2023-2024学年高中数学苏教版必修第二册第11章解三角形精选题（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2023-2024学年高中数学苏教版必修第二册第11章解三角形精选题
一、单选题
1．的内角的对边分别为.已知，，，则的外接圆半径为（ ）
A． B． C． D．
2．人们通常把顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，因为它的底边和腰长的比值等于黄金分割比，我们熟悉的五角星就是由5个黄金三角形和1个正五边形组成的，如图，就是一个黄金三角形，根据以上信息，可得 （ ）

A． B． C． D．
3．已知的内角，，的对边分别为a，b，c，且，若，则角不可能（ ）
A．为直角 B．为锐角 C．为钝角 D．在之间
4．已知的内角，，的对边分别为a，b，c，若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
5．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，．则的值（ ）
A． B． C． D．
6．在中，角所对的边分别为，若，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，D为边BC上一点，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，角所对的边分别是．已知，则（ ）
A． B． C．1 D．
二、多选题
9．已知的内角的对边分别为，若，则面积的可能取值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
10．对于，（角所对的边分别为中的余弦定理是），则下列说法正确的是（ ）
A．若，则一定为等腰三角形
B．若，则一定为等腰三角形
C．若，则
D．若，则一定为锐角三角形
11．在中，，这个三角形的周长可能等于（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．在中，若，则 ．
13．在中，角的对边分别为．若，则的值为 ．
14．在中，分别是角所对的边，且，，则的面积为 ．
四、解答题
15．记的内角，，的对边分别为，，，已知，.
(1)若，求的面积；
(2)若，求.
16．记的内角的对边分别为，已知.
(1)若，求；
(2)若，求的面积.
17．记的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若的面积为，求边上的中线长.
18．已知在中，角所对的边分别为.
(1)若，证明：是等腰三角形；
(2)若，求的值.
19．在中，内角的对边分別为，.
(1)求角C；
(2)若，求角的平分线的长度.
参考答案：
1．C
【分析】先由余弦定理求出，再利用同角三角函数关系及正弦定理求解即可.
【详解】因为，，，所以由余弦定理可得，
所以，设的外接圆半径为，
由正弦定理可得，即.
则的外接圆半径为.
故选：C
2．A
【分析】根据题意，利用正弦定理，列出方程，结合正弦的倍角公式，即可求解.
【详解】根据题意，在中，可得，
由正弦定理，可得，即，解得.
故选：A.
3．C
【分析】选项A，当时，角为直角，从而判断出选项A的正误；选项B和C，当，根据条件可得，再利用余弦定理可得为锐角，从而可判断出选项B和C的正误；选项D，根据条件可得，，再利用三角形的性质，可得，从而得出选项D的正误.
【详解】当时，由，得到角为直角，故选A错误；
当时，由，且，得到，所以，
故，得到，所以，
即为锐角，不可能为钝角，故选项B错误，选项C正确，
又由，得，，故，即，故选项D错误，
故选：C.
4．B
【分析】因为，所以化，得到，求出，再由正弦定理化为即可求解.
【详解】因为，所以，所以，
故，由正弦定理可得.
故选：B.
5．C
【分析】根据正弦定理得到，确定，根据余弦定理得到，再根据二倍角公式计算得到答案.
【详解】，则，，则，
，，故，
.
故选：C.
6．B
【分析】根据题意，利用正弦定理化简得到，即，再由，得到不等式组，即可求解.
【详解】因为，
所以，
即，
即，即，
由正弦定理得，所以，
又由，可得，即，即，
解得.
故选：B．
7．C
【分析】设，在与中，由余弦定理求出，根据求出，进而求得的面积.
【详解】设，在中，，
在中，，
所以，解得，
因为，所以，
所以的面积为.
故选：C
8．C
【分析】利用正弦定理及，得到，将代入，化简得到，求出答案.
【详解】，由正弦定理得，
又，故，即，
其中，所以，
故，
即，
故，
化简得，
即，，
因为，所以，.
故选：C
9．AB
【分析】由余弦定理角化边整理进而得，再结合基本不等式求得进而求得答案.
【详解】由余弦定理，，
化简得到，而，
故，故，有，当且仅当等号成立；
故．
故选：AB
【点睛】关键点点睛：本题考查余弦定理和基本不等式，解题关键是利用角化边得并利用基本不等式求出.
10．BD
【分析】根据正弦定理和诱导公式计算即可判断A；由正弦定理化简即可判断B；由余弦定理和基本不等式计算化简即可判断C；根据诱导公式和两角和的正切公式化简计算即可判断D.
【详解】对于A，在中，若，
因为，
则或，所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
对于B，若，
由正弦定理得，所以一定为等腰三角形，故B正确；
对于C，由余弦定理，
得，又，
所以，
即，
即，
又，当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为，所以，所以，
又因，所以，故C错误；
对于D，，
所以，
所以，
所以三个数有个或个为负数，
又因为最多一个钝角，
所以，即都是锐角，
所以一定为锐角三角形，故D正确.
故选：BD.
11．AB
【分析】由余弦定理先求出，注意检验是否满足三角形三边关系，由此即可得解.
【详解】由题意，由余弦定理有，即，
化简得，解得或，
经检验或均满足三角形三边关系，
所以这个三角形的周长可能为或.
故选：AB.
12．/
【分析】根据题意结合余弦定理运算求解.
【详解】因为，根据余弦定理可得：，
又因为A为三角形的内角，则，
故答案为：.
13．
【分析】在中，，设，，，，再由二倍角公式可得及余弦定理求出，从而可求解.
【详解】由题意知，在中，，设，，，，
由余弦定理得，
所以.
故答案为：.
14．
【分析】由已知结合正切的两角和公式可得，从而可得C，再利用余弦定理可得b，然后可得面积.
【详解】在中，由，
得，即，
而，则，即，
又，，由余弦定理得，解得，
所以的面积为.
故答案为：
15．(1)
(2)
【分析】（1）由已知结合正弦定理得，再利用余弦定理得，从而得解；
（2）由三角形内角和结合已知可得，化简可得：，再利用求解.
【详解】（1）在中，，
由正弦定理可知：
可化为：
故可得：，代入可得：
所以，故（*）
在中，由余弦定理可得：
代入数据和（*）式可得：
所以三角形面积为：
故三角形的面积为.
（2）因为且，故
代入可得：
因此
化简可得：，则，
情况一：当时，
所以可得：，化简可得：
在中，由正弦定理可得：；
情况二：当时，
同理可得：，又因为，故；
综上，的值为.
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由同角三角函数的基本关系计算可得；
（2）由余弦定理求出，即可求出，再由同角三角函数的基本关系求出，最后由面积公式计算可得.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
因为，
所以，
所以.
（2）由余弦定理可知，
即，
所以（负值舍去），所以.
又，
所以.
17．(1)
(2).
【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得.
（2）根据三角形的面积求得，根据同角三角函数的基本关系式求得，利用正弦定理、向量数量积运算来求得边上的中线长.
【详解】（1）由正弦定理可得，所以，
即，又，
所以，
整理得，解得；
（2）依题意，，解得，
又，
所以为钝角，所以由,
解得，
由正弦定理可得，又，
所以，
设的中点为，则，
所以，
所以边上的中线长为.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，再利用三角恒等变换公式化简变形可证得结论；
（2）由（1）可得，则，再利用正余弦定理化简可求得结果.
【详解】（1）证明：由，及正弦定理，得
，
即，
即.
因为，所以，
即.
因为，
所以或.
因为，所以，
又，所以.
故是等腰三角形.
（2）解：因为，即，则.
由（1）可得.
因为，
所以.
由正弦定理，得.
因为，所以.
因为，
所以，整理得，
因为，所以.
19．(1)
(2)1
【分析】（1）利用两角和正弦公式及正弦定理化简得，再利用辅助角公式及特殊角的三角函数值即可求解；
（2）利用余弦定理求得，根据面积相等建立方程求解即可.
【详解】（1）由得.
由正弦定理得，
得，得.
因为，所以，即，又，所以.
（2）由余弦定理得，可得，
又，所以，
即，所以.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)