2023-2024学年高中数学苏教版必修第二册第10章三角恒等变换精选题（含解析）

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2023-2024学年高中数学苏教版必修第二册第10章三角恒等变换精选题
一、单选题
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．-2
5．已知，，则（ ）
A． B． C．1 D．
6．已知，均为锐角，且，，则（ ）
A． B． C． D．
7．设，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
8．（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列各式的值为的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知，其中且，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．用表示不超过实数x的最大整数，如：，．已知函数，函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于y轴对称 B．函数是周期函数
C．函数的值域是 D．方程只有一个实数根
三、填空题
12．若，，则 .
13．已知，是方程的两根，则 .
14．在中，已知边上的高等于，当角时， ；当角时，的最大值为 ．
四、解答题
15．已知函数.
(1)求的单调递减区间；
(2)求图象的对称中心的坐标；
(3)若，，求的值.
16．已知.
(1)求；
(2)求.
17．已知.
(1)化简；
(2)若均为锐角，，求的值.
18．已知为锐角，且.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
19．已知函数.
(1)求函数的最小正周期
(2)若，，求的值.
参考答案：
1．D
【分析】利用倍角公式结合齐次式问题分析求解.
【详解】由题意可得：．
故选：D．
2．A
【分析】根据正切与正、余弦的的关系求出，再结合正切二倍角公式求得结果.
【详解】因为，，
所以，，
所以.
故选：A.
3．A
【分析】根据诱导公式、同角三角函数关系及两角和余弦公式求解即可.
【详解】由诱导公式得，因为，，
所以，
所以.
故选：A
4．B
【分析】解法一：在分子和分母中同时除以，利用弦化切可求得所求代数式的值；解法二：利用二倍角公式可求得所求代数式的值.
【详解】解法一：.
解法二：.
故选：B.
5．D
【分析】根据正弦和余弦二倍角公式化简得到，再利用正切二倍角公式求出答案.
【详解】，即，
因为，所以，
故，即，
则.
故选：D
6．C
【分析】首先求出，，再由两角和的余弦公式计算可得.
【详解】因为，均为锐角，且，，
所以，，
所以.
故选：C
7．D
【分析】借助，得出与所处区间及象限，结合三角恒等变换公式即可得.
【详解】，，，
故，又，
.
故选：D.
8．D
【分析】根据两角和的正弦公式和特殊角三角函数求解.
【详解】.
故选：D.
9．BD
【分析】根据诱导公式、二倍角公式、两角和的正弦公式计算后判断．
【详解】对A，，故A错误；
对B，，故B正确；
对C，
，故C错误；
对D，，故D正确；
故选：BD．
10．BD
【分析】由题意化简得或，结合且即可判断AB；结合平方关系以及即可判断CD.
【详解】因为，其中且，
所以，
所以或，即或.
因为且，所以，所以，B正确，A错误；
因为，所以，所以，C错误；
因为，所以，D正确.
故选：BD.
11．ABD
【分析】对于A，验证是否是偶函数即可；对于B，结合三角函数周期性即可验证；对于C，只需由判断值域即可；对于D，只需分类讨论解方程即可.
【详解】对于A，值域为全体实数关于原点对称，且，
所以函数是偶函数，即函数的图象关于y轴对称，故A正确；
对于B，，所以函数是周期为的周期函数，故B正确；
对于C，，
当时，，当时，，
所以的值域为，所以函数的值域是，故C错误；
对于D，我们考虑在上的性质，结合周期性顺延即可，
，
当时， ，，此时无解；
当时， ，，此时无解；
当时， ，，此时有一个解为；
当时， ，，此时无解；
当时， ，，此时无解；
而当或时，或，，此时无解；
综上所述，方程只有一个实数根，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：判断D选项的关键是当或时，或，，此时无解；
故只需在上分类讨论解方程即可.
12．
【分析】对原式进行化简得，两边同时除以，得，结合即可求得答案.
【详解】由，得，
所以，
即，解得：或，
因为，所以，则.
故答案为：.
13．
【分析】根据根与系数的关系、同角三角函数的基本关系式、三角恒等变换等知识求得正确答案.
【详解】由解得，
所以，
.
故答案为：
14． /
【分析】第一空：由锐角三角函数结合两角和的正切公式即可得解；第二空：注意到，结合基本不等式得，由此即可进一步得到，注意取等条件是否成立.
【详解】设为边上的高，所以，
如图所示：
又因为，所以，又，
所以，，，
所以；
因为，，又，
所以垂足落在线段上，故都是锐角，所以均大于0，
因为
，
即，等号成立当且仅当，
所以；
所以，
因为，所以，所以当且仅当时，有.
故答案为：；.
【点睛】关键点睛：第二空的关键是发现，由此结合基本不等式以及两角和的正切公式即可得解.
15．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解；
（2）由（1）中函数的解析式，结合三角函数的性质，即可求解；
（3）由，求得，得到，结合两角差的余弦公式，即可求解.
【详解】（1）解：由函数
.
令，可得.
所以的单调递减区间为.
（2）解：由函数，
令，解得，
所以图象的对称中心的坐标为.
（3）解：由，可得，则，
因为，所以，所以，
所以.
16．(1)
(2)
【分析】（1）由同角关系式求得，然后由两角差的正切公式求解；
（2）由两角差的正切公式求得，再利用二倍角公式、同角关系化为齐次式，再得关于的式子，代入求值．
【详解】（1）因为，所以，
所以，
所以.
（2），
所以.
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式和三角函数的周期性化简即可.
（2）把所求角用已知角表示（整体思想），即，之所以用余弦是因为用正弦无法判断是第几象限角.
【详解】（1）原式
（2）由（1）得，所以，
因为均为锐角，所以，
又，所以，
由，得，
所以，
又为锐角，故.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行化简即可；
（2）根据（1）的结论，结合两角差的正弦公式进行求解即可.
【详解】（1），
.
.
又为锐角，
，
；
（2）由（1）可知.
，且为锐角，
，
19．(1)
(2)
【分析】（1）结合二倍角公式、辅助角公式化简，然后由周期公式即可得解.
（2）首先由平方关系结合求得的值，然后由两角和的余弦公式即可求解.
【详解】（1）由题意，
所以函数的最小正周期为.
（2）由题意，所以，
而，所以，
所以，
所以
.
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