(共24张PPT)
任意角和弧度制
5.1.1 任意角
学习目标
1.了解任意角、相反角的概念，能正确区分正角、负角和零角.
2.理解象限角、轴线角、终边相同的角的概念，会判断已知角的终边所在的象限以及几个已知角是不是终边相同的角.
3.会用集合的形式表示象限角、轴线角和终边相同的角，能进行简单的角的集合之间的运算.
核心素养：数学抽象、逻辑推理
新知学习
角的定义
【导入】现实生活中随处可见超出0°~360°范围的角.例如体操中的“前空翻转体
540度”“后空翻转体720度”等动作.这里不仅角度超出了0°~360°，并
且旋转的方向也不相同.
【探究】如图是两个咬合的齿轮旋转的示意图，可以看出两
个齿轮旋转的方向刚好相反，联想到角的旋转定义
(一个角的大小取决于绕顶点旋转的的射线旋转的角度)，我们知道，要准确描述这些现象，
不仅要知道旋转的度数，还要知
道旋转的方向，这就需要我们对
角的概念加以推广.
角的分类
【定义】我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺
时针方向旋转形成的角叫做负角. 如果一条射线没有任何旋转，那么它就
形成了一个零角.零角的始边和终边重合，如果 是零角，那么 .
左图中的角是一个正角，它等于730°.右图中，正角 ，负角
， ，正常情况下，如果以零时为起始位置，那么钟表的
时针与分针在旋转时形成的角总是负角.
730°
为了简单起见，在不引起混淆的情况下，角 或∠ 可以简记为
相等角、角的加减
【1】设∠α由射线OA绕端点O旋转而成，∠β由射线OA绕端点O旋转而成.如果它们
的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α=β.
设α，β是任意角，我们规定：把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角
是α+β. 类似于实数t的相反数是-t，我们引入角α的相反角的概念.
如图：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两
个角叫做互为相反角.角α的相反角记为-α，则α-β=α+(-β).
于是角的减法可以转化为角的加法，如图：
α
β
α+β
α
α
-α
-α
30°
-120°
O
A
相等角、角的加减
【总结】
（1）角的概念推广后，角度的范围不再局限于0°~360°
（2）确定任意角的度数既要知道旋转量，又要知道旋转方向，如顺时针旋
转30°和逆时针旋转30°缩成的角是不同的，它们互为相反角.
（3）用图像表示角时，箭头的方向体现角的正负，因此箭头不能少.
（4）角的概念推广后，角的加减可以类比正负数的加减规则.
象限角与轴线角
【定义】我们通常在坐标系内讨论角.为了方便，我们把角的顶点固定在原点，角
的终边始终与 轴的非负半轴重合.
那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角.如下图左
边的角α就是第一象限角，角β就是第三象限角.
α
β
如果角的终边在坐标轴上，那么它就不属于任何一个象限，此时我
们称这个角为轴线角.如上边右图的角γ.
γ
象限角与轴线角
【问题】锐角，第一象限角，小于90°的角，它们之间的区别是什么？
α=390°
【答】①第一象限角不一定是锐角，如图左
②锐角是大于0°且小于90°的角，一定是第一象限角，如图中
30°
75°
③小于90°的角还包括零角和负角，如图右
α=0°
β=-130°
【问题】把角放在坐标系中之后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应，反
过来，对于直角坐标系内的任意一条射线OB，以它为
终边的角是否唯一？
答案是否定的.那么终边相同的角有什么关系？
终边相同的角
30°
O
B
【答】不难发现，OB除了可以表示30°的角之外，还可以表示390°，-330°等角.
与30°终边相同的这些角都可以表示成30°角与k个(k∈Z)周角的和.
390°=30°+360°(k=1) -330°=30°-360°(k=-1)
一般地，所有与α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合
S={β|β=α+k·360°，k∈Z}
即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
【总结】对于S={β|β=α+k·360°，k∈Z}的理解应注意以下几点：
终边相同的角
【1】α是任意角
【2】k∈Z有三层含义：
①特殊性：每取一个整数值，就对应一个具体的角
②一般性：表示所有与角α终边相同的角(包括角α本身)
③从集合意义上看，k表示角的终边按一定的方向旋转的圈数，k取正整数
时，逆时针旋转；k取负整数时，顺时针旋转；k=0时，没有旋转.
【3】集合中的k·360°与α之间用+连接，如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°)，
表示与-30°角终边相同的角
【整理】各象限角的集合表示
终边相同的角
{α|k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z}
{α|k·360°+90°＜α＜k·360°+180°，k∈Z}
{α|k·360°+180°＜α＜k·360°+270°，k∈Z}
{α|k·360°+270°＜α＜k·360°+360°，k∈Z}
【整理】轴线角的集合表示
终边相同的角
{α|α=k·360°，k∈Z}
{α|α=k·360°+180°，k∈Z}
{α|α=k·360°+90°，k∈Z}
{α|α=k·360°+270°，k∈Z}
{α|α=k·180°，k∈Z}
{α|α=k·180°+90°，k∈Z}
{α|α=k·90°，k∈Z}
【1】锐角是第几象限角？直角呢？钝角呢？
【解】锐角是第一象限角；直角是轴线角；钝角是第二象限角.
【2】第一象限角一定是锐角吗？轴线角一定是直角吗？第二象限角一定是钝角吗？
【解】第一象限角不一定是锐角，如390°；
轴线角不一定是直角，如180°；
第二象限角不一定是钝角，如-210°.
即时巩固
【3】分别写出图中终边落在两个阴影部分的角α的集合
【解】①在0°~3600°范围来看，阴影部分的角α的
范围是30°≤α≤105°，所以在坐标系中角α
的范围是
30°
75°
①
②
{α|k·360°+30°≤α≤k·360°+105°,k∈Z}
②在0°~360°范围来看，阴影部分的角α的
范围是210°≤α≤285°，所以在坐标系中角α
的范围是
{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+285°,k∈Z}
即时巩固
【4】若α是第二象限角，请确定2α的终边所在的位置
【解】①因为α是第二象限角，所以
k·360°+90°＜α ＜ k·360°+180°,k∈Z
所以2k·360°+180° ＜ 2α ＜ 2k·360°+360°,k∈Z
如图，即2α的终边位于第三或者第四象限，或者位于y轴的负半轴上.
即时巩固
即时巩固
【5】若α是第二象限角，请确定 的终边所在的位置
【解】①因为α是第二象限角，所以
①
k·360°+90°＜α ＜ k·360°+180°,k∈Z
所以k·180°+45° ＜ ＜ k·180°+90°,k∈Z
k=2n(n∈Z)时，
k·360°+45° ＜ ＜ k·360°+90°,k∈Z
k=2n+1(n∈Z)时，
k·360°+225° ＜ ＜ k·360°+270°,k∈Z
所以 的终边位于第一或者第三象限.
②
③
④
②
①
③
④
也可以运用图示的高阶方法，从
轴正半轴沿逆时针把每个象限平分成2部分，并且依次标①②③④，则标②的就是 所在的区域.
【5】若α是第二象限角，请确定 的终边所在的位置
【解】
①
②
③
④
②
①
③
④
这次我们直接运用图示的高阶方法，从 轴正半轴沿逆时针把每个象限平分成3部分，并且依次标上①②③④，则标③的就是 所在的区域.
④
①
②
③
即时巩固
随堂小测
1.下列说法正确的是
A.终边相同的角一定相等
B.钝角一定是第二象限角
C.第四象限角一定是负角
D.小于90°的角都是锐角
√
2.与－457°角终边相同的角的集合是
A.{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B.{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C.{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D.{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
解析 －457°＝－2×360°＋263°，故选C.
3.2 018°是
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析 2 018°＝5×360°＋218°，故2 018°是第三象限角.
4.已知α＝30°，将其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_______.
解析 3×360°＋30°＝1 110°.
1 110°
5.如图所示.
(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；
解 终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}.
终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}.
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
解 终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}.
课堂小结
1.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”.
2.关于终边相同的角的认识
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
注意：(1)α为任意角；
(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)；
(3)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍；
(4)k∈Z这一条件不能少.(共18张PPT)
任意角和弧度制
5.1.2 弧度制
学习目标
1.了解弧度制，体会引入弧度制的必要性.
2.理解1弧度的角及弧度的定义.
3.掌握角度与弧度的换算公式，能进行角度与弧度的换算，并熟记几个特殊角的弧度数.
4.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式.
核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算
新知学习
角度制、弧度制的概念
【探究】度量长度可以用米、英尺、码等单位制，度量质量可以用千克、磅等不同
的单位制.不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也能用不同
的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？
【导入】我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的 .这种
用度作单位来度量角的单位制叫做角度制.
【定义】如图，射线OA绕着端点O旋转到OB形成角α.在旋
转过程中，射线OA上的一点P(不同于点O)的轨迹
是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α.
设α=n°，OP=r，点P形成的圆弧PP1的长为 ，由初中所学知识可知：
(
角度制、弧度制的概念
【探究】如图，在射线OA上任取一点Q(不同于点O)，OQ=r，在旋转过程中，点Q
所形成的圆弧QQ1的长为 ， 与r的比值是多少 我们能得出什么结论？
【结论】可以发现，圆心角α所对的弧长与半径的比值，
只与α的大小有关.也就是说，这个比值随α的确
定而唯一确定.这就启发我们，可以利用圆的弧长
与半径的关系度量圆心角.
(
Q
Q1
我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度，记作1rad，读作1弧度.我们把半径为1的圆叫做单位圆，如图，在单位元O中，AB的长度等于1，∠AOB就是1弧度的角.
角度制、弧度制的概念
根据上述规定：在半径为r的圆中，弧长为 的的弧所对的圆心角为α rad，那么有：
对这个式子进行变形，可以得到如下结论：
其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于2π或者小于
-2π的角.这样就可以得到弧度为任意大小的角.
一般地，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是复数，零角的弧度数是0.
角度制、弧度制的概念
不管以弧度还是以角度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值，比如图中，半径为任意值，只要∠AOB
所对弧的长等于半径，∠AOB就是1弧度的角.
用角度作为单位来度量角的制度
用弧度作为单位来度量角的制度
角的大小
与半径无关
单位“ ° ”不能省略
单位“rad”不能省略
【问题】不管以角度制和弧度制之间怎么换算呢？
【答】用角度制解弧度制俩度量零角，单位不同，但量数相同(都是0)；用角度制和
弧度制度量任一非零角，单位不同，数量也不同.因为周角的弧度制是2π，
而在角度制下的度数是360，所以有： 360°=2π rad，180°=π rad，
角度与弧度的换算
一般地，只需根据
两边同除以180
两边同除以π
就可以进行角度和弧度的换算了.
弧度数=角度数×
角度数=弧度数×
【1】把67°30′化成弧度.
【解】因为67°30′= ，所以
【2】把1.5π化成角度.
【解】1.5π=
67°30′=
【注意】角度中含有分
(‘)秒(‘’)时，化成
弧度制之前，要先化成
度(°).
即时巩固
角度与弧度的换算
常见特殊角的角度与弧度对应表：
角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立了一一对应的
关系：每个角都有唯一的实数(等于这个叫的弧度)；同样地，每个实数也都有唯
一一个对应的角(弧度数等于这个实数).
弧长公式与扇形面积公式
【1】若用R表示圆的半径，α(0＜α＜2π)为圆心角， 是扇形弧长，S是扇形面积.
则有：
显然，弧度制下的弧长公式和扇形面积公式简单了.在今后的学习中，我们还将进一步看到弧度制带来的便利.
【1】把下列角度化成弧度.
【解】（1）22°30′=
（1）22°30′ （2）-210° （3）1200°
（2）-210°=
（3）1200°=
即时巩固
【2】把下列弧度化成角度.
【解】
即时巩固
【3】用弧度表示：
（1）终边在 轴上的角的集合
（2）终边在 轴上的角的集合
【解】
即时巩固
随堂小测
1.下列说法正确的是
A.1弧度就是1度的圆心角所对的弧
B.1弧度是长度为半径的弧
C.1弧度是1度的弧与1度的角之和
D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小
解析 由弧度的定义可知D正确.
2.把 化为角度是
A.270° B.280° C.288° D.318°
3.若θ＝－5，则角θ的终边在
A.第四象限 B.第三象限
C.第二象限 D.第一象限
解析 2π－5与－5的终边相同，
∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角.
4.(2021·浙江省91联盟联考)如图，以正方形ABCD的顶点A为圆心，边AB的长为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD
的弧度数大小为________.
解析 设正方形的边长为a，∠EAD＝α，
课堂小结
1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.
2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式.
3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度.(共20张PPT)
三角函数的概念
5.2.1 三角函数的概念
学习目标
1.借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.
2.会利用相似关系，由角α终边上任意一点的坐标得出任意角的正弦、余弦和正切的三角函数的定义.
3.能根据定义理解正弦、余弦和正切函数在各个象限及坐标轴上的符号，会求一些特殊角的三角函数值.
4.理解并掌握公式一，并会用公式一进行三角函数式的化简或恒等式的证明.
核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模
新知学习
教材引入&任意角的三角函数定义
【定义】根据研究函数的经验，我们选择在坐标系上研究这个
问题.如图，以单位圆的圆心为原点， 以射线OA为
轴的非负半轴，建立直角坐标系.则A(1，0)，P
射线OA从 轴非负半轴开始，绕点O按逆时针方向
旋转角α，终止位置为OP.
【探究】当 时，点P的坐标是什么？当 或 时，点P的坐标又是什么？给
定一个角α，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标是唯一确定的吗？
教材引入&任意角的三角函数定义
【分析】利用勾股定理可以发现，当 时，点P的坐标是 ；当 或
时，点P的坐标分别是 和 ，它们都是唯一确定的(如图).
【结论】一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，无
论是横坐标 还是纵坐标 ，都是唯一确定的.所以，点P的横坐标 和
纵坐标 都是角α的函数.
教材引入&任意角的三角函数定义
【定义】设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P
（1）把点P的纵坐标 叫做α的正弦函数，记作sinα，即 =sinα
（2）把点P的横坐标 叫做α的余弦函数，记作cosα，即 =cosα
（3）把点P的纵坐标和横坐标的比值 叫做α的正切，记作tanα，即
=tanα ( ).
可以看出，当 时，α的终边始终在y轴上，这时 ，即此时tanα无意义.除此之外，正切tanα与实数α是一一对应的，所以它们之间也是函数关系，我们称 为正切函数.
=tanα ( )
我们把正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.
教材引入&任意角的三角函数定义
【总结】三角函数可以看成是以实数α(α为弧度)为自变量，以
单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.
（1）正弦函数：
（2）余弦函数：
（3）正切函数：
角
实数
(角的弧度)
三角
函数值
【注意】（1）在任意角的三角函数定义中，α是一个使函数有意义的实数
（2） 是自变量，离开自变量 的sin,con,tan是没有意义的
（3）三角函数是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P在终边上的
位置无关，终边确定了，三角函数就确定了.
【1】求 的正弦、余弦和正切值.
【解】在坐标系中作出∠AOB= ，易知∠AOB的
终边与单位圆的 交点坐标为 ，所以
即时巩固
常见角的三角函数值
无
牢记常见的三角函数值，做题事半功倍！
三角函数的定义域和函数值的符号
【1】求证：角θ为第三象限角的充要条件为
【证明】首先证明充分性，即如果①②都成立，那么θ为第三象限角.
因为sinθ＜0成立，所以θ角的终边位于第三或者第四象限，也可能和
Y轴的负半轴重合；
又因为cosθ＞0成立，所以θ角的终边位于第一或者第三象限，综合可知
Θ为第三象限角.
再证明必要性，因为θ是第三象限角，根据定义有sinθ＜0， cosθ＞0，
所以必要性成立，即充要性成立.
即时巩固
诱导公式一
由三角函数的定义，我们知道：终边相同的角的对应三角函数相同.
公式一：
其中k∈Z
【问题】公式一说明了角和三角函数值的什么关系？给我们什么启发？
【答】公式一说明了角和三角函数值的对应关系是多角对一值的关系：
即给定一个角，它的三角函数值只要存在，就是唯一的；
反过来，给定一个三角函数值，却有无数个角与之对因.
【启发】做题时，把角同化为(0~2π)即(0°~360°)终边相同的角，简化计算.
【1】已知角α、β的顶点在原点，始边在 轴的正半轴上，终边关于 轴对称，
若角α的终边上有一点的坐标为 ，则tanβ的值是多少？
【解】易知sinα= ，cosα= .
因为角α和角β的终边关于y轴对称，则
它们的正弦值相等，即sinα=sinβ
同时角α和角β的余弦值相反，
即cosβ=-cosα
β α
所以sinβ= ，cosβ= ，所以tanβ=
即时巩固
【2】填表.
即时巩固
【3】选择适当的条件填空
①sinθ＞0 ②sinθ＜0 ③cosθ＞0
④ cosθ＜0 ⑤tanθ＞0 ⑥tanθ＜0
(1)角θ为第一象限角的充要条件是 _________________________________
(2)角θ为第一象限角的充要条件是 _________________________________
(3)角θ为第一象限角的充要条件是 _________________________________
(4)角θ为第一象限角的充要条件是 _________________________________
①③或①⑤或③⑤或①③⑤
①④或①⑥或④⑥或①④⑥
②④或②⑤或④⑤或②④⑤
②③或②⑥或③⑥或②③⑥
即时巩固
随堂小测
1.(2021·牌头中学月考)已知角α的终边过点(－2,1)，则cos α的值为
√
3.(2021·宁波期末)若角α的终边经过点P(－1，－1)，则
A.tan α＝1 B.sin α＝－1
√
4. 若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析 ∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0，
∴点P在第四象限，故选D.
5. 已知角α的终边上有一点P(24k,7k)，k≠0，求sin α，cos α，tan α的值.
解 ①当k>0时，令x＝24k，y＝7k，
②当k<0时，令x＝24k，y＝7k，则有r＝－25k，
课堂小结
1.正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数.
2.角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.
3.终边相同的三角函数值一定相等，但两个角的某一个函数值相等，不一定有角的终边相同，更不一定有两角相等.(共23张PPT)
三角函数的概念
5.2.1 同角三角函数的基本关系
学习目标
1.理解同角三角函数的两个基本关系： .
2.会利用这个基本关系解决较简单的求值、化简、恒等式证明等有关问题.
核心素养：数学运算、逻辑推理
新知学习
教材引入&任意角的三角函数定义
【导入】因为三个三角函数都是由角的终边与单位圆的交点确定的，所以它们之间
必然有内在的关系.如图，设点P 是角α的终边与单位圆的交点，过P
作 轴的垂线，交 轴与M，则△OMP是直角三角形，且OP=1，由勾股定理有
也就是说，同一个角α的正弦余弦的平方和等于1，商等于正切.
OM2+MP2=1，即 ，也就是
显然，当α的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立.根据三角
函数的定义，当 时，有：
教材引入&任意角的三角函数定义
这两个公式称为同角三角函数的基本关系.
★ 基本关系成立的前提是“同角”，它揭示了同角而不同名的三角函数关系，但
并不是不同的角这两个关系一定不成立，sin230°+cos2150°=1也成立，不过这
种关系不具有一般性.
★ “同角”指的是广义上的，与表达形式无关，30°和30°是同角，α和α也是同角
★ sin2α是(sinα)2的缩写，读作“sinα的平方”，不能写成sinα2
★ 等价变形：
知 一
求 二
基本关系的应用
【例1】已知 ，求 ， 的值.
【解】因为 ，所以α是第三或者第四象限角.
由 ，得 ，则 或
若α是第三象限角，则 ,所以
若α是第四象限角，则 ,所以
基本关系的应用
【例2】求证：
【证法一】由 知 ，所以 ，于是
【证法二】因为
且 ，
所以
基本关系的应用
【例3】已知 ，α为第三象限角，求 ， 的值.
【解】
由 ，得 ，则 或
又因为α是第三象限角，则 ,所以
所以
基本关系的应用
【例4】化简：
【解】
基本关系的应用
【例5】求证：
【证明】
左边=右边，得证
【题型1】利用弦切互化求值.
【例6】已知 ，求下列各式的值.
【解】由 ，得
即时巩固
【题型2】与 有关的求值.
【例7】已知 ，求下列各式的值.
【解】
即时巩固
【题型3】利用同角三角函数关系式证明恒等式.
【例8】已知 ，求证：
【证明】由 ，可得
即 ,也就是
整理得： ，即
展开得： ，即
即时巩固
【例9】化简：
【解】原式=
所以原式=
即时巩固
【证明】由题意可知 ，
所以sinA＞0，cosA＜0
联立①②解得：
所以
即时巩固
随堂小测
√
证明 方法一 (比较法——作差)
方法二 (比较法——作商)
课堂小结
1.利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值.
2.利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：
(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值.
3.在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值.
4.在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.
5.在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解.
4.在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.
5.在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解.(共25张PPT)
诱导公式
学习目标
1.借助单位圆的对称性利用定义推导诱导公式.
2.掌握三角函数的诱导公式.
3.能运用诱导公式化简简单的三角函数式及证明简单的三角恒等式.
核心素养：数学运算、逻辑推理
新知学习
诱导公式二~四
【导入】如图，设坐标系内任意角α的终边与单位圆交于点P
（1）做P关于原点的对称点Q，以OQ为终边的角β与角α
有什么关系？角β,α的三角函数值之间有什么关系？
（2）如果作P点关于两个横轴和纵轴的对称点R和T，又
会得到什么结论？
【分析】以OQ为终边的角都是与角α+π终边相同的角，即β=2kπ+(π+α)(k∈Z).
因此只需要研究角α+π和角α的三角函数关系即可.设P ，由对称
关系有Q ，根据三角函数的定义得 ， ， ；
这就是公式二：
诱导公式二~四
【回顾1】诱导公式一的内容和作用是什么？
【答】内容：
作用：把任意角的三角函数值转化为0~2π上角的三角函数值.
【回顾2】点P 关于 轴、 轴和原点的对称点是什么？
【答】关于 轴对称： ; 关于 轴对称： ; 关于原点对称：
【思考】通过公式一及公式二你有什么发现？
【答】
诱导公式二~四
【拓展】进一步，通过作出P点关于 轴的对称点和关于
轴的对称点，我们可以得出如下结论：
【公式三】
【公式四】
诱导公式二~四
【总结】对于公式一~四的概括：
【1】α+2kπ，-α，(π±α)的三角函数值，在绝对值上
等于α的同名函数值，正负取决于把α看成锐角时
原函数值的符号. 即“函数名不变，符号看象限.”
【2】对于正弦与余弦的诱导公式，α可以为任意角；对
于正切的诱导公式，α的终边不能落在y轴上，即
【3】诱导公式即可以用弧度制表示，也可以用角度制
表示.
诱导公式二~四
【问题1】如何用公式二和公式三推导出公式四？
【答】
【问题2】关于“函数名不变，符号看象限”的理解.
【答】①“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；
②“符号看象限”是指把原角看成锐角时新角在原函数下的符号，由
新角所在象限确定符号.如sin(α+π)，若把α看成锐角，则π+α在
第三象限，所以取负值，故sin(α+π)=-sinα
诱导公式的应用
【例1】利用公式求下列三角函数的值.
【解】
诱导公式的应用
【利用诱导公式一~四把任意角的三角函数转化成锐角的三角函数的步骤】
任意负角的
三角函数
用公式一
或公式三
任意正角的
三角函数
0~2π的角
的三角函数
用公式二
或公式四
锐角的
三角函数
用公式一
利用诱导公式化简的一般思路：
切化弦，负化正、大化小；异名化同名，异角化同角.
诱导公式的应用
【例2】化简
【解】因为
所以原式=
填表：
即时巩固
诱导公式五~六
【问题1】
【分析】作角α的终边关于 的对称边，根据集合
对称关系，设P点坐标为 ，则Q点坐标为
，由三角函数的定义有：
同理我们有
诱导公式五~六
【总结1】公式五和公式六可以概括如下：
的正弦(余弦)函数值，分别等于角α的余弦(正弦)函数值，前面
加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简记为：“函数名改变，符号看象限”
【总结2】六组诱导公式各有什么用？
公式一：将任意角转化成0~2π之间的角求值
公式二：将0~2π之间的角转化成0~π之间的角求值
公式三：将负角转化成正角求值
公式四：将 之间的角转化成 之间的角求值
公式五、六：实现正弦和余弦之间的相互转化
六组诱导公式的横向对比
六组诱导公式的横向对比
【1】诱导公式都是α的三角函数与 的三角函数之间的转化，记忆口诀是：
奇变偶不变，符号看象限
【2】“奇变偶不变”：角α前面的是 ，如果 是 的奇数倍，那么得到的
三角函数名要发生变化，即正弦变余弦，余弦变正弦；如果 是 的偶数倍，
那么得到的三角函数名不变化
【3】“符号看象限”：将角α看成一个锐角(为了判断符号，实际α可以不是锐角)，
此时判断 所在的象限，并观察原三角函数对这个角运算得到的符号
是正还是负.
【4】这些规律对任何三角函数(只要存在，有意义)都成立
【例1】证明：
【证明】
即时巩固
【例2】已知 ，且 ，求 的值.
【分析】注意到(53°-α)+(37°+α)=90°，如果设β= 53°-α，γ= 37°+α，那
么β+γ=90°，所以可以利用诱导公式.
【解】设β= 53°-α，γ= 37°+α，则β+γ=90°，γ=90°-β.
所以sinγ=sin(90°-β)=cosβ
因为-270°＜α＜-90°，所以143°＜β＜323°
由 ，得143°＜β＜180°
所以
所以
即时巩固
随堂小测
1.已知tan α＝4，则tan(π－α)等于
A.π－4 B.4
C.－4 D.4－π
解析 tan(π－α)＝－tan α＝－4.
解析 sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)
3.(2021·牌头中学月考)利用诱导公式化简：
sin(π－x)＝________，sin(π＋x)＝________.
sin x －sin x
5.已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为______.
解析 tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan(180°＋60°)
课堂小结
1.明确各诱导公式的作用
2.诱导公式的记忆
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.
3.已知角求值问题，一般要利用诱导公式三和公式一，将负角化为正角，将大角化为0～2π之间的角，然后利用特殊角的三角函数求解.必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”(共23张PPT)
三角函数的图象和性质
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
学习目标
1.理解正弦函数、余弦函数图象的画法.
2.借助图象变换，了解函数之间的内在联系.
3.通过三角函数图象的三种画法（描点法、几何法、五点法），体会用“五点法”作图给我们的学习带来的好处，并会熟练地画出一些较简单的函数的图象.
核心素养：数学抽象、直观想象、逻辑推理
新知学习
正弦函数的图像
【探究】首先我们研究 的图像，从画函数
开始.如图，在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆， O 与 轴正
半轴的交点为A(1,0)，在单位圆上讲点A绕着点O旋转 弧度到点B，根据定义有
点B的纵坐标 .由此，以 为横坐标， 为纵坐标化点，即得到函数图像上的点
正弦函数的图像
【探究】若把 轴上 这一段分成12等份，让 的值分别为 … ，
它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，再按刚才画点
的方法，就可以画出自变量取这些值时，图像上对应函数值的点.
利用信息技术取到足够多的点，再将这些点用光滑的曲线连起来，就可以得到
比较精确的函数 的图像.
正弦函数的图像
【探究】由诱导公式一 可知，每经过 个单位长度，函
数 会重复出现，所以只需将 内的函数图像不段复制平移
即可得到 的图像(几何画法).
几何画法的步骤：
建系画图
12等分圆
找横坐标
连线得图
找纵坐标
左右平移
五点画图法
【问题】在确定正弦函数的图像形状时，有哪些关键的点？
【答】观察图像可知，处于函数连接处和转折处的五个点起关键作用.
在非精确作图时，一般选取这五个点快速画出正弦函数的图像来解决问题.
五点画图法
【三种作图法的比较】
描点法
几何法
五点法
列表→描点→连线
利用单位圆在[0，2π]上取足够多的点连线
描最高点最低点,图像和坐标轴的三个交点
只能取近似值，误差较大
较为精确，但步骤繁琐
实用，高效
余弦函数的图像
【分析】对于函数 ，由诱导公式 ，得到
，而函数 的图像可以通过正弦
函数 的图像向左平移 个单位长度得到.所以，将正弦函数的图像向
左平移 个单位长度，就得到余弦函数的图像，如图.
余弦函数 的图像叫做余弦曲线，它和正弦曲线有相同形状
“波浪起伏”的连续光滑曲线.
【1】画出函数的简图：
【解】如图：
即时巩固
【2】画出函数的简图：
【解】如图：
即时巩固
函数图像的平移和对称变换
【平移】
【对称】
左加右减，
上加下减.
【例1】画出函数 的简图.
【解】
取五个关键点列表：
把 的图像向下平移1个单位即可得到 的图像
即时巩固
【例2】用五点法分别画出函数 和函数 在 上的图像.
【解】
取五个关键点列表：
即时巩固
【例3】思考函数 和函数 的关系,并画出函数 的图像.
【解】
把函数 图像在 轴下方的部分翻折到 轴上方，加上原来上方的部分就可以得到函数 的图像(蓝色部分)，如图.
即时巩固
【例4】已知函数
（1）作出函数 的图像； (2)求方程 的解.
【解】
(1)当 时，
当 时，
所以 ，图像如图所示.
(2)由图像可知方程 的解是
即时巩固
随堂小测
1.用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是
解析 由y＝sin x在[0,2π]上的图象作关于x轴的对称图形，应为D项.
2.下列图象中，y＝－sin x在[0,2π]上的图象是
3.不等式cos x<0，x∈[0,2π]的解集为________.
描点画图：
5.若函数f(x)＝sin x－2m－1，x∈[0,2π]有两个零点，求m的取值范围.
解 由题意可知，sin x－2m－1＝0在[0,2π]上有2个根，即sin x＝2m＋1有两个根，
可转化为y＝sin x与y＝2m＋1两函数的图象在[0,2π]上有2个交点.
由y＝sin x图象可知，
－1＜2m＋1＜1，且2m＋1≠0，
课堂小结
1.对“五点法”画正弦函数图象的理解
(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图.
(2)正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点.
2.作函数y＝asin x＋b的图象的步骤：
3.用“五点法”画的正弦型函数在一个周期[0，2π]内的图象，如果要画出在其他区间上的图象，可依据图象的变化趋势和周期性画出.(共24张PPT)
三角函数的图象和性质
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
学习目标
1.借助图象理解正弦函数、余弦函数的性质（如：周期性、奇偶性、单调性、最值等）.
2.运用整体代换的思想，令ωx+φ＝t，借助y＝sin t，y＝cos t的性质研究函数y＝sin（ωx+φ），y＝cos（ωx+φ）的性质.
核心素养：数学抽象、直观想象、数学建模
新知学习
正弦函数、余弦函数的性质
【导学1】一般的函数图像都有哪些性质可以研究？
【解答】图像特点、单调性、奇偶性、最值(极值)等等
【1】周期性：观察正弦函数的图像，可以发现，在图像上，横坐标每隔2π个单位
长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的
变化规律.实际上，这一点既可以从定义中看出，也能从诱导公式中得到反映.即自
变量 的值加上2π的整数倍时所对应的函数值，与 所对应的函数值相等.数学
上用周期性来定量地刻画这种“周而复始”的规律.
【导学2】正弦函数 和余弦函数 的定义域和值域是什么？
【解答】定义域都是R，值域都是[-1，1]
正弦函数、余弦函数的性质
【定义】一般地，设函数 的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一
个 都有 ，且 .那么函数 就叫做
周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.
周期函数的周期不止一个.例如2π，4π，6π以及-2π，-4π，-6π等.都是正弦
函数的周期.
如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数
就叫做 的最小正周期.
根据上述定义，有如下结论：
【1】正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的的周期，最小正周期是2π
【2】余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的的周期，最小正周期是2π
正弦函数、余弦函数的性质
【周期函数的理解】
①对周期函数与周期定义中的“当 取定义域内的每一个值时”，要特别注意其中
“每一个”的要求.如果只是对某些 有 ，那么T就不是 的周期.
②自变量 本身加的常数才是最小正周期.如 中T不是最小正周
期，因为 ，所以 才是最小正周期.
③周期函数的周期不唯一.若T是函数 的最小正周期，则 也是
函数 的周期.
④并不是所有的周期函数都有最小正周期.例如，对于函数
所有非零实数T都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小
正周期.
正弦函数、余弦函数的性质
【例1】求下列函数的周期：
【解】
由周期函数的定义可知，原函数
的周期为.
令由得，且的周期为，即
于是所以由周期函数的
定义可知，原函数的周期为π.
奇偶性
【探究】观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线
关于y轴对称.所以正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.
【注意】①判断函数的奇偶性时，一定要先判断函数的定义域是否关于原点对称，
只要定义域不关于原点对称，那么这个函数肯定不具备奇偶性.
②由奇偶性我们知道正弦曲线关于原点(0,0)对称，余弦曲线关于y轴(x=0)
对称.
③正弦曲线和余弦曲线即是中心对称图形，又是轴对称图形.
Ⅰ.函数的对称轴是直线，对称中心是.
Ⅱ.函数的对称轴是直线，对称中心是.
【1】等式是否成立？如果这个成立，能否说是正弦函数
的一个周期？为什么？
【解】等式成立，但不能说是正弦函数
的一个周期，因为对定义域内任意，不一定等于，
如，所以不是正弦函数的一个周期.
即时巩固
【2】求下列函数的周期
【解】因为
由周期函数的定义可知，原函数的周期为
因为
由周期函数的定义可知，原函数的周期为
【注意】本题也可以直接用公式求解：
即时巩固
【3】下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？
【解】(1)奇函数
(2)偶函数
(3)奇函数
(4)奇函数
即时巩固
探究与发现
【探究】从前面的例子可以看出，函数及函数
（其中，，为常数，且，）的周期仅与自变量的系数有关.那么，
如何用自变量的系数表示上述函数的周期呢？
【函数和函数的周期】
事实上，令，那么由得，且函数及函数
的周期都是
因为，所以自变量增加，函数值
就重复出现，并且增加量小于时，函数值不会重复出现.即是使得等式
，成
立的最小正数，从而这两个函数的周期为
探究与发现
【思考】上述求函数和函数
周期的方法是否能推广到求一般周期函数的周期？即下列命题“如果函数
的周期是T，那么函数的周期是 ”是否成立？
【解答】上述命题是成立的.一般地，若函数的周期是T，那么函数
的
周期为
单调性
【探究】由于正弦函数是周期函数，我们可以先在它的一个周期的区间里如
讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域.
如图可以看到：当 由 增大到
时，曲线逐渐上升， 的值由1减小
到-1. 的值变化情况如图所示：
这也就是说，正弦函数 在区间 上单调递增，在区间
上单调递减.
单调性
正弦函数在每一个闭区间 上都单调递增，其值从-1增
大到1；在每一个闭区间 上都单调递减，其值从1减小到-1.
由上述结果结合正弦函数的周期性我们可以知道：
单调性
余弦函数在每一个闭区间 上都单调递增，其值从-1增大到1；
在每一个闭区间 上都单调递减，其值从1减小到-1.
同样的道理结合余弦函数的周期性我们可以知道：
最大值与最小值
【整理】从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到：
①正弦函数当且仅当 时取得最大值1，
当且仅当 时取得最小值-1；
②余弦函数当且仅当 时取得最大值1，
当且仅当 时取得最小值-1；
【拓展】①正弦、余弦函数图像上最大值处一般称为波峰，最小值处称为波谷.
②正弦函数和余弦函数都不是定义域上的单调函数.
③正弦函数和余弦函数的图像既是轴对称图形也是中心对称图形.
R
R
[-1，1]
[-1，1]
最小正周期为2π
最小正周期为2π
奇函数
偶函数
在每一个闭区间上单调递增；
在每一个闭区间上单调递减
在每一个闭区间上单调递增；
在每一个闭区间上单调递减
当时，
当时，
当时，
当时，
对称中心为；
对称轴为直线
对称中心为；
对称轴为直线
【正弦函数和余弦函数的性质对比】
随堂小测
1.(2021·金华十校期末)设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0)，则f(x)的奇偶性
A.与ω有关，且与φ有关 B.与ω有关，但与φ无关
C.与ω无关，且与φ无关 D.与ω无关，但与φ有关
解析 因为当φ＝kπ，k∈Z时，函数f(x)＝cos(ωx＋φ)＝±cos ωx，为偶函数；
＝±sin ωx，为奇函数.
所以f(x)的奇偶性与ω无关，但与φ有关.
A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数
∴f(x)＝－cos 2x.
又f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，
∴f(x)是最小正周期为π的偶函数.
±π
4.函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________.
(－π，0]
解析 因为y＝cos x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π
即x＝4kπ－π，k∈Z时，ymax＝5，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ－π，k∈Z}；
即x＝4kπ＋π，k∈Z时，ymin＝1，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}.
课堂小结
1.求函数的最小正周期的常用方法：
(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.
(2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T，如y＝|sin x|.
(3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝ .
2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性.
3.求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的方法
4.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断.
5.求三角函数值域或最值的常用方法
将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.(共20张PPT)
三角函数的图象和性质
5.4.3 正切函数的性质与图象
学习目标
1.借助图象理解正切函数在区间 内的性质.
2.能画出y＝tan x的图象.
3.会用正切函数的性质解决有关问题.
核心素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象
新知学习
如何研究正切函数的性质和图象？
【思考】根据研究正弦函数和余弦函数的经验，你认为应该如何研究正切函数的
图象和性质？能用不同的方法研究正切函数吗？
【解答】(1)应先作出正切函数的图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，
再从代数的角度对性质作出严格表述.
(2)对于正切函数，也可以从其定义出发研究它的性质，再利用性质研究
其图象.
【问题】正切函数 的定义域是什么？
【解答】由正切函数的定义可知，它的定义域是
如何研究正切函数的性质和图象？
【正切函数的性质】
【1】周期性：
由诱导公式 可知，
正切函数是周期函数，周期是π.
【2】奇偶性：
由诱导公式 可知，
正切函数有奇偶性，是奇函数.
表明正切函数的定义域关于原点对称
表明正切函数的图象关于原点对称
如何研究正切函数的性质和图象？
【问】你能证明正切函数的周期性吗？
【答】①当k是偶数时，
②当k是奇数时，
综上，有
由周期函数的定义可知，正切函数的周求是 是它的最小正周期.
【再问】这有什么用？
【再答】可以先研究正切函数在 之间的图象和性质，再加以拓展.
如何研究正切函数的性质和图象？
【问】如何画出函数 的图象？
【答】如图，设 ，在坐标系中画出角 的终边与单
位圆的交点 .过点B作 轴的垂线，垂足为
M；过点A(1，0)作 轴的垂线与角 的终边交于点T，则
由此可见，当 时，线段AT的长度就是角 的正切值，利用线段AT画出函数 的图象如图所示.
观察可知，函数图象呈类似于指数
型的增长，向右上方无限接近直线
如何研究正切函数的性质和图象？
【问】如何画出正切函数的全部图象？
【答】利用奇偶性和对称性，把函数在 之间的部分进行复制平移即可.
我们把正切函数的图象叫做正切曲线。从图象可以看出，正切曲线是被与y轴
平行的一系列直线 所隔开的无数个形状相同的曲线组成的
如何研究正切函数的性质和图象？
【问】正切函数的图象有怎样的特征？
【答】①图象关于原点对称
②图象在 轴上方的部分下凹；在 轴下方的部分上凸.
②图象被相互平行的直线 隔开，图象无限
接近这些直线，但永不相交。
正切函数和正弦余弦函数一样，都可以画出一个周期内的函数图象，然后进行左右平移，就可以得到全部的图象。
或者也可以类比正弦余弦函数用三点两线法.
正切函数的单调性和值域
【单调性】观察正切曲线可知，正切函数在区间 上单调递增；
由周期性可知，正切函数在每个区间 上都单调递增
【问】由正切函数是奇函数，可以得到它的图象关于原点对称。结合图象，还能
发现其它的对称中心吗？有对称轴吗？
【答】正切函数的图象有无数个对称中心，包括图象与横轴的交点和渐近线与
横轴的交点。
正切函数不是轴对称图形，没有对称轴.
正切函数的单调性和值域
【值域】观察图象，当 时， 在 内可以取到任意实数
值，但没有最大值或者最小值，因此，正切函数的值域是实数集R.
奇函数
【例1】求函数 的定义域和周期.
【解】自变量 的取值满足条件
所以函数的定义域是
设 ，又 ，所以
即
因为 都有
所以，函数的周期为2
即时巩固
【例2】观察正切曲线，直接写出满足下列条件的 的范围.
【解】
即时巩固
【例3】求下列函数的周期.
【解】
所以函数 的周期为 .
所以函数 的周期为 .
即时巩固
【例4】若 在 内为减函数，则（ ）
【解】由题意有 ，且 ，所以
答案选择C
即时巩固
随堂小测
√
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
√
√
4.将tan 1，tan 2，tan 3按大小顺序排列为______________.(用“<”连接)
tan 2(－∞，－1]∪[1，＋∞)
课堂小结(共22张PPT)
三角恒等变换
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
学习目标
1.经历推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差的余弦公式的意义.
2.能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算
新知学习
两角差的余弦公式
【探究】如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α+β，α-β的正余弦吗？
【分析】如图，设单位圆与 轴的正半轴相交于点 ，
以 轴非负半轴为始边作角α、β，α-β，它们的
终边分别与单位圆相交于点
连接 ， .若把扇形 绕着点 旋转β角，则
点A、P分别与点 重合.根据圆的旋转对称性可知， 与 重合，从而
= ，所以 =
α终边
β终边
α-β终边
根据两点间距离公式，得到等式：
化简得
两角差的余弦公式
【探究】由此我们得到了
当 时，容易证明上式依然成立.
所以，对于任意角α，β，都有
α终边
β终边
α-β终边
此公式给出了任意角α、β的正弦、余弦和其差角α-β的余弦之间的关系，称为
差角的余弦公式，记为
由公式 可知，只要知道了 的值，就可以求出
的值.
另外，式中的角α，β都是任意角，可以是一个角，也可以是角的组合，如：
【例1】利用公式 证明
【证明】
即时巩固
【例2】已知 β是第三象限角，求 的值.
【解】由 ，得
又由 ，β是第三象限角，得
所以
即时巩固
两角和的余弦公式
【推导】我们以 为基础，推导出其他公式.
这样就可以得到两角和的余弦公式，即
也就是说，和角余弦等于同名积之差，差角余弦等于同名积之和.
与两角差的余弦公式相比较下
余余正正
符号相反
两角和与差的正弦公式
【1】由诱导公式五： ，可得：
两角和与差的正弦公式
【2】由诱导公式六： ，可得：
即
正余余正
符号相同
两角和与差的正切公式
根据推导经验，有
在上式中，用-β替换β，得到
即
分子同相加，
1减他们俩
分子同相减，
1加他们俩
式中的α、β、α+β可以是任意值吗？
六个公式之间的关系和推导
【和角公式】
【差角公式】
以-β替换β
以-β
替换β
作 商
作 商
以-β替换β
当α=β时，有：
【例3】已知 α是第四象限角，求 的值.
【解】由 α是第四象限角，得
则
即时巩固
【例4】利用和(差)角公式计算下列各式的值.
【解】(1)由公式S(α+β)，得
(2)由公式C(α+β)，得
(3)由tan45°=1及公式T(α+β)，得
即时巩固
二倍角的正弦、余弦、正切公式
【推导】利用S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)，可以推导出sin2α，cos2α，tan2α的公式
当α=β时，
当α=β时，
当α=β时，
这样我们就得到了二倍角公式：
在 中，结合公式 ，得到
【例5】已知 ，求 的值.
【解】由 ，得
【例6】已知 ，求 的值.
【解】由 ，即
化简得
所以
即时巩固
随堂小测
课堂小结
1.“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函
数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”.注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧.
2.“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：
(1)求角的某一三角函数值；
(2)确定角所在的范围(找区间)；
(3)确定角的值.
确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.
3.应用公式需注意的三点
(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式.
(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式.(共19张PPT)
三角恒等变换
5.5.2 简单的三角恒等变换
学习目标
能用两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）.
核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算
新知学习
两角差的余弦公式
【尝试】尝试用和(差)角公式、二倍角公式两个工具进行三角恒等变换
（1）试用cosα表示 ， ,
解：在倍角公式 中，用α代替2α，用 代替α，得
所以
在倍角公式 中，用α代替2α，用 代替α，得
所以
作商，得
两角差的余弦公式
【半角公式】刚才的结果还可以表示为：
以上三个公式称为半角公式，符号由α所在象限决定
【记忆方法】半角公式带根号，是正是负看半角；
1 加或者减余弦，根号分母都是 2 .
【问题】 与 之间有什么关系？
【解答】
两角差的余弦公式
【万能公式】万能公式是半角的正切与一倍角之间的互换公式：
有了万能公式，只需要知道一个角的正切，就可以求出二倍角的正弦余弦正切值.
【例1】求证：
【证明】(1)因为
(1)+(2)得
即
(2) 由(1)有
设 ，则有
代入①中，有
换元法
即时巩固
【例2】已知 ，且 ，求 和 的值.
【解】∵ ，∴
∴
∴
即时巩固
【例3】已知一个等腰三角形的顶角的余弦等于 ，求这个三角形的底角的正切.
【解】设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则有
由题意知 ，
所以
所以
即时巩固
【例4】求下列函数的周期、最大值和最小值.
【解】
辅助角公式
即周期为2π,最大值为2,最小值为-2.
令 ，则 ，所以
即 ，周期为2π，最大值为5，最小值为-5
即时巩固
积化和差公式与和差化积公式
①积化和差公式
积化和差公式与和差化积公式
②和差化积公式
【题】化简：
①三角函数式的化简
【解】∵ ，∴
又∵ ，且
∴原式=
∵ ，∴ ，所以 ，原式=
常见题型汇总
【题】已知α为钝角，β为锐角，且 ， ，求 的值.
②三角函数式的求值
【解】因为α为钝角，β为锐角， ， ，所以
所以
因为 ,所以 ，即
所以
常见题型汇总
【题】已知 ,求证:
③三角函数式的证明
【解】由题意有
；②2-①2，得
常见题型汇总
【题】已知在△ABC中， ,求证：△ABC是直角三角形
④在三角形中的应用
【证明】由题意有 ，∴
常见题型汇总
利用和差化积公式，得
又∵ ，∴
∵ ，∴ ，两边平方，得
即 ，∴
∴ ，即 或 . A或者B有一个为直角
∴△ABC是直角三角形
随堂小测
课堂小结
1.学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式.
3.研究形如f(x)＝asin x＋bcos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式.因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一.对一些特殊的系数a，b应熟练掌握，