一个零点.
对于 三个函数，定义域都是R，且在定义域内为单
调增函数，所以都可以用二分法求零点近似值.
【1】下列函数都可以用二分法求零点近似值吗，为什么？
【解】
对于(2)，作出图像如图：
易知函数只有一个不变号零点，故无法用二分法
求零点近似值.
即时巩固
随堂小测
1.函数y＝ln x的零点是
A.(0,0) B.x＝0
C.x＝1 D.不存在
√
2.下列各图象表示的函数中没有零点的是
√
3.若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法正确的是
A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点
B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点
C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点
D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点
√
1
5.若函数y＝2－|x|－k有零点，则实数k的取值范围是_____.
解析 y＝2－|x|－k有零点，即k∈y＝2－|x|的值域.
而－|x|≤0,0<2－|x|≤20＝1，∴y＝2－|x|的值域为(0,1].
(0,1]
课堂小结
1.方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标.
2.在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.
3.解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：(1)用定理；(2)解方程；(3)用图象.
4.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.