2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册4.3等比数列经典题型检测卷（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册4.3等比数列经典题型检测卷
一、单选题
1．在等比数列中，，前项和为，若数列也是等比数列，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．设是等比数列的前项和，若，则（ ）
A．2 B． C． D．
3．已知等差数列的公差且成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
4．在等比数列中，，，则公比（ ）
A． B． C． D．
5．已知正项等比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知等比数列的前项和，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．设等差数列的公差，且，若是与的等比中项，则（ ）
A．5 B．6 C．9 D．10
8．若递增等比数列满足，且，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知数列，中，，则（ ）
A．数列的前4项和为 B．的前100项和为100
C．的前项和 D．数列仍为等比数列
10．已知等差数列 的前 项和为 ，正项等比数列 的前 项积为 ，则（ ）
A．数列 是等差数列 B．数列 是等比数列
C．数列 是等差数列 D．数列 是等比数列
11．已知数列满足是的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．已知等比数列中，，则 ．
13．数学中也有一朵美丽的雪花——“科赫雪花”.它的绘制规则是：任意画一个正三角形，并把每一条边三等分，以三等分后的每边的中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线.重复上述两步，画出更小的三角形，一直重复，直到无穷，形成雪花曲线.设雪花曲线边长构成数列，面积构成数列.若的边长为3，则 ；= .
14．等比数列的首项为1，前项和为，且，那么满足的的最大值是 ．
四、解答题
15．设正项等比数列的前项和为，数列的前项和为，，，对都有成立.
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前项和.
16．已知等差数列的公差为3，若，，成等比数列．
(1)求等差数列的通项公式；
(2)若等差数列的前n项和为，证明：．
17．已知等比数列的前项和为.
(1)求k的值及的通项公式；
(2)设，求的前项和，并证明：；
(3)设，求的前项和.
18．已知是数列的前项和，且对恒成立．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和，，是数列的前项和，求．
19．若数列的前项和满足．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，求数列的前项和．
参考答案：
1．D
【分析】设的公比为，根据已知可得，，两式联立可得，进而得出结果.
【详解】设的公比为，则，，
因为也是等比数列，所以，
即，所以
因为，所以，即，所以.
故选：D
2．B
【分析】成等比数列，得到方程，求出，得到答案.
【详解】由题意得，，
因为成等比数列，故，
即，解得，
故.
故选：B
3．A
【分析】根据题中条件，可得，利用等差数列通项公式化简代入条件即可求解.
【详解】由已知，成等比数列，
所以，解得
所以
，
故选：A.
4．A
【分析】利用等比数列性质求解即可.
【详解】由题知，解得.
故选：A
5．B
【分析】由正项等比数列的性质，，，可求的值.
【详解】正项等比数列中，，则，
，则，
又，即，解得.
故选：B
6．C
【分析】等比数列的和为，，根据公式，求出，则也要满足通项公式，即可得到方程，解得即可；
【详解】等比数列的前项和为，，
当时，可得，可得，
当时，，则
因为为等比数列，所以，解得
故选：．
7．C
【分析】利用等差数列的通项公式和等比中项的应用，建立关于k的方程，解之即可求解.
【详解】由，得，则，
所以，则，
因为是与的等比中项，所以，
即，由，得，
由，解得.
故选：C
8．C
【分析】设等比数列的公比为，根据题中条件可得出关于的等式，结合数列的单调性可得出的值，再利用等比数列的通项公式可得出数列的通项公式.
【详解】设等比数列的公比为，
因为，所以，
又，所以，即，解得或，
因为数列递增，所以，由，
此时，数列为递增数列，合乎题意，
故选：C.
9．ABC
【分析】由，逐项计算，可判定A正确；由，进而求得数列的前100项和，可判定B正确；结合裂项法求和，可判定C正确；根据等比数列的定义，可得判定D不正确.
【详解】由数列，中，，
对于A中，可得，可得数列前4项的和为：
，所以A正确；
对于B中，由，可得，
则数列的前100项和为：
，所以B正确；
对于C中，由，
则的前项和，所以C正确；
对于D中，由，则，
所以数列不是等比数列，所以D不正确.
故选：ABC.
10．ABD
【分析】根据题意，根据等差数列与等比数列的定义逐项判断即可．
【详解】根据题意，设的公差为，的公比为，
则，
依次分析选项：
对于A，是常数，故A正确；
对于B，易知是常数，故B正确；
对于C，因为，由，
当，不是常数列，不是常数，故C错误；
对于D，是常数，故D正确．
故选：ABD．
11．BCD
【分析】利用并项求和法可判断B选项；推导出，分为奇数、偶数两种情况求出数列的通项公式，可判断AC选项；利用，采用放缩和裂项相消法，判断D选项.
【详解】因为，
所以
，B正确；
由题意，①，②，由②-①得，，
由，所以，
当为奇数时，设，则，
当为偶数时，设，则，
故对任意的错C对；
可得：，则有，
于是当时
，
当时也成立，D正确，
故选：BCD.
12．4
【分析】由等比数列性质、基本量的计算依次得，，由此即可求解.
【详解】由题意，所以，，所以公比，
所以.
故答案为：4.
13．
【分析】确定得到，计算即可，雪花曲线的边数为，，利用累加法结合等比数列求和公式计算得到答案.
【详解】根据题意：，，故，；
雪花曲线的边数为，
则，，，
，
，，，
当时，验证成立，故.
故答案为：；.
14．
【分析】先利用等比数列的求和公式求出公比，然后代入求解的范围即可.
【详解】设等比数列的公比为，
当时，，不符合条件，故，
则，解得.
所以由得，
即，由于
所以，
即满足的的最大值是.
15．(1)，
(2)
【分析】（1）当时，求出，当时，由求出，设正项等比数列的公比为，由等比数列的性质列方程求出，即可得出答案.
（2）由（1）得，，再由错位相减法求解即可.
【详解】（1）当时，，解得.
当时，，
又符合上式，∴.
设正项等比数列的公比为，且.
由得，解得或（舍去），
∴.
（2）由（1）得，，
①，
②，
①②得：
∴
16．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等比中项性质结合等差数列公式计算得到答案.
（2）确定，利用裂项相消法计算得到证明.
【详解】（1），，成等比数列，所以，
为等差数列，公差为3，故，解得，
则=；
（2）
则
.
17．(1)，
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）由题意得，时，，结合即可得解；
（2）由题意得表达式，用裂项相消法即可得表达式，结合单调性即可得证；
（3）由题意得表达式，用错位相减法、等比数列求和公式法即可求解.
【详解】（1）当时，，
当时，，
因为为等比数列，所以，
所以，解得，
的通项公式为.
（2）由（1）可知，
则
.
由可得是递增数列，
又，
∴，而，故.
（3），
则①，
∴②，
①②，得，
∴.
【点睛】关键点点睛：第（2）（3）问的求和关键分别是裂项相消法、错位相减法，由此即可顺利得解.
18．(1)
(2)．
【分析】（1）根据与的递推公式易得到等比数列，利用基本量计算即得通项；
（2）先由的前项和求出，再利用“错位相减法”求数列的前项和.
【详解】（1）由，
得（），
两式相减得，即，
则．又当，可得，解得．
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，．
（2）因为，
所以当时，，且，所以，
由（1）知，故得：，
则，
，
两式相减，得：，
即
所以．
19．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用变形给定的递推公式，再利用等比数列的定义推理即得.
（2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即得.
【详解】（1）证明：数列中，，当时，，
两式相减得，
即，则，
又，则，，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.
（2）由（1）知，，
，
则，
于是，
两式相减得，
所以.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)