2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册4.2等差数列经典题型检测卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册4.2等差数列经典题型检测卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 994.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-05 09:11:25 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册4.2等差数列经典题型检测卷
一、单选题
1．卫生纸是人们生活中的必需品，随处可见．卫生纸形状各异，有单张四方型的，也有卷成滚筒形状的．某款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸筒上，纸筒直径为40mm，卫生纸厚度为0.1mm．若未使用时直径为90mm，使用一段时间后直径为60mm，则这个卷筒卫生纸大约已经使用了（ ）
A．25.7m B．30.6m C．35.3m D．40.4m
2．等差数列的前项和为，若，，则的公差为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．已知表示数列的前项和，若对任意的满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．记是数列的前项和，设甲：为等差数列；设乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
5．记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C．10 D．12
6．若数列的前项和，则数列的前项和（ ）
A． B． C． D．
7．已知正项等差数列的前项和为，且，．则（ ）
A． B．
C． D．
8．在等差数列中，是的前项和，满足，，则有限项数列中，最大项和最小项分别为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．
B．
C．当时，取最大值
D．当时，的最小值为19
10．已知等差数列的前项和为，是互不相同的正整数，且，若在平面直角坐标系中有点，则下列选项成立的有（ ）
A．直线与直线的斜率相等 B．
C． D．
11．设等差数列的前项和为，则以下四个选项中正确是( ).
A．若，则
B．若，且，则且
C．若，且在前项中，偶数项的和与奇数项的和之比为，则公差为
D．若，且，则和均是的最大值
三、填空题
12．已知数列，对都有，且，则 .
13．由正整数组成的数对按规律排列如下：，．若数对满足，则数对排在第 位．
14．某中学响应政府号召，积极推动“公益一小时”，鼓励学生利用暑假时间积极参与社区服务，为了保障学生安全，与社区沟通实行点对点服务．原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人．由于志愿者人数暴涨，学校与社区临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为，在数列的任意相邻两项与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列．按新数列的各项依次派遣支教学生．记为派遣了50批学生后参加公益活动学生的总数，则的值为 ．
四、解答题
15．已知数列的前项和为，且．
(1)求 的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
16．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若对，为常数k.
(1)求k；
(2)当时，求数列的前项和.
17．已知公差不为0的等差数列，其前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，且恒成立，求m的值．
18．已知数列的前项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若不等式对任意的正整数恒成立，求整数的最大值．
19．已知等差数列的前项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
参考答案：
1．C
【分析】依题意，可以把绕在盘上的卫生纸长度，近似看成是半径成等差数列的圆周长，然后分别计算各圆的周长，再借助等差数列前项和公式求总和即可.
【详解】未使用时，可认为外层卫生纸的长度为：，
可认为每层纸的长度为等差数列，使用到现在，相当于等差数列的项数为：，
且.
由等差数列的求和公式得：
故选：C
2．D
【分析】由已知结合等差数列的求和公式及性质即可求解．
【详解】设数列的公差为，由，可得，
所以，又，所以，
所以.
故选：D.
3．C
【分析】先判断出数列，根据首项和公差求得.
【详解】令得，所以，即，
所以是以为公差的等差数列，首项为，
所以.
故选: C
4．C
【分析】结合等差数列求和公式、等差数列定义以及充要条件的定义即可得解.
【详解】若为等差数列，则数列的前项和为，
若数列的前项和为，
则时，，
所以，，
两式相减得，，
所以为等差数列；
综上所述，甲是乙的充要条件.
故选：C.
5．B
【分析】利用等差数列的通项公式以及前项求和公式求解即可.
【详解】设等差数列的公差为，由可得，即，
所以，又，所以.
故选：B
6．C
【分析】根据求出，得到是首项为12，公差为12的等差数列，利用等差数列求和公式求出答案.
【详解】因为数列的前项和，
所以当时，，两式相减，得
，
当时，也符合该式，所以，
，
所以数列是首项为12，公差为12的等差数列，
所以.
故选：C．
7．C
【分析】由等差数列的关系结合已知等式化简，可得，结合，求出首项，即可得等差数列的通项公式以及前n项和公式，由此一一判断各选项，即可得解.
【详解】设正项等差数列的公差为d，因为，，
所以两式相减得，可得，
即，所以，
因为是正项等差数列，则，则，
所以，由，得，
得，即，所以，
所以，，得，，A，B错误；
，C正确；
，D错误，
故选：C.
8．B
【分析】确定，，，考虑，，三种情况，确定，计算得到答案.
【详解】，即，
，即，故，，
①当，时，，，故，
，，故；
②当，时，，，故，
，，；
③当时，且，，
故；
综上所述：中，最大项和最小项分别为.
故选：B.
9．ABD
【分析】对A，根据等差数列的基本性质，结合分析公差判断即可；对B，根据作差法结合A中结论分别判断的正负即可；对C，由判断即可；对D，根据可得，再分析时满足判断即可.
【详解】对A，则，
由等差数列性质可得，即.
因为，若公差，则，不满足，故，则.
则，故A正确；
对B，由A，，故.
则，则，
又，故，故B正确；
对C，由可得，故当时，取最大值，故C错误；
对D，由，，可得.
故当时，需要满足，故的最小值为19，故D正确.
故选：ABD
10．ACD
【分析】利用等差数列通项的性质与前项和公式，验证各选项的结论.
【详解】设等差数列的公差为，是互不相同的正整数，且，
则有，，
直线的斜率，直线的斜率，A选项正确；
，
，
已知条件中不能得到，B选项错误；
，，
，C选项正确；
，D选项正确.
故选：ACD
11．ABD
【分析】利用等差数列的通项公式、下标和性质与前项和公式，依次分析各结论即可得解.
【详解】对于A：因为 是等差数列， ，所以 ，故A正确；
对于B：因为 ，所以 ，即 是递增数列，
因为 ，即 ，所以 ，
即 ，则 ，所以 且 ，故B正确；
对于C：因为 ，所以 ，则 ，则 ，
又 ， ，
所以 ，即 ，故 ，得 ， ，
所以 的公差为 ，故C错误；
对于D：因为 ，即 ，
即 ，整理得 ，
因为 ，所以 ，
由于 ，所以 ，故 ，即 ，
因为 ，所以 是递减数列，则 ， ，
所以 ， ，
故 和 均是 的最大值，故D正确.
故选：ABD.
12．
【分析】分析题意，构造等差数列，求其前项和即可.
【详解】令，可得，
故是以1为首项，1为公差的等差数列，则，故，
，，，
故是以2为首项，2为公差的等差数列，
设前项和为，则.
故答案为：
13．174
【分析】先求出、的值，再根据数对的特点确定的位置.
【详解】解：按规律把正整数组成的数对分组：第1组为，数对中两数的和为2，共1个数对；第2组为，数对中两数和为3，共2个数对；
第3组为，，数对中两数的和为4，共3个数；……，
第组为，数对中两数的和为，共个数，
由，得，
因为，所以，解得，所以，
在所有数对中，两数之和不超过19的有个，
所以在两数和为20的第1个数，第2个为，第3个为，所以数对排在第174位.
故答案为：174
14．200
【分析】此类问题为数列的增减项问题，把握好两点，先枚举找规律，再做好满足题意的估计，最后利用相关数列的求和公式分组求和即可.
【详解】由已知原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人．
所以数列为等差数列，且，数列的公差，所以，
数列为数列的任意相邻两项与之间插入个2所得，
所以数列满足条件，，当时，，
，当时，，，
当时，，，
当时，，
所以数列的前项的和为.
故答案为：
15．(1)
(2)
【分析】（1）由之间的关系即，时，即可求解.
（2）由裂项相消法即可求解.
【详解】（1）由题意，
当时，，
且满足上式，
所以.
（2）由题意，
所以.
16．(1)4
(2)
【分析】（1）由等差数列前项和的基本量的计算即可列式求解；
（2）首先求得，结合等差数列求和公式即可求解.
【详解】（1）由，可得，
整理得，
所以，
又，故，
所以常数的值为4.
（2）由（1）可知，当时，，
所以，
所以是等差数列，首项为16，公差为16，
所以其前的前项和.
17．(1)
(2)4或5
【分析】（1）由等差数列通项与前n项和基本量的计算，求出首项和公差，得数列通项.
（2）由数列的通项，讨论数列的单调性，求出最大项即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，由，
可得，解得，
．
（2）由（1）得，
∴当时，；当时，，
所以，的值为4或5．
18．(1)
(2)4
【分析】（1）由与的关系求的通项公式；
（2）由题意得，令，作差求出的最大值即可.
【详解】（1）当时，，
两式相减得，
，
，即，
数列表示首项，公差为2的等差数列，
．
（2），
即，
由得对任意的正整数恒成立，
又对任意的正整数恒成立．
设，则，
当时，最大，最大值为，
，解得，则的最大整数为4．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列通项公式以及求和公式列式求，即可得结果；
（2）由（1）可知，利用裂项相消法运算求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因为，则，解得，
所以．
（2）由（1）可知，
则，
所以.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册4.2等差数列经典题型检测卷
一、单选题
1．卫生纸是人们生活中的必需品，随处可见．卫生纸形状各异，有单张四方型的，也有卷成滚筒形状的．某款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸筒上，纸筒直径为40mm，卫生纸厚度为0.1mm．若未使用时直径为90mm，使用一段时间后直径为60mm，则这个卷筒卫生纸大约已经使用了（ ）
A．25.7m B．30.6m C．35.3m D．40.4m
2．等差数列的前项和为，若，，则的公差为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．已知表示数列的前项和，若对任意的满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．记是数列的前项和，设甲：为等差数列；设乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
5．记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C．10 D．12
6．若数列的前项和，则数列的前项和（ ）
A． B． C． D．
7．已知正项等差数列的前项和为，且，．则（ ）
A． B．
C． D．
8．在等差数列中，是的前项和，满足，，则有限项数列中，最大项和最小项分别为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．
B．
C．当时，取最大值
D．当时，的最小值为19
10．已知等差数列的前项和为，是互不相同的正整数，且，若在平面直角坐标系中有点，则下列选项成立的有（ ）
A．直线与直线的斜率相等 B．
C． D．
11．设等差数列的前项和为，则以下四个选项中正确是( ).
A．若，则
B．若，且，则且
C．若，且在前项中，偶数项的和与奇数项的和之比为，则公差为
D．若，且，则和均是的最大值
三、填空题
12．已知数列，对都有，且，则 .
13．由正整数组成的数对按规律排列如下：，．若数对满足，则数对排在第 位．
14．某中学响应政府号召，积极推动“公益一小时”，鼓励学生利用暑假时间积极参与社区服务，为了保障学生安全，与社区沟通实行点对点服务．原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人．由于志愿者人数暴涨，学校与社区临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为，在数列的任意相邻两项与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列．按新数列的各项依次派遣支教学生．记为派遣了50批学生后参加公益活动学生的总数，则的值为 ．
四、解答题
15．已知数列的前项和为，且．
(1)求 的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
16．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若对，为常数k.
(1)求k；
(2)当时，求数列的前项和.
17．已知公差不为0的等差数列，其前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，且恒成立，求m的值．
18．已知数列的前项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若不等式对任意的正整数恒成立，求整数的最大值．
19．已知等差数列的前项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
参考答案：
1．C
【分析】依题意，可以把绕在盘上的卫生纸长度，近似看成是半径成等差数列的圆周长，然后分别计算各圆的周长，再借助等差数列前项和公式求总和即可.
【详解】未使用时，可认为外层卫生纸的长度为：，
可认为每层纸的长度为等差数列，使用到现在，相当于等差数列的项数为：，
且.
由等差数列的求和公式得：
故选：C
2．D
【分析】由已知结合等差数列的求和公式及性质即可求解．
【详解】设数列的公差为，由，可得，
所以，又，所以，
所以.
故选：D.
3．C
【分析】先判断出数列，根据首项和公差求得.
【详解】令得，所以，即，
所以是以为公差的等差数列，首项为，
所以.
故选: C
4．C
【分析】结合等差数列求和公式、等差数列定义以及充要条件的定义即可得解.
【详解】若为等差数列，则数列的前项和为，
若数列的前项和为，
则时，，
所以，，
两式相减得，，
所以为等差数列；
综上所述，甲是乙的充要条件.
故选：C.
5．B
【分析】利用等差数列的通项公式以及前项求和公式求解即可.
【详解】设等差数列的公差为，由可得，即，
所以，又，所以.
故选：B
6．C
【分析】根据求出，得到是首项为12，公差为12的等差数列，利用等差数列求和公式求出答案.
【详解】因为数列的前项和，
所以当时，，两式相减，得
，
当时，也符合该式，所以，
，
所以数列是首项为12，公差为12的等差数列，
所以.
故选：C．
7．C
【分析】由等差数列的关系结合已知等式化简，可得，结合，求出首项，即可得等差数列的通项公式以及前n项和公式，由此一一判断各选项，即可得解.
【详解】设正项等差数列的公差为d，因为，，
所以两式相减得，可得，
即，所以，
因为是正项等差数列，则，则，
所以，由，得，
得，即，所以，
所以，，得，，A，B错误；
，C正确；
，D错误，
故选：C.
8．B
【分析】确定，，，考虑，，三种情况，确定，计算得到答案.
【详解】，即，
，即，故，，
①当，时，，，故，
，，故；
②当，时，，，故，
，，；
③当时，且，，
故；
综上所述：中，最大项和最小项分别为.
故选：B.
9．ABD
【分析】对A，根据等差数列的基本性质，结合分析公差判断即可；对B，根据作差法结合A中结论分别判断的正负即可；对C，由判断即可；对D，根据可得，再分析时满足判断即可.
【详解】对A，则，
由等差数列性质可得，即.
因为，若公差，则，不满足，故，则.
则，故A正确；
对B，由A，，故.
则，则，
又，故，故B正确；
对C，由可得，故当时，取最大值，故C错误；
对D，由，，可得.
故当时，需要满足，故的最小值为19，故D正确.
故选：ABD
10．ACD
【分析】利用等差数列通项的性质与前项和公式，验证各选项的结论.
【详解】设等差数列的公差为，是互不相同的正整数，且，
则有，，
直线的斜率，直线的斜率，A选项正确；
，
，
已知条件中不能得到，B选项错误；
，，
，C选项正确；
，D选项正确.
故选：ACD
11．ABD
【分析】利用等差数列的通项公式、下标和性质与前项和公式，依次分析各结论即可得解.
【详解】对于A：因为 是等差数列， ，所以 ，故A正确；
对于B：因为 ，所以 ，即 是递增数列，
因为 ，即 ，所以 ，
即 ，则 ，所以 且 ，故B正确；
对于C：因为 ，所以 ，则 ，则 ，
又 ， ，
所以 ，即 ，故 ，得 ， ，
所以 的公差为 ，故C错误；
对于D：因为 ，即 ，
即 ，整理得 ，
因为 ，所以 ，
由于 ，所以 ，故 ，即 ，
因为 ，所以 是递减数列，则 ， ，
所以 ， ，
故 和 均是 的最大值，故D正确.
故选：ABD.
12．
【分析】分析题意，构造等差数列，求其前项和即可.
【详解】令，可得，
故是以1为首项，1为公差的等差数列，则，故，
，，，
故是以2为首项，2为公差的等差数列，
设前项和为，则.
故答案为：
13．174
【分析】先求出、的值，再根据数对的特点确定的位置.
【详解】解：按规律把正整数组成的数对分组：第1组为，数对中两数的和为2，共1个数对；第2组为，数对中两数和为3，共2个数对；
第3组为，，数对中两数的和为4，共3个数；……，
第组为，数对中两数的和为，共个数，
由，得，
因为，所以，解得，所以，
在所有数对中，两数之和不超过19的有个，
所以在两数和为20的第1个数，第2个为，第3个为，所以数对排在第174位.
故答案为：174
14．200
【分析】此类问题为数列的增减项问题，把握好两点，先枚举找规律，再做好满足题意的估计，最后利用相关数列的求和公式分组求和即可.
【详解】由已知原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人．
所以数列为等差数列，且，数列的公差，所以，
数列为数列的任意相邻两项与之间插入个2所得，
所以数列满足条件，，当时，，
，当时，，，
当时，，，
当时，，
所以数列的前项的和为.
故答案为：
15．(1)
(2)
【分析】（1）由之间的关系即，时，即可求解.
（2）由裂项相消法即可求解.
【详解】（1）由题意，
当时，，
且满足上式，
所以.
（2）由题意，
所以.
16．(1)4
(2)
【分析】（1）由等差数列前项和的基本量的计算即可列式求解；
（2）首先求得，结合等差数列求和公式即可求解.
【详解】（1）由，可得，
整理得，
所以，
又，故，
所以常数的值为4.
（2）由（1）可知，当时，，
所以，
所以是等差数列，首项为16，公差为16，
所以其前的前项和.
17．(1)
(2)4或5
【分析】（1）由等差数列通项与前n项和基本量的计算，求出首项和公差，得数列通项.
（2）由数列的通项，讨论数列的单调性，求出最大项即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，由，
可得，解得，
．
（2）由（1）得，
∴当时，；当时，，
所以，的值为4或5．
18．(1)
(2)4
【分析】（1）由与的关系求的通项公式；
（2）由题意得，令，作差求出的最大值即可.
【详解】（1）当时，，
两式相减得，
，
，即，
数列表示首项，公差为2的等差数列，
．
（2），
即，
由得对任意的正整数恒成立，
又对任意的正整数恒成立．
设，则，
当时，最大，最大值为，
，解得，则的最大整数为4．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列通项公式以及求和公式列式求，即可得结果；
（2）由（1）可知，利用裂项相消法运算求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因为，则，解得，
所以．
（2）由（1）可知，
则，
所以.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)